1 MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1 Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêng yêu cầu cấp bách ngành Giáo dục nước ta Một khâu then chốt để thực yêu cầu đổi nội dung phương pháp dạy học Định hướng đổi phương pháp dạy học rõ văn có tính chất pháp quy Nhà nước ngành Giáo dục nước ta Có thể dẫn vài văn ban hành năm qua sau: - Luật Giáo dục (1998) quy định: “…Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn…” - Dự thảo chương trình (1989) môn Toán nêu rõ: “ Góp phần phát triển lực trí tuệ, tư trừu tượng trí tưởng tượng không gian, tư biện chứng, tư hàm…; đồng thời rèn luyện phẩm chất tư linh hoạt, độc lập, sáng tạo…” Tuy nhận thức rõ tầm quan trọng định hướng đổi phương pháp nêu thực tế dạy học chịu ảnh hưởng nhiều quan niệm phương pháp dạy học xưa cũ Nhận định vấn đề có không nhà nghiên cứu đưa ý kiến, đặt nhiều vấn đề cho ngành Giáo dục giáo viên suy nghĩ, tháo gỡ Sau số ý kiến vậy: - Ý kiến GS Hoàng Tụy: "Ta chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ dạy mẹo vặt để giải toán ăm, giả tạo; chẳng giúp để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mỏi mệt chán chường" - Ý kiến GS Nguyễn Cảnh Toàn: “Kiến thức, tư duy, tính cách người mục tiêu giáo dục Thế nhưng, nhà trường tư tính cách bị chìm kiến thức" 1.2 Kiến thức kỹ hai mặt gắn bó hữu nội dung dạy học Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kỹ thực loại hoạt động không ý trang bị kiến thức lĩnh vực cách vững Ngược lại, việc rèn luyện kỹ thực hoạt động lĩnh vực có tác dụng củng cố mở rộng kiến thức, giúp cho người học tìm thấy tác dụng to lớn kiến thức học việc giải tình thực tiễn khoa học Chủ đề phương trình bất phương trình có vị trí quan trọng chương trình môn Toán THPT Kiến thức kỹ chủ đề có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp Những kiến thức phương trình bất phương trình chìa khoá để giải nhiều vấn đề thuộc hầu hết chủ đề kiến thức Đại số, Giải tích Hình học, đặc biệt Hình học giải tích Vì bên cạnh việc giảng dạy kiến thức lý thuyết chủ đề phương trình, bất phương trình cách đầy đủ theo quy định chương trình, việc rèn luyện kỹ giải phương trình bất phương trình cho học sinh có ý nghĩa quan trọng việc nâng cao chất lượng dạy học nhiều nội dung môn Toán trường THPT Kiến thức hàm số có vai trò quan trọng toàn chương trình môn Toán phổ thông Điều khẳng định không nước ta mà đề cập đến nhiều ý kiến nhà khoa học nước Ta thấy điều qua ý kiến trích từ [16] sau đây: - Ý kiến Kơlanh khởi xướng phong trào cải cách việc dạy học Toán trường phổ thông đầu kỷ XX đề nghị: Đưa vào giáo trình toán phổ thông, lấy tư tưởng hàm số biến hình làm tư tưởng quan trọng nhất.Kiến nghị Hội nghị Quốc tế giáo dục quốc dân họp Giơnevơ (tháng năm 1956) gửi vị Bộ trưởng Giáo dục nước nêu rõ: Nên xây dựng chương trình cho việc dạy Toán dựa sở hàm số - Ý kiến GS Papy Hội nghị Quốc tế nhà toán học họp Matxcơva (tháng năm 1966) đề nghị: Chương trình toán Trung học (cấp II II) phải bao gồm: Tập hợp, Quan hệ, Đồ thị, Nhóm, Không gian vectơ, Các yếu tố phép tính vi phân tích phân Việt Nam, chương trình môn Toán cải cách giáo dục chương trình đổi năm gần trọng đến kiến thức hàm số Trong [24], GS Nguyễn Bá Kim cho "Đảm bảo vị trí trung tâm khái niệm hàm số" "những tư tưởng bản" chương trình môn Toán bậc THPT Khi phân tích tư tưởng tác giả nhấn mạnh: - Nghiên cứu hàm số coi nhiệm vụ xuyên suốt chương trình bậc Phổ thông Trung học; - Phần lớn chương trình Đại số Giải tích dành cho việc trực tiếp nghiên cứu hàm số công cụ khảo sát hàm số; - Cấp số cộng cấp số nhân nghiên cứu hàm số đối số tự nhiên; - Lượng giác chủ yếu nghiên cứu hàm số lượng giác phần công thức giảm nhẹ; Phương trình bất phương trình trình bày liên hệ chặt chẽ với hàm số 1.3 Gắn bó chặt chẽ với tư tưởng hàm số, tư tưởng biến hình, tư tưởng tương ứng đơn trị tập hợp, vật tượng vấn đề tư hàm Những đặc trưng tư hàm tác giả Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Văn Thường [25] Phát triển tư hàm có ý nghĩa quan trọng dạy học toán, vừa yêu cầu việc dạy học môn Toán, vừa điều kiện để nâng cao chất lượng dạy học nhiều tuyến kiến thức môn Toán Việc dạy học kiến thức môn Toán trình bày theo tư tưởng hàm số có tác dụng tốt việc phát triển tư hàm cho học sinh đồng thời rèn luyện nhiều kỹ giải toán ứng dụng kiến thức toán cho học sinh kết hợp phát triển tư hàm 1.4 Có số công trình nghiên cứu biện pháp nâng cao chất lượng dạy học nội dung Phương trình, bất phương trình Nhiều công trình nghiên cứu phát triển tư hàm cho