B G I O D C V O TO TR N G I HC s P H M H NI N G U Y N T R N G LM D N G IU TIM C N N G H IM C A BAT a n g t h c VI B I N P H N D N G PARABOLIC-ELLIPTIC L U N V N T H C s T O N HC C huyờn ngnh: Toỏn gii tớch M ó s: 60 46 01 02 NGI HNG DN KHOA HC PG S.T S T R N èN H KE H N I, 2016 Li cm n Lun c hon thnh ti Trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca thy giỏo PGS.TS Trn ỡnh K S giỳp v hng dn tn tỡnh, nghiờm tỳc ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tỏc gi trng thnh hn cỏch tip cn mt nghiờn cu khoa hc Tỏc gi xin by t lũng bit n v kớnh trng i vi thy Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu Trng i hc S phm H Ni 2, phũng sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng cựng cỏc bn hc viờn cao hc ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny! H Ni, thỏng nm 2016 N guyn Trng Lõm Li cam oan Lun c hon thnh ti Trng i hc S phm H Ni Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca thy giỏo PGS.TS Trn ỡnh K Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó k tha nhng kt qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc t ti liu tham kho H Ni, thỏng nm 2016 N guyn Trng Lõm 111 M c lc Li cm n i Li cam o a n ii M u Chng K in thc chun b 1.1 o khụng com pact 1.2 Mt s khỏi nim ca lý thuyt na n h ú m 1.3 Di vi p h õ n 11 1.4 Lý thuyt hỳt ton c c 12 Chng T ớnh gii c v tớn h cht n g h i m 15 2.1 S tn ti nghim ton c c 15 2.2 Tớnh cht nghim 23 Chng D ỏng iu tim cn n g h i m 28 3.1 S tn ti hỳt ton c c 28 3.2 ng d n g 32 K t lu n 36 Ti liu tham k h o 37 M u Lý chn ti Xột h bt ng thc vi bin phõn x \ t ) Ax[t) Ê F(x{t), u{t)), x{t) E X, t ^ 0, (0.1) Bu[t) T d[u[t)) ^ g{x{t), u{t)), u(t ) ^ u , t ^ 0, (0.2) z(0) = ớ, (0.3) vi hm trng thỏi X ly giỏ tr khụng gian Banach X , hm iu khin u ly giỏ tr khụng gian Hilbert u , A, B l cỏc toỏn t tuyn tớnh, d l di vi phõn ca phim hm , F v g l cỏc hm phi tuyn Trong trng hp X v u l cỏc khụng gian hu hn chiu v I k l hm ch ca mt li úng K u thỡ ta cú mt bt ng thc vi bin phõn hu hn chiu x \ t ) Ax[t) t F{x{t),u{t)),x{t) t x , t ^ 0, (0.4) (v u{t), Bu[t) g{x{t), u{t))) ^ 0, Vu ^ K, (0.5) z(0 ) = t ( 6) õy l i tng nghiờn cu thu hỳt s quan tõm ca nhiu nh toỏn hc sau cụng trỡnh ca Pang v Stewart [14] nm 2008 Dỏng iu tim cn nghim ca h (0.4)-(0.6) ó c nghiờn cu cụng trỡnh [2] ng vi mt thit lp c th ca hm F v g Tip theo, kt qu m rng cho trng hp vụ hn chiu c trỡnh by [3] Bt ng thc vi bin phõn l mụ hỡnh ca nhiu bi toỏn ng dng kinh t hc, c hc, mng li giao thụng, h thng mch in, Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v