LỜI CẢM ƠN Trong trình hoàn thành khóa luận em hướng dẫn, bảo tận tình Giảng viên - Tiến sĩ Vũ Quốc Khánh, ủng hộ, động viên góp ý kiến giảng viên khoa Toán-Lý-Tin bạn sinh viên lớp K52- ĐHSP Toán, thầy cô em học sinh trường THPT Cò Nòi - Sơn La Đồng thời, để hoàn thành khóa luận em nhận giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi sở vật chất, thời gian, tài liệu tham khảo phòng đào tạo, phòng Quản lý khoa học, phòng Quan hệ quốc tế, thư viện số phòng, ban, khoa trực thuộc trường Đại học Tây Bắc Em chân thành bày tỏ lòng biết ơn ủng hộ giúp đỡ quý báu thầy cô, bạn sinh viên đơn vị nói Sơn La, tháng 05 năm 2015 Người thực Sinh viên: Vũ Thị Dương MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1 Lý chọn khoá luận Mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Những lý luận chung giải toán kĩ giải toán 1.1.1 Phương pháp dạy học giải toán 1.1.2 Các yêu cầu lời giải 1.1.3 Khái niệm kĩ giải toán 10 1.1.4 Đặc điểm kĩ giải toán 12 1.1.5 Các kĩ giải toán 12 1.2 Một số cách luyện tập để rèn luyện kĩ giải toán 16 1.3 Chức toán việc rèn luyện kĩ giải toán 16 1.4 Lượng giác đại số 10 THPT 17 CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP CƠ BẢN NHẰM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC LỚP 10 THPT 19 2.1 Định hướng rèn luyện kĩ giải toán lượng giác lớp 10 THPT 19 2.2 Biện pháp rèn luyện kĩ giải toán lượng giác cho học sinh lớp 10 THPT 24 2.2.1 Biện pháp 24 2.2.2 Biện pháp 33 2.2.3 Biện pháp 49 CHƯƠNG III: THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM 56 3.1 Mục đích thử nghiệm 56 3.2 Phương pháp thử nghiệm 56 3.3 Nội dung thử nghiệm 56 3.4 Tổ chức thử nghiệm 56 3.5 Kết thử nghiệm 56 3.6 Kết luận rút từ thử nghiệm 57 3.7 Kết rút từ thử nghiệm 57 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn khoá luận Toán học môn quan trọng nhà trường phổ thông Chúng ta học tốt toán nắm vững kiến thức thực hành thành thạo dạng tập có liên quan Nói đến giải toán đường lối giải việc thực bước giải vấn đề quan trọng người giải toán Cần thấy rõ từ chỗ tìm phương hướng giải toán tới việc hoàn chỉnh toán trình bao gồm nhiều khâu Từ việc nắm vững kiến thức nội dung lý thuyết đến việc luyện tập thành thạo quy trình thao tác có tính chất kĩ thuật Điều đòi hỏi tính nghiêm túc, tính kiên nhẫn phương pháp làm việc khoa học người giải toán Thứ nhất: Dù nắm lý thuyết, có kĩ thuật cao, có thành thạo việc thực thao tác phép tính kết thực hành giải không tốt có lời giải xác cho toán Thứ hai: Khi định hướng lời giải việc trình bày, xếp kiện lời giải đóng vai trò quan trọng dẫn đến sai lầm phép tính, suy luận, sử dụng công thức, quy tắc, kí hiệu, ngôn ngữ, thao tác thực hành sai trình tự lôgic Thứ ba: Khi rèn luyện kĩ thực hành lời giải cho tập cách thành thạo ta phát huy kỹ làm việc độc lập sáng tạo, khả thiếu người giải toán Trong môn toán học nói chung môn đại số lớp 10 nói riêng, học sinh thường gặp khó khăn giải tập lượng giác, thường khó khăn việc biến đổi công thức lượng giác Đặc biệt chương trình lớp 10 có công thức lượng giác mới, số lượng công thức nhiều, việc biến đổi công thức hay nhầm lẫn Khi giải