HƯỚNG DẪN ÔN TẬP HỌC KÌ I –MÔN TOÁN (Khối 12, năm học 2008-2009) A. LÝ THUYẾT 1. GIẢI TÍCH. - Biết mối liên hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu đạo hàm của nó. Biết cách xét tính đơn điệu của một hàm số dựa vào đạo hàm. - Biết khái niệm cực đại, cực tiểu và cực trị của hàm số. Biết dùng các dấu hiệu đủ để hàm số có cực trị giải toán. - Biết và ghi chính xác kí hiệu giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một tập số. Biết cách tìm trị lớn nhất, giá trị nhó nhất trên một khoảng, một đoạn . - Biết tìm tiệm cận đứng, tiện cận ngang của đồ thị một hàm số. - Nắm vững sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Biết khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số dạng ( ) ( ) 2 3 2 4 2 ( 0), 0 0 , ( 0) y a x bx c a y a x bx cx d a ax b y a x bx c a y ad bc cx d = + + ≠ = + + + ≠ + = + + ≠ = − ≠ + - Biết giải bài toán về sự tương giao của hai đồ thị ( Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của một phương trình, dựa vào số nghiệm của phương trình biện luận số giao điểm của hai đồ thị). - Biết viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hoành độ tiếp điểm hoặc biết hệ số góc của tiếp tuyến. - Nắm vững định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên, mũ hữu tỉ, mũ thực và các tính chất của nó để rút gọn, so sánh các biểu thức có chứa luỹ thừa. - Nắm vững định nghĩa lôgarit và các tính chất của nó để rút gọn, so sánh các biểu thức có chứa lôgarit. Đặt biệt lôgarit thập phân (cơ số10) và lôgarit tự nhiên(cơ số e) - Biết dạng đồ thị các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ , hàm số lôgarit và vẽ chúng. - Tính được đạo hàm các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ , hàm số lôgarit. - Giải được phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit đơn giản ( phương pháp đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, lôgarit hoá, …) - Biết tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến , nguyên hàm từng phần. 2. HÌNH HỌC - Biét đuợc các khái niệm: khối lăng trụ, khối chóp, khối đa diện , khối đa diện đều ( 3 khối đa diện đều cơ bản khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều) - Nắm vững các cộng thức tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối lăng trụ, khối chóp và biết vận dụng tính thể tích. - Biết các khái niệm mặt tròn xoay, mặt nón, mặt trụ, mặt khối nón khối trụ. Biết tính diện tích xung quanh của hình nón, hình trụ. Tính được thể tích khối nón khối trụ. - Biết được khái niệm mặt cầu, mặt phẳng kính, đường tròn lớn, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu, tiếp tuyến với mặt cầu. Biết tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1. Xem lại các bài tập ôn chương I,II giải tích 12, chương I,II hình học 12 (SGK) 2. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ( ) 2 2y x x= − b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại gốc toạ độ. Tiếp tuyến này cắt lại (C) ở điểm A, tìm toạ độ điểm A. c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng y=kx. 3. