Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Chuyên đề: Hàm số A Tóm tắt lí thuyết I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định lý 1: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm K a) Nếu hàm số f (x) đồng biến K f '(x)  với x  K b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến K f '(x)  với x  K  [ f(x) đồng biến K]  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) nghịch biến K]  [ f '(x)  với x  K ] [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) không đổi K] 2) Định lý 2: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm K a) Nếu f '  x   với x  K hàm số f (x) đồng biến K b) Nếu f '  x   với x  K hàm số f (x) nghịch biến K c) Nếu f '  x   với x  K hàm số f (x) không đổi K  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) đồng biến K]  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) nghịch biến K] 3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm K a) Nếu f '  x   với x  K f '  x   số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f (x) đồng biến K b) Nếu f '  x   với x  K f '  x   số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f (x) nghịch biến K 4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax  bx  cx  d  a   , ta có f '  x   3ax  2bx  c a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   đồng biến R  f '  x   3ax  2bx  c  x  R b) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   nghịch biến R  f '  x   3ax  2bx  c  x  R NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 NHẮC LẠI Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x) ax bx c (a 0) ta có:  f ( x) x  f ( x) x a 0 a B Phương pháp giải toán Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu tập hợp X cho trước PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận: y đồng biến X y' 0, x X y nghịch biến X y' 0, x X Chú ý quan trọng: Trong điều kiện dấu xảy phương trình y' có hữu hạn nghiệm, phương trình y ' có vô hạn nghiệm điều kiện dấu CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  (m  m) x  2mx  3x  Tìm m để hàm số đồng biến R Bài giải: ♦ Tập xác định: D  R ♦ Đạo hàm: y '  (m  m) x  4mx  ♣ Hàm số đồng biến R  y '  x  R m  m  ♥ Trường hợp 1: Xét m2  m    + Với m  , ta có y '   0, x  R , suy m  thỏa + Với m  , ta có y '  x    x   , suy m  không thỏa NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 m  , đó: m  ♥ Trường hợp 2: Xét m2  m     '  m2  3m  ♣ y '  x  R    m  m  3  m     3  m  m   m  ♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm 3  m   Ví dụ Cho hàm số y  x  3mx  3(m2  1)x  2m  Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng 1;  Bài giải ♦ Tập xác định: D  R ♦ Đạo hàm: y '  3x  6mx  3(m  1) ♣ Hàm số nghịch biến khoảng 1;   y '  x  1;  Ta có  '  9m2  9(m2  1)   0, m Suy y ' có hai nghiệm phân biệt x1  m  1; x2  m  ( x1  x2 ) x  m   Do đó: y '  x  1;   x1    x2      1 m  m   x    ♦ Vậy giá trị m cần tìm  m   Bài tập tương tự Cho hàm số y  x   2m  1 x  6m  m  1 x  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng  2;   Đáp số: m Ví dụ Cho hàm số y  x  3x  mx  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng  0;   Bài giải ♦ Tập xác định: D  R ♦ Đạo hàm: y '  3x  x  m ♣ Hàm số đồng biến khoảng  0;    y '  , x   0;   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 (có dấu bằng) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  3x  x  m  , x   0;    x  x  m , x   0;   (*) ♣ Xét hàm số f ( x) 3x x , x   0;   , ta có: f '( x) 6x ; f '( x) x Bảng biến thiên: x f '( x ) f ( x) ♣ Từ BBT ta suy ra: (*) ♦ Vậy giá trị m cần tìm m m 3  Bài tập tương tự Cho hàm số y   x  3x  3mx  Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng  0;   Đáp số: m Ví dụ Cho hàm số y  mx  7m  xm Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xác định Bài giải ♦ Tập xác định: D  R \ m ♦ Đạo hàm: y '  m  7m   x  m Dấu y ' dấu biểu thức m  7m  ♣ Hàm số đồng biến khoảng xác định y '  , x  D (không có dấu bằng) m2  7m   m ♦ Vậy giá trị m cần tìm m  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Xác định m để hàm số sau đồng biến khoảng (0; +∞): y xm x2  + TXĐ: D = R mx  + y’ = ( x  1) x  Hàm số ĐB (0; +∞) y’ ≥ x  (0; +∞) -mx + ≥ x  (0; +∞) (1) m = (1) m > 0: -mx + ≥ x ≤ 1/m Vậy (1) không thỏa mãn m < 0: -mx + ≥ x ≥ 1/m Khi (1) 1/m ≤ t/m Giá trị cần tìm là: m ≤ Câu Tìm m để hàm số nghịch biến: y   x3  (3  m) x  2mx  12 + Tập xác định: D  R + Đạo hàm: y '  3x  2(3  m) x  2m + Để hàm số nghịch biến y '  x 3  a     '  9  m  6m  (3)(2m)   m  12m     3  m   3 Câu Tìm m để hàm số nghịch biến + Tập xác định: D  R + Đạo hàm: y '  3mx  x  + Để hàm số nghịch biến x y '  x : y  mx  3x  3x  x  3mx  x   x 1 + TH : m0 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số (1)  6 x   FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  x  3  x + TH : ( không thỏa x ) m0 a  3m  m  m  (1)       m  1   9  9m  9m  9 m  1 + Vậy m  1 hàm số thỏa đề NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