Chủ đề 1 : CĂN THỨC – BIẾN ĐỔI CĂN THỨC I . KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Đònh nghóa về căn bậc hai : a ∈ R và a ≥ 0 x = a ≥ 0 gọi là căn bậc hai số học của a ⇔ x 2 = a Từ đònh nghóa trên cho ta biết : Với mọi số dương ta đều viết dưới dạng bình phương của một số không âm . Có nghóa là nếu a ≥ 0 thì ( a ) 2 = a 2. Căn thức bậc hai : Điều kiện để A có nghóa ⇔ A ≥ 0 Từ đó ta có : nếu A ≥ 0 thì ( A ) 2 = A Hằng đẳng thức : 2 A neu A 0 A A A neu A 0 ≥  = =  − <  3. Quy tắc biến đổi căn thức : A ≥ 0 , B > 0 a. A . B AB= . Từ đó suy ra 2 A B A B= b. A A B B = . Từ đó suy ra A AB B B = và A AB B B = II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP A. Dạng về tính toán liên quan đến căn thức : Với dạng này khi làm bài tập cần thực hiện các phép biến đổi đơn giản về căn thức để rút gọn các biểu thức . Bài 1 : Tính a. 3 18 32 4 2 162− + + b. 2 48 4 27 75 12− + + c. 80 20 5 5 45+ − − d. 3 32 128 18− + Bài 2 : Tính a. 2 2 (5 2 3) (3 2 3)− − + b. 2 ( 5 2) (2 5 1)(2 5 1) 40+ − + − − c. 2 2 3 4 2 11 ( 2 1) ( 2) 1 . 2 2 5 25 − − − + + d. ( 5 3 2)( 5 3 2) 48+ − − + + e. 1 6 3 3 5 2 8 .2 6 5 3 2   − + − −  ÷   f. ( ) 2 2 3 3 2 2 6 3 24− + + Bài 3 : Chứng minh rằng a. 4 1 1 3 2 3 1,2 2 4 4 3 3 5    + + + − =  ÷ ÷  ÷ ÷    b. 3 2 3 2 6 2 4 3 12 6 2 2 3 2 3    + − − − = −  ÷ ÷  ÷ ÷    c. ( ) 1 2 15 2 6 201 5 2 6 5 2 6   + + =  ÷ − +   Bài 4 . Tính giá trò của các biểu thức sau : a. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 6 3 1 3 3 1 3 2 1− − − + + + b. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 7 14 1 7 7 1 3 3 6− + + − + + + c. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 2 3 5 2 3 14 3 1 7 1,5 2+ − − − − − d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 4 4 2 2 28 3 5 4 2 3 5 4 2− − − + − − + A. Phân tích ra thừa số Bài 1 : Viết các biểu thức sau thành tích : a. 5 5+ b. 5 3 3 5− c. 5 2 6− d. 14 6 5− e. ab 2 a 3 b 6+ − − f. 2 x x− ( x > 0) g. x x 2x 9 x 18− − + ( x > 0) h. x 3 x 2− + ( x > 0) i. x 3 x 2− + ( x > 0) k. 6 xy 4x x 9y y 6xy− − + ( x > 0 , y > 0) Bài 2 . Giải phương trình a. x 4 5 x+ = b. 2x x 3x 4 x 6 0− + − = c. x 2 x 1 9− − = d. x 3 x 4+ = − Bài 3 : Rút gọn các biểu thức sau : a. a 3 a 9 − − b. a 2 a 1 a 1 − + − c. 4 4 a a 4 a − + − d. x 5 x 4 x 16 − + − e. x 5 x 6 x 3 − + − f. 2 15 2 10 6 3 2 5 2 10 3 6 − + − − − + g. a a b b b a ab 1 + − − − B. Rút gọn biểu thức dạng 2 a a= Để áp dụng công thức trên ta cần xem xét biểu thức dưới dấu căn để đưa biểu thứ dưới dấu căn về dạng bình phương của một biểu thức . Ví dụ : 8 2 15+ . ta để ý thấy ( ) ( ) 2 2 2 15 2 5. 