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2 4 2y x x= − b) Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt 4 2 2 0x x m− + = c) Tìm giá trị lớn nhất. giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1 ;4 2       4. Cho hàm số ( 1) 3 2 m x m y mx + + + = + (1), với m là tham số. a) Xác định m để đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng x=-1. b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=2 c) Tìm điều kiện m để hàm số (1) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. 5. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2 ( ) 1 x y C x − = + . b) M là một điểm thuộc (C) có hoành độ ( 1)a a ≠ − . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M. c) Tính khoảng cách từ I(-1;1) đến tiếp tuyến đó. Xác định a để khoảng cách này lớn nhất. 6. Cho hàm số 2 1 (1) 2 x y mx + = + a) Tìm m để hàm số không xác định tại x=2. b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m tìm được ở câu trên. c) Dùng đồ thị (C) giải bất phương trình 2 1 0 2 x x + < − . 7. Rút gọn các biểu thức sau 3 27 2 8 2 1 log 2 3log 9 log 15 log (log 4) 4 )2 )9 )4a b c + 8. So sánh các cặp số sau (không dùng máy tính bỏ túi) 300 200 3 3 2 2 0,3 5 )2 &3 )6 3 2 &5 2 3 ) 5 & 3 2 2 1 ) & )log & )log 2 & log 3 3 3 ln 2 a b c d e f π − −      ÷  ÷     9. a) Biết 15 log 3 a= . Hãy tính 25 log 15 theo a. b) Biết log3 ,log5a b= = . Hãy tính 30 log 8 theo a và b. 10. Giải các phương trình mũ sau 2 3 4 2 1 1 1 3 1 2 )5 1 )4 5.2 6 0 )3 9 4 )3 3 10 )125 50 2 )6 3 2 1 0 )3 .8 6 )2 6 x x x x x x x x x x x x x x x x x x a b c d e f g h x − − + + + − + + = − + = + = + = + = − − + = = = − 11. Giải các phương trình lôgarit sau 2 2 log log5 82 4 16 )log log log9 )ln( 6 7) ln( 3) log 4 log ) )5 50 log 2 log 8 x a x x x b x x x x x c d x x x + = − + = − = + = 12. Giải các bất phương trình sau 1 4 9 1 1 2 1 ) )log 2 2 1 2 x x a b x     ≥ >  ÷  ÷ +     13. Tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 9 1 7 5 ) 10 )3 0 ) 1 2 2 5 100 n n n a b c −       ≤ − ≤ + ≥  ÷  ÷  ÷       14. Chứng minh rằng 3 3 3 3 4 4 4 4 1 1 2 2 ( 0, 0, ) a b a b ab a b a b a b a b    − −  ÷ ÷    − = + > > ≠ − 15. Chứng minh rằng a) Hàm số ( 1) x y x e= + thoã hệ thức ' x y y e− = b) Hàm số sin x y e= thoã hệ thức ' sin ''y cosx y x y− = 16. Chứng minh hàm số 2 ( ) ln( 1 )F x x x= + + là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 1 f x x = + 17. Tính 2 2 2 2 2 5 2 2 ) (3 2 1) ) ) ) 1 4 4 sin . ) sin ) ) . ) 1 sin 2 x x dx co s x a x x dx b dx c d x x x x cos x dx e xdx f cos xdx g x e dx h x − + − − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 18. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, có độ dài đường chéo bằng 5 3d cm= . a) Tính thể tích của khối lập phương đó. b) Chứng minh ACB’D’ là khối tứ diện đều. Tính thể tích khối tứ diện đó. c) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ACB’D’. d) Xác định tâm và diện tích mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện ACB’D’. 19. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA=a, đáy là tam giác vuông cân với AB=BC=a. Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là hình chiếu vuông góc của A trên SC. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Chứng minh ( ' ')SC AB C⊥ . Tính tỉ số thể tích . ' ' . S AB C S ABC V V , từ đó suy ra . ' 'S AB C V . c) Xác định tâm và bán kính khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC và tính thể tích khối cầu đó. 20. