LÊ HỒNG Đửc - LẼ BÍCH NGỌC TÍCH 12 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG (»ĩtìf / Trộn đoan f(.L o> s\ 'ỉfỉ\ 4/ ỈJ i c Jf(u)du = F(u) + S/TỒ N TẠI CỦA NGUYÊN HÀM Đụn/ lí:Mọi hàm T số (x) liên tục đoạn [a, b) đoạn EẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gập ídx = X + c r Ha +I X a +I Ix“dx = - — + c, (X* - a +1 r dx ,11 Nguyên hàm hàm số sơ cấp hợp (với u = u(x)) ídu = u + c „ 1—• = ln I X I + c, X* |u“.du = — + c , a * - a +1 í — = ln ! u I + c, u = u(x) u X Iexdx = e* + c * íaYlx = — - + c , < a ? t l ln a ícosxdx = sinx + c ịsinxdx = - cosx + c |eudu = eu + c ~ í =tgx + c cos X f dx _ J - 2— = - cotgx + c sin X íal,du = — + c , < a * l lna i Icosudu = sinu + c ísinudx = - cosu + c —J—= tgu + c cos u r du _ J —y - = - cotgu + c sin u k II PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VÀ BÀI TẬP Bài toán 1: Chứng minh F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a, b) định nghĩa PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: Bước X : ác định F '(x) (a, b) Bước :Chứng tỏ F'(x) = f(x) với Vx e (a, b) Chú ý: Nếu thay (a, b) [a, b] phải thực chi tiết hom, sau: Bước :Xác định F '(x) (a, b) Xác định F (a+) F(t> ) F '(x) = f(x), Vx € (a,b) Bước Chứng tỏ rằng: « F'(a+) = f(a) |F '(b- ) = f(b) BÀI TẬP Tự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM Bài tập F(x) = sin23x nguyên hàm hàm số: A f(x) = 2sin3x c f(x) = 6sin3x.cos3x B f(x) = 6sin3x D f(x) = -6sin3x.cos3x Bài tập F(x) = (3x - l)(2x - 3) nguyên hàm hàm số: c f(x) = (3x - A f(x) = 3(2x - 3) B f(x) = 2(3x - 1) 1)(2x - 3) D f(x) = 12x - 11 Bài tập F(x) = ln(x + VX2 + a ) với a > nguyên hàm hàm số: A f(x) = Vx2 + a c f(x) = Vx2 - a B f(x) = - ị-—- - ■ D f(x)= *7 L vx2- a Vx2 +a Bài tập Cho hàm số: F(x) = * + —In I X + V x2 + a a Chứng minh F(x) nguyên hàm f(x) = \íx + a , a > b Tìm nguyên hàm hàm sốh(x) = (x + 2) V x2 + a , a > Bài tâp Cho hai hàm số: f(x) = — - — F(x) = 1X I - ln( + I X I ) 1+ I X I Chứng minh hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x) Bài tập Cho hai hàm số: f(x) = x In Xkhi x > 0 x = x 2(21n x - 1) F(x) = • Chứng minh hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x) x> X= Bài tập a Tính đạo hàm hàm số g(x) = b Tìm nguvên hàm hàm số f(x) _ ' l à A F(x) = c + c 7== i ỹ ' F(x) = Vx2 + B F(x) = 7=1 _ , * Æ + c +c w ■ + c D F(x) = , VX2 + Bài tập a Tính đạo hàm hàm số g(x) = ln b Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = + V x2 + a , với X * 0, a > , vói X V *0, a > XVX + a A F(x) = -In 1+ V x + a +c +c B F(x) = c F(x) = -ln D F(x) - xV X + a VX -Æ 7+a +c + c +a Bài toán 2: Xác định giá trị tham số để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a, b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: Bước :Xác định F '(x) (a, b) Bước 2:Để F(x) nguyên hàm cùa hàm số f(x) (a, b), điếu kiện là: F '(x) = f(x) với Vx € (a, b) => giá trị tham số Chú N :ý ếu thav (a, b) [a, b] phải thực chi tiết hơn, sau: Bước 1: Bước Xác định F'(x) (a, b) Xác định F V ) F(b~) Đ 2: ể F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a, b), điều kiện là: