Đang tải... (xem toàn văn)
dao động điều hòa của một con lắc lò xo thẳng đứng không tắt dần. dao động điều hòa là một dạng dao động mà chuyển động của có thể mô tả bởi những hàm số tuần hoàn của thời gian
Các nguyên tử trong phân tử dao độngnhư thế nào?Lý LêNgày 6 tháng 8 năm 2009Tóm tắt nội dungSự dao động của phân tử hai nguyên tử rất giống với sự dao độngđiều hòa của con lắc lò xo cực nhỏ. Trong phần này, chúng ta sẽ giảiphương trình Schr¨odinger cho hệ dao động điều hòa để tìm hàm sóngvà các mức năng lượng được phép, từ đó áp dụng vào phân tử. Đâylà một phương trình vi phân khá phức tạp, thường được giải bằngphương pháp chuỗi lũy thừa. Vì vậy, trước hết, ta bàn về phương phápchuỗi lũy thừa cho phương trình vi phân.1 Nghiệm chuỗi lũy thừa của phương trình vi phânCho đến thời điểm này, chúng ta chỉ mới xét đến những trường hợp mà hàmthếnăng V (x) là hằng số; nghĩa là phương trình Schr¨odinger là một phươngtrình vi phân thuần nhất tuyến tính bậc hai với hệ số không đổi. Tuy nhiên,thực tếta sẽ gặp những trường hợp mà thếnăng V thay đổi theo tọa độ.Khi đó, phương trình Schr¨odinger sẽ trở nên rất khó tìm nghiệm ở dạng tổhợp của các hàm số sơ cấp xác định. Điều này cũng xảy ra ngay cả khi cácphương trình vi phân có dạng rất đơn giản. Chẳng hạn phương trình sauy− 3xy+2y =0Đây là phương trình vi phân cấp hai, hệ số hàm nhưng ta không thể tìmđược một nghiệm riêng dưới dạng hàm số sơ cấp như đã tiến hành cho hạttrong hộp một chiều. Một trong các phương pháp thông dụng để giải nhữngphương trình vi phân dạng này là ứng dụng lí thuyết chuỗi để tìm nghiệmcủa phương trình dưới dạng chuỗi lũy thừay = c0+ c1x + c2x2+ ···+ cnxn(1)Sau đây, chúng ta sẽ minh họa bằng cách giải một phương trình vi phânrất đơn giản như sauy(x)=y(x) (2)với điều kiện biên y(0) = 1.1 Đây là một phương trình vi phân thuần nhất tuyến tính bậc nhất với hệsố không đổi. Ta có phương trình bổ trợ của (2) làs − 1=0 ⇒ s =1Vậy nghiệm của (2) lày(x)=ex(3)Bây giờ, ta giải (2) bằng phương pháp chuỗi lũy thừa. Giả sử nghiệmcủanócódạngy(x)=c0+ c1x + c2x2+ c3x3+ ···+ cnxn=∞n=0cnxn(4)Lấy đạo hàm bậc nhất (4) ta đượcy(x)=c1+2c2x +3c3x2+ ···+ ncnxn−1=∞n=1ncnxn−1(5)Thế(4) và (5) vào (2), ta đượcc1+2c2x +3c3x2+ ···+ ncnxn−1= c0+ c1x + c2x2+ ···+ cnxn(6)Phương trình (6) đúng khi các hệ số ở hai vếvới cùng lũy thừa x bằng nhau.Nghĩa là, ta cóc1= c02c2= c13c3= c2 .ncn= cn−1Từ đó, ta cóc1= c0c2=c12=c02=c01 · 2=c02!c3=c23=c06=c01 · 2 · 3=c03! .cn=cn−1n=c01 · 2 · 3···n=c0n!Thếcáchệsốtìmđượcởtrênvàophươngtrìnhy(x)=c0+ c1x + c2x2+ c3x3+ ···+ cnxn2 Ta đượcy(x)=c01+x +x22!