học sinh thông qua dạy học chủ đề kiến thức cụ thể Dựa kết nghiên cứu đó, tập trung xét vấn đề rèn luyện kỹ giải toán phương trình cho học sinh phối hợp hữu với vấn đề phát triển tư hàm Vì vậy, chọn đề tài luận văn là: “Phối hợp rèn luyện kỹ giải toán phương trình với phát triển tư hàm cho học sinh THPT dạy học Đại số Giải tích " MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Xác định mối quan hệ tương hỗ việc rèn luyện kỹ giải phương trình, bất phương trình với việc phát triển tư hàm cho học sinh dạy học Đại số Giải tích nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán trường THPT NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3.1 Hệ thống hoá vấn đề lý luận kỹ quan điểm rèn luyện kỹ toán học cho học sinh 3.2 Hệ thống hoá kỹ giải toán phương trình, bất phương trình cần rèn luyện cho học sinh THPT 3.3 Hệ thống hoá thành tố tư hàm quan điểm phát triển tư hàm cho học sinh dạy học toán 3.4 Đề xuất quan điểm rèn luyện kỹ giải toán phương trình, bất phương trình phối hợp với việc phát triển tư hàm cho học sinh THPT thông qua dạy học Đại số Giải tích 3.5 Thực nghiệm sư phạm, kiểm tra tính khả thi hiệu áp dụng GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Trên sở dạy học chương trình quy định, áp dụng phương pháp dạy học sử dụng phương tiện có, trình dạy học giáo viên quan tâm phối hợp việc rèn luyện kỹ giải toán với việc phát triển tư hàm cho học sinh chất lượng dạy học môn Toán (thể qua khả giải toán phương trình, bất phương trình học sinh) cải thiện PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu vấn đề Tâm lý học, Giáo dục học, Lý luận dạy học, Toán học, Triết học, Thống kê giáo dục có liên quan đến đề tài 5.2 Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, Điều tra 5.3 Thực nghiệm sư phạm ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN 6.1 Hệ thống hoá vấn đề lý luận liên quan đến đề tài 6.2 Đề xuất số quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ giải toán phương trình với phát triển tư hàm CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có chương: Chương 1: Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài 1.1 Một số đổi nội dung phương pháp dạy học 1.1.1 Một số đổi nội dung 1.1.2 Đổi phương pháp dạy học 1.2 Kỹ vấn đề rèn luyện kỹ toán học cho học sinh 1.2.1 Khái niệm kỹ 1.2.2 Vấn đề rèn luyện kỹ toán học cho học sinh 1.3 Tư hàm vấn đề phát triển tư hàm cho học sinh 1.3.1 Tư hàm 1.3.2 Vấn đề phát triển tư hàm thông qua dạy học phương trình 1.4 Kết luận chương Chương 2: Phối hợp rèn luyện kỹ giải toán phương trình với phát triển tư hàm cho học sinh THPT 2.1 Phân tích nội dung chủ đề Phương trình môn Toán THPT 2.1.1 Về chủ đề phương trình, bất phương trình 2.1.2 Các kỹ cần rèn cho học sinh giải toán phương trình 2.2 Rèn kỹ giải toán phương trình dựa vào tư tưởng chủ đạo tư hàm 2.2.1 Rèn kỹ vận dụng dạng phương trình mẫu 2.2.2 Rèn kỹ biến đổi phương trình 2.2.3 Rèn kỹ giải phương trình thông qua đánh giá giá trị biểu thức thành phần 2.2.4 Rèn kỹ chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu toán 2.2.5 Rèn kỹ giải phương trình thông qua xét biến thiên hàm số 2.3 Phát triển tư hàm cho học sinh thông qua giải toán phương trình 2.3.1 Tìm miền xác định tương ứng hàm thông qua giải toán phương trình, bất phương trình 2.3.2 Tìm giá trị vào, giá trị tương ứng thông qua giải toán phương trình 2.3.3 Xét tính chất tương ứng hàm thông qua giải toán phương trình, bất phương trình 2.3.4 Định hướng sử dụng phương trình, bất phương trình trình lợi dụng tương ứng hàm để giải vấn đề 2.4 Kết luận chương Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 3.1 Mục đích thực nghiệm 3.2 Tổ chức nội dung thực nghiệm 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm 3.4 Kết luận chung thực nghiệm CHƯƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ LUẬN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI 1.1 MỘT SỐ ĐỔI MỚI VỀ NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC 1.1.1 Một số đổi nội dung Chương trình sách giáo khoa (SGK) có thay đổi nội dung cách trình bày như: - Đưa thêm vào số nội dung Toán học cho hoàn chỉnh chương trình THPT, Số phức, Thống kê, Tổ hợp, Xác suất… Sắp xếp nội dung chương trình theo hệ thống để dễ dạy, dễ học phần toạ độ mặt phẳng chương trình lớp 12 đưa vào cuối lớp 10 giảm nhẹ phần đường cônic Đồng thời nhấn mạnh liên hệ phần khác chương trình Toán cấp, lớp, môn học Chẳng hạn đưa phần Đạo hàm xuống lớp 11 để giúp kịp thời cho dạy học môn Vật lý đầu lớp 12 - Cách viết SGK từ trước đến