lý thuyt cỏc bt ng thc vi bin phõn, di s hng dn ca thy giỏo PGS.TS Trn ỡnh K tụi chn "Dỏng iu tim cn nghim ca bt ng th c vi bin phõn dng parabolic-elliptic" cho ti nghiờn cu ca lun Cỏc kt qu c trỡnh by da trờn cụng trỡnh [3] M c ớch nghiờn cu Tỡm hiu cỏc iu kin cho tớnh gii c v s tn ti hỳt ton cc ca na dũng a tr sinh bi h (0.1)-(0.3) N h im v nghiờn cu Tỡm hiu v bt ng thc bin phõn; Tỡm hiu v lý thuyt im bt ng; Tỡm hiu v lý thuyt h ng lc a tr i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờu cu: bt ng thc vi bin phõn Phm vi nghiờn cu: iu kin tn ti nghim, dỏng iu tim cn nghim Phng phỏp nghiờn cu Lun s dng mt s phng phỏp v cụng c ca gii tớch bao gm: Gii tớch a tr, gii tớch hm phi tuyn, gii tớch bin phõn; Lý thuyt h ng lc a tr khụng gian vụ hn chiu ún g gúp ca ti Chng minh chi tit cỏc kt qu cụng trỡnh [3] t Gi s (X, I D l khụng gian Banach v [U, ( r, r)) l khụng gian Hilbert Xột bi toỏn x \ t ) Ax[t) e F(x{t), u{t)), xt) e l , ^ 0, (0.7) Bu{t) T d[u[t)) ^ g{x{t), u{t)), u{t ) E , t ^ 0, ( ) z(0) = , (0.9) ú cp hm (a;(/),ô( )) ly giỏ tr X X u , : u >- M l mt phim hm chớnh thng ( ^ --x-), li v na liờn tc di xỏc nh trờn U : F : X X v { x ) l mt hm a tr, A l toỏn t tuyn tớnh sinh mt Co-na nhúm trờn X , B : u u r v g : X X u u r l cỏc ỏnh x s c mụ t phn sau, õy ký hiu u r ch khụng gian i ngu ca u Trong trng hp X v u l nhng khụng gian vụ hn chiu, cú th tỡm thy cỏc mụ hỡnh ng dng c th cho h (0.7)-(0.9) nh cỏc h phng trỡnh o hm riờng Chng hn vi X u L 2{Q), r Mn l mt Xột h phng trỡnh parabolic-elliptic Z A z + F { Z : lớ), ri A u -|- h{u) X g [ z , u), r z { x , 0) z {x), X T r, (0, x>), X (0, x>), ( 10) ( 11) (0 12) ú z z { x , t ) v u u { x ,t ) l cỏc hm xỏc nh trờn Q X R+" ng vi iu kin biờn Dirichlet hoc Neumann H ny xut hin sinh hc nghiờn cu chuyn ng ca vi khun cú tỏc ng ca húa cht (xem [9]), v bi toỏn khụi phc nh (xem [10]) Chỳ ý rng vi iu kin thớch hp, hm h{u) (0.11) cú th vit di dng h[u) j{u), ú J ằ - { H[u[x))dx + 20 vi H [u) nu H {u) Ê L 1(ớớ), cỏc trng hp cũn li, h{s)ds (xem [4]) Do ú trng hp nờu trờn h (O.lO)-(O.ll) cú dng (0.7)-(0.9) Ta xem xột h (0.7)-(0.9) nh mt bt ng thc vi bin phõn khụng gian vụ hn chiu Cho n nay, cỏc kt qu nghiờn cu v dỏng iu nghim cho h ny cũn cha c bit n nhiu Mc tiờu ca lun l trỡnh by mt kt qu gn õy v dỏng iu nghim ca h (0.7)-(0.9) c thit lp [3] Kt qu ny m rng kt qu [2] cho h vụ hn chiu Chng K in th c chun b 1.1 o khụng com pact Cho E l khụng gian Banach Ký hiu V {E ) - [B c E : B 4= \ , B{E) - { B e V {E ) : B b chn } o khụng compact Hausdorff (MNC) x(/) l mt hm hp