+x33!+ ···+xnn!Áp dụng điều kiện y(0) = 1,tasuyrac0=1và do đó nghiệm của (2) lày(x)=1+x +x22!+x33!+ ···+xnn!(7)Từ (3) và (7) ta thấyex=1+x +x22!+x33!+ ···+xnn!(8)Đây chính là công thức khai triển Taylor cho hàm extheo lũy thừa xn.Kếtquả khai triển càng chính xác khi n càng lớn.2 Dao động điều hòa trong không gian một chiều2.1 Quan điểm của cơ học cổ điểnMột hạt khối lượng m chuyển động trong trường thếnăng V (x)=12kx2sẽchịu một lực tác dụng được xác định như sauFx= −dVdx= −kx (9)với k là hằng số lực. Theo định luật thứ hai Newton, F = ma,tacó−kx = mdx2(t)dt2(10)với t là thời gian. Đặt ω =km, phương trình (10), trở thànhx(t)+ω2x(t)=0 (11)Phương trình bổ trợ của (11) làs2+ ω2=0⇒ s2= −ω2= i2ω2⇒ s = ±iωNhư vậy, nghiệm của (11) làx(t)=c1eiωt+ c2e−iωt(12)3 Áp dụng phương trình dạng mũ của số phức, ta biến đổi (12) thànhx(t)=(c1+ c2)cos(ωt)+i(c1− c2)sin(ωt)hayx(t)=C1cos(ωt)+C2sin(ωt) (13)Mặt khác, ta cósin(a + b)=sina cos b +cosa sin bDo đó, ta có thể viết lại (13) như saux(t)=A sin(ωt + ϕ0) (14)Trong đó, A được gọi là biên độ dao động cực đại của x; ϕ0là hệ số góc. Haihằng số này được xác định từ điều kiện ban đầu. Đại lượng T =2πωđượcgọi là chu kì dao động (Hz). Đại lượng ν =1Tđược gọi là tần số (s−1)ν =1T=ω2π=12πkm(15)Như vậy tần số dao động điều hòa tỉ lệ thuận với hằng số lực k và tỉ lệnghịch với khối lượng m.Vận tốc dao động được xác định như sauv(t)=dx(t)dt= Aω cos(ωt + ϕ0)Năng lượng của hạt bằng tổng động năng và thếnăngE = T + V =12mv2+12kx2(16)E =12mA2ω2cos2(ωt + ϕ0)+12kA2sin2(ωt + ϕ0) (17)Thế ω =k/m và áp dụng sin2x +cos2x =1, ta đượcE =12kA2[cos2(ωt + ϕ0)+sin2(ωt + ϕ0)] =12kA2(18)2.2 Quan điểm của cơ học lượng tử2.2.1 Phương trình Schr¨odinger của dao động điều hòaCác toán tử động năng và thếnăng của dao động điều hòa trong không gianmột chiều như sauT = −22md2dx2;V = V (x)=12kx2(19)4 Hamiltonian của dao động điều hòa làH =T +V = −22md2dx2+12kx2(20)Như vậy, phương trình Schr¨odinger không phụ thuộc thời gian trong trườnghợp này được viết như sau−22md2dx2+12kx2ψ(x)=Eψ(x) (21)Đơn giản phương trình trên bằng cách nhân với −2m2, ta đượcd2ψ(x)dx2−mkx22ψ(x)=−2mE2ψ(x) (22)hayd2ψ(x)dx2=mkx22−2mE2ψ(x) (23)Đây là một phương trình vi phân không tuyến tính. Nó tương tự như mộtphương trình vi phân đã được giải bởi Charles Hermite, nhà toán học Pháp.2.2.2 Hàm sóng của dao động điều hòa ở trạng thái cơ bảnGiả sử