mang tính hàn lâm: Thông báo kiến thức, trình bày vấn đề lôgíc chặt chẽ; đưa nhiều toán khó nên thiếu tính sư phạm SGK chưa thể phương pháp dạy học tích cực Theo cách viết SGK cách giảng dạy cũ, SGK đơn tài liệu khoa học dùng cho giáo viên, nội dung tiết dạy thường viết cô đọng, nêu định nghĩa khái niệm mới, sau tính chất chứng minh, định lý chứng minh, cuối ví dụ toán Theo định hướng đổi mới, SGK phải trình bày hướng dẫn thầy giáo, học sinh tự học được, cố nhiên khó khăn vất vả SGK nêu nhiều câu hỏi, đề nhiều hoạt động lớp mà giáo viên thay đổi cho thích hợp để phát huy tính tích cực học tập học sinh, học sinh suy nghĩ hoạt động nhiều Nhiều câu hỏi đặt nhằm giúp học sinh nhớ lại kiến thức để gợi ý, để định hướng cho suy nghĩ họ… Các câu hỏi nói chung dễ, không đưa câu trả lời SGK SGK theo tinh thần tinh giảm nội dung phức tạp, giảm bớt suy luận hình thức, trừu tượng, giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ yếu giảm nhẹ chứng minh tính chất định lý Một số tính chất hiển nhiên không nêu ra, định lý chứng minh phức tạp nêu trường hợp cụ thể để kiểm chứng mà không cần phải chứng minh SGK theo tinh thần tăng cường nội dung thực tiễn, thiết thực, điều gần gũi với sống học sinh trường hợp Chẳng hạn, phần véctơ, đưa thêm ứng dụng Vật lý: Tổng hợp lực, phân tích lực… Ngoài ra, SGK đưa thêm phần như: Có thể em chưa biết, em có biết, đọc thêm, để nói thêm chi tiết hay, thú vị gây hứng thú học tập cho học sinh SGK hoạt động thời điểm để thầy, trò xem xét giải Những hoạt động đa dạng, ôn lại kiến thức cũ, đặt vấn đề cho kiến thức mới, qua ví dụ cụ thể gợi ý phương pháp giải vấn đề hay toán đặt ra, thực hành áp dụng trực tiếp công thức nêu lý thuyết Cách thức thực hoạt động đa dạng: Có thể thầy làm cho học sinh thực hiện, nêu thành vấn đề để lớp thảo luận tìm cách giải Tóm lại so với sách giáo khoa cũ sách giáo khoa lần thay đổi nhiều nội dung mà chủ yếu thay đổi cách trình bày để học sinh học tập cách tích cực Những thay đổi sách giáo khoa tạo điều kiện để học sinh học tập cách tích cực hơn, từ giáo viên phối hợp rèn luyện kỹ với việc phát triển tư hàm cho học sinh qua dạy học Toán nói chung dạy học chủ đề phương trình nói riêng 1.1.2 Đổi phương pháp dạy học Thực tế dạy học Toán lâu cho thấy, coi trọng đến mục đích truyền thụ tri thức, thường giáo viên đưa định lý, tính chất giải thích cho học sinh thông hiểu chứng minh, vận dụng định lý, tính chất Phương pháp dạy học sử dụng phổ biến nhà trường phương pháp thuyết trình tràn lan, thầy truyền đạt kiến thức áp đặt, dạng có sẵn, yếu tố tìm tòi phát hiện, trò tiếp thu thụ động Đa số giáo viên nghĩ đến việc dạy đúng, dạy đủ, dạy nội dung chưa nghĩ đến cách dạy nào? Phần lớn giảng dạy họ coi đối tượng học sinh nên giảng nội dung, phương pháp tự cho hoàn thành nhiệm vụ Ngoài kiểu đánh giá thi cử ảnh hưởng rõ rệt tới phương pháp giảng dạy, đánh giá thi cử có lối dạy tương ứng đối phó ấy, dạy học theo kiểu "Thi - học nấy" Về thực trạng này, nhà toán học Nguyễn Cảnh Toàn nhận định: “Cách dạy phổ biến thầy đưa kiến thức (khái niệm, định lý) giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng công thức định lý để tính toán, chứng minh…” GS Hoàng Tụy phát biểu: “Ta chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải toán oăm, giả tạo, chẳng giúp đến việc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi chán nản …" Tóm lại, với kiểu dạy học tạo thói quen "Thầy giảng - Trò ghi", thầy truyền thụ kiến thức trò thụ động tiếp thu kiến thức, điều thầy nói coi tuyệt đối đúng, thầy giảng thường tranh luận thầy trò, phản hồi, thông tin ngược từ phía học sinh giảng Kiểu giảng dạy "một chiều" làm giảm hiệu suất tiếp 10 thu kiến thức hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo học sinh; không kiểm soát việc học Do việc đổi phương pháp dạy học xác định nội dung chủ yếu đổi giáo dục nước ta Quan điểm đổi phương pháp dạy học bao gồm đổi phương diện: cách dạy, cách học, cách tổ chức cách kiểm tra đánh giá Cốt lõi đổi dạy học hướng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Chuyển từ dạy học lấy giáo viên làm trung tâm sang dạy học lấy học sinh làm trung tâm, làm cho học sinh suy nghĩ nhiều hơn, hoạt động nhiều tiết học Thay lối dạy truyền thống truyền thụ chiều, thuyết trình, giảng giải kiến thức sẵn có, giáo viên cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, tự học, kỹ vận dụng vào thực tiễn, phù hợp với đặc điểm học sinh; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, tạo hứng thú học tập cho học sinh, tận dụng