3 va8 5 3= = + cho nên ( ) 2 8 2 15 5 3+ = + . vì vậy ( ) 2 8 2 15 5 3 5 3+ = + = + + Khi rút gọn cần để ý đến dấu của biểu thức trong dấu giá trò tuyệt đối . Bài 1 . Rút gọn rồi tính giá trò của biểu thức ( Không được dùng máy tính bỏ túi) a. ( ) ( ) 2 2 2 5 2 1− + − b. ( ) ( ) 2 2 7 2 7 1− − + c. 5 2 6 5 2 6 ( 3 1)− + + − − d. 15 6 6 15 6 6− + + e. 14 6 5 14 6 5+ − − f. 29 12 5 12 5 29+ − − Bài 2 : Rút gọn rồi tính giá trò của các biểu thức a. 2 2x x 4x 4− + + với x = 3 , x = -5 b. x x 4 x 4− − + với x = 4 ; x = 3 2 2− c. 2 2x 3 4x 12x 9+ − − + với x = -2 và x = 18 Bài 3 : Cho biểu thức A = 2 2x 7 4x 12x 9+ − − + a. Rút gọn biểu thức A b. Tính giá trò của biểu thức A với x = -2 , x = 4,5 c. Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A Hướng dẫn giải : a. A = 2x + 7 – 2x - 3  Nếu x > 1,5 thì A = 2x + 7 – 2x + 3 = 10 Nếu x = 1,5 thì A = 10 Nếu x < 1,5 thì A = 2x + 7 – (3 – 2x) = 4x + 4 b. Với x = -2 < 1,5 thay vào A = 4(-2) + 4 = -4 Với x = 4,5 > 1,5 thì A = 10 c. Theo trên ta có A = 10 với mọi x ≥ 1,5 Với x < 1,5 --- > 4x < 6 == > 4x + 4 < 10 hay A < 10 với mọi x < 1,5 Vậy A ≤ 10 với mọi x . Hay giá trò lớn nhất của A là 10 với mọi x ≥ 1,5 Bài 4 . Cho biểu thức A = 2 9x 6x 1 2x 1 3x − + + − a. Rút gọn biểu thức A b. Tính giá trò của A với x = -3 c. Với giá trò nào của x thì A = 4 Bài 5 : Giải phương trình a. 2 1 12x 36x 5− + = b. 2 25 10x x 3x 8− + + = c. x 2 x 1 2 x 1 3− − = − − Hướng dẫn giải câu : Cần rút gọn các biểu thức , sau đó đưa về giải phương trình có chứa dấu giá trò tuyệt đối . (b) Sau khi biến đổi ta được 5 - x + 3x = 8 Nếu x ≤ 5 thì 5 – x + 3x = 8 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 1,5 Nếu x > 5 thì x – 5 + 3x = 8 ⇒ 4x = 13 ⇒ x = 3,25 ( loại vì x < 5) Vậy x = 1,5 là nghiệm của phương trình . ( c) x 2 x 1 2 x 1 3 x 2 x 1 x 1 2 x 1 1 x 1 1 − − = − − − − = − − − + = − − ⇒ x 1 1 2 x 1 3− − = − − Nếu x ≥ 2 thì x 1 1 2 x 1 3− − = − − ⇒ x 1 2 x 1 4 x 5− = ⇒ − = ⇒ = Nếu 1 ≤ x < 2 thì 1 x 1 2 x 1 3− − = − − ⇒ 4 7 3 x 1 4 x 1 x 2 3 9 − = ⇒ − = ⇒ = ( loại vì x < 2 ) C. Giải phương trình có chứa căn thức : Phương pháp chung là Nếu có dạng A B= ⇔ A = B ( A , B không âm) Nếu có dạng A B= thì A = B 2 ( B ≥ 0 ) Trong biểu thức có nhiều căn thức có thể bình phương nhiều lần để đưa về một trong các dạng trên . Trước khi giải phương trình cần tìm điều kiện xác đònh của các căn thức . Bài 1 : Giải các phương trình sau a. x 2 5− = b. 9x 9 x 1 2x 6+ − + = + c. 4x 2 2x 4− = − Gợi ý câu (b) : ĐKXĐ x ≥ -1 Gợi ý câu (c) ĐKXĐ : x ≥ 2 9(x 1) x 1 2x 6 3 (x 1) x 1 2x 6 2 x 1 2x 6 4x 4 2x 6 x 1 + − + = + + − + = + + = + ⇒ + = + ⇒ = 4x 2 2x 4 4x 2 2x 4 x 1 − = − ⇒ − = − ⇒ = − Vậy x = -1 ( loại vì x ≥ 2) Vậy phương trình vô nghiệm . Bài 2 : Giải các phương trình sau a. 2 x 5 x 1+ = + b. 2 x 2x 4 x 1+ + = − c. 2x 5 5 x+ = − d. 2x 5 2 x 1 + = − e. 2 x 8x 17 x 3− + = + f. 2x 1 x 3 4+ + − = Hướng dẫn giải C. ĐKXĐ -2,5 ≤ x ≤ 5 5 x 2− ⇒ x(x-10) – 2(x –10) = 0 (x –10)(x – 2) = 10 ⇒ x = 2 hoặc x = 10 , mà x = 10 bò loại vì x < 5 Vậy phương trình có nghiệm x = 2 f. ĐKXĐ x ≥ 3 2x 1 4 x 3+ = − − , bình phương hai vế ta được 2x + 1 = 16 8 x 3 x 3− − + − 2 2 16 8 x 3 x 3 8 x 3 13 x 2x 1 8 x 3 12 x voi x 12 64(x 3) (12 x) x 88x 336 0 (x 4)(x 84) 0 − − + − ⇒ − = + − − ⇒ − = − ≤ ⇒ − = − − + = − − = nên x = 4 và x = 84 , nhưng x < 12 cho nên x = 84 loại Vậy nghiệm của phương trình là x = 4 . D. Một số dạng khác Bài 1 : Với giá trò nào của x thì biểu thức sau có giá trò nhỏ nhất ( lớn nhất ) a. M = x 3 x 2− − b. y = 3 x x− c. A = x 4 6 x− + − Hướng dẫn giải : Với biểu thức kiểu như hai câu a , b ta viết biểu thức về dạng : m ± ( ax+b) 2 Nếu có dạng m + ( ax + b) 2 thì biểu thức có giá trò nhỏ nhất là m Nếu có dạng : m – (ax + b) 2 thì biểu thức có giá trò lớn nhất là m Hướng dẫn giải a. M = x 3 x 2− − = ( ) 2 2 3 9 9 x 2. x. 2 2 4 4 3 17 17 x voi moix 0 2 4 4 = − + − −   = − − ≥ − ≥  ÷   Giá trò nhỏ nhất của M là – 3,75 khi x = 9/4 b. y = 3 x x− ( ) 2 2 9 3 9 x 2. x. 4 2 4 17 3 17 x voi moi x 0 4 2 4 = − + −   = − − ≤ ≥  ÷   Giá trò lớn nhất của biểu thức y là 3,75 khi x = 9/4 d. A = x 4 6 x− + − ĐKXĐ : 4 ≤ x ≤ 6 Trước hết ta có ( a + b) 2 ≤ 2(a 2 + b 2 ) p dụng bất đẳng thức trên ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 A x 4 6 x 2 x 4 6 x A 4 A 2   = − + − ≤ − + −     ≤ ⇒ ≤ Vậy giá trò lớn nhất của A là 2 khi x = 5 ( lưu ý dấu “=” xảy ra khi x – 4 = 6 – x ⇒ x = 5 Bài 2 : Tìm các giá trò nguyên để cho biểu thức A = x 3 x 2 + − nhận giá trò là các số nguyên . Ta viết A = 1 + 5 x 2− , để A ∈ Z thì 5 x 2− ∈ Z Cho nên x 2− là ước của 5 , mà Ư(5) = { ± 1 ; ± 5 } Nếu x 2− = 1 ⇒ x = 9 Nếu x 2− = - 1 ⇒ x = 1 Nếu x 2− = 5 ⇒ x = 49 Nếu x 2− = - 5 ⇒ không có x thỏa mãn Vậy x ∈ { 1 ; 9 ; 49 } . Chủ đề 1 : CĂN THỨC – BIẾN ĐỔI CĂN THỨC I . KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Đònh nghóa về căn bậc hai : a ∈ R và a ≥ 0 x = a ≥ 0 gọi là căn bậc hai số học. cho ta biết : Với mọi số dương ta đều viết dưới dạng bình phương của một số không âm . Có nghóa là nếu a ≥ 0 thì ( a ) 2 = a 2. Căn thức bậc hai : Điều kiện