xỏc nh nh sau, vi ri e B{E), x{ớl) - inf{e > : ớl cú li hu hn} Ký hiu L1{0, T; E) l khụng gian cỏc hm xỏc nh trờn on [0, r j , ly giỏ tr E v kh tớch theo ngha Bochner Gi s D L 1[0, T; E) l tha vi mi / D, If[t) I ^ v[t) vi hu khp t e [0, T], ú V e L1(0,T;M), ú ta núi D b chn tớch phõn Xột mt s c lng thụng qua o khụng compact Hausdorff (gi l MNC-c lng) nh sau M nh 1.1 [11] Nu {u;n}- c_ L1(0 ,T ;Ê I) b chn tớch phõn thỡ vi mi t e [0, T\ Ta cng cú c lng tng t cho khụng m c (xem [12, Proposition 2.5]) M nh 1.2 Gi s D c: L l {0,T]E) cú cỏc tớnh cht D b chn tớch phõn, x{D(t)) ^ q{t) vi hu khp 1 L0,T], ú q t L 1(0, T; R ) Khi ú D(s)ds) ^ r q(s)ds, J0 J0 y D(s)ds = [Jof(s)ds : Ê Ê D\ Ta s dng khỏi nim -chun ca toỏn t tuyn tớnh b chn T (T Ê C[E)) nh sau |T |X inf(/3 > : x (T (5 )) ^ Px{B) vdi mi b chn B E \ ( 1) Ta bit rng x-chun ca T xỏc nh bi m * = x tn B !ằ , vi B i l hỡnh cu n v E Ta cũn cú \ T \ Xô I ú chun cui cựng ỏnh giỏ trờn l chun toỏn t C{E) Rừ rng T l toỏn t compact nu v ch nu \T\ Ta nhc li mi quan h gia cỏc khỏi nim A;-nộn v A;-Lipschitz i vi toỏn t phi tuyn Cho E l mt khụng gian Banach v X l o 24 Xột 7tt , T > 0, l toỏn t hn ch lờn on [0, X1] xỏc nh trờn (|0 , + x >); X ): vi Z e (7(10, + x >); X ) , t {z ) l hn ch ca z lờn on [0,T\ Ký hiu Ê(Ê) = {a; t ); X ) : ổ(0) = Ê, X l mt nghim ca (0.7)-(0.8) trờn [0, x j vi mi T > 0} Rừ rng rng 7TT o Ê(Ê) c S{') + W o V G{7TT o Ê(Ê)), (2.14) vi mi T > v 7Tr y Ê(Ê) Fix(J7), cỏc im bt ng ca toỏn t nghim T (L 0,T ];X ) B 2.7 Gi s cỏc gi thit ca nh lý 2.6 c tha Nu (Ênf X l mt dy hi t thỡ 7Ty y E ({Ê}-) compact tng i C (|0 ,T ];X ) Trng hp riờng, 7T oÊ(Ê) l compact vi mi ( e l Chng minh Gi s x n e x n[t) 7T ^ Ê(Ê), n e N Khi ú s[t)Ên + w v V G{xn){t),t ù Lo, 1]- Ta phi chng minh {xn\ compact tng i ([0,T J;X ) Bng cỏc ỏnh giỏ tng t nh (2.12) ta cú \xn{t) \x ^ M - \ - M \xn{s)\x d s,v t > (2.15) J0 ú Ml dT -\- M sup |Ên \x- S dng bt ng thc Gronwall, ta nN Cể (x n\ l dóy b chn C ([0,T J,X ) Ly fn ^ V g èXi) cho (2.16) S dng ỏnh giỏ (2.9), ta cú {/} l b chn tớch phõn tớnh b chn ca (x n\ Khi ú nu s{') compact thỡ {xn\ compact Ngc li ta cú x{{xn[t)\) ^ (/)(*)) 25 ^ r x({S{t - s ) f n{s)\)ds Jo ớ2Jlớf Jo ^ 2M I [p + Jx((xn(s)})ds Jo Vb - m (s dng c lng (2.8)) p dng bt ng thc Gronwall mt ln na, ta nhn c x({x(ớ)}-) 0, Vớ t [0, r j Vy x{{fn{t)\) ^ [p H- ]x({.