toán người giải cần định hướng lời giải, xây dựng chương trình giải thực lời giải toán Việc thực hành lời giải toán nói lên kĩ cần phải làm, trình bày lập luận lôgic, thao tác cần thực hiện, cách sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu, khâu quan trọng giải toán Chính lí mà chọn khoá luận nghiên cứu "Rèn luyện kĩ giải toán lượng giác cho học sinh lớp 10 THPT" Mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Đề xuất số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ giải toán lượng giác cho học sinh lớp 10 THPT 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu + Nghiên cứu sở lí luận thực tiễn liên quan đến khoá luận + Đề xuất số biện pháp góp phần rèn luyện kĩ giải toán lượng giác cho học sinh lớp 10 THPT + Bước đầu thử nghiệm sư phạm tính khả thi hiệu biện pháp Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận: Quan điểm, kết luận khoa học kĩ giải toán học sinh + Nghiên cứu thực tiễn, đề xuất biện pháp rèn luyện cho dạng toán cụ thể nhằm rèn luyện kĩ giải tập lượng giác cho học sinh lớp 10 + Thử nghiệm sư phạm: Dạy cho học sinh lớp 10 bước đầu kiểm tra đánh giá tính khả thi, hiệu biện pháp đưa Cấu trúc khoá luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo phụ lục, khoá luận bao gồm chương : Chương 1: Cơ sở lý luận Chương 2: Một số biện pháp nhằm rèn luyện kĩ giải toán lượng giác cho học sinh lớp 10 Chương 3: Thử nghiệm sư phạm Kết luận Tài liệu tham khảo Phụ lục PHẦN : NỘI DUNG CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Những lý luận chung giải toán kĩ giải toán Toán học môn quan trọng nhà trường phổ thông Giải toán trình suy luận nhằm khám phá quan hệ lôgic cho phải tìm Người học toán đứng trước toán muốn giải đáp ứng yêu cầu toán đặt Để giải toán người giải phải trải qua nhiều khâu Từ việc nắm vững kiến thức nội dung lý thuyết đến việc luyện tập thành thạo quy trình xây dựng bước giải Và thực hành có hiệu thao tác có tính chất kĩ thuật việc giải tập Điều đòi hỏi tính nghiêm túc, tính kiên nhẫn phương pháp làm việc khoa học người giải toán Khi dạy giải tập cho học sinh cần rèn luyện cho học sinh xác định hướng giải tập Việc xác định hướng giải giúp cho lời giải đạt hiệu Nhờ định hướng giải khác học sinh giải toán nhiều cách khác Trong thực hành giải thao tác phải thực tốt Việc thực lời giải phải khoa học, lập luận chặt chẽ Để làm tốt điều cần nghiên cứu kĩ toán cho mà chủ yếu vào yêu cầu mà toán đòi hỏi để xác định thể loại toán đó, định hướng lời giải Ngoài việc nắm đường lối chung người giải toán cần phát riêng, độc đáo toán cụ thể để lựa chọn phương án thích hợp tối ưu 1.1.1 Phương pháp dạy học giải toán Các bước giải toán * Bước 1: Tìm hiểu đề toán Để giải toán, trước hết phải hiểu đề Vì cần giúp học sinh tìm hiểu đề cần ý gợi động cơ, khêu gợi trí tò mò, hứng thú cho em + Để hiểu rõ đề toán trước hết cần phải nắm vững yếu tố mà toán cho, phải hiểu mối liên hệ yếu tố + Sau phải nắm yêu cầu toán Phải biết toán cho gì, yêu cầu toán gì? + Nếu cần thiết phải vẽ hình cho toán Hình vẽ giúp hiểu đề toán cách cụ thể rõ ràng Hình vẽ có tác dụng gợi ý cho việc tìm cách giải giúp