F’(x) = f(x), Vx € (a,b) • F '( a +) = f(a) => giá trị tham số F(b') = f(b) BÀI TẬP Tự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM 2x Bài tập Cho hai hàm số: f(x) = Xác định a, b đê hàm A a = -2, b = B a = 2, b = - l Bài tập 10 Cho hai hàm X < F (x )= X2 Xs X > ax + h X > sô' F(x) nguyên hàm hàm số f(x) c a = -1 , b = D a = 1, b = -2 số: (x - l)e x +1 f(x)= X * X = , F(x) = X * X = Xác định a, b để hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x) A a = b = c a = b = B a = 1, b = D a = — , b = Bài tập 11.Cho hai hàm số: f(x) = (x2 - 3x + 2)e x F(x) = (ax2 + bx + c)e Xác định a, b, c để hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x) A a = b = c = l c a = b = c = -l B a = 1, b = - , c = - D a = - , b = 1, c = - 20x - x + f(x) = 7= , F(x) = (ax2 + bx + c) V2x - với V x -3 Xác định a, b, c để hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x) A a = 1, b = - , c = c a = 4, b = - , c = B a = - , b = 4, c = X > N> I LO Bài tập I2.Cho hai hàm số: D a = 4, b = 2, c = - Bài toán 3: Tìm nguyên hàm ] PHƯƠNG PHÁP CHUNG Sử dụng: ■ Các tính chất nguyên hàm ■ Bảng nguyên hàm ■ Các phép biến đổi đại số BÀI TẬP Tự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM Bài tập 13 Cho hàm số y = —-T— Nếu F(x) nguyên hàm hàm sô' sin X r đồ thị hàm sô' y = F(x) qua điểm M A -cotx B cotx 71 \ ;0 F(x) là: c -V ĩ+cotx • D +cotx iBii tập 14 Nếu F(x) nguyên hàm f(x) = sinx F(0) = F(x) là: A 1+ cosx B cosx c 1- cosx D -cosx iBii tập 15 Cho F(x) nguyên hàm f(x) = —-— F(2) = I K’' ; dó F(3) bằng: X- I A In2 B In2 + c A —cos3x B — cos3x c -3cos3x I) In - ]Bii tập 16 Cho hàm số f(x) = sin3x Một ngi.yên hàm f(x) bằng: I) —cos3x 1BÌỈ tập 17 Gọi J2008xdx = F(x) + c, vưi c hLíg số Khi F(x) bằng: A 2008* B 2008*ln2008 c — ln 2008 D 2008**1 lBal tập 18 Tính: a jsin2x.cosxdx c A cos2x.sinx + c „ , _ ^ B —sin x - sin3x + c 12 b lcotgxdx A cotgx + c B lnloosxl + c (sin X + cosx)dx sin2x.cosx +c 1 , ^ D —cosx cos3x + c 12 c tgx + c c (sinx + cosx)5 + D lnlsinxl + G ■ i cv sin x - c o s x A (sinx - cosx)5 + c B — -^ /(sin x -c o sx )4 + c iBài tập 19 Cho hàm số f(x) = c Đ — ẫ/ (sin X + c o sx )4 + c ^ 2x4+3 Khi đó: A Jf(x)dx = — — — +c c |f(x)dx = ^ - + — + c B Jf(x)dx = 2x3- — +c D Jf(x)dx = 3L + -3_ + c 2x Bài tập 20 Cho hàm số f(x) = - X- Khi Jf(x)dx bằng: A n ( U * :) + C B 31nC t x ) + c Bài tập 21 Tính: Ịdx a c 21n(l + X2) +c D ln(1+X2) +c cosx A - - - l n B - —ln b sin X +1 sin X - sinx - sin X +1 dx f— dx■ + cos X A — !— +c cosx +c c 2ln ê +c D 21n _ X B t g _ +c c cos X +1 cos X - cos X - cosx +1 —!— sinx +c + c + c ^ x D D ccotg — + Bài tập 22 Cho hàm sô' f(x) = — dx -— Khi ff(x)dx bằng: x2 - x - } 2x 1- x - A - I ln n — —- + + c x +1 2x +l c 2x1 - x - — - I ln n — —— + c 2x++1 44 2x l x -3 x -3 D - l n +c x +1 2x +1 Bài tập 23 Tìm họ nguyên hàm hàm sô' sau: B a f(x) = — -.