Ên()}) - 0, Vớ Ê L!T Jf]B - m iu ny cú ngha [ fn\ l na compact L^Oj Tj X) Do Mnh 2.5, { w { f n ) \ l compact tng i (|_0,T];X ) Nh (2.16), i n cng l compact tng i C7(|0, T]; X ) Bõy gi ta chng minh 7rr yÊ(Ê) l compact vi mi Ê TX Ta cn ch nú l úng Gi s x n e 7Tr y Ê(Ê), x n x ([0, TJ; X ) Bng lý lun tng t nh chng minh nh lý 2.6, ta nhn c X* e t o Ê (Ê ) Ngha l 7Tr y Ê ( Ê ) úng B c chng minh J Bõy gi ta cú th xỏc nh na dũng a tr liờn kt vi bi toỏn (0.7)-(0.9) nh sau (ớ, Ê) k X ^V {X ), (x(ớ) : X l mt nghim ca (0.7) (0.9), x(0) Ê} Rừ rng (ớ,Ê ) Ê(Ê)(t), Vớ ^ Hn na s dng lý lun nh [13], ta cú G(t\ + ,f ) = (1 ,( ,Ê)), vi mi t u t2 X, ngha l, Q l na dũng a tr cht Ta chng minh Q l na liờn tc trờn b sau 26 B 2.8 Gi s cỏc gi thit nh lý 2.6 c tha Khi ú {t, ') l na liờn tc trờn v nhn giỏ tr compact vi mi t > Chng minh Ta cú T ^>E(Ê) l compact C7(|_0, j ; -X") vi mi t > nh ó ch B 2.7 iu ny chng t ầ[t, Ê) l compact vi mi ( t i Vy ỗ[t, ') nhn giỏ tr compact Theo B 1.3, ta ch cn chng minh {t,') l ta compact v cú th úng Trc ht ta ch [t, ') l ta compact Gi s K C- X l mt compact Vi {zn\ ầ{t, K), ta cú th tỡm c dóy K cho zn ^ {t,^n) Gi s {Ê[ hi t n X Ly x n t E(Ên) cho z(0) = Ên,Xn{t) = zn (2.17) Nh B 2.7, ta cú 7rt c>E((Ên}-) l compact tng i ([0 ,ớj; X ) Do ú tn ti mt dóy ca {xn} (vn ký hiu l (a;nf) cho t{xn) x Ơ ( |0 ,ớ ] ,x ) T (2.17) suy [zn\ hi t n x*{t) X v aT(0) Bõy gi ta chng minh Q[t, ') c th úng Gi s (Ênf Trng hp ngc li, na nhúm s{') khụng compact, t (3.2) suy x{D{t)) ^ P e - ^ x i B ) + X p S{t - s)V c(D ){s)ds\ Pe~tx (( BB)) + 44P P f e - ô - )x (P c (Ê))(s))ds J 00 r rt Pe~pt x{B) + e^s (p-\- q^ ) x{D{s))ds Jo V Vb - V / Do ú e^ x(D (ớ)) ^ Px(-S) H- 4P(p H- ^ ) f e ^ x ^ s))^ Vb V2 J0 S dng bt ng thc Gronwall, ta cú e^xi.Dit)) ^ P e 4p p+'is-1)2 ^(_g) Hay tng ng, QVl P e ^ 4P^ i'i s Do ú õy Cớ = P e ^ Chn T0 > " ,lnP 9^ - r v Ê ÊTo, ta cú kt lun ca b VE-*12 -I B 3.2 Gi s cỏc gi thit ca B 3.1 c tha Khi ú Q l tim cn trờn na compact 30 Chng minh Gi s B L_ X l b chn v Eg l h cỏc dóy [Êk : e G{t B), t x>} Ký hiu L = Ta cn chng minh Ă1 EB\ s u p ( x ( f i) : r t Gi s ngc li, vi o (0, (1 ỗ)p) tn ti [Ê,k\ ^ S B cho xfo) > i - õy Q xỏc nh B 3.1 Ly T > B 3.1, vi mi tk - (T, 00) tn ti s m k e N cho t m kT + rk,r k e |_0jT) Vi n - [rnk - 1)T T rk, thỡ t G{tk,B) - G{T T Tk, B ) - ầT{ầ{Tk,B)), vy cú th ly ]k Ê G{jk,B ) cho x{tỡe) = ^ Gợijik)- T õy suy x ( [ f) ^ x(Êr((%})) ^ (x{{r)k\) -0 iu mõu thun trờn chng minh kt lun ca nh lý -I B 3.3 Gi s (A*), (B), (F) v (G) c tha Khi ú na dũng G cú mt hp th b chn, nu ta cú bt ng thc a > a + bm Chng minh Ly t > v B c_ X l mt b chn Vi ( t B v X Ê Ê(Ê), ta cú X[t) - S{t) + f S { t - s )f{s)d s, J0 ú / o V g {x ) S dng (A*) v (2.9), ta cú \x{t)\x J0 s) C -a{t aT br 9b - m Do gi thit