phát triển trí tưởng tượng không gian * Bước 2: Tìm tòi lời giải, đề chương trình giải + Hãy nghĩ đến toán liên quan Những toán liên quan toán tương tự với toán cho, trường hợp đặc biệt toán cho, chí toán na ná toán cho, Nghĩ đến toán liên quan để tìm cách sử dụng kết hay phương pháp giải bào toán + Hãy tìm cách giải toán thông qua ẩn phụ Nhiều toán đưa giải cách trực tiếp mà phải thông qua ẩn phụ để tìm mối liên hệ Nhờ mà giải toán cần giải + Tìm tòi lời giải qua xét số trường hợp (đặc biệt, hay tương tự, ) * Bước : Thực chương trình giải Trình bày lời giải phát hiện, xếp việc phải làm thành chương trình gồm bước theo trình tự thích hợp thực bước Để đưa chương trình giải hợp lý cho toán dễ Muốn đạt kết đòi hỏi phải có nhiều điều kiện: kiến thức có sẵn, thói quen suy nghĩ, tập trung may mắn Thực chương trình dễ dàng nhiều, đòi hỏi chủ yếu kiên nhẫn Chương trình vạch nét tổng quát Chúng ta phải đảm bảo cho chi tiết phù hợp với nét tổng quát Do đó, phải kiên nhẫn khảo sát chi tiết rõ ràng, chỗ mơ hồ, che dấu sai lầm Nếu đề chương trình đưa đến lời giải, ta không ngần ngại mà dùng suy luận tạm thời, có tính chất mò mẫm thông qua yếu tố cho toán mà đưa đến ý điều đáng Nhưng thực chương trình lời giải phải thay đổi quan điểm thừa nhận lí định chặt chẽ Khi thực hiên lời giải phải nghiệm lại chi tiết, chi tiết lời giải đưa Khi lập chương trình giải tự mò mẫm thực lời giải ta phải trải nghiệm lại cẩn thận nhiêu Ta phải trình bày lời giải có thứ tự, phải trọng tới chi tiết lời giải, không quên chi tiết nào, phải hiểu liên hệ chi tiết với toàn liên hệ giai đoạn quan trọng với * Bước 4: Nhìn lại toán lời giải Sau giải xong, nên thực hiện: + Kiểm tra lại kết toàn lời giải toán + Suy nghĩ xem có lời giải khác hay không? Lời giải lựa chọn có phải hay không? + Từ kết thu tìm cách đề xuất toán khác nhờ tương tự, tổng quát hoá, 1.1.2 Các yêu cầu lời giải Để phát huy hết tác dụng tập toán học, trước hết cần phải nắm vững yêu cầu lời giải Nói cách vắn tắt, lời giải phải tốt Nói bao hàm đầy đủ ý cần thiết cô đọng Để thuận lợi cho việc thực hiên yêu cầu lời giải trình dạy học đánh giá học sinh, cụ thể hoá yêu cầu chi tiết i) Kết kể bước trung gian Kết cuối phải phương án đúng, biểu thức, số, hình vẽ, thoả mãn yêu cầu đề Kết bước trung gian phải Như vậy, lời giải chứa sai lầm tính toán, hình vẽ, biến đổi biểu thức 2i) Lập luận chặt chẽ Đặc biệt lời giải phải tuân thủ yêu cầu sau: + Lập luận quán + Luận phải + Luận chứng phải hợp lôgic 3i) Lời giải phải đầy đủ Yêu cầu có nghĩa lời giải không bỏ xót trường hợp nào, chi tiết cần thiết 4i) Ngôn ngữ xác Đây yêu cầu giáo dục tiếng mẹ đẻ cho tất môn Việc dạy môn toán phải tuân thủ yêu cầu 5i) Trình bày rõ ràng đảm bảo mĩ thuật Yêu cầu đặt với lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách xếp yếu tố ( chữ, số , hình vẽ, kí hiệu ) lời giải 6i) Tìm nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý cách giải tìm 7i) Nghiên cứu giải tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Bốn yêu cầu từ i) đến 4i) yêu cầu Yêu cầu 5i) yêu cầu mặt trình bày Yêu cầu 6i) 7i) yêu cầu đề cao 1.1.3 Khái