— - X -X -6 X+ A F(x) = — ln X- B F(x) f(x) = +c -In +c 1X —3 ln i + |x + c X+ F(x) = - ln x-2 +c X-3 D F(x) = - ln X+ 2 +c c x - 9x 4x2 2x - A F(x) = — ln 2x + +c c B F(x)=x2-lr| 2x+3Ì +c D F(x)=x2-lrJ 2x-3| F(x)= —X2 12 ln Bài tập 24 Cho hàm số f(x) = ex(l - e~x) Khi |f(x)dx bằng: A ex ~x+■X” +■c ^ c e'x+ A B ex - X + c D Bài tập 25 Tìm họ nguyên hàm hàm sô' sau: a 10 f(x) = (32x + 2X)2 * (32x + x)2 _ A F(x) — - + c In In o4x ọ 2x 2.32x.2x ^ B F(x) = — + — + - + c ln3 ln In3.1n2 + c X + c X 2x —3 2x + +c c 3p2t + 2p3 = t3 o t(t - p)(t + p) = 2p2(t + p) t>0 tao t2 - pt - 2p2 = t = 2p X = 4p Nhận xét rằng: ■ Hàm số y = (x - p)3/2 xác định với — \2 p Trong khoảng p < X < 4p X > p — — (x - p)3/2 V27p Hình phẳng cần tính đối xứng qua Ox Từ đó, ta nhận được: s=2 Í a/2P ' 1/2 4P dx+ I p dx 88p2V2 15 Bài tập 19 Tham khảo ví dụ trang 95/ Học ôn tập toán Giải tích !2 tập II Đê nghị hạn đọc trình hày lờigiải chi tiết Bài tập 20 Tham khảo ví dụ trang 95/ Học ôn tập toán Giải tích 12 tạp II Đê nghị hạn dọc trìnhhày lờigiải 194 CHỦ ĐỂ SỬ D Ụ N G TÍCH P H  N T ÍN H THỂ t í c h CỦA CÁ C VẬT THỂ ! TÓM TẮT LÝ THUYẾT CÔN« THỨC TÍNH THỂ TÍCH Giả sử vật thể T giới hạn hai mặt phẳng song song (a), (p) Ta chọn trục Ox cho: Ox (a) giả sử Ox n (a ) = a y Ox _L (P) giả sử Ox n (p) = b Giả sử mặt phẳng (y) ± Ox (y) n Ox = X (a < X < b) cắt T theo thiết diện có diện tích S(x) (là hàm số liên tục theo biến x) Khi đó, V vật T thể cho hởi công Q c: -thứ V = Js(x)dx a THỂ TÍCH KHỐI NÓN VÀ KHỐI CHÓP, KHỐI NÓN CỤT VÀ KHỐI CHÓP CỤT a diệnđáy háng B T h ể tích khối nón (khối chóp) có cho iV = - Bh hở b Thê tích khối nón cụt (khới chóp cụt) có diện tích hai đáy lả Bị, B2 vcì chiều cao h dược cho hởi V = —(Bị + B> + yỊhị B )h THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY a Thể tích vật thể tròn xoay sinh hởi miền (D) giới hạn hỏi y = f(x), X = a, X = b, y = quay quanh trục Ox cho hởi công thức: b b V = 71 jy 2dx = 71 j f 2(x)dx a b a Tính thể tíchvật thể tròn xoay sinh hởi miền (D) giới hạn hỏi X = f(y), y = a, y = b, X = 0, quay quanh trụcOy dược cho hởi công b V = 7t Jx 2dy = b nJf 2(y )d y THÊ TÍCH CỦA KHÓI CẦU Thê tích khôi cầu có hán kính R cho hỏi V = —7tR3 195 II PHƯƠNG PHÁP GIÀI CÁC DẠNG TOÁN LDÊN QUAN VÀ BÀI TẬP Thể tích vât thể T Bài toán 1: PHƯƠNG PHÁP CHUNG Sử dụng kiến thức phán "Công hiểu cán theo hai bước BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM Bài tậ p Tính thể tích phần hình trụ bán kính đáy R, giới hạn đáy với phần phía hai mặt phảng (P) (Q) biết: Mặt phảng (PYđì qua môt đường kính đáy hợp với đáy góc a (0 < a < —) Mặt phẳng (Q) cắt hình trụ, song song cách đáy khoảng h < Rtana Bài tậ p Tính thể tích khối nón đinh đáy đường tròn có bán kír.h R, chiều cao h Bài tậ p Tính thể tích khối nón đỉnh đáy Elíp có nửa độ dài hai trục 2, 3, chiều cao s, s, A 1071 B 9tt Bài tậ p Tính thể tích vật thể đỉnh có đáy chiều cao 2h 4h B, A — s, c Ó7t D 3n chiều cao h, đáy viên phân Parabol 6h D 8Ịv PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta có hai dạng sau: Dạng 1:Với yêu cầu: " Tính thể tích f(x),X= a, X = t), ỵ vậtthể tròn xoay hài miền (D quayquanh trục Ox" b ta áp d ụ n g công b thứ c: V = 7t j y 2d x = 7t j f 2(x)dx ả a Dạng 2: Với y 0), y = 0} 81a27ĩ _ 81a37t A — B — - 81a4Tt — — Tt(V2+7) „ c 16 10 X2 + y2 = Parabol 27t — c 371 — B ti 81a57ĩ D — — - 2x ' (P): y = a Tính diện tích s miền D A 71+ — B + + ! 