Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập ôn tập toán cao cấp 2 giải tích Bài tập ôn tập toán cao cấp 2 giải tích Bài tập ôn tập toán cao cấp 2 giải tích Bài tập ôn tập toán cao cấp 2 giải tích Bài tập ôn tập toán cao cấp 2 giải tích Bài tập ôn tập toán cao cấp 2 giải tích Bài tập ôn tập toán cao cấp 2 giải tích Bài tập ôn tập toán cao cấp 2 giải tích
I.Bài tập hàm nhiều biến số: Giới hạn hàm biến: 1.1 Chứng minh hàm số sau giới hạn kép f ( x, y ) = x2 + y2 x2 − y2 f ( x, y ) = a, b 1.2 Tính giới hạn bội sau: xy − y x2 + y2 f ( x, y ) = c xy lim x →0 x + y a 11Equation Section (Next) x2 y2 x4 + y d lim 3( x + y ) x →0 y →0 x →0 y →0 b : f ( x, y ) = xy ( x − y ) lim y →0 x → 0, y → 2x2 y x + 3( x + y ) x2 y − y x sin xy c d x y.ln(1 + xy ) x →0 x + 12 y lim y →0 Tính đạo đạo hàm riêng hàm số: f ( x, y ) = x y + 3x(1 + sin y ) a z=e z= xy − x3 y b f 'x ( x, y); f ' y ( x, y ) f ''xx ( x, y ), f '' xy ( x, y) f '' yy ( x, y ) , , f (x, y) = xy3ln(1 + 3xy) x arcsin( y ) y c z = ( xy )1−sin xy d z = (1 + x tan y ) x / y z = y arctan(1 + x) e f g h Các hàm số mục 1.1 i Và hàm ẩn z=z(x,y) xác định phương trình: i1 xyz = x + z ln y + ln z = z i2 2y + x arctan yz xz i3 yz = x arccos z Viết biểu thức vi phân toàn phần hàm số sau: w = ln(1 − xy + yx − z x) a w= e 3x − y x3 y − y b w = yxarccot(xz/y) w = arctan(1 + xy ) + f, z = x − y ln( xy ) c d y zy w = ln( ) − z x y x 1− z2 g w = xy ln( y + zx) h z = z ( x, y ) h1 xác định phương trình: x − yz = ln( y / z) h2 yz + e z − xy = sin(xyz) h3 (1 + y) zx = x ln yz h4 yze x − x ln z = yz 4.Bài toán cực trị : 4.1 Tìm cực trị hàm số sau: a w = x + 5(y + z ) − xy + yz − 16 zx + b w = − x − y − z − yz + x + z + 2 c e.z=z(x,y) xác định pt: d x + y + z − x + y − z − 10 = e1 e2 4.2 Cực trị có điều kiện-nhân tử Lagrange Tìm cực trị hàm số sau: w=4x+5y+29 a b với điều kiện: w = −2 x − y − z − zx + y − z w = x + y + 10 z − xy − yz − 10 z + x2 + y + z − x + y − z = 10 w = x 0,4 y 0,8 với ràng buộc: x + y = 240 x + y − x − y = 640 w = 4x + 3y +1 x2 + y2 = 31 c với d 4.3 Các toán lựa chọn tối ưu “kinh tế”: w = x− y+ z a Giả sử hàm tổng chí phí doanh nghiệp TC Giá mặt hàng kết hợp sản lượng Q1 , Q2 Q1 , Q2 với 4x2 + y2 + z = = 7Q12 + 2Q22 + 5Q1Q2 (Q1 , Q2 > 0) tương ứng thị trường p1 = 60, p2 = 45 xác định mức để daonh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận b Một công ty độc quyền sản xuất kết hợp hai loại sản phẩm với hàm chi phí ( lượng cầu sản phẩm i) : TC = 3Q12 + 2Q22 + 2Q1Q2 + 55 Qi Cầu thị trường hai loại sản phẩm là: Q1 = 50 − 0,5 pi , Q2 = 76 − p2 Tìm mức kết (Q1 , Q2 ) hợp giá bán để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa c Một công ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm bán sản phẩm hai thị trường khác Cho biết hàm chi phí biên: MC = 1, 75 + 0, 05(Q1 + Q2 ) p1 = 12 − 0,15Q1; p2 = − 0, 075Q2 Và cầu cua rthij trường sản phẩm công ty là: Hãy xác định sản lượng gái bán thị trường để công ty thu lợi nhuận tối đa U = ( X + 3) X X1 d Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: , giá sản phẩm A, X2 giá sản phẩm B Hãy chọn túi hàng tối đa điều kiện giá hàng hóa A $5 , giá hàng hóa B $20, ngân sách cho tiêu dùng $185 Lợi ích tối đa thay đổi ngân sách tối đa tăng đơn vị, tăng 1% Q = 10 K 0,3 L0,3 e Một doanh nghiệp có hàm sản suất Giá thuê đơn vị lao động $9, giá thuê đơn vị tư doanh nghiệp tiến hành tiến hành sản xuất với ngân sách cố đinh $216 Tìm mức sử dụng lao động tư để doanh nghiệp có sản lượng cạc đại Sản lượng cực đại thay đổi ngân sách cố định tăng đơn vị, tăng 1% Q = 20 K 0,4 L0,4 f Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Giả sư giá thuê đơn vị lao động $10, giá thuê đơn vị tư $8 doanh nghiệp sản xuất với ngân sách cố định $320 Tìm mức sử dụng K,L để Q đạt cực đại Nếu muốn Q cực đại tăng