Chia s tài li u mi n phí cho h c sinh m t g c đ t 8-9đ Th y Tr n Hoài Thanh FB: fb.com/tranhoaithanhvicko CHUYÊN KH O SÁT HÀM S VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN M cL c m c A KH O SÁT VÀ V Trang TH HÀM S ……………………………………… B CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN………………………………………………… Bài toán 1: Các toán liên quan t i ph ng trình ti p n…………………………………… Bài toán 1.1………………………………………………………………………………………… Bài toán 1.2………………………………………………………………………………………… 10 Bài toán 2: Các toán liên quan t i c c tr ………………………………………………………… 15 Bài toán 2.1………………………………………………………………………………………… 15 Bài toán 2.2………………………………………………………………………………………… 19 Bài toán 2.3………………………………………………………………………………………… 26 Bài toán 3: Bài toán giao m………………………………………………………………………… 28 Bài toán 3.1………………………………………………………………………………………… 28 Bài toán 3.2………………………………………………………………………………………… 41 Bài toán 3.3………………………………………………………………………………………… 44 Bài toán 4: Bài toán tìm m………………………………………………………………………… 49 Bài toán 5: Các toán v tính đ n u c a hàm s ……………………………………………… 52 Bài toán 5.1………………………………………………………………………………………… 52 Bài toán 5.2………………………………………………………………………………………… 53 CHUYÊN 1: KH O SÁT HÀM S A KH O SÁT VÀ V VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TH HÀM S B CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Bài toán 1: Các toán liên quan t i ph ng trình ti p n C s lí thuy t: * Cho hàm s y  f ( x) có đ th (C), ph ng trình ti p n c a (C) t i m M ( x0 , y0 )  (C ) : y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 (*) ( M g i ti p m) * Hai đ th hàm s y  f ( x) y  g ( x) ti p xúc v i ch h ph  f ( x)  g ( x )   f '( x )  g '( x ) ng trình sau có nghi m : (2*) Nghi m c a (2*) hoành đ ti p m c a hai đ th Nh n xét : V i ki n th c c b n trên, giúp ta gi i quy t hai l p câu h i liên quan t i vi c vi t ph ng trình ti p n (t i m qua m) C th : +) V i câu h i t i m, đ vi t đ c ph ng trình (*) ta c n y u t x0 , y0 f '( x0 ) cách đ : cho bi t x0 , cho bi t y0 ho c cho bi t f '( x0 ) d đ ng v i u s có i cách phát bi u khác nhau, u s c di n đ t thông qua Bài toán 1.1 +) V i câu h i qua m s đ c phát bi u qua Bài toán 1.2 Bài toán 1.1 N i dung toán : Cho hàm s y  f ( x ) có đ th (C ) Vi t ph ng trình ti p n c a đ th (C ) : T i m có hoành đ a T i m có tung đ b Có h s góc k Song song v i đ Vuông góc v i đ ng th ng y  ax  b C t tr c Ox, Oy l n l ng th ng y  ax  b T o v i tr c hoành ( Ox ) m t góc b ng  t t i hai m A, B cho OB  kOA Cách gi i chung: G i M ( x0 ; y0 ) ti p m c a ti p n c n l p Khi ph ng trình ti p n t i M ( x0 ; y0 ) có d ng: y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 (*)  f '( x0 )  f '(a) , thay vào (*) ta đ V i x0  a    y0  f (a) c ph ng trình c n l p V i y0  b  f ( x0 )  b (2) Gi i ph ng trình (2) tìm x0 suy f '( x0 ) Sau thay thông s tìm đ c vào (*) ta đ c ph ng trình c n l p Ti p n có h s góc k , suy f '( x0 )  k (3) Gi i ph (*) ta đ c ph ng trình (3) tìm x0 suy y0 Sau thay vào ng trình