Chuyên đề: Tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax + bx + c ứng dụng TÍNH CHẤT CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax + bx + c VÀ ỨNG DỤNG Các đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng năm gần đây, thường gặp câu khảo sát hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ ) vấn đề liên quan đến điểm cực trị đồ thị hàm số Để giúp học sinh ôn thi có hiệu quả, viết đưa tính chất thường gặp điểm cực trị hàm số y = ax + bx + c số ứng dụng I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Xét hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ ) ¡ x = Ta có y′ = 4ax + 2bx = x ( 2ax + b ) Suy y′ = ⇔   2ax + b = (1) Ở xét trường hợp hay gặp đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị phân biệt Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị phân biệt y′ = có ba nghiệm phân biệt hay phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ ab < (*) x =  Với điều kiện (*) ta có y′ = ⇔  b Suy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị x=± −  2a   b b2  b b2  A ( 0; c ) , B  − − ; c − ÷ C  − ; c − ÷ 2a 4a  2a 4a    2b b − 8ab Khi ta có AB = AC = BC = − a 16a Sau số tính chất thường gặp điểm cực trị 1) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác vuông Vì AB = AC nên tam giác ABC tam giác cân A Suy tam giác ABC tam giác · vuông BAC = 900 hay tam giác ABC vuông cân A 2b b − 8ab 2 = Khi BC = AB ⇔ BC = AB ⇔ − ⇔ b + 8a = a 16a Tính chất 1: Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh ab < tam giác vuông  b + 8a = 2) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác Ta có tam giác ABC tam giác AB = AC = BC ⇔ AB = BC b − 8ab 2b ⇔ =− ⇔ b3 + 24a = 16a a -Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế Chuyên đề: Tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax + bx + c ứng dụng Tính chất 2: Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh ab < tam giác  b + 24a = 3) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác cân có góc α cho trước Có ba trường hợp xảy Trường hợp 1: α > 900 Khi tam giác ABC tam giác tù Vì tam giác ABC cân A nên tam giác ABC có · góc α > 900 BAC =α · Áp dụng định lý côsin vào tam giác ABC ta có BC = AB + AC − AB AC.cos BAC 2b b − 8ab ⇔ BC = AB ( − cos α ) ⇔ − = ( − cos α ) ⇔ −16a = ( b3 − 8a ) ( − cos α ) a 16a 3 ⇔ b + 8a − ( b − 8a ) cos α = Trường hợp 2: α = 900 ( ta xét tính chất 1) Trường hợp 3: α < 900 µ =C µ = α µA = 1800 − 2α , suy cos A = cos ( 1800 − 2α ) = − cos 2α + Nếu B · Áp dụng định lý côsin vào tam giác ABC ta có BC = AB + AC − AB AC.cos BAC 2b b − 8ab ⇔ BC = AB ( + cos 2α ) ⇔ − = ( + cos 2α ) ⇔ −16a = ( b3 − 8a ) ( + cos 2α ) a 16a 3 ⇔ b + 8a + ( b − 8a ) cos 2α = 3 + Nếu µA = α tương tự trường hợp 1, ta có b + 8a − ( b − 8a ) cos α = Tính chất Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác cân có góc α cho trước ab < 3 b + 8a − ( b − 8a ) cos α = α > 900 b3 + 8a = α = 900 3 µ =C µ = α < 900 b + 8a + ( b − 8a ) cos 2α = B 3 b + 8a − ( b − 8a ) cos α = µA = α < 900 4) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn BC = OA (với O gốc tọa độ) 2b = c ⇔ ac + 2b = Ta có BC = OA ⇔ BC = OA2 ⇔ − a Tính chất Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn điều kiện ab < BC = OA (với O gốc tọa độ)  ac + b =  5) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác tính diện tích tam giác -Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế Chuyên đề: Tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax + bx + c ứng dụng Gọi H giao điểm BC với trục Oy AH đường cao tam giác ABC Khi H  b2  b2 b2 = có tọa độ H  0; c − ÷ Suy AH = − 4a  4a a  Vậy diện tích tam giác ABC S ABC 2b b b5 = BC AH = − = − a 4a 32a Tính chất Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh ab <  tam giác có diện tích S cho trước  b5 S = − 32a  6) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H giao điểm BC với trục  b2  b2 b2 = Oy Khi H có tọa độ H  0; c − ÷ AH = − 4a  4a a  Từ tam giác vuông AHC, ta có sin ·ACH = AH AH = AC