đơn vị, 1% ta cần đầu tư ngân sách tương ứng cho trương hợp ?? = 20X 0,4Y 0,7 g Một nam sinh “ghi điểm” với bạn gái theo hàm ghi điểm GĐ bạn gái cung cấp :3 ; đó, X số đạp xe đạp, Y số lần mời xem phim Giả sử chi phí cho lần xem phim $16, chi phí thuê xe đạp “ngân sách hạn hẹp” nam sinh dành cho việc “ghi điểm” 20 Tìm kết hợp phương pháp cho nam sinh đạt số điểm cao Giả sử “cô gái bị đổ” số điểm cao tăng thêm 1% , a nam sinh cần phải vay lãi thêm $ để chi cho việc “ghi điểm” 4.5 Tìm khoảng tăng giảm cực trị hàm số: x2 y= ∫ + t dt b e− x y= ∫ 3 c − ln tdt − e ∫ dt f g x+4 y = ∫ t − 2t + 7dt ÷ II Tích phân Tính tích phân bất định sau: a f l (2 + x )2 ∫ x dx b x3 ∫ ( x − 1) x − 1dx ∫ (5 x − 1) ∫ cot dx g dx m c 3x +1 − x −1 ∫ x dx ∫ ∫ h ∫ − 9xdx n ln xdx ∫ x dx ∫ + ex r s Tích phân phần: a1 a5 ∫ 5x sin xdx a2 ∫( x ∫ xdx ∫ cos2 x dx ∫ x (x ∫ cot xdx t cos xdx sin 2 x i ∫x p a3 − 1) e dx ∫ − cos x k q dx u ∫e ∫ x+ −x ∫ s inx.cos ( x − 1) dx − x (arccos x) a6 a7 e x dx ∫ + ex dx x v ∫ x ln xdx sin xdx a4 ∫ ln( x − 10)dx a8 ex ∫ cot xdx Tích phân xác định ∫ a π 2x −1 dx 2x x −1 ∫3 + x − dx b ln s inxdx ∫0 s inx + 3cosx c ∫ d x ∫ s inx + cos x dx dx cos x ∫ dx cos xdx ∫ − 3cos x − 3x + ) e x dx d dx − 6x + 4t (3t + 2) − t y=∫ dt − t −x x2 − x d x e y = (3x − x + 4) − x y = (2 x − 1) − x a y= dx e −1 ∫x e 2x e −2 x dx ∫ (x − 3x + 7)2 −2 x π dx f g π /2 ∫ h x + sin x − s inx dx x + cos x ∫ l m x e −3 x ∫0 x − dx 2 dx ∫0 sin x x3 + 3x ∫1 3x2 − x + dx e ∫ x ln(2 x + 3)dx i k e −2 x x3 − 4e − x x + x x x dx Tích phân suy rộng: +∞ ∫ +∞ ∫ ( x − 1) e1− x dx a c (1 − ln x)dx x ln x ∫x3 d +∞ dx ∫−∞ (1 + x )(4 + x ) f dx ∫−∞ ( x + x + 13)( x + x + 6) ∫ ∫ (3x − 2) s in2xdx h ∫ b +∞ e +∞ dx x − x + 12 −∞ i +∞ dx ∫ −x + x − k +∞ dx −∞ dx ∫ x arctan g −3 x 2x −1 ln(1 + x)dx x2 ∫ ( x log x) m III Phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp a Các tập sách giáo trình b Một số tự luyện: y '− b1 4y = ln(2 x + 1) 2x +1 (4 y − / y) dx + ( 6x + xy ) dy = y2 b3 b5 (2e y − x ) y ' = b4 (6 x − y cos x)dx − sinxdy = y' = b6 y ' = 4x + y −1 b7 (2 y + y sin xy )dx + (2 x + + x sin xy )dy = b2 b8 y − xy x − xy + y ( y + xy ) dx = xdy dx b9 ( x + y − 2) dx + ( x − y + 4) dy = b11 b13 b15 b17 b10 (−2 x + y + 3)dx − ( x − y + 1)dy = xy '+ y = x y (3 x − y ) dx + ( x + y ) dy = b12 b14 ydx − x(1 + xy) dy = xydx = ( y + x ) dy b16 y '− y = x e x b.18 (2 y − x + 1)dx + (2 x − y + 3) dy = xy ' + =0 y 2x + xy '− x y = y ( x + 1) Phương tình vi phân cấp 2.1 Dạng hạ cấp y ''− y' =0 2x −1 y ''− 2y ' =0 y a b 2.2 Các tập giáo trình c y '' = y '− ( y ') y ''− y' =0 y d e xy '' = ( y ') 2.3 Bài tập tổng hợp: y ''+ y ' = −3 y + x − y ''− y = (2 − x)e x x3 13 y ''+ 16 y = (3x − 4) cos x y ''+ y ' = y + − x 10 y ''− y '+ y = s inx + 2e x − x2 + 2x + y ''− y '+ y = x3 y ''+ y = sin x y ''+ 16 y = (2 x + 5) s in4x 11 y ''+ y '+ 10 y = e3 x + ( y ')3 = y '' y2 14 15 y ''+ y = (5 x + 2) cos x y ''− y '+ y = cosx + e x y ''+ 16 y = (2 x + 5) cos x 12 y ''− y ' = x + x −3/2 y ''+ y '+ y = cos x − x sin x TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Câu 1: Cho biết phương trình vi phân có nghiệm tổng quát y = Cx Đường cong tích phân sau phương trình qua A(1, 2)? a) y = b) y = 3x c) y = 2x d) y = x/2 Câu : Hàm số y = 2x + Cex, C số, nghiệm tổng quát phương trình vi phân ? a y’ – y = (1 + x)2 C) y’ – y = 2(1-x) b y’ + y = (1+x) D) y’ + y = 2(1-x) Câu : Phương trình vi phân sau đưa dạng phân lý biến số ? a) x ( x + 1)arctgydx + x(1 + y )dy = b) x ( x + y ) ln ydx + (1 + y )( x − 1)dy = x ( x + 1) ln ydx + ( x + y )( x − 1)dy = [ x + ( x + y ) ] ln ydx + (1 + y )( x − 1)dy = x ( x + 1) ln ydx + ( x + y )( x − y )dy = x ( x + y ) ln ydx − (1 + y )( x − 1)dy = 2 c) d) Câu : Phương trình sau đưa dạng phân lý biến số ? a) c) b) x ( x + y ) ln