c n l p Ti p n song song v i đ ng th ng y  ax  b , suy f '( x0 )  a (4) Gi i ph c x0 suy y0 Sau thay vào (*) ta đ ng trình (4) tìm đ c ph ng trình (ki m tra l i tính song song) k t lu n Ti p n vuông góc v i đ Gi i ph ng trình (5) tìm đ ng th ng y  ax  b , suy f '( x0 )   (5) a c x0 suy y0 Sau thay vào (*) ta đ c ph ng trình c n l p c ph ng trình c n l p Ti p n t o v i tr c hoành m t góc  , suy f '( x0 )   tan  (6) Gi i ph ng trình (6) tìm đ c x0 suy y0 Sau thay vào (*) ta đ Ti p n c t tr c Ox, Oy l n l t t i A, B cho OB  kOA , g i  góc t o b i ti p n tr c hoành ta có: tan   OB k OA Suy f '( x0 )   tan    k (7) Gi i ph ng trình (7) tìm đ Sau thay vào (*) ta đ c ph c x0 suy y0 ng trình c n l p Nh n xét: *) Ngoài cách phát bi u t ng minh nh ý 1, ta có th g p nh ng câu h i t ng t nh sau: – Vi t ph ng trình ti p n c a đ th (C ) t i giao m c a (C ) v i tr c hoành (v i đ y  ax  b , v i đ ng cong y  g ( x ) …) – Vi t ph ng trình ti p n c a đ th (C ) t i m tho mãn u ki n cho tr *) Các ý 3, 4, 5, 6, th c ch t d ki n cho bi t f '( x0 ) nh ng đ c phát bi u d ng th ng c i nhi u cách di n đ t khác Ví d Cho hàm s y  f ( x)  x  x  x  có đ th (C ) Vi t ph T i m có tung đ b ng 15 T i m có hoành đ b ng T i giao m c a đ th (C ) v i đ T i m có hoành đ h s góc nh nh t ng trình ti p n c a đ th (C ) : ng th ng y  x  x0 , bi t f ''( x0 )  ch ng minh r ng ti p n ti p n c a (C ) có Gi i: Ta có y '  f '( x )  x  12 x  G i M ( x0 ; y0 ) ti p m c a ti p n c n l p  f '(2)  3 , suy ph V i x0     y0  f (2)  ng trình ti p n c n l p: y  3( x  2)  hay y  3x  V i y0  15  x03  x02  x0   15  x03  x02  x0  16   ( x0  1)( x02  x0  16)   x0  1  f '( 1)  24 V y ph Ph ng trình ti p n c n l p là: y  24 x  ng trình hoành đ giao m c a (C ) v i đ ng th ng y  x  là: x   y 1 x  x  x   x   x( x  x  5)    x   y   x   y  21 +) V i M (0;1)  f '(0)  , suy ph ng trình ti p n: y  x  2 +) V i M (1;5)  f '(1)  , suy ph ng trình ti p n: y  +) V i M (5; 21)  f '(5)  24 , suy ph ng trình ti p n: y  24 x  99  f '(2)  3 Ta có y ''  f ''( x )  x  12 , f ''( x0 )   x0  12   x0     y0  f (2)  Suy ph ng trình ti p n c n l p: y  3x  H s góc ti p n c a đ th (C ) t i m có hoành đ x b ng : y '( x )  f '( x)  3x  12 x   3( x  2)   3 , x   , suy y '( x)  3 x   x0 V y ti p n c a (C ) t i m có hoành đ x0 th a mãn f ''( x0 )  có h s góc nh nh t (đpcm) Ví d Cho hàm s y   x  x  có đ th (C ) Vi t ph Song song v i đ Có h s góc Vuông góc v i đ ng trình ti p n c a đ th (C ) : ng th ng y  C t tr c Ox, Oy l n l x3 ng th ng 3x  y   T o v i tr c hoành ( Ox ) m t góc b ng  , bi t tan   t t i hai m A, B cho OB  36OA Gi i: Ta có y '  4 x  x G i M ( x0 ; y0 ) ti p m c a ti p n c n l p Ti p n có h s góc , suy ra: y '( x0 )   4 x03  x0   ( x0  1)(2 x02  x0  3)   x0  1  y0  y ( 1)  V y ph ng trình ti p n c n l p là: y  x  10 ng th ng 3x  y   đ Khi ti p n song song v i đ  4 x03  x0   c vi t l i thành: y   x  3 ng th ng y   x  , suy ra: y '( x0 )   2   91  x03  