3 _ b Tính thể tích V sinh D quay quanh Ox „ 27 D 10 10 10 Bài tâp Cho miền D giới hạn đường tròn (C): íi(V 2-7) 7ĩ(5e3 - ) ) tĩ2 c c T' D, 27 H = {y = 0; y = x/cos6 X + sin6 X ; X = , X = 7Ĩ D 7t(V2-l) 471+ D D ti(8 V -7 ) Bài tập Tính thể tích Parapol đường tròn xoay có đáy B chiều cao h Bh Bh Bh Bh A D B 12 c PHƯƠNG PHÁP CHƯNG Ta có hai dạng sau: Dạng 1: Với yêu cầu: " Tinh th ể tích vậtth ể tròn xoay f(x),y = g(x), X hỏi (D) gi = b ta áp dụng công thức: V = 71 jì f 2(x) - g (x) I dx a Dạng V 2: ới yêu cầu: " Tính th ể tích vật the tròn xoay sinh hởi miền (D) giới hạn hởi X f(y ),X = g(y), y = a ,y = h quay quanh O ỳ' ta áp dụng công thức: V = 7t jì f 2( y ) - g 2(y) I dy 197 BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM Bài tập Cho hình phẳng D mặt phẳng Oxy giới hạn y = Vx Tính thểtích vật thể tròn xoay D quay quanh trụcOx A J L B 10 ỉ10ĩ c ĩ3 D đường y = X 2, ĩ Bài tập 10 Cho hình phẳng D mặt phảng Oxy giới hạn đường y = X - 4x + 6, y = - X - 2x + Tính thể tích vật thể tròn xoay D quay quanh trục Ox A 71 B 2n c 3rc D 87t Bài tập 11 Cho hình phảng D mặt phẳng Oxy giớihạn đường y = 2x2, y = 2x + Tính thể tích vật thể tròn xoay D quay quanh trục Ox 271 2871 2887t 8871 A B c D 3 Bài tập Ỉ2 Cho hình phẳng D giới hạn hai đường cong y2 = (4 - x)3 y2 = 4x a Tính diện tích hình phẳng giới hạn miền D b Tính thể tích vật thể tròn xoay D quay quanh trục Ox Bài toán 4: Thể tích vật thể tròn xoay dạng PHƯƠNG PHÁP CHUNG Với yêu cầu " Tính th ể tích vậtthể tròn xoay đường (C) kín"ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp ỉ :Khi quay quanh Ox, ta thực hai bước sau: Bước I :Phân đưòng cong kín (C) thành hai cung (C|): y = f,(x) = ýị (C,): y = f2(x) = y2 với a < X < b f|(x), f2(x) dấu Bước :T hể tích cần xác định cho bởi: v = 7t{ly2 - y Id x a Trường Bước Bước hợp :Khi quay quanh Oy, ta thực theo hai bước s a u : :Phân đường cong kín (C) thành hai cung ( C j ) : X = f|(y) = X , ( C , ) : X = f2(y) = x với a < y < b f|(y), f2(y) dấu b :T hể tích cần xác định cho bởi: V = tjìx f- X I dy a n BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM Bài tậ p 13 Tính thể tích khối tròn xoay X2 + ( y - b)2 < a2 (0 < a < b ) quay quanh Ox A 27ĩ2ab 198 B 27t2a2b c 2iĩ2ab2 tạo nên D 2n2a2b2 hình tròn Bài tập 14 Cho hình tròn tâm 1(2, 0), bán kính R = 1, quay quanh trục Oy Tính thể tích cứa vật thể tròn xoay tạo nên Bài tập 15 Cho miền (H) giới hạn đường cong y = sinx đoạn < X < 7t trục Ox Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên bơi (H) quay quanh: a Trục Ox b Trục Oy Bàỉ tập 16 Gọi (d) đường thẳng qua M (l, 1) với hệ số góc k < Giả sử (d) cắt Ox, Oy A B a Tính thể tích khối tròn xoay sinh AOAB quay quanh trục Ox Xác định k đế khối tròn xoay tích nhỏ b Tính thể tích khối tròn xoay sinh AOAB quay quanh trục Oy Xác định k để khối tròn xoay tích nhỏ III HƯỚNG DẪN - GIẢI - ĐÁP s ố Bài tập Chọn hệ trục toạ độ cho Ox đường kính giao tuyến đáy hình trụ với mặt phảng (P), Oy đường kính vuông góc với Ox đáy, đó: B a o o, Thiết diện hoành độ X hình thang vuông OiAiBịCị có A ịC^Cị = a diện tích cho bởi: S(x) = — AiB^OiAi+BịC,) ( 1) đó: A,B, = h, |A |= V r - X , B,C|= |A |-0 |H = V r - X -h.tana b Thể tích vật thể cho bởi: it/2 f = hR J -y/R2( l - s i n t)co std t - Rh2tana hR «£ — j(l + cos2t)dt -Rlrtana -ĩt/2 199 hR I hR2 - (t +• sin2t)ị?'22 - Rlrtana = —— (n-2tana) Bài táp V = - rtR2h _ Bài tập Ta có ngay: ■ Diện tích đáy cho B = 71.2.3 = Ó7t Thể tích vật thể cho V = —Bh = —.6n.5 = 107t 3 Bài tập Chọn hệ trục toạ độ cho viên phân Parabol đáy mặt phẳng Oyz nhận Oz làm trục đôi xứng đáy cùa viên phân thuộc trục Oy, đó: ■ Phương trình Parabol đáy (ABC) cho bởi: z = my: + 2h * Măt khác: z(±a) = => m = - — h Vậy phương trình Parabol đáy (ABC): • * z = —— y: + 2h h Diện tích đáy cho bởi: B= J(~y2+2h)dy = (~3hy 3+2hy) _a h 8h Diện tích thiết diện cho bởi: ■ S(x> íh-x^ B h S(x) = —.(h - x)2 Thể tích vật thể cho bời: v = jS(x)dx = - f ( h - x ) 2dx = - ( h - x ) '3 8h3 Bài tập Ta có V = 7t J2ydy = 1271 (đvtt) Bài tập Tính thể tích khôi tròn xoay tạo nên ta qụay hình H quánh trục Ox a Thể tích vật tròn xoay cẩn tính cho bởi: V=7Ĩ J(l + cos x + sin x)dx = 7t I ( -— -)dx n/2 k/2 71 , = 7Ĩ —x — —sin4x , = 7-71 (đvtt) 14 16 7t/2 b Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là: V = 7t J(x ln x)2dx ĩ 200 Để tính tích phân ta sử dụng phương pháp tích phân phần, đặt: du = —ln xdx X < u = ln X dv = x 2dx ' V = -X Khi đó: V = 71 X3 ln X e ~ — Ị x : !n X Jx = — — ! Xét tích phân I, đặt: du = —dx X < u = ln x dv = x 2dx v=-x 3 2e3 Khi đó: I = —x3lnx 1? - — fx2dx = — -3 3 Thay (2) vào (1), ta V = c íX2 ln x d x (1) ,J — 3 ; X'1 ? = ( 2) — (đvtt) Thể tích vật thể tròn x-.-ay cần tính nỉ 7; -TíI (cos6 X 4-sinbx)dx = 71 Ị (1 - —sin 2x)dx 0 V n/2 5 = 7t I (—4 -cos4x)dx = Í ( - X —-sin4x) 8 32 d 571 16 (đvtt) Phương trình hoành độ giao điểm (P) Ox là: , 3ax - X = o |~x = X = 3a Khi đó, thể tích cần xác định cho bởi: * 3a V* 3a V = 71 J(3ax - x 2)2dx = 7t j( x - a x 4-9a2x 2)dx 0 I •Ịa 8oi_5_ la 7t /Jf N = 7t( - X5 - — X4 + 3a2x3) = (đvtt) 10 Bài tập a Hoành độ giao điểm (P) (C) nghiệm của: X> X = => y = ±2 X -2 x = 201 Gọi s diện tích hình phin ỉ giới hạn bới tP) (C), ta : s =2J(V^r - —-)dy (1) = 2( i V ^ V d y - 0 Xét tích phân lị, ta sử dụng phép đổi hiến : y = V2 sint => d> = V2 cost.di Đổi cận : ■ y = => t —0 ■ y = => t = — - 71 t/4 ;t/4 I = J c o s2 tdt =4 j(l+ c o s2 t)d t = 4(t + —sin2t) Q/4 = ĩc+ (2) 0 Ngoài ra, ta có I2 = ™ - , (3) 4 Thay (2), (3) vào (1), ta : s = 2[(n + 2) - - ] = 2rt + — 3 b Hoành độ giao điểm (C) (P) nghiêm phương trình: - x2 = 2x o X2 + 2x - = o X= Thể tích vật tròn xoay cần tính cho bởi: y = V 1+ V2= n }2xdx + J * (8 -x 2)dx 2n i ( x ~ ' X3) 2 Í2 - M 8V2 - ) Bh Bài tập V= Bài tập Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: = V^ X = x —1 Thể tích vật tròn xoay cần tính cho bởi: 1ị V = 7t J X4 - xịcỈA 202 (đvtt) Bài 10 Hoành độ giao điếm ỉà nghiệm cua phirơng tiình: tậ p , x - x + , = - x - x , + c ^ x - x ^ = 0 X = X = T h ể t íc h vậ t trò n x o a y c ầ n tín h là: V = 71 j | ( x - x + ó )~ - ( - X - x + ó ) dx ()' = 71j(l2 x - x + 24x)dx =7i(3x4 - ' ' -h 12 x 2) Ịô = 371 (đvtt) B ài tập 11 H o n h đ ộ g i a o đ iể m n g h iệ m c ủ a p lu n m g trìn h : , , x = 2x + o X = -1 x : - X - = 1> x = T liể t íc h v ậ t trò n x o a y c ầ n tín h ỉà: 2 V = 7t J | x - ( x + ) d x = 471 J ( - x + X + x + ) d x -|' -I „ ; 288 a = n ( — —X5 + — X3 + x : + x ) = —— 3 Bài tập 12 Bài tặp 13 Vậy, * T h a m k h ả o b i tậ p 18 c h ù đ ề (C): X ét X2 + ( y - b ): = a: c ó tâ m 1(0, b ), bán k ín h R = a ta đ ợ c : N a ( C ) trê n c ó p h n g trìn h : y= ■ x ( đ v tt ) f,(x ) = b + V ã - X v i x e ị - 1, a j N a ( C ) d i c ó p h n g trìn h : y = f2(x) = b - Va2 - X2 với X I a| Khi đó, tnể tích vật thê tròn xoay cần tính ià V = 7tJ Ịb + V a - X2 j ~ (b -aL vã2- X' i J\ J ỈTtb J Va2- X2dx -a Tlìực phép đổi biến X = a.sint thi dx = a.costd? Đổi cận: ■ Vớ\ X Với X = - a t = —— ? 71 = a t = — n/2 , -)t/2 Khi dó: V = 47ta2b ị-v/cos2 costdt = ?.r b f(l o s ^ ‘ )dt -n/2 sin2t) • -1^ = 2na2b(t +, — _ 2jra'b = 203 Bài tập 14 X é t (C ): (X - 2) + y : = c ó tâin 1(2, ) , bán kính R = V ậ y , ta đ ợ c : ■ N a (C ) b ê n p h ả i c ó p h n g trình: X = f, ( y ) = + -/l - y2 v i y e Ị - , 1| Nửa (C) ò bên trái có phương trình: X= y- =2-/l với y G [ - , 1 K h i đ ó , th ế t íc h v ệ t t h ế tròn x o a y cầ n tính là: 7t { (2 + yjl -IL v = - y : )" - {2 - y ị ĩ - y ) dy =8n / V — y dy -I J T h ự c h iệ n p h é p đ ổ i b iế n y = sin t d y = c o std t f Đ ổ i cận: ■ Với y = -1 th ì t = - — ■ V i y = th ì t - r K hi đó: k /2 ị V = 871 k /2 ị v e o s t costdt= 87t j(l+ cos2t)dt -7 /2 -7 /2 = i(t + — si n t) = 47t2 Bài tập 15 Bạn đọc Bài tập 16 tự giải P h c m g tr ìn h đ n g th ẳ n g (d ) đ ợ c c h o bởi: (d ); y = k(x - 1) + I V ì ( d ) n O x = { A Ị , to đ ộ A n g h iệ m cù a hệ: ị y = k(x - ) +1 A ( ý k XỶ [y = ' 01 V Ì ( d ) n O y = { B Ị , to đ ộ B n g h iệ m củ a hệ: (y = k(x -1)4-1 [X = a G ọi V qx =>B(0f 1-k) t h ể tíc h c ủ a vậ t th ể sin h b i A O A B v 0x ta có t h ể l ự a c h ọ n m ộ t Cách : S d ụ n g h = — , đạt k = —— b Gọi v 0y thể tích vật thể sinh AOAB quay quanh trục Oy, để xác định v 0y ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1:Sử dụng hệ toán 1, ta được: v0y = - T i í — -(JL - - - (1 - k ) = y ỉ, J V Cách 2:Sử dụng tòán 2, ta được: k-l ■ v 0x = n j x 2d y = Xác định MinV0y k k + 3) I [-L(y - 1) + l]2dy = ^ ( - L - - k + 3) k k“ k Xét hàm số g(k) = — - - k + v i k < k2 k Đạo hàm: g'(k) = - JL + -1 - , k3 Bảng biến thiôn \r g'(k) g(k) ỉ 2L g'(k) = o - - l + -1=0 o k' k2 k2 n ^ 0 + 27/4 + 00 k = -2 00 9n Vậy, ta đươe MinV0y = ——, đạt đươc k = -2 205 MUC !,ư c G IỚ I T H IỆ U C H L N G C hủ đ ề 1: N g u y ê n h m Bài toán l :C hứng minh F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a, b) bang định nghĩa Bàitoán X 2: ác định giá trị cùa tham số đê F(x) m ột nguyên hàm hàrp S'"í f(x) (a, b) Bài toán 3:T ìm nguyên hàm H ướng dẫn - G iải - Đáp s ố .15 C hủ dề2 : M ộ t s ố p h n g p h p tìm nguyên h m Bài Bài toán I :P hương pháp phán tích 32 toán 2:P hương pháp đổi biến dạng 35 Bàitoán Bài 31 :P hương pháp đổi biến dạng 