ydx + ( x + y )( x − 1)dy = 2 d) [ x + ( x + 1) ] ln ydx − (1 + y )( x + 1)dy = y '+ Câu 5: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) ( x + 1) y = C b) ( x + 1) + y = C c) C1 ( x + 1) + C y = y =0 x +1 d) ( x + 1) + y = C dx dy + =0 sin y cos x Câu 6: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) c) sin x + cos y = C b) C1 sin x + C2 cos y = d) sin x − cos y = C C1 cos x + C2 sin y = dx dy + =0 1+ x − y2 Câu 7: : Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) c) arcsin x + arctgy = C arctgx + arcsin y = C b) arcsin x − arctgy = C arctgx + ln | y + − y |= C d) Câu 8: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) x2 y + y = C b) xy + y = C xydx + dy = c) xy + = C c) x + ln | y |= C Câu 9: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) (1 + y ) x + x ln x = C b) ln | ln x | + + y = C c) d) (1 + y ) dx + x ln xdy = ln | ln x | + arcsin y = C ln | ln x | + arctgy = C (1 − y )dx + x ln xdy = Câu 10: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân x + y + xy ln x = C a) b) ln | ln x | + − y = C c) d) ln | ln x | + arcsin y = C ln | ln x | + arctgy = C − y2 dx + + x dy = y Câu 11: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân arctgx − − y = C a) b) ln | x + + x | − − y = C c) d) arctgx − ln | − y |= C ln | x + + x | − ln(1 − y ) = C + y dx + xy ln xdy = Câu 12: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân x + y + xy ln x = C a) b) ln | ln x | + + y = C c) d) ln | ln x | + arcsin y = C ln | ln x | + arctgy = C Câu 13: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) c) arctg ( x + 1) + arctg ( y + 1) = arctgx + arctgy = C b) x( y + 1)dx + y ( x + 1)dy = arctg ( x + y ) = C ln( x + 1) + ln( y + 1) = C d) Câu 14: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân xdy − y ln xdx = a) c) ln x +C x y= y = ln x + C b) ln | y |= x(1 + ln x ) + C d) ln | y |= ln x + C Câu 15: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) c) arctg ( x − 1) + arctg ( y − 1) = C b) ln | x − | + ln | y − |= C d) x( y − 1)dx + y ( x − 1)dy = arc cot g ( x − 1) + arc cot g ( y − 1) = C arctgx + arctgy = C + y dx + xy ln xdy = Câu 16: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) (1 + y ) x + xy ln x = C b) ln | ln x | + + y = C c) d) ln | ln x | + arcsin y = C ln | ln x | + arctgy = C x y + 1dx + y x + 1dy = Câu 17: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân x2 + y2 + =C ln(x + x + 1) − ln( y + y + 1) = C a) b) ln( x + x + 1) + ln( y + y + 1) = C x2 + + y + = C c) d) Câu 18: Phương trình sau phương trình vi phân đẳng cấp ? (Dạng vế phải hàm bậc 0) a) dy x + y + = dx x+5 b) dy x + y = dx x+ y dy x + y = dx xy c) d) dy x y + y x = dx x + y2 y' = Câu 19: Chọn biến đổi thích hợp để giải phương trình vi phân a) Đặt b) Đặt u = y2 u=x , (1) trở thành u' x2 − u = u u−x u y' = , (1) trở thành u−y y −y u 2 x2 − y y − xy (1) y = ux c) Đặt u'= , (1) trở thành y = ux d) Đặt u'= , (1) trở thành − u3 x(u − u ) 1− u u2 − u y' = Câu 20: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y= a) −x C + ln | x | y= b) x C + ln | x | y= c) x C − ln | x | Câu 21: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y = x (C + ln | x |) y = x (C − ln | x |) y y2 − x x2 y= −x C ln | x | d) xy ' = y + x y = x /(C + ln | x |) y = x /(C − ln | x |) a) b) c) d) Câu 22: Phương trình sau phương trình vi phân toàn phần? a) ( ye x − xe x )dx + (e x − y sin y ) dy = b) ( ye + xe )dx + (e + y sin y ) dy = x y x ( ye x + xe x )dx + (e x + x sin y )dy = ( ye x − xe y ) dx + (e x − y sin y ) dy = c) d) Câu 23: Phương trình sau phương trình vi phân toàn phần? a) b) c) d) ( y sin x − cos y ) dx + (cos x − x sin y ) dy = ( y sin x − cos y )dx − (cos x − x sin y )dy = ( y sin x + cos y ) dx + (cos x + x sin y ) dy = ( y sin x + cos y )dx − (cos x − x sin y )dy = Câu 