x0    (2 x0  1)(4 x02  x0  3)   x0   y0  y    2   16 3  91 103 Ti p n c n l p là: y    x    hay y   x  (th a mãn u ki n song song) 2  16 16 16 Do ti p n vuông góc v i đ ng th ng y  x  , suy ra: y '( x0 )  6  4 x03  x0  6  x03  x0    ( x0  1)(2 x02  x0  3)   x0   y0  y (1)  Khi ph ng trình ti p n: y  6( x  1)  hay y  6 x  10 Do ti p n t o v i tr c hoành ( Ox ) m t góc b ng  , nên suy ra: y '( x0 )   tan    +) V i y '( x0 )   9   1503  4 x03  x0    x03  x0    x0   y0  y    16 16 16   256 Ti p n c n l p : y   +) V i y '( x0 )  16 9  1503 1539 hay y   x  x  16   256 16 256 9   1503  4 x03  x0   x03  x0    x0    y0  y     16 16 16   256 Ti p n c n l p : y    1503 1539 hay y  x  x  16   256 16 256 G i  góc t o b i ti p n c n l p tr c hoành, ti p n c t tr c Ox, Oy l n l OB 36OA   36  y '( x0 )   tan   36 m A, B , ta đ c: tan   OA OA t t i hai +) V i y '( x0 )  36  4 x03  x0  36  x03  x0  36   x0   y0  y (2)  14 Ti p n c n l p : y  36( x  2)  14 hay y  36 x  58 +) V i y '( x0 )  36  4 x03  x0  36  x03  x0  36   x0  2  y0  y (2)  14 Ti p n c n l p : y  36( x  2)  14 hay y  36 x  58 Ví d Cho hàm s V i m  , vi t ph y (3m  1) x  m  m có đ th (Cm ) m tham s xm ng trình ti p n c a (C1 ) song song v i đ ng th ng y  x  16 Tìm m đ ti p n c a (Cm ) t i giao m c a đ th (Cm ) v i tr c hoành song song v i đ d : y  x 1 ng th ng Gi i: V i m  ta có (C1 ) : y  4x , suy y '  x 1 ( x  1) G i M ( x0 ; y0 ) ti p m c a ti p n c n l p Khi ti p n t i M ( x0 ; y0 ) song song v i đ th ng y  x  16 nên suy ra: y '( x0 )   +) V i M (0; 0) , ph +) V i M (2;8) , ph V y ph ng  x   y0    ( x0  1)    ( x0  1)  x0  2  y0  ng trình ti p n: y  x (th a mãn) ng trình ti p n: y  x  16 (lo i) ng trình ti p n c n l p y  x Ta có: y '   m2  m  4m ;0  Do ti p n c a (Cm ) t i M song (Cm ) c t tr c hoành t i m M  ( x  m)  3m    m2  m   3m   ng th ng d : y  x  nên: y '    m  1 ho c m    1    2m   3m   song v i đ +) V i m  1  M ( 1;0) , ph 3  +) V i m    M  ;  , ph 5  V y m ng trình ti p n là: y  x  (lo i) ng trình ti p n là: y  x  (th a mãn) giá tr c n tìm Nh n xét: Nh v y qua Ví d ta nh n th y, g p d ng câu h i vi t ph ng trình ti p n c a đ th hàm s y  f ( x ) song song v i đ ng th ng y  ax  b , vi c s d ng d ki n f '( x0 )  a ch u ki n c n nh ng ch a đ Do sau gi i k t qu ta c n có b Ví d Cho hàm s y c ki m tra l i u ki n song song x có đ th (C ) g c t a đ O x 1 Vi t ph ng trình ti p n c a (C ) , bi t ti p n c t tr c hoành, tr c tung l n l bi t A, B tam giác OAB cân t t i hai m phân Tìm t a đ m M thu c (C), bi t ti p n c a (C) t i M c t hai tr c Ox , Oy l n l tam giác OAB có di n tích b ng t t i A, B cho Gi i: Ta có y '  ( x  1) G i M ( x0 ; y0 ) ti p m c a ti p n c n l p Do tam giác OAB cân vuông t i O nên OA  OB , suy ra: y '( x0 )  1 Mà y '( x0 )  x  1 1   0, x0  1  y '( x0 )   2 ( x0  1) ( x0  1)  x0  2 +) V i x0   y0  y (0)  (lo i M (0; 0)  O ) +) V i x0  2  y0  y (2)  , suy ph ng trình ti p n: y  1.