36 toán :P hương pháp láy nguyên hàm phần 39 Hướng dần - G iải - Đáp so ,., 41 C hủ đ ể 3: T ích p h â n 68 H ướng dản - G iải - Đáp s o C đ ể 4: 73 C c phương! ph aị, »ính tích p h n .86 Bùi toán ỉ: Phương pháp đổi biến dạng ’ Bồi toán 86 2:Phương pháp đổ) biến dạngÁ Bài toán 3: Phươn; pháp tích phím phần 93 Hướng dẫn - G iải Đ áp sò 95 Chủ đ ề 5: T ín h tíc h p h n hàm số thường g ậ p 120 Ba ì toán I :T ính tích phán hàm sô chứa dấu trị tuyệt đôi 120 Bàì toán 2:Tínli tích phân hàm sổ hữu L 122 Bài toán T 3: ính tích phần hàm 30 lượng g iá c Bài toán :T ính tích phân hàm số vô t ỉ Bởi toán 5: Tính tích phản hàm sổ siêu việt H ướng dần - G iải - Đ áp s ố 124 128 131 133 C hủđé 6:Đ ẳ n g th ứ c , b ấ t đ ầ n g th ứ c tách p h â n 164 Bài toán ] :Chứng minh đẳng thức tích phân 164 Bài toán :C hứng minh bất đẳng thức tích p h â n 165 Hướng dẫn - Giải - Đ áp s ô 166 Chủ đề 7: Bài Bài P h n g tr ìn h , b ấ t p h n g tr ìn h tíc h p h â n 175 toán 1:G iải phương trình, bất phương trình chứa tích phân .175 toán :Sử dụng tích phân chứng minh phương trình có n g h iệm 176 Hướng dẫn - Giải - Đ áp s ô 177 Chủ đề 8: S d ụ n g tíc h p h â n tín h d iệ n tíc h h m h p h ả n g 182 Bài toán I :D iện tích hình phăng dạng .ỉ 82 Bài toán 2:D iện tích hình phẳng dạng 183 Bài toán 3: Diện tích hình phẳng dạng 185 Bài toán4: Diện tích hình tròn, elíp ứng d ụ n g 185 Hướng dần - Giải - Đ áp s ô 187 C hủ để Bài :S d ụ n g tíc h p h â n tín h th ể tíc h c ủ a cá c v ậ t t h ể 195 toán Bài toán 2: Bài Thể tích vật thể tròn toán3: Bàitoán I :T hể tích vật thể T xoay dạng ỉ 196 196 Thể tích vật thể tròn xoay dạng 197 :T tích vật thể tròn xoay dạng Hướng dản - G iải - Đ áp s ô 198 199 207 NHÀ XUẤT BẢN ĐAI HO'" ouốc GIA HÀ NỘI 16 Hàng Chu “ - Hai Bà rưng - Hà Nội Điện thoại: (04) 9724852; (04) 9724770 Fax: (04) 9714899 ĩỊĩ nhiệm xuất C hịu trá ch G iá m đốc: Tổng biên p r 'N G Q U Ố C B Ả C tập:N G U Y ỀN BÁ TI ÍÀ N H Biên tập: T H U HÀ - TRẦN H Ư N G Chê N h sá c h H Ổ N G  N Trình bày bìa: Đ ÌN H TÔ Đơn vị/Người liên bản: N h sá c h H v L G  N SÁCH LIÊN KẾT BÀI TẬP Tự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM GIẢI TÍCH 12 TÍCH PHÂN VÀ Ứ N G G _ N Ụ D _ Mã SỐ: ÌL - 136 ĐH2008 In 2.000 cuốn, khổ 16 X 24cm Công ti TNHH In Bao Bì Phong Tân - TP Hổ Chí Minh SỐ xuất bản: 349 - 2008/CXB/06 - 66/ĐHQGHN, ngày 22/4/2008 Quyết định xuất số: 136 LK/XB In xong nộp lưu chiểu quý II năm 2008 [...]... dỏn Lỳa chon dỏp ỏn hỏng phộp thu2 (Tớr phỏi qua trỏi) -J&tni doc tuthuc hien Bỏi tip 33 a : c Lỏp sú trac nghiộm D dx & Le) gidi tu luỏn: Sớr dung kột qua - = -d(cotgx), ta.jdtớtrc: sin x ^1 dx ớf(x)dx= J T = - J(1 + c o tg 2x).d(cotgx) sin x sin x = -cotgx - ^ cotgx + C b tỏ p so trac nghiộmB c tỏ p so trac nghiộm C & ĂLd giỏ i tu luỏn: Ta biộn dcii: sin x + cosx cosx + sinx f(x) = ... sinx sin3x + c 4 12 b ỏp sụ trc nghim D sS Li giai _ t , f COSx dx lun:Ta cú: Jcotgx.dx = J - = J s in x sstnx in Y rd(sinx) = lnlsinxl + c c ỏp s'trc nghim B e Li gii t lun:Ta cú: f(sinx + cosx)dx f d ( s in x - c o s x ) n v?sin T xv _- c o s x x = J 1v7s