a >a+ b]i Vb - m K ô ) U + d ds (3.3) 31 ta cú th chn R > cho br)i d Vb - 12 R a - -h < a Ta s ch rng hỡnh cu úng B r (tõm ti v bỏn kớnh R ) l hp th ca Q Trc tiờn ta ch rng, tn ti t0 > cho |a:(t0) \x ^ RT ht vy, gi s \x{t) I > R vi mi t > Khi ú t (3.3) K * )|x ^ e~at |Ê |x + r e~a[t~s}'\x{s)\xds J0 Suy | x(ớ )U = |ớ U e - (- T), V > Vy |z(i) \x -> t y x>, õy l iu mõu thun Bõy gi ta ly > cho Ix[t0) \x ^ R Tip theo, ta s chng minh \x{t) \x ^ R vi mi t ^ t Gi s ngc li, tn ti t ^ t0 v > cho |x(ớ) IX > R vi t e (I,ới T ) Khi ú x{t) S t t)x(ti) T r s{t s)f(s)ds, Jt1 v ta cú bt ng thc tng t nh (3.3) \x W l X al t t) K * i) \x + Do Ix[t) IX > R khong e a{ t s ) a -b br)1 r}B - r}2 K s ) \x T d ds T ) nờn \x{t) \x ^ e~a[t~tl} |a;(ới) \x + r e ^ ớ_s)7 \x{s) \x ds, v ú z ( ) | x ^ \x{ti)\x e ^ 7Kớ ớl} ^ R, Vớ e [ t ^ t +- ) Bt ng thc trờn li l mt mõu thun B c chng minh Kt hp cỏc B 2.8, 3.2 v 3.3, ta i n kt qu sau -I 32 n h lý 3.4 Gi s (A *), (B), (F) v (G) c tha Khi ú na dũng a tr Q sinh bi h (0.7)-(0.9) cú mt hỳt ton cc compact nu ta cú bt ng thc sau VB -2 ]B - m , > 3.2 n g dng Gi s ri l b chn Rn vi biờn trn dfỡ Xột bi toỏn u ~^{t, X) - Axu{t, X) - f{t, x), t > 0, Ê b ớỡ, (3.4) f { t , x ) e [f1{ x , u { t , x ) , v { t , x ) ) , f 2{ x ,u { t ,x ) ,v { t,x ) ) \ , t > 0, XE è , (3.5) Axv{t, x) -\- (3{v{t, x) 1p{x)) g{x, u{t, x), v[t, x)), t ^ 0, X tr , (3.6) u[t, x) v{t, x) 0, t ^ 0, X e , (3-7) u(0,:r) = >{x), X - $} (3.8) ú fi, f : X R X R ? l cỏc hm liờn tc, hm g i i x R x R >R liờn tc, -0 t H 2{) v /3 : ^ R l hm a tr biu din th n iu cc i, nu r > , P{r) = < K nu r = , nu r < õy on L/i, / 2] = [ r / i + (1 - r ) / : T t [0, ljf Xột X U L 2[t) Chun X v u xỏc nh bi \u X = |w(z)|: dx Jớl 33 Xột hm a tr F :X X U^V{X), F{u,v)(x) - l f l { x , u { x ) , v { x ) ) J 2{x,u{x),v(x))\ Khi ú (3.4)-(3.5) c vit li di dng u{t ) Au[t) Ê F{u{t), v{t)), t ^ 0, ú A A, D{A) H 2{ớỡ) n H q{ớ ỡ ), u{t) t x , v { t ) - u cho u[t){x) u{t,x),v{t){x) v { t , x ).Ta bit rng na nhúm s[t) etA l compact v n nh m (xem [8]) \s{t) U(x) ^ e Xl\ ú Ai inf(| Vw| ^ : \u \x lf Vy gi thit (A*) c tha Ta gi s tn ti cỏc hm i, 2, bi, b2, Cl, c2 Ê L2(f) cho \fi{x, u, n)| ^ Oi(a;)|u| + h{x)\v\ + Ci(x), 1/2(0:, u , v )I ^ a2(a;)|w| + b2{x)\v\ + c2{x), Mx t f, U, V t M D dng kim tra F l ỏnh x a tr vi giỏ tr li v compact Hn na ta cú ỏnh giỏ IF{u,v) I ^ m ax{ |oi \x, \a2 U H WU + m ax{ I&1 U , I&2 |x } \v \x + c Cú th kim tra F cú th úng bng cỏc gii hn n gin Ngoi ra, nu [un\ c_ X , [vn\ c_ u l cỏc dóy hi t thỡ ta cú th tỡm c mt dóy f n ầ F[un, vn) hi