( x  2)  hay y  x  (th a mãn) V y ti p n c n l p là: y  x  m   Vì M  (C ) nên M  m;  Ph  m 1 y ng trình ti p n c a (C ) t i M là: m m2 ( x  m )   y  x  (d ) (m  1) (m  1)2 (m  1) m 1  m2   y x  x  m2  Do d  Ox   A  t a đ m A nghi m c a h :   A( m ; 0) (m  1) (m  1)   y  y    x  m2  x  m2  y   2 Do d  Oy   B  t a đ B nghi m c a h :  (m  1) (m  1)   m  B  0;   (m  1)  x   y  (m  1)   Theo gi thi t: S OAB  m2    1 m2   OA.OB    m       (m  1)2  m 1     2m  m    1     m  ho c m    M  1;  ho c M   ; 1   2    2m  m    1   V y có hai m M th a mãn yêu c u toán M  1;  M   ; 1   2   Ví d Cho hàm s y  x  3mx  3(m  1) x  có đ th (Cm ) m tham s th c Tìm m bi t ti p n c a đ th (Cm ) t i m K song song v i đ ng th ng x  y  K m thu c đ th (Cm ) có hoành đ b ng 1 V i m  Tìm hai m phân bi t M , N thu c đ th (C2 ) cho ti p n c a đ th (C2 ) t i M N song song v i th a mãn: a dài MN  , đ ng th i M , N có t a đ nguyên b ng th ng MN vuông góc v i đ ng th ng x  y  2015  Gi i: Ta có y '  3x  6mx  3(m  1) Do K  (Cm ) có hoành đ b ng 1 , suy K ( 1; 6m  3) Khi ti p n t i K có ph Do  song song v i đ ng trình: y  y '( 1)( x  1)  6m   y  (9m  6) x  3m  (  ) 9m   ng th ng x  y  (hay y  3x ) ch khi:  m 3m   V y giá tr c n tìm m   V i m  ta có đ th (C2 ) : y  x  x  x  , suy y '  x  12 x  M  (C2 )  M  a; a  6a  9a  1 v i ab Do   N C ( )  ;    N b b b b     Ti p n c a đ th (C2 ) t i M N song song v i nên suy ra: y '(a )  y '(b)  3a  12a   3b  12b   (a  b)( a  b  4)   a  b  (do a  b  ) Do a  b  ta có: y N  yM  b3  a  6(b  a )  9(b  a )  (b  a ) (a  b)  ab  6(a  b)  9  (b  a)(1  ab)  Suy MN   b  a;(b  a )(1  ab)  a V i MN   MN  20  (b  a )2  (b  a )2 (1  ab)2  20 ( k t h p v i a  b  )  (a  b) 1  1  ab    20  (16  4ab) (ab)  2ab    20    (ab)3  6(ab)  10ab    ab  (do a, b   ) ab  a  a  ho c  Khi ta có h :   a  b  b  b  V y M (1;5), N (3;1) ho c M (3;1), N (1;5)  b Do b  a  nên MN   b  a;(b  a )(1  ab)  ph ng th ng d : x  y  2015  có vecto ch ph  ng v i vecto uMN  (1;1  ab)  ng ud  (1; 1)   a   b  Do MN  d  uMN ud     ab   ab    b   a  V y M (0;1), N (4;5) ho c M (4;5), N (0;1) Bài toán 1.2 N i dung toán : Cho hàm s y  f ( x ) có đ th (C ) Vi t ph ng trình ti p n c a đ th (C ) qua m M ( x0 ; y0 ) Cách gi i chung: +) ng th ng  có h s góc k qua M ( x0 ; y0 ) có ph ng trình : y  k ( x  x0 )  y0  f ( x )  k ( x  x0 )  y0 (1) +)  ti p n c a (C) ch h sau có nghi m :  (2)  f '( x)  k +) Thay (2) vào (1) ta đ Gi i ph c ph ng trình (*) ta tìm đ Khi ta vi t đ c ph ng trình : f ( x)  f '( x )( x  x0 )  y0 (*) c x , sau thay vào (2) suy đ ck ng trình ti p n c n l p Chú ý : Do ti p n c a đ th hàm s ch ng trình ph thông có h s góc (tr ng h p ph ng trình ti p n h s góc x  a ), nên ta đ c phép g i ph ng trình có h s góc k nh cách trình bày 10 Ta có ph ng trình:  x  x  m   x  x   4m  (1) S nghi m c a ph ng trình (1) s giao m c a đ th (C ) đ (có ph ng th ng y  4m  ng vuông góc v i Oy ) Do d a vào đ th ta có: +) N u 4m   3  m  1 ph ng trình