24: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) xy = C b) y = Cx c) x+ y =C d) x− y =C ydx + xdy = Câu 25: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân : a) xy − e x = C b) xy + e x = C c) x + y + ex = C ( y + e x ) dx + xdy = d) x − y + ex = C Câu 26: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân : a) xy − xe y = C b) xy + xe y = C c) x + y + xe y = C Câu 27: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) xy − x cos y = C b) y − x + x cos y = C xy + x cos y = C (e y + 1) dx + ( xe y + 1)dy = d) x − y + xe y = C (1 + cos y )dx − (1 + x sin y) dy = x − y + x cos y = C c) d) Câu 28: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân toàn phần: ( x − x / y )dy + ( y − ln y )dx = x ln y + xy = C x ln y − xy = C y ln x + xy = C y ln x − xy = C a) b) c) d) Câu 29: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân toàn phần (cos y − y sin x) dx − ( x sin y − cos x)dy = a) c) x cos y − y cos x = C x sin y − y sin x = C b) d) x cos y + y cos x = C x sin y + y sin x = C y '+ Câu 30: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y= a) C x2 y= b) 2C x3 y= c) C x Câu 31: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân : a) y ( x + x3 / 3) − y / = C b) y = C.e1/ arctg x c) a) y = Ce− tgx b) y = Cetgx c) y = C + etgx Câu 33: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: a) y = Ce−3x b) y = C − e3x c) y=− d) y = Ce3x C x (1 + x )arctgx y '− y = y = C.arctgx Câu 32: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân : y =0 x d) y = C / arctgx y 'cos x + y = d) y = eC tgx y '− y = d) y = C + e3x Câu 34: Phương trình a) y = Cxe y '− y cos x = − cos x b) y = Cx + e có nghiệm tổng quát là: y = C + e − sin x sin x c) Câu 35: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân : a) c) y ( x + cos x) − sin x y / = C b) y = C (1 + sin x ) c) d) y = C /(1 + sin x ) y ( x − ln | cos x |) − (tgx) x y / = C b) y = C /(1 + tgx) d) a) b) y = C + 4tgx y = C ln(1 + tgx) c) a) c) y = C (1 + sin x ) b) d) a) y = C.( x + x + 1) b) c) c) y = C /(1 + sin x ) a) y = C (1 − e ) b) x c) d) (1 + sin x ) y '+ y cos x = y '( x + x + 1) = y (2 x + 1) y = C /( x + x + 1) y = C.(2 x + 1) Câu 40: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: y( x − e x ) − e x y / = C d) y = C + sin x y = C ln(1 + sin x) Câu 39: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: y = C + ( x + x + 1) y 'sin x = y cos x y = C.sin x Câu 38 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: y ( x + cos x) − sin x y / = C y '(1 + tgx) − (1 + tg x) y = y = C (1 + tgx) Câu 37: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân : y = C.cotgx (1 + sin x) y '− y cos x = y = C ln(1 + sin x) Câu 36: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: a) d) y = C.e − sin x y '(1 − e x ) − e x y = y = C ln(1 − e x ) y = C /(1 − e x ) Câu 41: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: y ' + x2 + y = a) y = C( x + + x2 ) b) yarctg ( x / 2) = C y( x + + x2 ) = C y arcsin( x / 2) = C c) d) Câu 42: Trong phương pháp biến thiên số, ta tìm nghiệm tổng quát phương y '+ trình y= y = x ln x x dạng C ( x) x2 y= C ( x) x3 y= C ( x) x y=− C ( x) x a) b) c) d) Câu 43: Trong phương pháp biến thiên số, ta tìm nghiệm tổng quát phương y '− trình y= y = x ln x x dạng: C ( x) x3 y = C ( x) − x y = C ( x) + x y = C ( x) x y = C ( x) + etgx y = C ( x ) − etgx a) b) c) d) Câu 44: Trong phương pháp biến thiên số, ta tìm nghiệm tổng quát phương trình y 'cos x + y = + tg x y = C ( x)e − tgx dạng: y = C ( x )etgx a) b) c) d) Câu 45: Trong phương pháp biến thiên số, ta tìm nghiệm tổng quát phương trình a) xy '+ y = x ln x y = C ( x )e dạng: 3x b) y = C ( x)e −3 x c) y = C ( x) / x Câu 46: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) y = x4 + C / x b) y = x + Cx c) y = x3 + C Câu 