t X bng cỏch s dng nh lý hi t tri Lebesgue Do ú F l ta compact Theo B 1.3, F l na liờn tc trờn Gi thit (F) c tha 34 Xột bao hm thc (3.6) t B A, ú A l toỏn t Laplace theo ngha phõn phi, tc l ( lớ,A v ) Jn Xu{x)Xv{x)dx, vi lớ, V e iL^(ớ) Rừ rng (V, B v } \v \2 Hun) ^ Ai \v \2 X Vy gi thit (B) c kim tra vi ]B = Ai Liờn quan n hm phi tuyn g, gi s tn ti cỏc hm 771,772 - L 2[ỡ) cho \ g { x ,p ,q )- g { x ,p ,q ) \ ^ r)i{_x)\p-p \+r2(x)\q-q\, Vz t n,p, q, p, q t R Xột dng tru tng ca g nh sau g :X X u L 2{n), g{u,v){x) = g{x,u{x),v{x)) Khi ú \ g{u,v) - g { ỳ , v ) \x ^ \r}i \x \ u - u \ x T \r)2 \x \ v - v \ x , V u , u , v , v ớ= X S dng lý lun [4, Proposition 2.11], (3.6) cú th vit di dng Bv[t) + dIK {v{t)) g{u{t),v{t)), ú K (lớ E L (f); u[y) ^ vi hu khp X E ff, dIK [y) ={u Ê L 2{yt)] I u{y){v{y) - z{y))dy ^ 0, \/z Ê K , (lớ Ê L (f); u{y) Ê {v{y) >ly)), vi hu khp X Ê fỡ\, Ta cú kt qu sau suy t nh lý 3.4 35 n h lý 3.5 Na dũng a tr sinh bi (3.4)-(3.8) cú mt hỳt ton cc compact L 2{Q) nu \r]2 \x < Ai v bt ng thc sau c tha X > m ax(| i \x, a2 \x \ +m ax( I&! \x, I&2 \x \ t ^ j x I X \è2 \x 36 K t lun Lun trỡnh by mt s kt qu nghiờn cu gn õy v tớnh gii c v dỏng iu nghim cho bt ng thc vi bin phõn dng parabolicelliptic C th: Tớnh gii c ton cc v tớnh cht ca nghim S tn ti hỳt ton cc ca na dũng a tr sinh bi h p dng cỏc kt qu thu c cho mt h phng trỡnh o hm riờng Lun cú th tip tc phỏt trin cho trng hp h cha tr v trng hp bt ng thc bin phõn liờn kt vi h khụng cú tớnh nht nghim 37 Ti liu th am kho [1] R.R Akhmerov, M.I Kamenskii, A.S Potapov, A.E Rodkina, B.N Sadovskii (1992), Measures of Noncompactness and Condensing Opư erators, Birkhauser, Boston-Basel-Berlin [2] N.T.V Anh, T.D Ke (2015), Asymptotic behavior of solutions to a class of differential variational inequalities, Ann Polon Math 114, no 2, 147-164 [3] N.T.V Anh, T.D Ke (2015), On the differential variational inequalư ities of parabolic-elliptic type, preprint [4] V Barbu (2010), Nonlinear Differential Equations of Monotone Types in Banach Spaces, Springer Monographs in Mathematics, London [5] D Bothe (1998), Multivalued Perturbations of m-Accretive Differư ential Inclusions, Israel J Math 108, 109-138 [6] X Chen, Z Wang (2014), Differential variational inequality apư proach to dynamic games with shared constraints Math Program 146, no 1-2, 379-408 [7] W Desch, A Rhandi (1998), On the norm continuity of transition semigroups in Hilbert spaces, Arch Math 70, 52-56 38 [8 ] K.