công nghệ áp dụng dạy học Dạy học theo quan điểm giáo viên không đơn giản cung cấp kiến thức mà phải thiết kế, tổ chức, hướng dẫn học sinh hoạt động để học sinh tích cực tham gia vào hoạt động học tập giáo viên tổ chức đạo Từ tự lực khám phá kiến thức chưa biết tiếp thu thụ động kiến thức sẵn có Giáo viên cần cài đặt tình thực tế để học sinh trực tiếp quan sát, làm thí nghiệm, thảo luận, giải theo cách riêng thân, từ học sinh lĩnh hội kiến thức Như vậy, chức vai trò giáo dục ngày "chuyển sang vai trò nhà tổ chức giáo dục", phương pháp dạy học trọng đến việc phát huy tối đa tính tích cực, độc lập học sinh, đề cao phương pháp tự học, "chuyển trình giáo dục sang trình tự giáo dục" Xóa bỏ cách học cũ không kích thích học sinh suy nghĩ, tìm tòi, rèn luyện trí thông minh, chuyển đổi chức từ thông báo, tái sang tìm tòi "Để phát huy tối đa tính tích cực học tập học sinh, tốt tổ chức tốt 107 thức, việc lợi dụng tương ứng, khả hữu tỷ hóa việc đưa ẩn  π π phụ lượng giác tỏ rõ tính hiệu Có thể đặt x = sin ϕ, ϕ∈  − ;   2 Ví dụ 2: Giải phương trình: ( 26 + 15 ) x ( +2 7+4 ) ( x −2 2− ) x =1 (3) Hoạt động tìm lời giải: Tìm mối quan hệ biểu thức phương trình: ( 7+4 = 2+ ( 26 + 15 = + 2− = ) ) ( ) ) ⇒ ( 26 + 15 ) = ( + ) ( ⇒ 7+4 x = 2+ 3 2x x ( ⇒ 2− 2+ ) x = 3x ( + 3) x Rõ ràng, việc giải phương trình nhìn phức tạp phát mối quan hệ biểu thức có phương trình, lợi dụng ( tương ứng đặt t = + ) x (với t > 0) ( 2− ) x = , t ( − ) ( + ) = nên chúng hai đại lượng nghịch đảo toán giải trở nên nhẹ nhàng Khi đó: (3) trở thành: t + 2t − = ⇔ t + 2t − t − = ⇔ ( t + ) t − = ⇔ t = t ( ( Trở giải x ta có: + ) x ) =1⇔ x = Ví dụ 3: Xác định tất giá trị a để phương trình sau có nghiệm phân biệt: ax − ( a − ) x + 3a = Hoạt động tìm tương ứng: - Nhận dạng phương trình? Cách làm? (Phát tương ứng) - Đặt t = x điều kiện t nào? (4) 108 - Từ yêu cầu phương trình với ẩn x có nghiệm phân biệt chuyển sang phương trình với ẩn t có nghiệm? Các nghiệm thỏa mãn điều kiện gì? Hướng dẫn giải: Đặt t = x ⇒ t ≥ Ta phương trình: at − ( a − ) t + 3a = (5) Có nhận thức tương ứng: Mỗi nghiệm t < phương trình (5) phương trình (4) vô nghiệm, t = x = nghiệm t > (5) cho hai nghiệm tương ứng x = ± t (4) Thì lợi dụng tương ứng này, chuyển đổi yêu cầu toán ẩn x sang ẩn t, để giải dễ dàng Điều kiện cần đủ để phương trình (4) có nghiệm phân biệt phương trình (5) có hai nghiệm dương phân biệt Đặt f ( t ) = at − ( a − ) t + 3a Điều kiện cần tìm là: a ≠   a ≠ ∆ >  −3 − ⇔ 11a + 6a − < ⇔  >0  a  Khi nhận thức lợi dụng tương ứng nghiêm phương trình (4) với nghiệm phương trình (5), học sinh không giải câu hỏi mà giải câu hỏi như: Tìm a để phương trình vô nghiệm, có nghiệm, có hai nghiệm có nghiệm Nói tóm lại, giải toán tổng quát ax + bx + c = chưa biết cách giải, cách "chế biến" đưa dạng quen thuộc at + bt + c = thông qua cách đặt t = x ( t ≥ ) , đồng thời thiết lập lợi dụng tương ứng nghiệm, số nghiệm phương trình ẩn t với nghiệm, số nghiệm phương trình ẩn x Ngoài ta mở rộng toán: Tổng quát 1: Giải biện luận phương trình: 109 ax n + bx n + c = ( n∈¥ ) * Tổng quát 2: Giải biện luận phương trình: aϕ2 ( x ) + bϕ ( x ) + c = Ví dụ 4: Giải phương trình: 4x − + 4x − = (6) Bài toán có nhiều cách làm: Biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ xem xét theo quan điểm hàm, biết lợi dụng tương ứng 1:1, nghiệm phương trình (6) hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = 4x − + 4x − đường thẳng y = (lợi dụng tính đơn điệu hàm số) ta có cách khai thác, giải toán theo hướng phát huy tính tích cực học sinh Hướng dẫn giải: - Xét hàm số y = 4x − + 4x − - Hàm số đồng biến tập xác định x ≥ 1 nên f ( x ) ≥ f  ÷ = 2 nghiệm (6) Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: - Kết luận x = x − + m x + = x2 − (7) Yêu cầu học sinh nhận dạng phương trình? Đề xuất cách làm chung? Phương trình có dạng au + buv + cv = , cách làm chung là: + Nếu v = 0, phương trình trở thành u = + Nếu v ≠ , chia hai vế phương trình cho v , sau đặt t = u , v phương trình bậc hai t Nêu hướng giải toán trên? Trước hết, cần đưa phương trình (7) phương trình dạng đơn giản (bậc hai) thông qua bước đặt ẩn phụ 110 Điều kiện: x ≥ Khi đó, chia hai vế phương trình cho x + > ta được: Đặt t = x −1 x −1 x −1 x −1 + m = 24 ⇔ −3 + 24 − m = (8) x +1 x +1 x +1 x +1 x −1 , x ≥ nên ≤ t < Từ (8), ta được: = 1− x +1 x +1 −3t + 2t − m = (9) Đến đây, để giải toán học sinh có hai hướng suy nghĩ: Hướng 1: Lợi dụng mối quan hệ, tương ứng ẩn x ẩn phụ t, chuyển đổi toán thành: Tìm m để (9) có nghiệm thực