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại B, AB=a,BC=2a, AA’=3a. Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với CA’ lần lượt cắt các đoạn thẳng CC’,BB’ tại M và N. a) Tính 'CA AB V b) Chứng minh 'AN A B ⊥ c) Tính 'A AMN V d) Tính diện tích tam giác AMN. 21. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y=2sin 2 x-x 2 trên đoạn 0; 2 π       C. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 2.a) Ta có y=x 3 -4x 2 +4x (C) TXĐ: 2 2 . ' 3 8 4 0 2 3 x D y x x x =   = = − + = ⇔  =  ¡ 2 ' 0, ( ; ) (2; ) 3 y x> ∀ ∈ −∞ ∪ +∞ Hàm số đồng x y O A 2 16 4 biến trên các khoảng 2 ( ; ) & (2; ) 3 −∞ +∞ 2 ' 0, ( ;2) 3 y x< ∀ ∈ Hàm số nghịch biến trên khoảng 2 ( ;2) 3 Cực trị: x cđ =2/3; y cđ =32/27, x ct =2; y ct =0 Giới hạn: lim x y →±∞ = ±∞ Bảng biến thiên(Học sinh tự vẽ) Đồ thị: b) Toạ độ O(0;0), y’(0)=4.Phương trình tiếp tuyến với (C) tại O là y=4x. Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến đó với (C) là nghiệm của phương trình 3 2 3 2 0; 0 4 4 4 4 0 4; 16 x y x x x x x x x y = =  − + = ⇔ − = ⇔  = =  . Vậy A(4;16). c) Xét phương trình 3 2 2 2 0 4 4 ( 4 4 ) 0 4 4 0 (*) x x x x kx x x x k x x k =  − + = ⇔ − + − = ⇔  − + − =  Dựa vào số nghiệm khác 0 của phương trình(*), ta có - k<0 : d cắt (C) tại một điểm là gốc toạ độ - k=0 : d cắt (C) tại hai điểm là gốc toạ độ và B(2;0) - k=4 : d cắt (C) tại hai điểm là gốc toạ độ và A(4;16) - k>0 và k ≠ 4 : d cắt (C) tại ba điểm phân biệt. Bài 3. a) Học sinh tự khảo sát b) Ta có 4 2 4 2 2 0 2x x m x x m− + = ⇔ − + = . Nên nghiệm là hoành đọ giao điểm của (C) và đường thẳng y=m. Dựa vào đồ thị phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi 0<m<1. c) Học sinh tự giải Bài 4. a)Tiệm cận đứng của (1) là x=-2/m. Ta có m=m b) m=2 ta có 3 5 2 2 x y x + = + . Học sinh tự khảo sát c) * nếu m=0 ta có 1 3 2 2 y x= + là hàm số đồng biến trên R.Do đó m=0 (chọn) * nếu m ≠ 0, tacó ( ) 2 2 2 2 \ . ' ' 0, 2 1 2 m m D y y x D m m mx − − +   = − = ⇒ > ∀ ∈ ⇔ − < <   +   ¡ . Tóm lại -2<m<1 thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Bài 5. a) Học sinh tự khảo sát b) M thuộc (C) nên ( ) 2 2 1 ; , '( ) 1 1 M M M a x a y y x a a − = = = + + . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là ( ) 2 2 2 2 3 ( ) 3 ( 1) 4 2 0( ) 1 1 a y x a x a y a a a a − − = − ⇔ − + + − − = ∆ + + . c)Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 6 1 36 1 ; 1 9 1 9 a a d d I d a a + + = ∆ = ⇔ = + + + + . Áp dụng bất đẳng thưc Cô-si, ta có ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 1 9 2 9 1 6 1 6a a a d+ + ≥ + = + ⇒ ≤ Vậy gtln của d bằng 6 1 3khi a = − ± Bài 6. a) m=-1 b)Học sinh tự khảo sát c) Tập nghiệm là S=(-0,5; 2) Bài 7. Đáp số 2 3 )15 )81 2 )16a b c+ Bài 8. 300 100 100 200 )2 8 9 3a = < = b)Xét hiệu hai số c) Đưa về cùng căn bậc 6 d) chú ý cơ số e) 2 2 1 log log ln 2 e π = < f) So sánh với 0 Bài 9. 3 3 25 3 3 3 log 151 1 1 1 ) log 5 log 15 log 15 1 log 5 log 25 2( 1) a a a a a − = = ⇒ = ⇒ = = + − b) Đáp số 30 3(1 ) log 8 1 b a − = + Bài 10. Hướng dẫn a) Đưa về cùng cơ số b.c.d.e đặt ẩn phụ g) Lôgarit cơ số 3 hai vế được hai nghiệm 2 1; 2log 3 2x x= = − h) Dùng tính đơn điệu của hàm sồ đi chứng minh pt có duy nhất nghiệm x=2. Bài 11. a) 3 0 0 3 0 3 log log9 x x x x x x x > >   ⇔ ⇔ ⇔ =   = ∨ = ± =   b) Đáp số x=5 c) Điều kiện 1 1 0; ; 2 8 x x x> ≠ ≠ .