niệm kĩ giải toán Trong lĩnh vực tâm lý học có nhiều công trình nghiên cứu đề cập đến kĩ chưa có định nghĩa sử dụng Có thể tóm lược số khái niệm kĩ sử dụng sau: + Theo P.A.Rudich cho :" Kĩ động tác mà sở vận dụng thực tế kiến thức tiếp thu để đạt kết hình thức hoạt động cụ thể." Ở tác giả quan niệm kĩ hoạt động vật chất, hàm vận động vật chất cụ thể Với quan niệm thuận lợi cho việc hình thành kĩ vận động, thao tác kĩ thuật + Quan điểm thứ hai coi kĩ khả thực công việc 10 ⇒ + tan β = 3t ⇒ + tan β = 3t − 3t2 tan β − t tan β ⇒ tan β = 2t + 3t2 (1) Ta có Vế trái = sin(2α + 2β) + sin 2α = tan(α + β) tan α + + tan2 (α + β) + tan2 α (2) Từ tan α = t; tan(α + β) = 3t và(2) suy 2.3t 2t 6t 8t + 24t3 Vế trái = + = + = + 9t2 + t2 + 9t2 + t2 (1 + 9t2 )(1 + t2 ) Từ (1) ta có 2t · tan β + 3t2 Vế phải = sin 2β = = + tan2 β 4t2 1+ (1 + 3t2 )2 8t + 24t3 (4) = (1 + 9t2 )(1 + t2 ) Từ (3) (4) suy Vế trái = Vế phải ⇒ Điều chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng: √ π sin x − sin y a) Nếu x + y = cos x = cos y =− 3 cos x − cos y π π π + tan x + kπ vàx = + kπ tan x + = 4 − tan x Thực hành giải x+y x−y cos sin sin x − sin y 2 a) = x+y x−y cos x − cos y −2 sin sin 2 √ x+y π = − cot = − cot = − ⇒ Điều phải chứng minh b) Nếu x = 46 π + tan x π + tan x b) tan +x = = π − tan · tan x − tan x + tan x π +x = ( Điều phải chứng minh) => tan − tan x tan π thoả mãn điều kiện sin2 α + sin2 β = sin(α + β) π Chứng minh α + β = Thực hành giải Ví dụ 5: Cho < α < Từ giả thiết sin2 α + sin2 β = sin(α + β) Áp dụng công thức nhân đôi cos 2α = − sin2 α; cos 2α = − sin2 α ta có: sin2 α + sin2 β = sin(α + β) ⇔ − cos 2α + − cos 2β = sin(α + β) ⇔ − cos(α + β) cos(α − β) = sin(α + β) ⇔ cos(α − β) cos(α + β) + sin(α + β) = (1) π Vì α, β ∈ 0; ⇒0 |α − β| (3) Từ (3) ta có cos(α + β) cos(α − β) ≥ cos2 (α + β) Kết hợp (1) (4) ta có − sin(α + β) ≥ cos2 (α + β) Hay sin(α + β) ≤ sin2 (α + β) (5) Từ (3) (5) suy điều vô lí π Trường hợp 2: Nếu < α + β < π π π Do < α < và0 < β < 2π ⇒ |α − β| < ⇒ cos(α − β) > 47 (4) Từ π < α + β < π ⇒ cos(α + β) < Vậy cos(α − β) cos(α + β) < (6) Từ (1) (6) suy sin(α + β) > Đây điều vô lí π Tóm lại giả thiết phản chứng sai, nên α + β) = ( Điều chứng minh) sin α sin 3α sin 5α Ví dụ 6: Cho = = a1 a3 a5 a1 + a5 a3 − a1 Chứng minh = a3 a1 Thực hành giải Từ giả thiết sin α sin 3α sin 5α = = a1 a3 a5 theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: sin 3α sin α + sin 5α sin 3α cos 2α = = a3 a1 + a5 a1 + a5 ⇒ a1 + a5 sin 3α cos 2α = = cos 2α a3 sin 3α Ta lại có ⇒ (1) sin 3α − sin α sin α = a3 − a1 a1 cos 2α sin α sin α = a3 − a1 a1 a3 − a1 cos 2α sin α = = cos 2α (2) a1 sin α Từ (1) (2) suy Điều chứng minh 2.2.3.Biện pháp 3: Tăng cường rèn luyện kĩ tính toán, biến đổi, suy luận lôgic thông qua việc giải tập áp dụng lượng giác như: Sử dụng phép lượng giác hoá để chứng minh hệ thức đại số, chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình hệ phương trình 48 a) Cơ sở lí luận Sau học xong công thức lượng giác, thành thạo kĩ giải toán, học sinh vận dung kiến thức lượng giác để giải tập áp dụng lượng giác Tuy nhiện học sinh lớp 10, dạng tập