thoả mãn ≤ t < Học sinh cần huy động kiến thức tam thức bậc hai để giải Hướng 2: Đưa phương trình dạng f ( t ) = m Xét mối tương quan hai đồ thị hàm số (C): y = f ( t ) đường thẳng (d): y = m Cần làm cho học sinh nhận thức tương ứng: Phương trình f ( t) = m ⇔ ( C ) ∩ ( d ) ≠ ∅ ( C ) ∩ ( d ) ≠ ∅ ⇔ m thuộc tập giá trị hàm y = f ( t ) Như vậy, toán trở tìm tập giá trị hàm số y = f ( t ) (Tất nhiên, tuỳ cụ thể mà ta tìm tập giá trị tập xác định hay trên khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn thoả mãn yêu cầu toán) Trở lại toán trên: Đặt: ( ) ⇔ m = −3t + 2t f ( t ) = −3t + 2t f ' ( t ) = −6t + 2; f ' ( t ) = ⇔ t = Lập bảng biến thiên hàm f(t) với < t < 1, ta được: 1 −1 < f ( t ) ≤ Suy -1< m ≤ 3 Nhận xét: Dù nhận thức lợi dụng tương ứng x t học sinh dễ mắc sai lầm đặt điều kiện cho t t ≥ (vì bậc chẵn 111 số không âm mà không thấy ≤ t < nên làm theo hướng hay hướng dẫn đến kết sai m ≤ Trong trình làm toán việc hình thành, phát hiện, nghiên cứu lợi dụng tương ứng hàm để giải đòi hỏi học sinh cần phải huy động luồng kiến thức liên quan như: kiến thức hàm số, tập hợp số, bất đẳng thức Lợi dụng tương ứng hàm giải hiệu toán phương trình, bất phương trình, cho ta cách nhìn toán nhiều góc độ khác mà phát triển toán tổng quát Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:  x + 2y + 4z + =   x + 3y + 9z + 27 = x − y + z − =  ( 10 ) ( 11) ( 12 ) Hướng 1: Học sinh giải tuý phương pháp khử ẩn số Hướng 2: Tìm mối quan hệ số có số (8, 4, 2); (27, 9, 3); (-1, 1, -1) phương trình (10), (11) (12) Vận dụng tư tưởng hàm để giải toán  23 + 2 z + 2y + x =  Nhận thấy:  + z + 3y + x =  ( −1) + ( −1) z − y + x = Chứng tỏ 2, 3, -1 ba nghiệm phương trình: t + zt + yt + x = (Phát tương ứng) Do đó: t + zt + yt + x = ( t − ) ( t − ) ( t + 1) (Thiết lập tương ứng hàm) = t − 4t + t − x =  ⇒ y = z = −4  112 Như vậy, nhờ việc phát hiện, thiết lập, nghiên cứu lợi dụng tương ứng dạng phương trình nghiệm nó; hệ số hai đa thức nhau; hệ số phương trình thành phần với nghiệm phương trình đặc trưng cho phương trình hệ, mà ta có cách làm độc đáo, tổng quát hoá toán: x + ay + a z + a =   x + by + b z + b =  x + cy + c z + c3 =  Giải hệ phương trình: - Loại tập chứng minh Khi giải toán phương trình, bất phương trình gặp tập chứng minh thường có dạng: Chứng minh phương trình, bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm, có n nghiệm khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn hay tập xác định nó, dạng toán để lợi dụng tương ứng hàm việc giải, ta chuyển đổi toán dạng khác tương đương; dựa vào tập giá trị hàm số tính chất Ví dụ 7: Chứng minh rằng, bất phương trình sau với x dương: x− x3 < sinx Rõ ràng bất phương trình này, VT hàm đa thức, VP hàm lượng giác, giải biến đổi thông thường Hơn toán không yêu cầu giải bất phương trình Điều gợi cho ta sử dụng công cụ hàm số để giải toán này? Hướng dẫn giải: Xét hàm số f ( x ) = x − x3 − sinx với x > 113 x2 f ( x ) = − − cosx '' f ( x ) = − x + sinx ' f ''' ( x ) = −1 + cosx < víi ∀x>0 ⇔ f '' ( x ) nghÞch biÕn víi x > ⇒ f '' ( x ) < f '' ( ) víi ∀x>0 ⇔ f '' ( x ) ⇔ f ' ( x ) nghÞch biÕn víi x > ⇒ f ' ( x ) < f ' ( ) víi x > ⇔ f ' ( x ) < víi x > ⇔ f ( x ) nghÞch biÕn víi x > x3 ⇒ f ( x ) < f ( ) víi x>0 ⇔ x − víi x > 2.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương Luận văn phân tích, minh họa kỹ cần rèn giải phương trình, bất phương trình Đề số quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ giải toán phương trình dựa vào tư tưởng chủ đạo tư hàm, đồng thời cụ thể hóa việc phát triển tư hàm dạy học chủ đề phương trình Giúp học để học sinh chiếm lĩnh kiến thức rèn luyện kỹ Toán học thuận lợi Đặc biệt nhìn vật, tượng toán góc độ biến thiên phụ thuộc lẫn mối quan hệ nhân chúng CHƯƠNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM Thực nghiệm sư phạm tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi hiệu phối hợp rèn luyện kỹ giải phương trình, bất phương trình với việc phát triển tư hàm cho học sinh; kiểm nghiệm tính đắn giả thuyết khoa học 3.2 TỔ CHỨC VÀ NỘI DUNG THỰC NGHIỆM 114 3.2.1 Tổ chức thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành trường THPT Thọ Xuân 4, Thọ Xuân, Thanh Hoá + Lớp thực nghiệm: 10A1 + Lớp đối chứng: 10A2 Thời gian thực nghiệm tiến hành vào khoảng từ tháng đến tháng 11 năm 2007 Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Thầy Hà Duyên Nam Giáo viên dạy lớp đối chứng: Thầy Lương Ngọc Hoà Được đồng ý Ban Giám hiệu Trường THPT Thọ Xuân 4, tìm hiểu kết học tập lớp khối 10 trường nhận