-J Engel, R Nagel (2000), One-parameter semigroups for linear evolution equations W ith contributions by S Brendle, M Campiti, T Hahn, G Metafune, G Nickel, D Pallara, C Perazzoli, A Rhandi, S Romanelli and R Schnaubelt Graduate Texts in M athư ematics, 194 Springer-Verlag, New York [9] W Jọger, S Luckhaus (1992), On explosions of solutions to a system of partial differential equations modelling chemotaxis, Trans Amer Math Soc 329, no 2, 819-824 [10] Z Jin, X Yang (2010), Weak solutions of a parabolic-elliptic type system for image inpainting, ESAIM Control Optim Calc Var 16, no 4, 1040-1052 [11] M Kamenskii, V Obukhovskii, P Zecca (2001), Condensing Mulư tivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in: de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applicaư tions, vol 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York [12] T.D Ke, D Lan (2014), Global attractor for a class of functional differential inclusion with Hille-Yosida operators, Nonlinear Analyư sis 103, 72-86 [13] V.S Melnik, J Valero (1998), On attractors of Multivalued SemiFlows and Differential Inclusions, Set-Valued Analysis , 83-111 [14] J.-S Pang, D.E Stewart (2008), Differential variational inequalities, Math Program Ser A 113, 345-424 [15] J Diestel, W M Ruess, W Schachermayer (1993), Weak compactư ness in L l{ò, X) , Proc Amer Math Soc 118, 447 - 453 [...]... ^ M e_aớ, vi mi t > 0; ii) x-gim nu tn ti N, 3 > 0 sao cho \s{t) \ ^ Ne~p*, vi mi t > 0; Lu ý rng i vi Co-na nhúm s['), s n nh m suy ra tớnh cht -gim Ngoi ra, nu s{') compact thỡ nú x-gim vi /3 -|-x> 1.3 Di vi phõn Cho X l khụng gian Banach thc vi i ngu X* Mt hm chớnh thng v li trờn X l hm ip: X > L30, -|-3oJ R khụng ng nht vi -|-x> v tha món bt ng thc - A)a; +A) ^ (1 - \)ip{x) L A 0 v c Ê (03 1) sao cho vi mi T ^ T0 ta cú x {St {B)) =5c x{B) vi mi tp b chn B c_ X , nu ta cú bt ng thc Ă3 4 p[p T QVi -) > VB - V2 0 (3.1) 29 Chng minh Gi s B X l mt tp b chn t D Ti{B), ta cú D ) - Qt{B) c- S[t)B + S t - s)VG{D){s)ds,t > 0 (3.2) Cú th kim tra 7Tt {D) b chn trong C7([p, 1;-X) vi mi t > 0 Do ú nu na nhúm s{') compact thỡ {D{t)) 0 vi mi t > 0 Trng hp ngc li, khi na... +- c vi mi x e X , V e U (G) Hm g : X X u r liờn tc Lipschitz, tc l tn ti cỏc hng s dng ]i v ]2 sao cho ]2 < Vb v Ig{y, v) - g{, v) IU' ^ Ti \y - \x +V2 \v - V \u vi mi y , E X v V, V e u Xột ỏnh x a tr V f xỏc nh bi VF : C(L,rJ;X) X L\,T-, u ) V { L \ V f {x , u ) { / e Z/1(0, T; X ) : f i t ) e F[x[t), u{t)) vi hu khp t E [0, T]}, (2 1) tc l, V f {x , u ) l tp cỏc hm chn ca F{x{'),u{')) vi mi... cht ca tp nghim, dựng cho vic nghiờn cu dỏng iu nghim trong chng sau 24 