§5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP )(yx )(yxyx 2 44 1 0364 22 22 =+ =−+−+ Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn? Xác định tâm và bán kính của nó (nếu có). Bài cũ: Bài cũ: Trả lời: Trả lời: (1) Là phương trình đường tròn vì có: ( ) ( ) 016332 2 222 >=−−−+=−+ cba Tâm I(2;-3), bán kính R=4. (2) Không phải là phương trình đường tròn vì các hệ số của x 2 và y 2 không bằng nhau. §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 1. Định nghĩa đường elip: H1: Khi M thay đổi, chu vi của tam giác MF 1 F 2 như thế nào? - Khi M thay đổi, chu vi của tam giác MF 1 F 2 là không thay đổi và bằng chiều dài của sợi dây. H2: Khi đó, tổng MF 1 +MF 2 có thay đổi hay không? Vì sao? - Tổng MF 1 +MF 2 là không thay đổi vì MF 1 + MF 2 = C ΔMF 1 F 2 - F 1 F 2 §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 1. Định nghĩa đường elip: Cho hai điểm cố định F 1 và F 2 , với F 1 F 2 = 2c (c>0). Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M sao cho MF 1 +MF 2 =2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c. Hai điểm F 1 và F 2 gọi là các tiêu điểm của elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip. Định nghĩa: §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 2. Phương trình chính tắc của elip O x y (-c;0) (c;0) (x;y) §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 2. Phương trình chính tắc của elip Giả sử M(x;y) ∈(E), khi đó ta có: ( )( ) ( ) ( ) 2 2222 1 0 ycxycxMF ++=−+−−= (-c;0) (c;0) (x;y) 222 2 yccxx +++= ( ) ( ) ( ) 2 2222 2 0 ycxycxMF +−=−+−= 222 2 yccxx ++−= cxMFMF 4 2 2 2 1 =−⇒ ( )( ) cxMFMFMFMF 4 2121 =+−⇔ ( ) cxaMFMF 42 21 =−⇒ a cx MFMF 2 21 =−⇔ Do: aMFMF 2 21 =+ (*) (**) Từ (*) và (**) ta có: a cx aMF += 1 Từ: a cx aMF += 1 2 2 1       +=⇒ a cx aMF 2222 2 2 1 cayx a c −=+         −⇔ 1 22 2 2 2 = − +⇔ ca y a x 0, 1 2 2 2 2 >>=+ ba b y a x Đây là phương trình chính tắc của elip. và a cx aMF −= 2 Đặt: 222 cab −= ,ta có: §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 2. Phương trình chính tắc của elip Giả sử M(x;y), khi đó ta có: ( )( ) ( ) ( ) 2 2222 1 0 ycxycxMF ++=−+−−= 222 2 yccxx +++= ( ) ( ) ( ) 2 2222 2 0 ycxycxMF +−=−+−= 222 2 yccxx ++−= cxMFMF 4 2 2 2 1 =−⇒ ( )( ) cxMFMFMFMF 4 2121 =+−⇔ ( ) cxaMFMF 42 21 =−⇒ a cx MFMF 2 21 =−⇔ Do: aMFMF 2 21 =+ (*) (**) Từ (*) và (**) ta có: a cx aMF += 1 Từ: a cx aMF += 1 2 2 1       +=⇒ a cx aMF 2222 2 2 1 cayx a c −=+         −⇔ 1 22 2 2 2 = − +⇔ ca y a x 0, 1 2 2 2 2 >>=+ ba b y a x Đây là phương trình chính tắc của elip. và a cx aMF −= 2 Đặt: 222 cab −= ,ta có: * Các đoạn MF 1 và MF 2 được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M.        −= += a cx aMF a cx aMF 2 1 Với điểm M(x;y) thì ta có: Chú ý: * Từ công thức: 1 2 2 2 2 =+ b y a x ta suy ra:      ≤ ≤ ⇒        ≤ ≤ 22 22 2 2 2 2 1 1 by ax b y a x    ≤≤− ≤≤− ⇒ byb axa §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 2. Phương trình chính tắc của elip Ví dụ 1: Cho 3 điểm ( ) ( ) 0;5 ,0;5 21 FF − ( ) .3;0I và a) Viết phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F 1 , F 2 và đi qua I. b) Khi M chạy trên elip đó, khoảng cách MF 1 có GTNN và GTLN bằng bao nhiêu? Giải a) (E) có phương trình chính tắc là: 0ba , 1 2 2 2 2 >>=+ b y a x Vì I(0;3)∈(E) nên ta có: 1 30 2 2 2 2 =+ ba 9b 2 =⇒ Vì 2c=F 1 F 2 nên ta có: 522 =c 5=⇒ c 5 2 =⇒ c Từ đó, suy ra: 1459 222 =+=+= cba Vậy phương trình chính tắc của (E) là: 1 914 22 =+ yx Đáp số: a) 1 914 22 =+ yx §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 2. Phương trình chính tắc của elip Ví dụ 1: Cho 3 điểm ( ) ( ) 0;5 ,0;5 21 FF − ( ) .3;0I và a) Viết phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F 1 , F 2 và đi qua I. b) Khi M chạy trên elip đó, khoảng cách MF 1 có GTNN và GTLN bằng bao nhiêu? Giải b) Ta có: Đáp số: a) 1 914 22 =+ yx a cx aMF += 1 Mà: axa ≤≤− a ca aMF a ca a +≤≤−⇒ 1 caMFca +≤≤−⇒ 1 Vậy: axcaMF −=−=−= khi 514 min1 axcaMF =+=+= khi 514 max1 b) axcaMF −=−=−= khi 514 min1 axcaMF =+=+= khi 514 max1 §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 2. Phương trình chính tắc của elip Ví dụ 1: Cho 3 điểm ( ) ( ) 0;5 ,0;5 21 FF − ( ) .3;0I và a) Viết phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F 1 , F 2 và đi qua I. b) Khi M chạy trên elip đó, khoảng cách MF 1 có GTNN và GTLN bằng bao nhiêu? Giải b) Ta có: Đáp số: a) 1 914 22 =+ yx a cx aMF += 1 Mà: axa ≤≤− a ca aMF a ca a +≤≤−⇒ 1 caMFca +≤≤−⇒ 1 Vậy: axcaMF −=−=−= khi 514 min1 axcaMF =+=+= khi 514 max1 b) axcaMF −=−=−= khi 514 min1 axcaMF =+=+= khi 514 max1 [...]... = a 4b 4.1 4 ⇒ a2 = 4 Vậy elip cần tìm có phương trình chính tắc là: x2 y2 + =1 4 1 2 2 2 Ta có: c = a − b = 4 − 1 = 3 Vậy các tiêu điểm của (E) là: F1 − 3;0 và F1 3;0 ( ) ( ) §5 ĐƯỜNG ELIP 1 Định nghĩa đường elip: ( E ) = { M | MF1 + MF2 = 2a, a > c > 0, F1F2 = 2c} F1, F2 được gọi là các tiêu điểm của elip F1F2=2c được gọi là tiêu cự của elip 2 Phương trình chính tắc của elip: Phương trình chính tắc:...§5 ĐƯỜNG ELIP 2 Phương trình chính tắc của elip Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm M ( 0;1) và  3  N 1;  2  Xác định tọa độ các tiêu   điểm của elip đó Giải Phương trình chính tắc của elip (E) x2 y2 có dạng: a 2 + b 2 =1 ,a > b > 0 Vì M ( 0;1) ∈(E) nên ta có: 0 2 12 + 2 = 1 ⇒ b2 . I(2 ;-3 ), bán kính R=4. (2) Không phải là phương trình đường tròn vì các hệ số của x 2 và y 2 không bằng nhau. §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP. điểm của elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip. Định nghĩa: §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 2. Phương trình chính tắc của elip O x y (-c;0) (c;0)