tại một số điểm nào đó nghiệm của (23) có dạngψ(x)=ce−bx2(24)với b, c là những hằng số. Như vậy, ta códψ(x)dx= −2bcxe−bx2(25)d2ψ(x)dx2= −2bce−bx2+4b2cx2e−bx2(26)Thế(24) và (26) vào (23), ta được−2bce−bx2+4b2cx2e−bx2=mkx22ce−bx2−2mE2ce−bx2(27)Chia hai vế(27) cho ce−bx2ta được4b2x2− 2b =mk2x2−2mE2(28)Từ đó ta suy ra4b2=mk2và − 2b = −2mE2⇒ b =√mk/2 và E = b2m=2km5 Mặt khác, ta có tần số dao động điều hòa được tính bởiν =12πkm⇒km=2πνDo đóE =2km=22πν =h2ππν =12hν (29)Tóm lại, với b =√mk/2 và E =12hν,hàmψ(x)=ce−bx2thỏa mãn phương trình Schr¨odinger cho hệ dao động điều hòa. Sử dụng giátrị b đã tìm được, ta viết lại nghiệm ψ(x) như sauψ(x)=ce−(√mk)x2/2(30)Trong đó c là hằng số chuẩn hóa. Đây chính là hàm sóng của dao động điềuhòa ở trạng thái cơ bản. Năng lượng của dao động điều hòa ở trạng thái cơbản là E =12hν.2.2.3 Các mức năng lượng của dao động điều hòaSau đây, chúng ta sẽ giải phương trình Schr¨odinger của dao động điều hòamột cách có hệ thống hơn so với cách chúng ta đã tiến hành ở trên. Ta viếtlại phương trình sóng (23) như saud2ψdx2+2mE2−mk2x2ψ =0 (31)Đặtα =2mE2; β2=mk2(32)Phương trình (31) trở thànhd2ψdx2+(α − β2x2)ψ =0 (33)Thực hiện đổi biến phương trình (33) bằng cách đặtz =βx ⇒d2dx2= βd2dz2(34)Do đó, (33) tương đương vớiβd2ψdz2+(α − βz2)ψ =0 (35)6 hayd2ψdz2+(αβ− z2)ψ =0 (36)Nghiệm ψ(z) của (36) có thể được viết dưới dạng tích của hai hàm u(z)và e−z2/2như sau1ψ(z)=u(z)e−z2/2(37)Từ đó, ta có các đạo hàm bậc nhất ψ(z) và đạo hàm bậc hai ψ(z)ψ= ue−z2/2− uze−z2/2(38)ψ= ue−z2/2− uze−z2/2− uze−z2/2− ue−z2/2+ uz2e−z2/2(39)Đơn giản (39), ta đượcψ= ue−z2/2− 2uze−z2/2− ue−z2/2+ uz2e−z2/2(40)Thế(37) và (40) vào (36), sau khi rút gọn, ta đượcd2udz2− 2zdudz+αβ− 1u =0 (41)Nếu ta đặtαβ− 1=2n, thì (41) trở thànhd2udz2− 2zdudz+2nu =0 (42)Phương trình vi phân có dạng như (42) được gọi là phương trình Her-mite. Nghiệm của phương trình Hermite được gọi là các đa thức Hermite(Hermite polynomials).Trước khi giải (42), chúng ta xét các mức năng lượng của dao động điềuhòa. Ta cóαβ− 1=2n ⇒αβ=2n +1 (43)Vớiα =2mE2; β =mk2⇒αβ=2n +1=2Emk(44)Từ đó, ta tính đượcE =(n +12)km(45)1Nghiệm e−z2/2được gọi là nghiệm tiệm cận, khi z →∞7 Vì =h2πvà ν =12πkmnên (45) trở thànhE =(n +12)hν (46)Phương trình (46) là biểu thức tính năng lượng của dao động điều hòa.Chúng ta lưu ý vì năng lượng được lượng tử hóa nên số lượng tử n củadao động điều hòa nhận những giá trị nguyên không âm. Khi n =0,tacóE =12hν và được gọi là năng lượng điểm không (zero-point energy).Năng lượng điểm không có thể được xem là năng lượng của những daođộng điều hòa ở không độ tuyệt đối. Nếu năng lượng điểm không bằng zerothì cả động năng và thếnăng của nó cũng đều bằng zero. Động năng bằngzero nghĩa là Δpx=0. Thếnăng bằng zero nghĩa là hạt sẽ luôn đứng yêntại một điểm, hay Δx =0. Tuy nhiên, theo nguyên lí bất định thì ΔpxvàΔx không thể đồng thời bằng zero. Như vậy, sự tồn tại của năng lượng điểmkhông là phù hợp với nguyên lí bất định Heisenberg.2.2.4 Hàm sóng của dao động điều hòaBây giờ chúng ta giải phương trìnhd2udz2− 2zdudz+2nu =0 (47)bằng phương pháp chuỗi lũy thừa.Nghiệm u(z) được viết dưới dạng chuỗi lũy thừa như sauu(z)=a0+ a1z + a2z2+ ···=∞k=0akzk(48)Lần lượt lấy đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai (48), ta đượcu(z)=a1+2a2z +3a3z2+ ···=∞k=1kakzk−1(49)u(z)=2a2+6a3z +12a4z2+ ···=∞k=2k(k − 1)akzk−2(50)Thế(49) và (50) vào phương trình (47), ta được∞k=2k(k − 1)akzk−2− 2z∞k=1kakzk−1+2n∞k=0akzk=0 (51)∞k=2k(k − 1)akzk−2−∞k=12kakzk+∞k=02nakzk=0 (52)8 Đặt υ = k − 2,suyrak = υ +2. Khi đó, ta có∞k=2k(k − 1)akzk−2=∞υ=0(υ +2)(υ +1)aυ+2zυ(53)Theo lí thuyết chuỗi, ta có∞υ=0(υ +2)(υ +1)aυ+2zυ=∞k=0(k +2)(k +1)ak+2zk(54)vì υ và k là những biến số giả (dummy variables). Ví dụ, ta so sánh haichuỗi2i=0cixi= c1x1+ c2x2=2j=0cjxj= c1x1+ c2x2Mặt khác, ta có∞k=12kakzk=∞k=02kakzk(55)vì khi k =0thì số hạng đầu tiên trong chuỗi là 2 × 0 × a0× t0=0.Do đó, phương trình (52) được viết lại như sau∞k=0(k +2)(k +1)ak+2zk−∞k=02kakzk+∞k=02nakzk=0 (56)Từ đó, ta có∞k=0(k +2)(k +1)ak+2− 2kak+2nakzk=0 (57)Để (57) đúng với mọi giá trị z thì biểu thức trong dấu móc vuông phải bằngzero(k +2)(k +1)ak+2− 2kak+2nak=0 (58)ak+2= −2n − 2k(k +2)(k +1)ak(k =0, 1, 2, .) (59)Phương trình (59) được gọi là công thức hồi qui (recursion formula).Dựa vào công thức hồi qui, nếu biết a0ta sẽ tính được các giá trị a2k;nếubiết a1ta sẽ tính được các giá trị a2k+1.Vídụk =0:a2= −2n − 0(0 + 2)(0 + 1)a0= −na0k =1:a3= −2n − 2(1 + 2)(1 + 1)a1= −n − 13a1k =2:a4= −2n − 4(2 + 2)(2 + 1)a2= −n − 26a2=n(n − 2)6a0k =3:a5= −2n − 6(3 + 2)(3 + 1)a3= −n − 310a3=(n − 3)(n − 1)30a19 Sau đây, ta trình bày lại các kết quả trêna2= −na0a3= −n − 13a1= −2n − 12 · 3a1= −2(n − 1)3!a1a4=n(n − 2)6a0=4n(n − 2)2 · 3 · 4a0=22n(n − 2)4!a0a5=(n − 3)(n − 1)30a1=4(n − 3)(n − 1)2 · 3 · 4 · 5a1=22(n − 3)(n − 1)5!a1Do đó, nghiệm u(z) được viết như sauu(z)=a0+ a1z + a2z2+ a3z3++a4z4···= a0+ a1z − na0z2−2(n − 1)3!a1z3+22n(n − 2)4!a0z4+ ···= a0(1 − nz2+22n(n − 2)4!z4+ ···)+a1(z −2(n − 1)3!z3+ ···)Đặtu1(z)=1− nz2+22n(n − 2)4!z4+ ···u2(z)=z −2(n − 1)3!z3+ ···⇒ u(z)=a0u1(z)+a1u2(z) (60)Như vậy, nếu n là số nguyên không âm thì nghiệm của phương trìnhHermite là những đa thức, được gọi là đa thức Hermite và có thể đượcviết như sauHn(z)=(−1)nez2dndzne−z2(61)Sau đây là một số đa thức Hermite đầu tiênH0(z)=1H1(z)=2zH2(z)=4z2− 2H3(z)=8z3− 12zH4(z)=16z4− 48z2+12Hàm sóng của dao động điều hòa có dạngψn= NnHn(z)e−z2/2(n =0, 1, 2, .) (62)với Nnlà hằng số chuẩn hóa hàm sóng. Ta thấy, hàm sóng bằng zero khiHn(z)=0. Ví dụ, với n =1thì H1(z)=0tại z =0vàhàmsóngcómột10 [...]... qui H n+1 (x)=2xH n (x) − 2nH n−1 (x)(n>0) (72) 14 Các nguyên tử trong phân tử dao động như thế nào? Lý Lê Ngày 6 tháng 8 năm 2009 Tóm tắt nội dung Sự dao động của phân tử hai nguyên tử rất giống với sự dao động điều hòa của con lắc lò xo cực nh. Trong phn ny, chỳng ta s gii phng trỡnh Schrăodinger cho hệ dao động điều hịa để tìm hàm sóng và các mức năng lượng được phép, từ đó áp dụng vào phân tử.... cách giải một phương trình vi phân rất đơn giản như sau y (x)=y(x) (2) với điều kiện biên y(0) = 1. 1 Vì = h 2π và ν = 1 2π k m nên (45) trở thành E =(n + 1 2 )hν (46) Phương trình (46) là biểu thức tính năng lượng của dao động điều hịa. Chúng ta lưu ý vì năng lượng được lượng tử hóa nên số lượng tử n của dao động điều hịa nhận những giá trị ngun khơng âm. Khi n =0,tacó E = 1 2 hν và được gọi... =0,tacó E = 1 2 hν và được gọi là năng lượng điểm khơng (zero-point energy). Năng lượng điểm khơng có thể được xem là năng lượng của những dao động điều hòa ở không độ tuyệt đối. Nếu năng lượng điểm không bằng zero thì cả động năng và thếnăng của nó cũng đều bằng zero. Động năng bằng zero nghĩa là Δp x =0. Thếnăng bằng zero nghĩa là hạt sẽ luôn đứng yên tại một điểm, hay Δx =0. Tuy nhiên, theo nguyên lí... phương trình vi phân u (x)+(2− x 2 )u(x)=0 3. Hàm sóng của dao động điều hịa ở trạng thái cơ bản và ở trạng thái kích thích thứ nhất như sau ψ 0 (x)=c 0 e −βx 2 /2 ψ 1 (x)=c 1 xe −βx 2 /2 a. Xác định các hằng số c 0 và c 1 b. Chứng minh rằng ψ 0 (x) và ψ 1 (x) trực giao với nhau. 4. Tính các giá trị trung bình T và V của dao động điều hịa ở trạng thái điểm khơng T = +∞ −∞ ψ ∗ 0 Tψ 0 dx V... tử 12 C 16 O có mũi cực đại tại ¯ν = 2143 cm −1 . Chúng ta thử xác định hằng số lực k của 12 C 16 O, xem sự dao động của hai nguyên tử C và O dọc theo trục liên kết là một dao động điều hòa. Cũng giống như nhiều