thấy trình độ chung môn Toán hai lớp 10A1 10A2 tương đương Trên sở đó, đề xuất thực nghiệm lớp 10A lấy lớp 10A2 làm lớp đối chứng Ban Giám hiệu trường, thầy (cô) Tổ trưởng tổ Toán thầy cô dạy hai lớp 10 A1 10A2 chấp nhận đề xuất tạo điều kiện thuận lợi cho tiến hành thực nghiệm 3.2.2 Nội dung thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành 16 tiết, chương Phương trình hệ phương trình Sau dạy thực nghiệm, cho học sinh làm kiểm tra Sau nội dung đề kiểm tra: Đề kiểm tra (thời gian 45 phút) Câu I: Hãy biện luận số nghiệm phương trình sau theo tham số a: 4x − = x + 2x + a (1) Câu II: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + ( − 2m ) x + m − = (2) Câu III: Giải phương trình: 4x + 1 + 2x + −6=0 x2 x (3) 115 Việc đề chứa đựng dụng ý sư phạm Xin phân tích rõ điều đồng thời đánh giá sơ chất lượng làm học sinh Câu I: Dụng ý sư phạm câu kiểm tra đánh giá khả giải toán phương trình đồ thị, xác lập tương ứng tập hợp số thực tập hợp giao điểm, cụ thể số nghiệm phương trình với số giao điểm đồ thị xác định từ phương trình Hầu hết tất học sinh lớp thực nghiệm lớp đối chứng đưa kết nhiều học sinh lớp đối chứng, xác định toán biện luận số nghiệm phương trình toán giải biện luận phương trình lại giải toán biện luận số nghiệm dựa toán giải biện luận Ở toán này, nhận thấy phương trình bậc hai, việc biện luận phương trình loại làm quen nhiều nên khó khăn, học sinh lớp đối chứng thực giải bước toán biện luận kết luận số nghiệm phương trình dựa vào kết toán giải biện luận Nhưng phần đông học sinh lớp thực nghiệm lại không làm mà đưa phương trình dạng phương trình tương đương: x + 2x − = a Lợi dụng tương ứng: Số nghiệm phương trình cho số giao điểm parabol (P): y = x + 2x − đường thẳng (d): y = a h(x)=a Quan sát đồ thị, thấy đỉnh f( x) = ( x⋅x+2⋅x) -2 parabol (P) I (-1; -3), có bề lõm quay lên trên; a thay đổi đường thẳng (d) thay đổi luôn song song (hoặc trùng) với trục hoành Từ -5 -2 -4 rút kết luận toán Ở câu II dụng ý sư phạm nhằm kiểm tra đánh giá khả nhận dạng phương trình, tìm điều kiện cho ẩn phụ khả chuyển đổi toán Đa số học sinh hai lớp thực nghiệm đối chứng nhận 10 116 phương trình trùng phương, giải phương pháp đặt ẩn phụ, biết cách đặt ẩn phụ: t = x điều kiện ẩn phụ t ≥ đưa phương trình (2) dạng: t − ( − 2m ) t + m − = (2’) Đến nhiều học sinh lớp đối chứng sai lầm chuyển đổi yêu cầu toán từ ẩn ban đầu sang ẩn phụ, mang yêu cầu toán ẩn ban đầu sang áp dụng cho ẩn phụ (do không xác định tương ứng yêu cầu ẩn ban đầu yêu cầu ẩn phụ) nên cho rằng: “Phương trình (2) có nghiệm phương trình (2’) có nghiệm ( ) ⇔ ∆ = ( − 2m ) − m − ≥ ⇔ − 4m ≥ ⇔ m ≥ ” So với học sinh lớp đối chứng học sinh lớp thực nghiệm mắc sai lầm này, em nhận thức yêu cầu toán sau chuyển đổi là: “Phương trình (3) có nghiệm phương trình (2 ’) có nghiệm không âm” Câu III: Dụng ý sư phạm muốn kiểm tra khả phân tích định hướng tìm lời giải toán Để hình thành phương pháp giải học sinh cần nhận mối liên hệ toán 1   2x + x ÷      4x + x ÷    1 4x + =  2x + ÷ − x  x Để hình thành phương pháp giải toán cách đặt ẩn phụ t = 2x + chuyển phương trình dạng t + t − 10 = x Ngoài câu hỏi kiểm tra khả tìm điều kiện ẩn phụ t = 2x + Có số học sinh lớp thực nghiệm sai lầm đánh giá: x ∀x ≠ : 2x + 1 ≥ 2x = 2 x x 117 3.3 ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM Kết qủa kiểm tra cho thấy: Điểm Lớp 10 Tổng số Đối chứng 0 18 16 0 50 Thực nghiệm 0 0 22 12 54 Lớp Thực nghiệm: Yếu 3,7%; Trung bình 22,2%; Khá 63%; Giỏi 11,1% Lớp Đối chứng: Yếu 22%; Trung bình 68%; Khá 10%; Giỏi 0% Căn vào kết kiểm tra, bước đầu thấy hiệu phối hợp rèn luyện kỹ giải phương trình, bất phương trình với việc phát triển tư hàm cho học sinh 3.4 KẾT LUẬN CHUNG VỀ THỰC NGHIỆM Quá trình thực nghiệm kết rút sau thực nghiệm cho thấy: Mục đích thực nghiệm hoàn thành, tính khả thi tính hiệu phối hợp rèn luyện kỹ giải phương trình, bất phương trình với việc phát triển tư hàm khẳng định KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau: Đã hệ thống hoá, phân tích khái niệm kỹ năng, khái niệm tư hàm, vấn đề rèn luyện kỹ phát triển tư hàm cho học sinh Đã đề xuất quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ giải toán phương trình dựa vào tư tưởng chủ đạo tư hàm, đồng thời đề cập đến vấn đề phát triển tư hàm thông qua dạy học chủ đề phương trình Xây dựng hệ thống ví dụ, tập nhằm minh hoạ khắc sâu phần lý luận thực hành dạy toán theo quan điểm hàm trường phổ thông 118 Nếu thực tốt giải pháp nêu Luận văn học sinh có hứng thú, đam mê học tập mà hiệu sư phạm