47: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) y = x4 + C / x b) y = x + Cx c) y = x3 + Cx Câu 48: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân d) y = C ( x) x xy '− y = 3x d) y = 9x2 + C xy '− y = x d) y = −2 x3 + Cx xy '+ y = 3x a) y = x + C / x2 b) y = x + Cx y = x + Cx c) Câu 49: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) y = x + C / x2 b) y = x + Cx c) a) b) y = ( x + C ) e2 x xy '+ y = x y = x + Cx Câu 50: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y = ( − x + C )e x d) d) Câu 51: Chon cách biến đổi thích hợp để giải phương trình: a) Đặt b) Đặt c) Đặt d) Đặt z=y z=y z '− 20 z = x , (1) trở thành z '− z = x , (1) trở thành y = ux u = x/ y , (1) trở thành a) Đặt b) Đặt c) Đặt d) Đặt , (1) trở thành u = x/ y z = y4 z=y , (1) trở thành , (1) trở thành 5u '− x / u = u 4u '− x / u = u a) Đặtt b) Đặt c) Đặt z=y , (1) trở thành y = ux , (1) trở thành , (1) trở thành (1) Câu 53: Chọn cách biến đổi thích hợp để giải phương trình z = y3 y '− y = x / y 4 z ' − 4 z = x2 z3 z '− z = x (1) 4u ' x + 4u − 4ux = 1/ u , (1) trở thành y '− y = x / y Câu 52: Chọn cách biến đổi thích hợp để giải phương trình y = ux d) y = ( x + C )e x 5u ' x + 5u − 4ux = 1/ u , (1) trở thành y = x3 + C / x y '− y = e2 x y = ( − x + C )e x c) y = x3 + C / x z '− 12 z = x z '− z = x u ' x + u − 4ux = 1/ u y '− y = x / y (1) d) Đặt u = x/ y , (1) trở thành u '− x / u = u Câu 54: Chọn cách biến đổi thích hợp để giải phương trình a) Đặt b) Đặt z=y −2 z = y −2 , (1) trở thành x = uy d) Đặt , (1) trở thành y = ux z '+ xz = −4( x + 1) x' = u' y + y , (1) trở thành y' = u'x + x Câu 55: Chọn cách biến đổi thích hợp để giải phương trình a) Đặt b) Đặt z=y z=y , (1) trở thành , (1) trở thành u = x/ y zy '− zy = x z '− 20 z = x b) Đặt z=y 5u '− x / u = u z=y −2 , (1) trở thành d) Đặt , (1) trở thành y = ux z '+ xz = −4( x + 3) x = uy c) Đặt z '− xz = −4( x + 3) y '− xy = 2( x + 3) y , (1) trở thành , (1) trở thành x' =u' y + y y' = u'x + x (2 x + x) y dx + y x dy = Câu 57: Xét phương trình vi phân Khẳng định không đúng? a) (1) phương trình vi phân đẳng cấp b) (1) đưa dạng phân ly biến c) (1) phương trình tuyến tính cấp d) (1) phương trình Bernoulli (1) Câu 56: Chọn cách biến đổi thích hợp để giải phương trình −2 y '− y = x / y 4 c) Đặt , (1) trở thành d) Các cách không thích hợp a) Đặt (1) , (1) trở thành c) Đặt z '− xz = 4( x + 1) y '− xy = 2( x + 1) y (1) (1) ( y + 3xy )dx + (7 x + xy )dy = Câu 58: Xét phương trình vi phân Khẳng định không đúng? a) (1) phương trình vi phân đẳng cấp b) (1) đưa dạng phân ly biến c) (1) phương trình tuyến tính cấp d) (1) phương trình Bernoulli ( y − xy )dx + ( x − xy )dy = Câu 59: Xét phương trình vi phân Khẳng định không đúng? a) (1) phương trình vi phân đẳng cấp b) (1) đưa dạng phân ly biến c) (1) phương trình tuyến tính cấp d) (1) phương trình Bernoulli Câu 60: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) c) y = e2 x (C1 cos x + C2 sin x) b) y = C1 cos x + C2 sin x d) Câu 61: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) c) y = e2 x (C1 cos x + C2 sin x) b) y = C1 cos x + C2 sin x d) Câu 62: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) y = C1 cos x + C2 sin x y = e (C1e + C2e ) x c) x b) 2x d) a) b) (1) y ''− y '+ y = y = e x (C1 cos x + C2 sin x) y = C1e x + C2e x y ''+ y = y = e x (C1 cos x + C2 sin x ) y = C1e2 x + C2 e −2 x y ''− y '+ y = y = e x (C1 cos x + C2 sin x ) y = C1e x + C2 e x Câu 63: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y = C1e x + C2e − x (1) y = (C1 x + C2 )e x c) y = C1 + C2e x Câu 64: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ''− y = d) y = C1 + C2 sin x y ''− y '+ 41 y = a) y = C1e x + C2e5 x b) y = e (C1 cos x + C2 sin x) 4x c) d) y = C1e −4 x + C2e −5 x y = e5 x (C1 cos x + C2 sin x) Câu 65: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) y = e3 x ( xC1 + C2 ) b) y = C1e (C1 cos x + C2 sin x) 3x c) d) y = e −3 x ( xC1 + C2 ) y = (C1 + C2 )e3 x Câu 66: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) y = C1e2 x + C2 e−2 x b) y = e (C1 cos x + C2 sin x) 2x c) d) a) c) b) y = C1e11x (C1 cos x + C2 sin x) d) y = e −2 x (C1 cos x + C2 sin x) a) −x c) y = C1e + C2e b) 3x d) y = (C1 + C2 )e11x y = C1e x + C2 e3 x y = e x (C1 cos 3x + C2 sin 3x) b) −x c) y = e (C1 cos 3x − C2 sin 3x) d) a) b) y ''− y '+ 10 y = y = e3 x (C1 cos x + C2 sin x) y = e − x (C1 cos x + C2 sin x) Câu 70: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y = C1e x + C2 e2 x y ''+ y '+ y = y = C1e − x + C2e −3 x Câu 69: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) y ''− 22 y '+ 121 y = y = e −11x ( xC1 + C2 ) Câu 68: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y = C1e x + C2e−3 x y ''− 16 y = y = C1e x + C2e x Câu 67: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y = e11x ( xC1 + C2 ) y ''− y '+ y = y = C1e − x + xC2e−2 x y ''− y '+ y = c) y = e x (C1 cos x + C2 sin x) d) y = e2 x (C1 cos x + C2 sin x) Câu 71: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) c) y = C1e−3 x + C2 e −3 x y = C1e −3 x + xC2 e b) −3 x d) y ''+ 18 y '+ 27 y = y = e3 x ( xC1 + C2 ) y = C1 cos( −3 x) + C2 sin(−3 x) Câu 72: Cho biết nghiệm riêng phương trình vi phân y=x e y ''− y '+ y = 2e x 2 a) , tìm nghiệm tổng quát phương trình trên: y = x 2e x + Ce x c) b) y = x e + C1e + C2 xe x x x d) y = Cx e y = x 2e x + C1e x + C2e x Câu 73 Cho biết nghiệm riêng phương trình vi phân y = − cos x − x cos x a) y ''+ y ' = 2sin x + 3cos x , tìm nghiệm tổng quát phương trình y = C1 cos x + C2 x cos x b) y = cos x + x cos x + C1e x + C2 e − x y = − cos x − x cos x + C1 cos x + C2 sin x y = − cos x − x cos x + C1e x + C2 e − x c) d) Câu 74: Cho biết nghiệm riêng phương trình vi phân y ''− y '− y = 4sin x − cos x y = cos x , tìm nghiệm tổng quát phương trình y = cos x + e (C1 cos x + C2 sin x) x a) b) c) d) y = 4sin x − cos x + e− x (C1 cos x + C2 sin x) y = cos x + C1e− x + C2 e5 x y = 4sin x − cos x + C1e − x + C2 e5 x Câu 75: Cho biết nghiệm riêng phương trình vi phân y =e a) x , tìm nghiệm tổng quát phương trình y = e x + e − x (C1 cos x + C2 sin x) −x y = e + C1e + C2 e x c) y ''+ y '+ 26 y = 29e x b) 5x d) y = 29e x + e − x (C1 cos x + C2 sin x) y = 29e x + C1e − x + C2 e5 x y ''− y '+ y = e ( x3 − x + 2) 2x Câu 76: Phương trình a) y = x e2 x ( Ax + Bx + Cx + D) c) Câu 77: Phương trình a) y = ( x + A)e 2x b) Câu 78: Phương trình a) a) b) c) c) y = Ae2 x d) y = Ax có nghiệm riêng dạng: −2 x b) y = e ( A sin x + B cos x) y = e2 x ( A sin x + B cos x) d) y = A sin x + B cos x y ''− y '+ y = e3 x sin x y = A sin x + B cos x + C y = xe ( A sin x + B cos x ) Câu 80: Phương trình y = Ax3 + Bx + Cx + D có nghiệm riêng dạng: y ''+ y '+ y = cos x có nghiệm riêng dạng: y = e ( A sin x + B cos x) 3x b) 3x c) y = x ( Ax3 + Bx + Cx + D) 2x y = Ax + B a) Câu 79: Phương trình d) y ''+ y ' = 2e y = A sin x c) b) y = e ( Ax + Bx + Cx + D ) 2x có nghiệm riêng dạng: d) y = x( A sin x + B cos x ) y ''+ y '+ y = x sin x + cos x y = −2 x(( Ax + B) sin x − x(Cx + D) cos x) y = e − x( Ax + B) sin x y = ( Ax + B )sin x + (Cx + D) cos x có nghiệm riêng dạng:: d) y = e −4 x ( Ax + B ) cos x Câu 81: Phương trình y = x ( Ax + Bx + C )e a) y = ( Ax + Bx + C )e c) a) y = (e + e a) c) b) c) d) b) d) y = ( Ax + B) e2 x y ''+ y '+ y = e x x )( Ax + Bx + C ) −x −2 x −x y = (e + e y = xe )( Ax + Bx + C ) c) có nghiệm riêng dạng: y = xe−2 x + Ax + Bx + C b) d) y = e− x ( Ax + Bx + C ) y ''− y '+ 10 y = xe3 x sin x có nghiệm riêng dạng: ( Ax + B ) sin x y = e3 x [( Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x)] y = xe3 x [( Ax + B)sin x + (Cx + D) cos x)] y = xe3 x ( A sin x + B cos x) y ''+ y = x sin x y = ( Ax + Bx + C ) sin x b) y = xe x ( Ax + Bx + C ) y ''+ y '+ y = e− x x 2 Câu 85: Phương trình a) b) d) y = xe ( Ax + Bx + C ) −2 x có nghiệm riêng dạng: y = e−2 x ( Ax + Bx + C ) Câu 84: Phương trình a) y = x( Ax + Bx + C )e x Câu 83: Phương trình có nghiệm riêng dạng:: y = e ( Ax + Bx + C ) x c) −2 x 2x 2x Câu 82: Phương trình −x y ''− y '+ 12 y = e x ( x − 1) y = ( Ax + Bx + C ) cos x y = ( Ax + Bx + C )(sin x + cos x) có nghiệm riêng dạng:: d) y = ( Ax + Bx + C ) sin x + (Cx + Dx + E ) cos x Câu 86: Phương trình y ''− y '+ y = e x sin x có nghiệm riêng dạng:: y = e ( A sin x + B cos x) 2x a) b) c) d) y = xe2 x ( A sin x + B cos x) y = x 2e x ( A sin x + B cos x) y = A sin x + B cos x + C Câu 87: Chọn cách biến đổi thích hợp để giải phương trình a) Đặt c) Đặt p=y , (1) trở thành p = y' , (1) trở thành p ''− xp ' = x p ''− xp ' = b) Đặt p = y' , (1) trở thành p=y b) Đặt , xem y’, y’’ biến theo hàm p, (1) trở thành p = y' (1) p '+ xp = x d) Cả cách không thích hợp Câu 88: Chọn cách biến đổi thích hợp để giải phương trình a) Đặt y '' = x − xy ' , xem p hàm theo y, (1) trở thành (1) p ''− ( y + 1) p ' = p '− ( y + 1) p = p p = y' y '' = yy '+ y ' dp − ( y + 1) p = dy c) Đặt , xem p hàm theo y, (1) trở thành d) Cả cách không thích hợp Câu 89: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) y = C1 x + C2 b) y = C1 / x + C2 c) y = C1 / x + C2 Câu 90: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) y = C1 x + C2 b) y = C1 / x + C2 c) y = C1 / x + C2 Câu 91: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) y = C1 / x3 + C2 b) y = C1 x + C2 c) y = C1 x + C2 y ''+ y '/ x = d) y = C1 ln | x | +C2 y ''+ y '/ x = d) y = C1 ln | x | +C2 y ''+ y '/ x = d) y = C1 / x + C2 Câu 92: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) y = C1 x b) y = C1 x + C2 c) y = C1 x + C2 y ''− y '/ x = d) y = C1 x + C2 / x Câu 93: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' = ? a) y=2 b) y = 3x + c) y = −3 x + Câu 94: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) y = x + C1 x + C2 b) y = x + C1 x + C2 c) y = x + Cx Câu 95: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) c) y = sin x + Cx y = − sin x + C1 x + C2 b) d) a) y = 2e x/2 c) + C1 x + C2 a) c) y = − ln | cos x | +C1 x + C2 a) y=e c) −2 x + C1 x + C2 y '' = cos x b) d) c) d) b) d) y '' = e − x / y = −4e − x / + C1 x + C2 y = 4e− x / + C1 x + C2 y ''cos x − = y = ln | sin x | +C1 x + C2 y = ln | cos x | +C1 x + C2 Câu 98: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y = 2e−2 x + C1 x + C2 d) y = x3 + Cx y = −cosx + C1 x + C2 Câu 97: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y = − ln | sin x | + C1 x + C2 y '' = x y = cos x + C Câu 96: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y = 2e − x / + C d) Cả hàm e x y ''− = y = 2e2 x + C1 x + C2 y = e x + C1 x + C2 y ''− Câu 99: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân 4x =0 (4 + x ) a) y = − arctg ( x / 2) + C1 x + C2 y= c) + C1 x + C2 + x2 b) y = ln( x + 4) + C1 x + C2 y = ln d) x−2 + C1 x + C2 x+2 y ''+ Câu 100: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) y = ln | cos x | +C1 x + C2 y= c) b) y = − ln | cos x | +C1 x + C2 tg x + C1 x + C2 d) y = ln | sin x | +C1 x + C2 =0 cos x [...]