BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN MÔN TOÁN THPT Tên đề tài: Hướng dẫn học sinh giải số tập dãy số, giới hạn dãy số số toán số liên quan đến dãy số Người thực hiện: Bùi Thị Lan Anh Bùi Thị Thúy Hà Phạm Thị Lan Trường: THPT VÙNG CAO VIỆT BẮC NĂM HỌC: …………………… LỜI NÓI ĐẦU Dãy số phần kiến thức thiếu chương trình dạy toán cho trường chuyên Các tập phần dãy số, giới hạn dãy số, tập số liên quan đến dãy số tập thường gặp kì thi HSG cấp tỉnh, trại hè Hùng Vương, Olimpic 30-4, quốc gia, quốc tế, Olimpic Toán khu vực Dãy số trình bày chương trình toán bậc phổ thông là cầu nối đại số giải tích Lần học sinh làm quen với khái niệm dãy số, giới hạn, tính liên tục mà sử dụng nhiều sau Tuy nhiên, hạn chế thời gian nên thời lượng dành cho việc dạy học dãy số giới hạn dãy số chương trình toán PT không nhiều, học sinh học số khái niệm ban đầu làm quen với số tập đơn giản Vì mà tập dãy số số toán tương đối khó với em học sinh với thầy cô giáo quan tâm với tập Trong sách giáo khoa lớp 11 có tập dãy số giới hạn nhiều tài liệu tham khảo phần Điều gây không khó khăn cho việc dạy học đối giáo viên học sinh trình ôn luyện đội tuyển HSG cấp Trong sáng kiến kinh nghiệm mục đích tổng hợp đưa số dạng toán dãy số, giới hạn toán số liên quan đến dãy số nhằm phục vụ cho trình ôn luyện nhóm chuyên, ôn luyện đội tuyển HSG cấp tổ môn Toán Vì vậy, việc trang bị kiến thức số dãy số cho học sinh đội tuyển HSG cần thiết, việc bồi dưỡng cho học sinh phương pháp giải có hiệu việc bổ ích Trên quan điểm hoạt động, muốn nghiên cứu cách hướng dẫn học sinh giải số tập dãy số, giới hạn dãy số số toán số liên quan đến dãy số Đối tượng nghiên cứu học sinh lớp chuyên toán, học sinh ôn thi HSG cấp môn Toán Trường PT Vùng cao Việt Bắc NỘI DUNG I.KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ VÀ DÃY SỐ: Dãy số 1.1 Các định nghĩa Định nghĩa: + Mỗi giá trị hàm số số hạng dãy số u(1) số hạng thứ (Số hạng đấu): u1 u(2) số hạng thứ (Số hạng đấu): u2 …………………………………………………………………… u(n) số hạng thứ n: un + Khi dãy số u = u(n) (un) ta gọi un số hạng tổng quát Người ta viết dạng khai triển : u1, u2, u3,…., un,…… 1.2 Cách cho dãy số : Cách1: Cho công thức số hạng tổng quát Cách 2: Co dãy số quy nạp Cách 3: Diễn đạt lời cách xác định số hạng 1.3 Dãy số tăng, giảm: 1.4 Dãy bị chặn: 1.5 Dãy số có giới hạn: + Dãy số tăng bị chặn dãy có giới hạn + Dãy số giảm bị chặn dướilà dãy có giới hạn I MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG Dạng 1: Xác định công thức tổng quát dãy số : Bài 1: Cho ( ) xác định bởi: Xây dựng công thức eo n Giải: Ta có: Ta viết: Do đó: • Chú ý: Các bước thực B1: Dự đoán công thức B2: Chứng minh công thức với n = (n = n0) B3: Giả sử công thức với n = k ta chứng minh công thức với n = k+1 Bài 2: Cho (un) xác định: Ta thấy : Dự đoán (1) Chứng minh quy nạp : +) Kiểm tra với n=1 ta có +) Giả sử CT ( 1) với n = k ta có : với n = k +1 Ta có : Vậy : Bài : Cho Xác định công thức ? Giải: Ta thấy: Dự đoán: (2) Ta chứng minh quy nạp: +) Kiểm tra (2) với n = ta phải CM CT (1) +) Giả sử (2) với n = k tức ta phải cm (2) với n = k+ Ta có Vậy : Bài 4: a) Chứng minh rằng: chứng minh cấp số cộng Suy biểu thức b) Giải: a) Suy theo quy nạp = b) Bài 5: , Chứng minh ( ) xác định cấp số cộng Suy biểu thức Giải: Ta có : Bài : Cho Xác định Giải : a) Ta có : Vậy : ? Bài : Xác định ? Giải : Ta có : +) Với n = ta có ta chứng minh quy nạp : (*) +)Giả sử (*) với n = k tức ta phải chứng minh (*) với n = k+1 Thật : (Đpcm) Bài : CMR : Tồn cấp số nhân (Vn)và số Giải : Ta có : Nhân vế với vế đẳng thức giản ước thừa số ta có : Trong đó: Bài : Cho dãy số (un) xác định : Xác định un ? Giải : Ta có Đặt : Bài 10 : Xác định Giải : Ta có : (2) thay (n+1) n ta có : Lấy (3) – (4) : (5) Phương trình đặc trưng (5) là: Ta có = Thay vào giả thiết, ta : (vì Hay Đặt ) , ta có : Theo cách đặt : Do : Bài 23: Tìm số dư chia Giải: Phương trình đặc trưng chia cho 2011? Từ giả thiết có : Theo ĐL nhỏ Fecma có: (5, 2011) = Vậy dư phép chia Bài 24: Giải : Từ Đặt chia cho 2011 1999 Bài 25: Giải : Đặt Bài 26: Tìm phần nguyên tổng Giải : Xét dãy ( Xét * thỏa mãn : Lại có : Dạng 3:Một số toánliên hệ dãy số phần nguyên : Bài 1: Dãy số xác định sau : CMR : Giải : (1) Chú ý: Vậy từ (1) suy : số chẵn (2) Rõ ràng : Ta có : Vì phần nguyên ta có : số nguyên nên theo ĐN Từ (2) suy : số lẻ (Đpcm) Bài : CMR : Giải : Ta có : Vậy : Ta có : >0 : Do (4) : (6) (3) Thay (7) vào (2) ta có : [...]... Dạng 2 : Tìm giới hạn của dãy số ………………………………………………………11 Dạng 3: Một số bài toán liên hệ giữa dãy số và phần nguyên ……………………………19 Dạng 4: Một số bài toán liên hệ giữa dãy số và đồng dư …………………………………24 Bài tập rèn luyện ….29 Kết luận ….30 Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………………33 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải 10.000 Bài toán sơ cấp dãy số và giới hạn [2] Hà Huy... 2011 là 1999 Bài 25: Giải : Đặt Bài 26: Tìm phần nguyên của tổng Giải : Xét 2 dãy ( Xét * thỏa mãn : Lại có : Dạng 3 :Một số bài toánliên hệ giữa dãy số và phần nguyên : Bài 1: Dãy số được xác định như sau : CMR : Giải : (1) Chú ý: Vậy từ (1) suy ra : là số chẵn (2) Rõ ràng : Ta có : Vì phần nguyên ta có : là một số nguyên và nên theo ĐN Từ (2) suy ra : là số lẻ (Đpcm) Bài 3 : CMR : Giải : Ta có :... : Tìm giới hạn của dãy số Bài 11 : Từ đó suy ra lim un = 0 Giải : a, Chứng minh bằng quy nạp b, Bài 12 : CMR : Giải : a) Chứng minh bằng quy nạp b) c) Bài1 3 : (Đề thi olimpic 30/4 năm 2011) : Vậy : Bài 14: CMR : Giải : Bài 15 : Giải : Ta có : Mặt khác : Nếu Bài 16 : Giải : Ta CM : là dãy số tăng và bị chặn dưới bởi 1(CM bằng quy nạp) bị chặn trên thì tồn tại một giới hạn hữu hạn bằng a, suy ra Bài 17... : có giới hạn và tìm giới hạn đó Giải : + Ta CM dãy số bị chặn dưới bằng phương pháp quy nạp Nhận xét : *GS với và Suy ra : + CM dãy số giản Thật vậy : Ta có Giả sử : ta có ưới bởi 1nên có giới hạn Bài 18 : Ta có : Ta có : Bài 19 : Cho trước số dương a, xét dãy số : + Nếu Vậy + Xét : bị chặn trên thì không bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn L Khi đó Bài 20 : Tìm Giải : 1+5+9+…+(4n-3) Vậy : Bài 20:... tại hai số hạng bằng nhau Bài 3 : Hãy xác định tất cả các dãy số nguyên dương Bài 4: Cho Bài 5: Cho (un) : , CMR: (n = 1,2,3 ) thỏa mãn : có nghiệm duy nhất kí hiêu là Chứng minh rằng Bài 6: Cho 2 số tự nhiên k, n , k≤n Chứng minh rằng: Tìm ? Bài 7: Cho (Đề thi HSG Olimpic 30- 4 năm 2009- 2010) Bài 8 : Tìm giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát (Đề thi HSG khối 11- Thái Nguyên 2010-2011) Bài 9 :... Vùng cao Việt Bắc Bài viết này không tránh những thiếu sót rất mong sự góp ý của thầy cô và các em học sinh MỤC LỤC Lời nói đầu Nội dung I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ VÀ DÃY SỐ:……………………… 3 1.1 .Dãy số ………………………………………………………………………………3 1.2 Lý thuyết đồng dư:………………………………………………………………… 3 II MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG…………………………………………………………………………………… 5 Dạng 1: Xác định công thức tổng quát của dãy số :……………………………………... Tỉnh Thái Nguyên) CMR : vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân Hướng dẫn : CM bằng phương pháp quy nạp chứng tỏ suy ra đpcm Bài 7 : Gọi là một nghiệm của pt : Tìm số dư của được xác định : khi chia cho 2010? Giải: Vì là số nghiệm dương của phương trình đã cho nên Do Bài 8: Cho dãy số xác định như sau: CMR: Nếu p là số thì Giải : Từ hệ thức dẽ dàng suy ra pt: trưng của dãy có nghiệm là : nên theo phương... thay vào (1) có hệ pt sau: Vậy dãy là pt đặc xác định bởi công thức tổng quát sau: Vì p là số nguyên tố nên theo ĐL nhỏ Fecma có: Vậy suy ra (Đpcm) BÀI TẬP RÈN LUYỆN : Bài 1 : Cho dãy thỏa mãn Tìm tất cả các giá trị của n để Bài 2 : Lập dãy số nguyên bậc 10 của tất cả các chữ số của là số chính phương (n = 1,2,3, ) như sau : số bằng tổng các lũy thừa với n = 1,2, 3, Chứng minh rằng trong dãy số đó... 2008-2009) Bài 10: Cho KẾT LUẬN Chuyên đề chúng tôi đã vận dụng vào việc ôn luyện đội tuyển HSG cấp tỉnh, thi trại hè Hùng Vương , phần lớn các em đều nắm vững các kiến thức cơ bản, vận dụng được vào các bài tậpnày Chúng tôi tổng hợp một số bài tập mục đích để dạycho học sinh nhóm chuyên, ôn luyện HSG, chuyên đề này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và học sinh ôn thi HSG các cấp bộ môn Toán của. .. KHẢO [1] Phan Huy Khải 10.000 Bài toán sơ cấp dãy số và giới hạn [2] Hà Huy Khoái Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT Số học [3] Tuyển tập đề thi olimpic 30 tháng 4 [4] Diễn dàn toán học [5] Olimpic toán học Châu Á Thái Bình Dương [6] Sách giáo khoa đại số và giải tích 11- Nâng cao [7] Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh khối 10, 11, 12 tỉnh Thái Nguyên các năm