in r zx z- c7o s x = ớ(sinx - cosx)~/5.d(sinx - cosx) = (sinx - sx)4'5 + c = V(sin X - cos x)4 + c 4 4 v Bi t p 19 ỏp sụ trac nghim A Ê... + c D F(x) = + C In 432 In 24 Bai t titap 26 Tim ho nguydn ham cua cac ham s6 sau: a a i f(x) = e3x~2 A F(x) = e3x~2 + C C F(x) = (3x - 2)e3x_2 + C 2 D F(x) = - e3x"2 + C 1 B F(x) = - e3x' 2 + C 3 2 X+I - 5 x-1 tb j fix) = 10 5X 5 2X 5X 5.2 A F(x)= C F (x)= + + C + C 2 In 5 In 2 2 In 5 In 2 1 2 1 + C B F(x) +C D F(x)=5 x ln5 5.2x ln2 5 XIn5 5 2 x ln2 Bai i titap 27 Tim ho nguy6n h&m cua cac... dng khỏ ph bin trong vic tỡm nguyờn hm C s ca phng phỏp l rớh lớ sau: nh lớ: Nu u(x), v(x) lei hai hm s cú o hm Hờn tc trờn I thỡ: ju(x)V(x).dx = u(x)v(x) - ớv(x).u(x).dx hoc vit Ju.dv = uv - jv.du 31 h II PHNG PHP GII CC DNG TON LIấN QUAN V BI TP Bi toỏn 1: Phng phỏp phõn tớch PlNt PHP CHUNG tỡm nguyờn hm hng phtU! phỏp phn tớch ta thc hin theo cỏc bc sau: BcJ: Bin i f(x) v dng: f(x) = V ot f (x ),... sin2x + c 4 16 sin8x -sin2x + c 16 4 Bỡi tp 7 Cho hm sụ' f(x) = cos22x.cos6x Khi ú f(x)dx bng: -- c sin lOx + -r sin2x + 8 c A sin6x + sinlOx + sin2x + 12 40 8 B cos6x 12 +- c - sin6x + 12 D 40 cosOx + - sin2x + c 40 8 sin6x + sinlOx + 4 cos2x + 12 40 8 c 33 Bi tp 8 Cho hm s f(x) = tanx.tan 3 71 + XA Khi ú Jf(x)dx bng: tan ớ l 3 c A In + c 3 1 B ln cos3xỡ + c - ln Isin3xl + c 3 1) - ln |cos3xi... thũng l: 15 L Du hiu Cỏch chn 1 II* T X = a sint vi - < t < v/a2 - X2 2 2 X =|a|cost vi 0 < t< 7 Vx2 - a 2 x = v ú i t e [ - ,f ] \ |0 } sint 2 2 Va2 + X 2 x = |a| vi t [0 ,7 ]\{ n i cost 2 X = laltant vi - n / 2 < t ỏp ỏn A b loi 20 Vi F(x) = 2008Mn2008 thỡ: f(x) = (2008Mn2008) = 2008Mn220 08 => ỏp ỏn B b loi 2008x f 2008x A = 2008x => ỏp ỏn Vi F(x) = thỡ: f(x) = ln2008 ln 2008 c l ỳng Do ú, vic la chn ỏp ỏn c l ỳng n òS La chndcớp ỏnhng phộp th 2 (T phi qua trỏi): Ta ln lt ỏnh giỏ: Vi F(x) = 208x+1thỡ: f(x) = (2008x+ ')' = 2008x+... qua trỏi): Ta lỏn lirot dỏnh giỏ: Vúi F(x) = -cotx + x + C thl: f(x) = (-cotx + x + Cy = \ + 1 cot12x => Dỏp ỏn D bi loai sin" x Vúi F(x) = -cotx - x + C thl: f(x) = (-cotx - x + C)' = - 1 = corx siiy x D) do, viec lira chon dỏp ỏn C la dỳng dỏn Bal Up 32 Dỏp sú trac nghiộm B jsÊ L a giỏ i tu luỏn: Ta cú: tanx.dx Ă-sinx.dx j-d(cosx) _ eos x J - eos x Dỏp ỏn C dỳng 4 eos X - + C, ỳrng vúi... 37(1 - X +c Khi ú Jf(x)dx bng: 2 -- _ 1 , 1 2x - 3 D -7 X + ln 2 12 2x + 3 oe 1 A ( 1 -x ) 39 +c 38(1 38(1 - 37(1- x ) 37 +c X)38 38(1- x ) A ln Ix2 - X + l| + ln Ix + ll + B ln Ix2 - X + ll - ln |x + ll + c + c 1 2 +c X)38 1 -- Bi tp 5 H nguyờn hm ca hm sụ' f(x) = c 1 >< 00 Bi tp 4 Cho hm sụ f(x) = 2x - 3 1 , 1 , B - X - ln 12 2 2x + 3 38 + c X2 +2x - 2 c c x3 + l ln Ix2 + X l: + ll + ln Ix -... 1 1 o a - vb = - 3 (a -b )ằ l 6 6 T ú, suy ra: f(x) = X 7 - v2x - 3 \( 2x + 3 J r 1 V A - ớ -ớf(x)dx = f X 1 1 3ỡ Jỡỡdx J[ 6 k^ 2x 2 x 33 2x + 3y 6V2 2x-3 2 J 2x + 3 23 J_ = X 12 2 _ 1 2 = X 12 ỏp t T lun: a cú: 2 Bi tp 24 gớ Li gii (ln|2x - 3| - ln|2x + 3|) + c In 2x - 3 +c 2x + 3 sụtrcn im.B gh |f(x )d x = jex( 1 - e~x)dx = ớ(ex - l)dx = ex - X + c, ng vi ỏp ỏn B gSLa chn ỏp ỏnhng