Gv: Trần Quốc Nghóa 1 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Vấn đề 8: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ① Nếu hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = f(x) liên tục trên [a ; b], trục hoành và hai đường x = a, x = b. ② Nếu hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hai hàm số y = f 1 (x) và y = f 2 (x) liên tục trên [a ; b] và hai đường x = a, x = b. ③ Nếu hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f 1 (y) và x = f 2 (y) liên tục trên [a ; b] và hai đường y = a, y = b. Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a 1 c 2 c 3 c = ( )y f x y O b x ∫ b a S = f(x) dx  =  =   =   =  ( ) ( ) y f x y 0 H x a x b a 1 c y O b x 1 2 ∫ b a S = f (x) f (x) dx−  =  =   =   =  1 1 2 2 ( ): ( ) ( ): ( ) ( ) C y f x C y f x H x a x b 1 ( )C 2 ( )C a 1 c y O b x 2 c 1 2 ∫ b a S = f (y) f (y) dy−  =  =   =   =  1 1 2 2 ( ): ( ) ( ): ( ) ( ) C x f y C x f y H y a y b Toán 12 – Tích phân 2 1) y = 2x – x 2 , x + y = 2 2) y = x 3 – 12x, y = x 2 3) x + y = 1, x + y = –1, x – y = 1, x – y = –1 4) y = 2 1 1 x+ , y = 1 2 5) 2 x y 4 4 = − , 2 x y 4 2 = 6) 3x 1 y x 1 − − = − , x = 0 và y = 0 7) 2 y x 4x 3= − + và y = x + 3 8) y = x 2 , x = – y 2 9) y x= , 2 y 2 x= − 10) 2 y x 5 0+ − = , x y 3 0+ − = 11) ln x y 2 x = , y = 0, x = e, x = 1 12) y = x 2 – 2x, y = – x 2 + 4x 13) y = 2 3 3 x x 2 2 + − , y = x 14) y = e x , y = 2, x = 1 15) y 2 = 2x + 1, y = x – 1 16) y = 2 4 x− − , x 2 + 3y = 0 17) Trục Ox, Oy và đồ thò của hàm số (C): y = 2x 1 x 1 + − 18) Đồ thò của hàm số (C): y = − x + 3 − 1 x 1− , tiệm cận xiên của (C) và hai đường thẳng x = 2, x = 3. 19) Đồ thò (C): y = x 4 – x 2 , trục Oy và tiếp tuyến với đồ thò tại A(1 ; 0). 20) Đồ thò (C): y = x 3 – 1 và tiếp tuyến với (C) tại điểm (−1 ; −2). Gv: Trần Quốc Nghóa 3 Vấn đề 9: TÍNH THỂ TÍCH ① Thể tích vật thể: Thể tích V được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hành tại hai điểm có hành độ x = a ; x = b (a ≤ b). S(x) là diện tích thiết diện của V vuông góc với trục Ox tại x ∈ [a ; b] ② Thể tích khối tròn xoay: ⓐ Nếu hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b], trục hoành và hai đường x = a, x = b quay quanh trục Ox. ⓐ Nếu hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hàm số x = g(y) liên tục trên đoạn [a ; b] và hai đường y = a, y = b quay quanh trục Oy. Bài 2.Tính thể tích các vật thể sau: ∫ b a = S(x)dx V x O a b ( ) V S(x) x a = ( )y f x y O b x     ∫ x b 2 a V = f(x) dx π ( ) : ( ) ( ) :  =  =   =   =  C y f x Ox y 0 x a x b c y O d x     ∫ y d 2 c V = g(y) dx π ( ) : ( ) ( ) :  =  =   =   =  C x g y Oy x 0 y c y d Toán 12 – Tích phân 4 1) Có đáy là một tam giác cho bởi y = x, y = 0 và x = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông. 2) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi x 2 + y 2 = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông. Bài 3.Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác đònh bởi: 1) y = 2 – x 2 , y = 1, quay quanh trục Ox 2) y = 2x – x 2 , y = x, quay quanh trục Ox 3) y = 3 2x 1+ , x = 0, y = 3, quay quanh trục Oy. 4) y = x 2 + 1, x = 0 và tiếp tuyến với y = x 2 + 1 tại (1 ; 2), quanh trục Ox 5) y = lnx, y = 0, x = e, quanh trục Oy. 6) y = x 2 + x − 5 = 0, x + y − 3 = 0, quay quanh trục Ox. 7) y = x , y = 2 − x, y = 0, quay quanh trục Oy. 8) y = x , y = − x, x = 5, quay quanh trục Ox. 9) 2 y (x 2)= − , y = 4, quay quanh trục Ox. 10) 2 y (x 2)= − , y = 4, quay quanh trục Oy. 11) 2 2 4 ; 2y x y x= − = + , quay quanh trục Ox. 12) 2 2 1 x y ;y 2 x 1 = = + , quay quanh trục Ox. 13) y = 2x 2 , y = 2x + 4, quay quanh trục Ox. 14) y = y 2 = 4x , y = x, quay quanh trục Ox. 15) y = 1 x 2 2 x .e ; y = 0 ; x = 1 ; x = 2, quay quanh trục Ox. 16) y = x x 2 e , y = 0, x = 0, x = 1, quay quanh trục Ox. 17) y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e, quay quanh trục Ox. 18) y = lnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = 2, quay quanh trục Ox. 19) y = x )1ln( 3 x + ; y = 0 ; x = 1, quay quanh trục Ox. 20) y = sinx, y = 0, x = 0, x = 4 π , quay quanh trục Ox. 21) y = cosx, y = 0, x = 0, x = 4 π , quay quanh trục Ox. 22) y = sin 2 x, y = 0, x = 0, x = π, quay quanh trục Ox. Gv: Trần Quốc Nghóa 5 23) y = 2 x 2 , y = 2, y = 4, x = 0, quay quanh trục Oy. 24) y = 1 x 2 , y = x, y = 2, quay quanh trục Oy. 25) y = 0, y = 6 6 cos x sin x+ , x = 0, x = 2 π , quay quanh trục Ox. 26) y = 0, y = 4 4 1 cos x sin x+ + , x = 0, x = 2 π , quay quanh trục Ox. 27) y = 0, y = 2 cos x xsinx+ , x = 0, x = 2 π , quay quanh trục Ox. Bài 4.Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên [0 ; 3], cho bởi qui tắc sau: x nếu 0 x 1 y f(x) 1 nếu 1 x 2 3 x nếu 2 x 3  ≤ ≤  = = ≤ ≤   − ≤ ≤  1) Vẽ đồ thò của hàm số y = f(x). 2) Tính diện tích hình (H) chắn bởi đồ thò hàm số y = f(x) và tục Ox. 3) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox. Bài 5.Gọi (C) là đồ thò của hàm số y = f(x) cho bởi: 2 2 2 x nếu 2 x 1 y f(x) x 5x 3 nếu 1 x 2 2  − − ≤ ≤  = =  − + ≤   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox . Gv: Trần Quốc Nghóa 1 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Vấn đề 8: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ① Nếu hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm. tại điểm (−1 ; −2). Gv: Trần Quốc Nghóa 3 Vấn đề 9: TÍNH THỂ TÍCH ① Thể tích vật thể: Thể tích V được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hành