... c) y = e2 x (C1 cos x + C2 sin x) b) y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x d) Câu 61: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân a) c) y = e2 x (C1 cos x + C2 sin x) b) y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x d) Câu 62: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân a) y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x y = e (C1e + C2e ) x c) x b) 2x d) a) b) (1) y ''− 2 y '+ 5 y = 0 y = e x (C1 cos 2 x + C2 sin 2 x) y = C1e x + C2e 2 x y ''+... x 2 sin x y = ( Ax + Bx + C ) sin x 2 b) y = xe x ( Ax 2 + Bx + C ) y ''+ 3 y '+ 2 y = e− x x 2 2 Câu 85: Phương trình a) b) d) y = xe ( Ax + Bx + C ) 2 x có nghiệm riêng dạng: y = e 2 x ( Ax 2 + Bx + C ) 2 Câu 84: Phương trình a) y = x( Ax + Bx + C )e 2 x 2 Câu 83: Phương trình có nghiệm riêng dạng:: 2 y = e ( Ax + Bx + C ) x c) 2 x 2x 2x Câu 82: Phương trình −x y ''− 8 y '+ 12 y = e 2 x ( x 2 −... a) c) y = C1e−3 x + C2 e −3 x y = C1e −3 x + xC2 e b) −3 x d) 3 y ''+ 18 y '+ 27 y = 0 y = e3 x ( xC1 + C2 ) y = C1 cos( −3 x) + C2 sin(−3 x) Câu 72: Cho biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân y=x e y ''− 2 y '+ 2 y = 2e x là 2 2 a) , hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình trên: y = x 2e x + Ce x c) b) y = x e + C1e + C2 xe 2 x x x d) y = Cx 2 e 2 y = x 2e x + C1e x + C2e x Câu 73 Cho biết... cos 2 x + C2 sin 2 x ) y = C1e2 x + C2 e 2 x y ''− 3 y '+ 2 y = 0 y = e x (C1 cos 2 x + C2 sin 2 x ) y = C1e x + C2 e 2 x Câu 63: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y = C1e x + C2e − x (1) y = (C1 x + C2 )e x c) y = C1 + C2e x Câu 64: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y ''− y = 0 d) y = C1 + C2 sin x y ''− 8 y '+ 41 y = 0 a) y = C1e 4 x + C2e5 x b) y = e (C1 cos 5 x + C2 sin... trình vi phân a) y ''− 22 y '+ 121 y = 0 y = e −11x ( xC1 + C2 ) Câu 68: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y = C1e x + C2e−3 x 4 y ''− 16 y = 0 y = C1e 2 x + C2e 2 x Câu 67: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y = e11x ( xC1 + C2 ) y ''− 6 y '+ 9 y = 0 y = C1e − x + xC2e 2 x y ''− 3 y '+ 2 y = 0 c) y = e x (C1 cos 2 x + C2 sin 2 x) d) y = e2 x (C1 cos x + C2 sin x) Câu 71: Tìm nghiệm... + C2e −5 x y = e5 x (C1 cos 4 x + C2 sin 4 x) Câu 65: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân a) y = e3 x ( xC1 + C2 ) b) y = C1e (C1 cos x + C2 sin x) 3x c) d) y = e −3 x ( xC1 + C2 ) y = (C1 + C2 )e3 x Câu 66: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân a) y = C1e2 x + C2 e 2 x b) y = e (C1 cos 2 x + C2 sin 2 x) 2x c) d) a) c) b) y = C1e11x (C1 cos x + C2 sin x) d) y = e 2 x (C1 cos 2 x... = x 4 + Cx c) y = 2 x3 + Cx 2 Câu 48: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân d) y = C ( x) x 3 xy '− y = 3x 4 d) y = 9x2 + C xy '− 2 y = 2 x 3 d) y = 2 x3 + Cx 2 xy '+ 2 y = 3x a) y = x + C / x2 b) y = x + Cx 2 y = x 3 + Cx 2 c) Câu 49: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân a) y = x + C / x2 b) y = x + Cx 2 c) a) b) y = ( x + C ) e2 x xy '+ 2 y = 5 x 3 y = x 3 + Cx 2 Câu 50: Tìm nghiệm... x | +C2 y ''+ 4 y '/ x = 0 d) y = C1 / x 2 + C2 Câu 92: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân a) y = C1 x 2 b) y = C1 x 3 + C2 c) y = C1 x 3 + C2 y ''− 2 y '/ x = 0 d) y = C1 x 2 + C2 / x Câu 93: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y '' = 0 ? a) y =2 b) y = 3x + 2 c) y = −3 x + 2 Câu 94: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân a) y = x 2 + C1 x + C2 b) y = x 3 + C1 x + C2 c) y... C2 c) y = x 2 + Cx Câu 95: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân a) c) y = sin x + Cx y = − sin x + C1 x + C2 b) d) a) y = 2e x /2 c) + C1 x + C2 a) c) y = − ln | cos x | +C1 x + C2 a) y=e c) 2 x + C1 x + C2 y '' = cos x b) d) c) d) b) d) y '' = e − x / 2 y = −4e − x / 2 + C1 x + C2 y = 4e− x / 2 + C1 x + C2 y ''cos 2 x − 1 = 0 y = ln | sin x | +C1 x + C2 y = ln | cos x | +C1 x + C2 Câu 98: Tìm... = 2e 2 x + C1 x + C2 d) y = x3 + Cx y = −cosx + C1 x + C2 Câu 97: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y = − ln | sin x | + C1 x + C2 y '' = 6 x y = cos x + C Câu 96: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y = 2e − x / 2 + C d) Cả 3 hàm ở trên e 2 x y ''− 4 = 0 y = 2e2 x + C1 x + C2 y = e 2 x + C1 x + C2 y ''− Câu 99: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 4x =0 (4 + x 2 ) 2