vô nghi m +) N u 4m   3  m  1 ph ng trình có nghi m phân bi t +) N u 3  4m    1  m  ph ng trình có nghi m phân bi t +) 4m    m  ph ng trình có nghi m phân bi t +) 4m    m  ph ng trình có nghi m phân bi t V y, ta có m  1 : Ph m  : Ph  m  1 : Ph ng trình vô nghi m;  m   ng trình có nghi m phân bi t ng trình có nghi m phân bi t; 1  m  : Ph Nh n xét: Ngoài cách gi i ta có th gi i theo Bài toán 3.1 Ví d (A – 2002) Cho hàm s ng h p y   x3  x (C ) Kh o sát v đ th (C ) c a hàm s Tìm m đ ph Tr ng trình có nghi m phân bi t ng trình:  x3  3x2  m3  3m2  có nghi m phân bi t Gi i: B n đ c t kh o sát v đ c đ th nh sau: 42 Xét ph ng trình  x3  3x2  m3  3m2  Cách 1: Ta có (1)   x3  x   m3  3m (1) (2) S nghi m c a (2) s giao m c a đ th (C ) đ (có ph ng th ng y   m3  3m ng vuông góc v i tr c Oy ) Nên d a vào đ th ta th y ph ng trình (1) có nghi m ch khi:   m3  3m  (*) Cách 1.1: Xét hàm f (m)   m3  3m có đ th gi ng (C ) (bi n m ) 1  m  Do d a vào đ th ta có : (*)  f (m)  (0; 4)   m  0; m  m3  3m  m (m  3)   Cách 1.2: Ta có (*)    2 m  3m   (m  1)(m  2)  0  m   1  m    2  m  1 m  0; m  Cách 2: Ta có : (1)  ( x  m)  x  (m  3) x  m  3m   x  m  2  f ( x )  x  (m  3) x  m  3m  (2) (1) có nghi m phân bi t ch (2) có hai nghi m phân bi t khác m  1  m    3m  3m       f (m)  3m  6m  m  0; m  43 Bài toán 3.3 N i dung toán : D a vào đ th hàm s y  f ( x) (C ) suy đ th hàm s ch a tr t đ i Cách gi i chung: Tr ng h p 1: D a vào đ th hàm s y  f ( x) (C ) , suy đ th hàm s y  f ( x) (C1 ) Cách v :  f ( x ) f ( x)  (1) Do đ th (C1 ) g m hai ph n: (C1 ) : y  f ( x )    f ( x ) f ( x)  (2) +) Ph n (1) : ph n không n m phía d i tr c hoành c a đ th (C ) +) Ph n (2) : ph n đ i x ng c a ph n d Tr i tr c hoành c a (C ) qua tr c Ox ng h p 2: D a vào đ th hàm s y  f ( x) (C ) , suy đ th hàm s Nh n xét : (C2 ) : y  f ( x ) hàm s ch n nên (C2 ) nh n Oy làm tr c đ i x ng Cách v : 44 y  f ( x ) (C2 )  f ( x) x  (1) (C2 ) : y  f ( x ) =  Do đ th (C2 ) g m hai ph n  f ( x) x  (2) +) Ph n (1) : Ph n đ th (C ) n m bên ph i tr c Oy +) Ph n (2) : Ph n đ th l y đ i x ng qua Oy c a ph n (1) Nh n xét: Ngoài tr ng h p có th g p d ng: *) D a vào đ th hàm s y  f ( x )  u ( x ).v( x ) (C ) , suy đ th hàm s y  u ( x) v( x ) (C3 ) *) D a vào đ th hàm s (C ) : y  f ( x ) suy đ th hàm s sau: +) (C4 ) : y  f ( x ) (Tr ng h p 4) +) (C5 ) : y  f ( x ) (D a vào Tr ng h p sau đ n Tr ng h p 1) +) (C6 ) : y  f ( x ) ( D a vào Tr ng h p sau đ n Tr ng h p 4) +) (C7 ) : y  f ( x ) ( D a vào TH2 sau đ n TH1 cu i TH4)” Song xác su t xu t hi n d ng toán đ thi r t th p, nên tác gi không đ c p cu n sách x  x 2 Kh o sát s bi n thiên v đ th (C) c a hàm s Ví d Cho hàm s y  Tìm m đ ph ng trình x4  x  m  2m   có nghi m th c phân bi t Gi i: B n đ c t làm câu này, ta đ c đ th c a hàm s y  45 x  x 2: x4  2x2  m  2m    x  x   m  2m   x  x   (*) Ta có: m  2m  4 4 1  x  x   f ( x)  f ( x)  Ta có: y  x  x  =    x  x     f ( x ) f ( x)     Do đ th hàm s s đ c v