dạy toán nâng cao Từ kết qủa thu cho phép xác nhận giả thuyết khoa học chấp nhận có tính hiệu quả, mục đích nghiên cứu hoàn thành TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Ngọc Anh (1999), Khai thác ứng dụng phép tính vi phân để giải tập cực trị có nội dung liên môn thực tế nhằm chủ động góp phần rèn luyện ý thức khả ứng dụng Toán học cho học sinh lớp 12 THPT, Luận án Tiến sĩ Giáo dục, Viện Khoa học giáo dục, Hà Nội Lê Quang Ánh, Nguyễn Thành Dũng, Trần Thái Hùng (1999), 360 toán chọn lọc, NXB Đồng Nai, Đồng Nai Nguyễn Cam (2000), Giải toán đạo hàm khảo sát hàm số, NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (1997), Sai lầm phổ biến giải Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội 119 Phan Đức Chính, Vũ Dương Thuỵ, Đào Tam, Lê Thống Nhất (1999), Các giảng luyện thi môn Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội Đanilôp M A Xcatkin M N (1980), Lý luận dạy học trường phổ thông, NXB Giáo dục, Hà Nội Vũ Cao Đàm (1995), Phương pháp luận nghiên cứu khoa học, Viện Nghiên cứu phát triển giáo dục, Hà Nội Nguyễn Huy Đoan, Đặng Hùng Thắng (2006), Bài tập nâng cao số chuyên đề đại số 10, NXB Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn Văn Vĩnh (2000), 23 chuyên đề giải phương trình bất phương trình Đại số, NXB trẻ, TP Hồ Chí Minh 10 Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí (2004), Sử dụng phương pháp điều kiện cần đủ để giải Toán, NXB Hà Nội, Hà Nội 11 Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải (2004), Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải Toán, NXB Hà Nội 12 Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Hữu Trí (2005), Phương pháp giải toán đạo hàm ứng dụng, NXB Hà Nội, Hà Nội 13 Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2005), Các phương pháp giải phương trình bất phương trình hệ vô tỷ, NXB Hà Nội, Hà Nội 14 Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2005), Các phương pháp giải phương trình bất phương trình hệ chứa dấu giá trị tuyệt đối, NXB Hà Nội, Hà Nội 15 Phạm Văn Đức, Đỗ Quang Minh, Nguyễn Thanh Sơn, Lê Văn Trường (2002), Kiến thức Đại số 10, NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh 16 Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981), Giáo dục học môn Toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội 17 Đặng Vũ Hoạt, Hà Thế Ngữ (1987), Giáo dục học tâp 1, NXB Giáo dục, Hà Nội 18 Nguyễn Thái Hoè (1993), Phương pháp giải toán khó, Khoa chuyên toán ĐHSP Vinh, Nghệ An 120 19 Lê Văn Hồng, Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thàng (2001), Tâm lý học lứa tuổi tâm lý học sư phạm, NXB ĐHQG Hà Nội, Hà Nội 20 Phan Huy Khải (2001), Các toán hàm số, NXB Hà Nội 21 Phan Huy Khải (2001), Toán nâng cao cho học sinh THPT Đại số 10, 11, 12, NXB Hà Nội 22 Phan Huy Khải (2001), 500 toán chọn lọc bất đẳng thức, NXB Hà Nội 23 Khối phổ thông chuyên (1988), Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, ĐHTH&NXB KHKT Hà Nội 24 Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học sư phạm, Hà Nội 25 Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Văn Thường (1994), Phương pháp dạy học môn Toán phần II, NXB Giáo dục, Hà Nội 26 Nguyễn Văn Lộc (1995), Tư hoạt động Toán học, NXB Giáo dục, Hà Nội 27 Nguyễn Văn Mậu (1995), Phương trình hàm, NXB Giáo dục 28 Nguyễn Văn Mậu (2002), Đa thức phân thức hữu tỷ, NXB Giáo dục 29 Bùi Văn Nghị, Vương Dương Minh, Nguyễn Anh Tuấn (2005), Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên trung học phổ thông chu kỳ III (2004 2007) môn Toán, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội 30 V.A.Ôganhexian - Iu.M.Kôliagin (1980), Phương pháp giảng dạy Toán trường phổ thông, NXB Giáo dục, Hà Nội (Tiếng Nga) 31.Petrovski.A.V (1982), Tâm lý học lứa tuổi tâm lý học sư phạm (tập II), NXB Giáo dục, Hà Nội 32 G Polya (1997), Giải toán nào? Nxb Giáo dục, Hà Nội 33 G Polya (1997), Sáng tạo Toán học, Nxb Giáo dục, Hà Nội 34 Nguyễn Ngọc Quang (1989), Lý luận dạy học đại cương tập 2, NXB Giáo dục, Hà Nội 35 Đào Tam (2000), "Bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, lực huy động kiến thức giải toán", Tạp chí Nghiên cứu giáo dục, Số1 121 36 TS Chu Trọng Thanh, GS TS Đào Tam, Ths.Lê Duy Phát (2006), Góp phần phát triển vài yếu tố tư hàm cho học sinh thông qua dạy học chủ đề phương trình hệ phương trình, Tạp chí Nghiên cứu giáo dục, Số135 37 Nguyễn Văn Thuận (2004), Góp phần phát triển lực tư lôgic sử dụng xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp Trung học phổ thông dạy học Đại số, Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Vinh 38 Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu Toán học, Tập 1, Nxb Giáo dục, Hà Nội 39 Nguyễn Trọng Tuấn (2005), Bài toán hàm số qua kì thi Olympic, NXB Giáo dục, Hà Nội 40.Trần Thúc Trình (1998), Cơ sở lý luận dạy học toán nâng cao (dùng cho học viên cao học Toán), Viện Khoa học giáo dục, Hà Nội 41.Trần Thúc Trình (1998), Tư hoạt động Toán học, Viện khoa học giáo dục, Hà Nội 42.