Đặt ẩn phụ t=log 2 x. Đáp số x=2; x=1/16. d) Dễ dàng chứng minh được log log5 5 x x= và được nghiệm x=100 Bài 12. Đáp số 1 ) 0, ) 3 1 4 a x x b x< ≥ − < < − Bài 13. 9 9 1 2 1 ) 10 log 10 29,8973 2 n a n − −   ≤ ⇒ ≥ ≈  ÷   . Do đó n=30 b) n=4 c) n=15 Bài 14. HD dùng hằng đẳng thức đáng nhớ, biến đổ vế trái. Bài 15. ) ' ( 1) ( 2) ' ( 2) ( 1) x x x x x x a y e x e x e y y x e x e e= + + = + ⇒ − = + − + = (đpcm) b) Tương tự câu a Bài 16. Dùng định nghĩa nguyên hàm. Bài 17. a) ĐS: x 3 -x 2 +x+C b) 2 2 1 1 ln 1 1 1 2 x x dx x dx x x C x x   = + − = + − − +  ÷ − −   ∫ ∫ c) ( ) 2 2 1 1 4 4 2 2 dx dx C x x x x = = − + − + − − ∫ ∫ d)HD 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 1 sin sin sin co s x co s x x xcos x xco s x x co s x − = = − e) Đổi biến số t= cosx , ta có ( ) ( ) 2 2 5 2 2 3 5 2 1 sin 1 sin 1 3 5 xdx cos x xdx t dt co sx co s x cos x C   = − = − − = − − + +  ÷   ∫ ∫ ∫ f) Dùng công thức hạ bậc g) Dùng nguyên hàm từng phần h) HD: ( ) ( ) 2 2 1 sin 2 sin 2 ( ) 4 x x cosx co s x π + = + = − . Bài 18. a) Độ dài cạnh của hình lập phương là 5cm Thể tích khối lập phương là V=5 3 =125 (cm 3 ) O B C B' C' A D A' D' b) Ta có AC,AD’,AB’,B’D’,CB’,CD’ là đường chéo của hình vuông cạnh 5cm nên chúng bằng nhau và bằng 5 2 cm, do đó ACB’D’ là khối tứ diện đều cạnh 5 2 cm. Thể tích V= 125 3 (cm 2 ) c) Khối càu ngoại tiếp tứ diện ACB’D’ chính là khối cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có bán kính 3 3 5 2 4 4 5 2 2 2 3 3 2 d R V R π π   = = ⇒ = =  ÷   (cm 3 ) d) Mặt cầu tiếp xúc các cạnh của tứ diện ACB’D’ chính là mặt cầu nội tiềp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O là tâm hình lập phương, bán kính r=2,5 cm. Bài 19. a) 3 1 . 3 6 ABC a V S SA= = b) ( ) ' , ' ( ) ' ( ) ' BC SAB AB BC AB SB gt AB SBC AB SC ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ mặt khác ' ( ' ')AC SC SC AB C⊥ ⇒ ⊥ Dễ thấy 2 2 2 ' 1 ' '. 1 ; 2 3 SB SC SC SC SA SB SC SC SC = = = = . Vậy 3 3 . ' ' . ' ' . ' ' 1 1 1 1 . . . . 2 3 6 6 6 36 S AB C S AB C S ABC V SA SB SC a a V V SA SB SC = = = ⇒ = = Gọi I là trung điểm của SC, ta có A, B cùng nhìn SC dưới góc vuông nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính 3 1 3 3 3 2 2 2 a a R SC V π = = ⇒ = . Bài 20. a) 3 . ' ' 1 1 . ' . .2 .3 3 6 C A AB A ABC ABC V V S A A a a a a= = = = b) ( ' ) ' ( ) CB AB CB A AB CB A A gt ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  Mặt khác '( ' ( )) 'AN CA DoCA AMN AN A B⊥ ⊥ ⇒ ⊥ c) 3 '. . ' . ' 'A AMN M A AN M A AB CA AB V V V V a= = = = d) ( ) ( ) 3 2 '. 2 2 2 2 3 3 14 ' 3 3 2 (3 ) A AMN AMN V a a S A I a a a a = = = + + Bài 21. Hướng dẫn: Dùng đạo hàm B' S A B C C' I A' C' B' B C A M . HƯỚNG DẪN ÔN TẬP HỌC KÌ I –MÔN TOÁN (Kh i 12, năm học 2008-2009) A. LÝ THUYẾT 1. GI I TÍCH. - Biết m i liên hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến của. 2. HÌNH HỌC - Biét đuợc các kh i niệm: kh i lăng trụ, kh i chóp, kh i đa diện , kh i đa diện đều ( 3 kh i đa diện đều cơ bản kh i tứ diện đều, kh i lập phương,