nh sau: S nghi m c a (*) s giao m c a đ th hàm s y m  2m  x  x  y  4 m  2m   (2*) có ph ng vuông góc v i tr c Oy Nên đ ph ng trình có nghi m th c thì: (2*)  m4  2m    (m  1)   m   m  1 V y m  1 giá tr c n tìm Ví d (B – 2009) Cho hàm s y  x  x (C ) Kh o sát v đ th (C ) c a hàm s V i giá tr c a m, ph ng trình x x   m có nghi m th c phân bi t Gi i: B n đ c t làm câu này, ta đ c đ th c a hàm s y  x  x : 46 Ta có x x   m  x  x  2m Ph th ng y  2m (có ph ng trình có nghi m th c phân bi t ch đ ng vuông góc v i tr c Oy ) c t đ th hàm s y  x  x t i m phân bi t 2 x  x  f ( x )  f ( x)  Bi n đ i y  x  x     x  x    f ( x ) f ( x)  Do ta có đ th hàm hàm s y  x  x đ ng th ng y  2m : D a vào đ th , yêu c u toán th a mãn ch khi:  2m    m  V y giá tr m c n tìm  m  Ví d (A – 2006) Cho hàm s y  x  x  12 x  (C ) Kh o sát v đ th (C ) c a hàm s Tìm m đ ph ng trình sau có nghi m phân bi t : x  x  12 x  m Gi i: B n đ c t làm câu này, ta đ c đ th c a hàm s y  x  x  12 x  : 47 ng 3 Ta có x  x  12 x  m  x  x  12 x   m  Ph ng trình có nghi m th c phân bi t ch đ ng th ng y  m  (có ph ng vuông góc v i tr c Oy ) c t đ th hàm s y  x  x  12 x  t i m phân bi t Hàm s y  x  x  12 x  hàm ch n , nên đ th nh n Oy tr c đ i x ng Do t đ th hàm s (C ) v c u 1, ta suy đ th hàm s : y  x  x  12 x  3 D a vào đ th , yêu c u toán th a mãn ch khi:  m     m  V y giá tr m c n tìm  m  48 BÀI TOÁN 4: Bài toán tìm m thu c đ th N i dung toán : Tìm m M thu c đ th y  f ( x ) th a mãn u ki n (*) cho tr c Cách gi i chung: B c 1: Do M thu c đ th y  f ( x ) nên g i M ( m; f ( m)) B c 2: C t ngh a u ki n (*) đ thi t l p ph Ví d 1(A, A1 – 2014) Cho hàm s cách t M đ nđ y ng th ng y   x b ng ng trình : g ( m)   m  t a đ m M x2 (C ) Tìm t a đ m M thu c đ th (C ) cho kho ng x 1 Gi i:  m2 +) Do M  (C ) nên g i M  m;  v i m 1  m 1  +) ng th ng y   x đ c vi t l i thành : x  y  (  ) m Khi d ( M , )   m2  m  2m   m   M (0; 2) m 1   m2   m       m  2  M (2;0)  m  2m  V y M (0; 2) ho c M ( 2; 0) Ví d Tìm đ th (C ) : y  x2 nh ng m M cho kho ng cách t x3 M đ n ti m c n đ ng b ng kho ng cách t M đ n ti m c n ngang  m2 Gi i: +) Do M  (C )  M  m;  v i m   m 3  Ti m c n đ ng có ph Ti m c n ngang có ph ng trình: x  hay x   (1 ) ng trình: y  hay y   ( )  m   M (4;6) 1 m2 +) d ( M , 1 )  d (M ,  )  m     (m  3)2     5 m 3  m   M (2; 4) V y M (4; 6) ho c M (2; 4) 49 2x 1 có đ th (C ) Tìm t a đ hai m A, B đ th (C ) cho ti p n x 1 c a đ th (C ) t i A B song song v i AB  Ví d Cho hàm s y a  b  2a    2b   Gi i: Do A  (C ), B  (C ) nên g i A  a;  B  b;  v i   a 1   b 1  a  1; b  Ti p n c a đ th (C ) t i A B song song nên suy ra: y '(a)  y '(b)  1 1  (a  1) (b  1)2 (v i y '  1 )  (a  1)2  (b  1)2  a  b (lo i) ho c b   a (1) ( x  1)2  2a  2b   M t khác: AB   AB   ( a  b)      (2)  a 1 b 1  Thay (2) vào (1) ta đ c: 4(a  1)  a   b  a      ( 1) a   b  (a  1)  +) V i a  2, b   A(2;3), B (0;1) (th l i th a mãn u ki n song song) +) V i a  0, b   A(0;1), B (2;3) (th