coi tập khó đòi hỏi học sinh phải tập trung cao dạy, nắm vững kiến thức lượng giác b)Mục đích, ý nghĩa biện pháp Rèn luyện cho học sinh thành thạo kĩ tính toán, kĩ tư lôgic, chuyển hoá quan hệ, tổng hợp kiện cho yêu cầu cần tìm toán c) Ví dụ minh hoạ * Dạng: Sử dụng phép lượng giác hoá để chứng minh hệ thức đại số Ví dụ 1: 1) Cho α + β + γ = tan α, tan β, tan γ có nghĩa Chứng minh tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ 2) Cho ab + = 0, bc + = 0, ca + = Chứng minh a−b b−c c−a a−b b−c c−a + + = · · + ab + bc + ca + ab + bc + ca Thực hành giải 1.) Từ giả thiết α + β + γ = ⇔ α + β = −γ ⇒ tan(α + β) = − tan γ tan α + tan β ⇒ = − tan γ − tan α tan β ⇒ tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ Đó điều phải chứng minh 2.) Đặta = tan α; b = tan β; c = tan γ Khi : a−b b−c c−a + + = tan(α − β) + tan(β − γ) + tan(γ − α) (1) + ab + bc + ca Do(α − β) + (β − γ) + (γ − α) = 0, nên theo phần 1) ta có : 49 tan(α − β) + tan(β − γ) + tan(γ − α) = tan(α − β) tan(β − γ) tan(γ − α) a−b b−c c−a · · (2) = + ab + bc + ca Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Ví dụ 2: 1) Cho α + β + γ = kπ, giả sử tan α, tan β, tan γ có nghĩa Chứng minh tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ 2).Chox, y, z, ba số thoả mãn √ √ x + y + z = xyz; x, y, z = − 3, Chứng minh : 3z − z 3x − x3 3y + y 3z − z 3x − x3 3y + y + + = · · − 3x2 − 3y − 3Z − 3x2 − 3y − 3Z Thực hành giải 1.) Từ α + β + γ = ⇒ tan(α + β) = − tan γ tan α + tan β ⇒ = − tan γ − tan α tan β ⇒ tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ Đó điều phải chứng minh 2) Đặtx = tan α; y = tan β; z = tan γ Ta có : x + y + z = xyz ⇔ tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ ⇔ tan α + tan β = tan γ(tan α tan β − 1) (1) Dễ thấy tan α tan β − = (vì tan α tan β − = 0, từ (1) ta có tan α = − tan β ⇒ tan2 α = 1, điều vô lí) tan α + tan β Vậy(1) ⇔ = − tan γ ⇔ α + β + γ = kπ − tan α tan β Từ ta có 3α + 3β + 3γ = 3kπ = nπ, n ∈ Z Theo phần 1) , ta có tan 3α + tan 3β + tan 3γ = tan 3α tan 3β tan 3γ 50 (2) Áp dụng công thức cung nhân ba, từ (2) suy điều phải chứng minh * Dạng sử dụng phép lượng giác hoá để chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 1: Cho x2 + y = 1; u2 + v = √ Chứng minh |x(u + v) + y(u − v)| ≤ Thực hành giải Vì: x2 + y = ⇒ x = sin α; y = cos α u2 + v = ⇒ u = sin β; y = cos β √ Vậy|x(u + v) + y(u − v) ≤ ⇔ | sin α(sin β + cos β) + cos α(sin β − cos β)| ≤ √ ⇔ | sin(α + β) − cos(α + β)| ≤ √ √ ⇔ 2| sin(α + β − 450 )| ≤ ⇔ | sin(α + β − 450 | ≤ √ (1) Vì (1) suy điều phải chứng minh Ví dụ 2: Cho a, b, c ∈ [0; 1] Chứng minh ≥ (1 + a2 )(1 + b2 )(1 + c2 ) + (1 − a2 )(1 − b2 )(1 − c2 ) Thực hành giải β γ α Đặta = tan ; b = tan ; c = tan 2 π Vìa, b, c ∈ [0; 1] ⇒ α, β, γ, ∈ 0; Từ đó, ta có cos α ≥ 0; cos β ≥ 0; cos γ ≥ Do (1 + cos α)(1 + cos β)(1 + cos γ) ≥ + cos α cos β cos γ Dấu (1) xảy ⇔ cos α = cos β = cos γ = π ⇔α=β=γ= ⇔a=b=c=1 x − tan2 , ta có Áp dụng công thức cos = x + tan2 − a2 − b2 − c2 cos α = ; cos β = ; cos γ = (2) + a2 + b2 + c2 51 (1) Thay (2) vào (1) , ta có − b2 − a2 1+ 1+ + a2 + b2 − c2 1+ + c2 (1 − a2 )(1 − b2 )(1 − c2 ) ≥1+ (1 + a2 )(1 + b2 )(1 + c2 ) ⇔ ≥ (1 + a2 )(1 + b2 )(1 + c2 ) + (1 − a2 )(1 − b2 )(1 − c2 ) Đó điều chứng minh Dấu xảy ⇔ a = b = c = Ví dụ 3: Cho P = (x2 − y )(1 − x2 y ) (1 + x2 )2 (1 + y )2 Tìm giá trị lớn nhỏ P x, y ∈ R Thực hành giải π π Đặt x = tan α, y = tan β(α, β ∈ − ; 2 Ta có (tan2 α − tan2 β)(1 − tan2 α tan2 β P= (1 + tan2 α)2 (1 + tan2 β)2 sin2 α cos2 β − sin2 β cos2 α cos2 α cos2 β − sin2 α sin2 β · cos2 α cos2 β cos2 α cos2 β = cos4 α cos4 β = sin(α + β) sin(α − β) cos(α + β) cos(α − β) (1) = sin(2α + 2β) sin(2α − 2β) 1 Từ (1) suy − ≤ P ≤ 4 Có thể thấy x = 1; y = x = −1; y = thìP = x = 0; y = x = 0; y = −1 P = − 1 Từ ta có max P = P = 4 * Dạng sử dụng phép lượng giác hoá để giải phương trình hệ phương trình 52 Ví dụ 1: Cho phương trình x3 − 3x + = 1) Chứng minh nghiệm ( có) phương trình thuộc [−2; 2] 2) Bằng cách đặt x = cos ϕ giải phương trình 3) Giả xử x1 < x2 < x3 ba nghiệm phương trình Chứng minh x23 = + x2 Thực hành giải 1) Xét phương trình x3 − 3x + = (1) * Khi x > 2, vế trái (1) = x(x2 − 3) + > * Khi x < −2, vế trái (1) = x(x2 − 3) + < Do nghiệm (1) ( có ) thuộc [−2; 2] ⇒ Điều phải chứng minh 2) Từ câu 1, suy đặt x = cos ϕ(0 ≤ ϕ ≤ π) Khi (1) ⇔ cos3 ϕ − cos ϕ + = ⇔ 2(4 cos3 ϕ − cos ϕ) = −1 2π ⇔ cos 3ϕ = − = cos   2π 2π 2kπ + 2kπ + 3ϕ = ϕ=     ⇔ ,k ∈ Z ⇔  ,k ∈ Z   2π 2π 2kπ 3ϕ = − + 2kπ ϕ=− + 2π 2kπ * Với ϕ = + do0 ≤ ϕ ≤ π ⇔0≤ 2π 2kπ 2k + ≤π⇔0≤ + 9 ⇔ k = 0, k = Vậy ta cóx = cos * Với ϕ = − 2π 8π x = cos 9 2π 2kπ + ≤ ϕ ≤ π 53 ⇔0≤− 2k 2π 2kπ + ≤π⇔0≤− + ≤1⇔k=1 9 4π Như phương trình cho có ba nghiệm 8π 4π 2π x1 = cos ; x2 = cos ; x3 = cos 9 2π 4π = + cos 3) Ta có x23 = cos2 = + x2 9 Vậy ta có x = cos ⇒ Điều phải chứng minh Ví dụ 2: Giải hệ phương trình     2x + x y = y 2y + y z = z    2z + z x = x Thực hành giải Xét hệ phương trình     2x + x y = y 2y + y z = z    2z + z x = x     2x = y(1 − x ) Ta có (1)(2)(3) ⇔ 2y = z(1 − y )    2z = x(1 − z ) (1) (2) (3) (4) (5) (6) Rõ ràng từ (4) (5) (6) suy x = −1; 1, y = −1; 1, z = −1; Vì  2x   y = (7)   − x        2y z= (8) (1)(2)(3) ⇔  − y         2z  x= (9) − z2 54 π π [...]... dụng cho từng dạng bài toán nhằm rèn luyện kĩ năng giải bài tập lượng giác cho học sinh lớp 10 2.1 Định hướng rèn luyện kĩ năng giải bài toán lượng giác lớp 10 THPT Một số kiến thức cơ bản về lượng giác Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt * Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị (bán kính bằng 1), định hướng, trên đó có một điểm A được chọn làm gốc * Cho đường tròn lượng giác trong hệ trục toạ... tập để có nhiều hình thức rèn luyện kĩ năng thực hành giải như - Giải bằng lời - Giải dưới dạng viết - Giải bằng thực nghiệm 1.3 Chức năng của bài toán đối với việc rèn luyện kĩ năng giải toán Ở trường phổ thông, giải toán là một hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động học Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán học được sử dụng với những dụ ý khác nhau,... kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá và tự điều chỉnh góp phần nâng cao chất lượng dạy và học Để hình thành kĩ năng giải bài tập toán học nói chung cho học sinh, giáo