phân tử hai nguyên tử khác, ở điều kiện thường thì phân tử CO chủ yếu nằm ở trạng thái điểm không. Khi bị kích thích nó sẽ lên trạng thái thứ nhất, ứng với sự dịch chuyển từ mức năng lượng E 0 → E 1 . Như... − IR). Phổ dao động của phân tử còn được gọi là phổ IR hay phổ hồng ngoại. Ngược lại, để kích thích phân tử HCl từ trạng thái điểm không lên trạng thái kích thích thứ nhất, ta cần cung cấp một năng lượng 0, 36 eV . 3.2 Xác định hằng số lực của 12 C 16 O Phổ hồng ngoại của phân tử 12 C 16 O có mũi cực đại tại ¯ν = 2143 cm −1 . Chúng ta thử xác định hằng số lực k của 12 C 16 O, xem sự dao động của hai nguyên... (22) hay d 2 ψ(x) dx 2 = mkx 2 2 − 2mE 2 ψ(x) (23) Đây là một phương trình vi phân khơng tuyến tính. Nó tương tự như một phương trình vi phân đã được giải bởi Charles Hermite, nhà tốn học Pháp. 2.2.2 Hàm sóng của dao động điều hòa ở trạng thái cơ bản Giả sử tại một số điểm nào đó nghiệm của (23) có dạng ψ(x)=ce −bx 2 (24) với b, c là những hằng số. Như vậy, ta có dψ(x) dx = −2bcxe −bx 2 (25) d 2 ψ(x) dx 2 = −2bce −bx 2 +4b 2 cx 2 e −bx 2 (26) Thế(24)...Hamiltonian của dao động điều hòa là H = T + V = 2 2m d 2 dx 2 + 1 2 kx 2 (20) Nh vy, phng trỡnh Schrăodinger khụng ph thuc thi gian trong trường hợp này được viết như sau − 2 2m d 2 dx 2 + 1 2 kx 2 ψ(x)=Eψ(x)... được viết như sau H n (z)=(−1) n e z 2 d n dz n e −z 2 (61) Sau đây là một số đa thức Hermite đầu tiên H 0 (z)=1 H 1 (z)=2z H 2 (z)=4z 2 − 2 H 3 (z)=8z 3 − 12z H 4 (z)=16z 4 − 48z 2 +12 Hàm sóng của dao động điều hịa có dạng ψ n = N n H n (z)e −z 2 /2 (n =0, 1, 2, ) (62) với N n là hằng số chuẩn hóa hàm sóng. Ta thấy, hàm sóng bằng zero khi H n (z)=0. Ví dụ, với n =1thì H 1 (z)=0tại z =0vàhàmsóngcómột 10 ... Δx =0. Tuy nhiên, theo nguyên lí bất định thì Δp x và Δx khơng thể đồng thời bằng zero. Như vậy, sự tồn tại của năng lượng điểm không là phù hợp với ngun lí bất định Heisenberg. 2.2.4 Hàm sóng của dao động điều hịa Bây giờ chúng ta giải phương trình d 2 u dz 2 − 2z du dz +2nu =0 (47) bằng phương pháp chuỗi lũy thừa. Nghiệm u(z) được viết dưới dạng chuỗi lũy thừa như sau u(z)=a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + . của dao động điềuhòa ở trạng thái cơ bản. Năng lượng của dao động điều hòa ở trạng thái cơbản là E =12hν.2.2.3 Các mức năng lượng của dao động điều hòaSau. lượng tử2.2.1 Phương trình Schr¨odinger của dao động điều hòaCác toán tử động năng và thếnăng của dao động điều hòa trong không gianmột chiều như sauT =