l i th a mãn u ki n song song) V y A(2;3), B (0;1) ho c A(0;1), B (2;3) Ví d (HSG – Hà N i – 2013) Cho hàm s y  x  3x  có đ th (C) Tìm m M , N   n m (C) cho m I   ;  trung m c a đo n th ng MN   Gi i: Do M  (C )  M (m; m3  3m  4)  xN  xI  xM  1  m  N (1  m;  m3  3m) Ta có I trung m c a MN nên:  3  y N  yI  yM   (m  3m  4)   m  3m m   M (1; 2), N (2; 2) M t khác : N  (C )   m3  3m  (1  m)3  3(1  m)   m  m       m  2  M (2; 2), N (1; 2) V y M (1;2) N (2; 2) ho c M (2;2) N (1; 2) Chú ý: Ngoài cách phát bi u trên, toán có th h i theo cách di n đ t sau:   “Tìm (C ) hai m M , N đ i x ng v i qua m I   ;  ”   50 2x 1 có đ th (C) Tìm m M thu c đ th (C) cho kho ng cách t x 1 ng ti m c n c a (C ) t i ti p n c a (C ) t i M l n nh t y Ví d Cho hàm s giao m I c a hai đ Gi i: +) Ti m c n đ ng, ngang l n l t c a (C ) x  1 y   I ( 1; 2)  2m   +) Do M  (C )  M  m;  v i m  1 Khi ph m 1   y ng trình ti p n c a (C ) t i M là: 2m  ( x  m)   3x  (m  1) y  2m2  2m   (  ) (m  1) m 1 +) Ta có: d ( I , )   3  2(m  1)  2m  2m   (m  1)  (m  1)2 (m  1)  d ( M , )max     m 1  (m  1)   .( m  1) 2 (m  1)  m  1  2       m m ( 1) ( 1)  (m  1)  m  1    V y M 1  3;  ho c M 1  3;  th a mãn toán 51 BÀI TOÁN 5: Tính đ n u c a hàm s Bài toán 5.1 N i dung toán : Tìm m đ hàm s y  f ( x, m) đ ng bi n (ho c ngh ch bi n)  Cách gi i chung: Yêu c u c a toán  f '( x, m)  (ho c f '( x, m)  ) (*) x   Khi có cách gi i quy t: a  a  Cách 1: N u f '( x, m)  ax  bx  c (*)   ( ho c   )     xét thêm u ki n a  n u a ch a m Cách 2: N u (*)  h( m)  g ( x ) (ho c h( m)  g ( x) ) toán t ng đ ng: h(m)  max g ( x) ( ho c h(m)  g ( x ) ) x x Ví d Cho hàm s y  ( m  1) x  (m  3) x  (m  5) x  Tìm m đ hàm s đ ng bi n t p xác đ nh Gi i: T p xác đ nh: D   Yêu c u c a toán t ng đ ng v i: y '  (m  1) x  2(m  3) x  m   v i x   (*) Cách 1: +) V i m  1 : (*)  x   v i x   (vô lí)  m  1 a  m     +) V i m  1 : (*)   m  '  12m   m  Cách 2: Ta có (*)  m( x  1)   x  x  v i x   +) V i x  ta đ c:  12 v i x   (luôn đúng) +) V i x  (*)  m   x2  6x   g ( x) v i x   m  max g ( x ) ( x  1)2 x(  ;1) (1;  ) 52 Xét g ( x )   x2  6x  8( x  2) v i x   g '( x )  ; g '( x)   x  2 ( x  1) ( x  1)3 lim g ( x )  1 lim g ( x )   Do ta có b ng bi n thiên sau: x  x 1 Khi ta có max g ( x)  x(  ;1) (1;  ) V y m 1 m 3 giá tr c n tìm Nh n xét: ví d trên, cách gi i cho ta l i gi i ng n g n song có m t h n ch ch s d ng v i d ng tam th c b c hai Còn cách gi i dài (c th toán này) nh ng có th gi i quy t đ c c d ng f '( x, m) không ph i tam th c b c 2, nh ng s g p “khó kh n” n u tham s m không ph i b c nh t Nh v y m i cách có nh ng u nh c m khác Tùy vào s li u c th c a t ng toán giúp ta ch n cách gi i t i u nh t Bài toán 5.2 N i dung toán : Tìm m đ hàm s y  f ( x, m) đ ng bi n (ho c ngh ch bi n) ( a; b) ( v i a có th  b có th  ) Cách gi i chung: Yêu c u c a toán  f '( x, m)  (ho c f '( x, m)  ) (*) x  ( a; b) Ta có cách gi i quy t: Cách 1: N u (*)  h( m)  g ( x ) (ho c h( m)  