Đào Văn Trung (2001), Làm để học tốt Toán phổ thông, NXB ĐHQG Hà Nội, Hà Nội 43 Tuyển tập 30 năm Toán học tuổi trẻ, NXB Giáo dục, Hà Nội 44 Từ điển Tiếng Việt, NXB TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh [...]... phương trình Làm cơ sở đề xuất quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với việc phát triển tư duy hàm, giúp học sinh học tập tích cực hơn CHƯƠNG 2 PHỐI HỢP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VỚI PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH THPT 2.1 PHÂN TÍCH NỘI DUNG CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH TRONG MÔN TOÁN THPT 2.1.1 Về chủ đề phương trình, bất phương trình 27 Bàn về khái niệm phương trình, ... sự tư ng ứng giữa độ cao và thời tiết 1.3.2 Vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học phương trình Trong dạy học toán học ở trường việc phát triển tư duy hàm cho học sinh không có nghĩa là thầy lên lớp một bài giảng về tư duy hàm Nhiệm vụ tư duy hàm không tồn tại độc lập so với nhiệm vụ truyền thụ kiến thức Muốn phát triển tư duy hàm thầy giáo phải thông qua kiến thức đã quy định, trong. .. bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh 1.3 TƯ DUY HÀM VÀ VẤN ĐỀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH 1.3.1 Tư duy hàm Trước hết hãy bàn về thuật ngữ tư duy hàm, tư duy hàm tất nhiên không phải là thuật ngữ toán học, tư duy là một khái niệm Tâm lý còn hàm là một khái niệm toán học, hàm ở đây không có nghĩa là hàm số mà còn có thể là một sự tư ng ứng giữa các phần tử của hai tập hợp nào đó Cho đến nay vẫn... khi dạy học giải phương trình cần quan tâm giải quyết hợp lý mối liên hệ giữa hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp 1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 Trong chương này, Luận văn đã sơ lược trình bày quan điểm đổi mới nội dung và phương pháp dạy học Phân tích, minh họa khái niệm tư duy hàm, kỹ năng cũng như vấn đề rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh phổ thông, nhấn mạnh một số vấn đề cần lưu ý khi dạy học giải phương. .. Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng tư duy và tính cách cho học sinh ( Nguyễn Cảnh Toàn) Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán, giúp học sinh. .. thống phương pháp dạy học quen thuộc, đồng thời cần học hỏi, vận dụng một số phương pháp mới, theo quan điểm đổi mới phù hợp với điều kiện dạy và học ở từng vùng, từng miền ở nước ta 1.2 KỸ NĂNG VÀ VẤN ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN HỌC CHO HỌC SINH 1.2.1 Khái niệm kỹ năng Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải. .. trong và trên cơ sở đó tìm ra giải pháp phát triển tư duy hàm cho học sinh, phát triển tư duy hàm là mục đích kép Thực tiễn giáo dục tư duy hàm cho học sinh phổ thông gặp nhiều khó khăn như : Trình độ học sinh còn hạn chế, không đồng đều, khối lượng kiến thức nhiều trong khi số tiết dành cho bộ môn Toán lại không nhiều Những tri thức về hoạt động tư duy hàm không được qui định rõ ràng trong chương trình. .. nào (kỹ năng nhận thức) mà còn phải biết những động tác để vẽ được đồ thị (kỹ năng hoạt động chân tay) và cần vẽ đồ thị chính xác, đẹp (kỹ năng xử sự) Đối với chủ đề phương trình và bất phương trình ta cần rèn luyện cho học sinh những kỹ năng thuộc về nhóm kỹ năng nhận thức và vận dụng Có thể kể ra một số kỹ năng sau: - Kỹ năng tính toán: Trước hết cần phải nói rằng học toán gắn liền với tính toán, ... chia kỹ năng phù hợp với từng “mảng” kiến thức, từng nội dung môn học Nhưng tựu trung lại cần rèn cho học sinh các kỹ năng cơ bản như: kỹ năng nhắc lại, kỹ năng nhận thức, kỹ năng hoạt động chân tay, kỹ năng xử sự (theo cách phân loại của De Ketele) Đây là những kỹ năng không chỉ được rèn luyện khi giải toán phương trình mà còn được rèn luyện trong suốt chương trình phổ thông, ở tất cả các nội dung và. .. ''mảnh đất'' để rèn luyện kỹ năng toán Do đó, để rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán) Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau: * Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