viên cần thực hiện tốt các vấn đề sau: + Xác định từng kĩ năng cụ thể trong hình thành giải bài tập toán học và mức độ ở mỗi lớp, mỗi cấp học tương ứng + Xác định hình thức giải bài tập toán học tương ứng chủ yếu cho học sinh rèn luyện kĩ năng. .. năng này thì yêu cầu học sinh vận dụng linh hoạt máy móc + Kĩ năng vận dụng cái đã có vào giải các bài toán cụ thể về lượng giác Học sinh phải rèn luyện kĩ năng này trong quá trình họ tìm tòi lời giải bài toán Nên hướng dẫn học sinh thực hiện giải bài toán theo quy trình 4 bước: Tìm hiểu nội dung bài toán, xây dựng chương trình giải, thực hiện chượng trình giải , kiểm tra nghiên cứu lời giải + Kĩ năng. .. thống các công thức lượng giác thì việc vận dụng các công thức đó để giải bài toán cụ thể là một khâu cơ bản bậc nhất Các kiến thức lượng giác là hoàn toàn mới đối với học sinh nên học sinh hay gặp khó khăn khi giải bài tập đặc biệt là khi áp dụng lý thuyết vào thực hành Khi hướng dẫn học sinh thực hành giải bài tập lượng giác cần rèn cho học sinh kĩ năng gộp nghiệm bởi các cung lượng giác có cùng chu... + b)]; 2 23 2.2 Biện pháp rèn luyện kĩ năng giải bài toán lượng giác cho học sinh lớp 10 THPT 2.2.1 Biện pháp 1: Tăng cường rèn luyện kĩ năng tính giá trị của một biểu thức lượng giác a) Cơ sở lý luận Nắm vững định nghĩa chính là nắm bản chất kiến thức Hệ thống kiến thức được xây dựng xuất phát từ định nghĩa Kiến thức chủ yếu của lượng giác là hệ thống các công thức lượng giác Để hiểu, nắm vững và... có kĩ năng, kĩ xảo vận dụng trong thực hành giải toán Tuỳ theo từng nội dung, kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng Trong chương trình toán phổ thông, cụ thể là khi rèn luyện kĩ năng thực hành giải bài tập về lượng giác ta có thể chỉ ra một số kĩ năng sau: + Kĩ năng liên kết, phân tích các dữ liệu mà bài toán đã cho với cái phải tìm + Kĩ năng tính toán: ... cập với lượng kiến thức mới và khó mà học sinh phải lĩnh hội nên dễ gây ra tâm lý ngại khó Đặc biệt là khi giải bài tập ở nội dung này, học sinh thường biến đổi sai công thức, khi tính toán hay nhầm lẫn 18 CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP CƠ BẢN NHẰM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 10 THPT Từ những nghiên cứu ở chương I, nội dung chương II nghiên cứu các biện pháp áp dụng cho từng... Một số cách luyện tập để rèn luyện kĩ năng giải toán Cho học sinh giải bài tập toán học tương tự bài tập mẫu, việc luyện tập này có tiến hành ngay ở một bài học, cũng có thể rải rác ở một số bài cũng như bài tập ở nhà * Luyện tập không theo mẫu: Học sinh luyện tập khi những yêu cầu của bài tập được thay đổi từ đơn giản đến phức tạp Hệ thống bài tập phải được sắp xếp từ dễ tới khó giúp học sinh phát triển... đo đạc: Đây là kĩ năng cần thiết và phải rèn luyện cho học sinh một cách cẩn thận Đặc biệt, với kĩ năng vẽ hình, học sinh phải hình thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quy ước, phù hợp với lí thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, có thẩm mĩ + Kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn: Kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế đời