g ( x) ) toán t ng đ ng: h(m)  max g ( x) ( ho c h(m)  g ( x) ) x( a;b ) x( a;b ) Cách 2: N u f '( x, m)  ax  bx  c ta s d ng đ nh lý thu n đ o v d u tam th c b c (xem thêm ph n Chú ý) 53 Chú ý: *) Vì ch ng trình khóa h c, đ nh lý đ o v d u tam th c b c b l c b Vì v y ta h n ch s d ng Cách N u mu n s d ng s ph i “lách” b ng cách chuy n v so sánh v i s ho c s d ng công th c nghi m tr c ti p (s th y rõ h n qua ví d minh h a ) u ( x) *) V i tr ng h p hàm s d i d ng phân th c y  hàm s đ ng bi n (hay ngh ch bi n) ( a; b) v( x)  y' u '( x).v( x)  v '( x).u ( x)  ( 0) v i x  ( a; b) v ( x) h( x)  u '( x).v( x)  v '( x ).u ( x )  ( 0) , x  (a; b) v ( x )    *) N u bi u th c đ nh d u c a y ' không ch a x u ki n (*) d u "  " *) u nh c m c a Cách Cách 2: +) Cách 1: V i f ( x, m) có d ng b t kì nh ng ch gi i quy t “t t” n u m b c nh t +) Cách 2: V i m có b c b t kì nh ng f ( x, m) ph i đa th c b c gi i quy t “nh nhàng” (*) v i x  R +) Cách th ng s d ng toán ph c t p mà khó gi i quy t v i Cách Ví d (A,A1 – 2013) Cho hàm s y   x3  x  3mx  (1), v i m tham s th c Tìm m đ hàm s (1) ngh ch bi n kho ng (0; ) Gi i: Yêu c u c a toán  y '  3 x  x  3m  v i x  (0;  )  f ( x )  x  x  m  v i x  (0;  ) (*) Cách 1: (*)  m  x  x  g ( x ) v i x  (0;  )  m  x(0; ) g ( x) Ta có g '( x )  x  ; g ( x )   x  Ta có b ng bi n thiên: Khi m  x(0; ) g ( x)  1 V y m  1 đáp s c a toán 54 Cách 2: th hàm s f ( x )  x  x  m m t parabol có a   nên có b lõm quay lên Vì v y (*) x y ch : Tr ng h p 1: f ( x ) n m phía ho c ti p xúc v i tr c Ox ( f ( x )  v i x   ) Khi ph ng trình f ( x )  th a mãn:    m   m  1 Tr Tr Tr ng h p ng h p ng h p 2: f ( x ) c t tr c Ox t i m có hoành đ x1 , x2 cho: x1  x2  ( v i x  (0;  ) f ( x )  ) Khi ph    m   (vô nghi m) ng trình f ( x )  th a mãn:  S    P  m   V y giá tr m th a mãn yêu c u toán m  1 Nh n xét: Ta có th nh n th y đ I (1; 1  m) thu c bên ph i tr c Oy c Tr ng h p không th x y đ c đ nh c a parabol là: mx  v i m tham s th c Tìm m đ hàm s : xm đ ng bi n kho ng (2;  ) ngh ch bi n kho ng ( ;1) Ví d Cho hàm s Gi i: Ta có y '  y m2  v i x   m D u c a y ' d u c a m2  (không ch a x ) nên đ hàm s : ( x  m) m2   0, x  (2; ) đ ng bi n kho ng (2;  ) thì: y   0, x  (2;  )  ( x  m)  m2    m  2  m   m  2  m     m2 m m 2     m (2; )       V y hàm s đ ng bi n (2;  ) m  55 ngh ch bi n kho ng ( ;1) thì: y   0, x  (;1)  m2   0, x  (;1) ( x  m) m   2  m  2  m      2  m  1 m  m  1 m  (;1) V y hàm s ngh ch bi n ( ;1) 2  m  1 Ví d Cho hàm s y   x  (m  1) x  (2m  3m  2) x  v i m tham s th c Tìm m đ hàm s ngh ch bi n (2;  ) Gi i: Yêu c u toán  y '  3 x  2(m  1)  2m  3m   0, x  (2; )  f ( x)  3x  2(m  1)  (2m  3m )  0, x  (2; ) (*) Ta có  '  (m  1)2  3(2m  3m  2)  7( m2  m  1)  0, m   Suy f ( x )  có hai nghi m phân bi t x1 , x2 v i m   Do đó: (*)  x1  x2   1 m   '   '  m 5 7(m  m  1)  (m  5) 6m  3m  18    m   m  5  3   m    m2  m  5 V y   m  đáp s c a toán C M N CÁC B N Ã QUAN TÂM VÀ 56 C TÀI LI U !