Xột 7tt , T > 0, l toỏn t hn ch lờn on [0, X1] xỏc nh trờn (|0 , + x >); X ): vi Z e (7(10, + x >); X ) , t {z ) l hn ch ca z lờn on [0,T\ Ký hiu Ê(Ê) = {a; t ); X ) : ổ(0) = Ê, X l mt nghim ca (0.7)-(0.8) trờn [0, x j vi mi T > 0} Rừ rng rng 7TT o Ê(Ê) c S{') + W o V G{7TT o Ê(Ê)), (2.14) vi mi T > 0 v 7Tr y Ê(Ê)... G(t\ + 2 ,f ) = (1 ,( 2 ,Ê)), vi mi t u t2 X, ngha l, Q l na dũng a tr cht Ta chng minh Q l na liờn tc trờn trong b sau 26 B 2.8 Gi s cỏc gi thit trong nh lý 2.6 c tha món Khi ú {t, ') l na liờn tc trờn v nhn giỏ tr compact vi mi t > 0 Chng minh Ta cú T ^>E(Ê) l compact trong C7(|_0, ớ j ; -X") vi mi t > 0 nh ó ch ra trong B 2.7 iu ny chng t ầ[t, Ê) l tp compact vi mi ( t i Vy ỗ[t, ') nhn giỏ... dist((V, B), ^4) ^ 0 khi t > x>, vi mi tp b chn B L_ E, õy dist(/, ) l na khong cỏch Hausdorff trong E\ 2 A l na bt bin õm, tc l A c G[t, A), Vớ Ê r + Ta cú nh lý sau núi v iu kin tn ti tp hỳt ton cc i vi na dũng a tr G n h lý 1.5 ([13]) Gi s na dũng a tr G cú cỏc tớnh cht sau: 1 G{t, ') l u.s.c v nhn giỏ tr úng vi mi ớ t r t ; 14 2 G l tỏn x im, tc tn ti K > 0 sao cho vi w e E, u[t) E G[t, w), ta... ^jxtBG{t,x), B L_ E Na dũng ny gi l cht nu G[t 1 w t2, w ) G{ti,G[t2,w)) vi mi E v t, t 2 t rv G c gi l b chn chung cuc nu vi mi tp b chn B ầ- E, tn ti s T { B ) > 0 sao cho 7 T[ò){B) l tp b chn, õy 7 l tp qu o sau thi im T (B ) : 7 [b )(B) - G(ớ, B) tÊT{B) nh ngha 1.9 Tp b chn B E c gi l mt tp hp th ca na dũng a tr G nu vi mi tp b chn B C- E, tn ti sao cho i \ b ){B) n h ngha c_ T t {B) ^ 0... tớnh t liờn hp trờn khụng gian Hilbert thc H tha món: (1) vT l, xỏc nh dng, tc l tn ti a > 0 sao cho (A u,lớ) ^ a ||ii||2, Vii t D{A); (2) A cú gii thc compact, tc l toỏn t gii R{A, A) [XI A) M compact vi mi A ^ p{A) T gi thit ca A suy ra ph ca A l mt dóy m c gm ton giỏ tr riờng thc vi bi hu hn 0 < a ^ Ai ^ A2 ^ A3 ^ , v An x> khi n x> Cỏc vect riờng tng ng ei, e2, f lp thnh mt c s trc chun ca... 0-na nhúm s{') (B ) Toỏn t B : u u r xỏc nh bi (lớ, B v ) 6(li, v), Vi , I ; t ớ / , trong ú b : u X u > M l mt dng song tuyn tớnh liờn tc trờn u X u sao cho b{u, lớ) ^ ]b \u \ , Vtt ^ u vi ]b > 0 (F) nh x a tr F : X X u ằ- v { x ) l u.s.c v nhn giỏ tr li, compact Hn na, (1) nu na nhúm s { ') khụng compact thỡ x(F(C, D)) 0 T ht vy, vi mi u E H ta cú \\e~Atu PNe~Atu\\ ^ e~2Xit\(w, e,) |2 i-N+l ^ e- 2 \ N1t ^ |( Wỡe ) |2 = e_2W lớ||u||, 2 1 õy PN l phộp chiu xung khụng gian hu hn chiu sinh bi cỏc vect riờng ( e i, , eN} T õy suy ra vi mi t > 0, e~At l gii hn u ca mt dóy cỏc toỏn t hu hn chiu, do ú nú l toỏn t compact