AB Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC ta R = Suy R = AB AB b − 8ab a = = × 16a b sin ·ACH AH b3 − 8a 8ab Tính chất Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh ab <  b3 − 8a tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R  R =  8ab  II ỨNG DỤNG Ví dụ (Câu đề thi TSĐH năm 2012 khối A khối A1) 2 Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + m (1), với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông Lời giải Áp dụng tính chất 1, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác − m > −1 ab < m > −1  ( m + 1) < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔m=0 vuông    3 m = ( m + 1) = b + 8a = −8 ( m + 1) + = Ví dụ (Câu đề thi TSĐH năm 2011 khối B) Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + m (1), m tham số Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC ; O gốc tọa độ , A điểm cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại -Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế Chuyên đề: Tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax + bx + c ứng dụng Lời giải Áp dụng tính chất 4, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC − ab < m > −1  ( m + 1) < ⇔ ⇔  ⇔ m = 2±2 ac + b = m − m − = m − m + = ( )    Ví dụ Cho hàm số y = x − 2mx − (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo điểm cực trị đạt giá trị nhỏ Lời giải Áp dụng tính chất 6, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị bán kính đường tròn ngoại −2m < ab <   −2m ) − b3 − 8a ⇔  tiếp tam giác tạo điểm cực trị R  (  R = −2m R = a b ( )   m > 1   ⇔ m3 + Suy R =  m + ÷ 2 m R = 2m  Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta có 1 1  1 3 R =  m2 + + = = ÷ ≥ m 2 2m 2m  2m 2m 4 1 ⇔ m3 = ⇔ m = Vậy R = ⇔ m = 2 2m Ví dụ Cho hàm số y = x − 2mx + (1) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị đường tròn qua ba điểm có bán kính Lời giải Áp dụng tính chất 6, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị đường tròn qua ba điểm −2m < ab < m >    3 −2m ) − ⇔  b − 8a hay  có bán kính R  ( m3 + R = R = R =    8ab ( −2m ) 2m    m3 + Theo đề ta có R = , suy = ⇔ m3 − 2m + = ⇔ ( m − 1) ( m + m − 1) = 2m m = −1 + ⇔  m = −1 ± Đối chiếu với điều kiện m > ta m = , m =  2 Ví dụ Cho hàm số y = x + ( m − ) x + m − 5m + ( Cm ) Với giá trị m đồ thị ( Cm ) có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cực đại điểm cực tiểu lập thành tam giác Lời giải Áp dụng tính chất 2, đồ thị ( Cm ) có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm -Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế Chuyên đề: Tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax + bx + c ứng dụng ab < cực đại điểm cực tiểu lập thành tam giác  b + 24a = 2 ( m − ) < m < m < ⇔ ⇔ ⇔   ⇔ m = 2− 3 3 m = − ( m − ) = −3 8 ( m − ) + 24 = Ví dụ Cho hàm số y = − x + 2mx + Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có góc 1200 Lời giải Theo tính chất 3, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có ab < góc α = 1200  3 b + 8a − ( b − 8a ) cos α = m > −2m < m >  ⇔ ⇔ ⇔     3 3 12m − = 8m − − ( 8m + ) cos120 = 8m − − ( 8m + )  − ÷ =    m > m >   ⇔ ⇔ ⇔m= m = m = 3  Ví dụ Cho hàm số y = x − 2mx + m + Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có diện tích 32 Lời giải Theo tính chất 5, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có −2m < ab < m >   ⇔ ⇔ diện tích S = 32    b ( −2m ) 32 = m 32 = − S = −  3 32a  32.1  m > m > ⇔ ⇔ ⇔ m =  5 32 = m m = 32   Ví dụ Cho hàm số y = x + 2mx + m − Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có góc 300 Lời giải Theo tính chất 3, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác cân có góc α = 300 ta có hai trường hợp sau ab < 0 + Nếu góc đỉnh α = 30  (1) b + 8a − ( b − 8a ) cos α = -Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế Chuyên đề: Tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax + bx + c ứng dụng ab < + Nếu góc đáy α = 300  (2) b + 8a + ( b − 8a ) cos 2α = m < 2m <  ⇔ Ta có (1) ⇔  3 3 =0 8m + − ( 8m − ) cos30 = 8m + − ( 8m − )  m < m <  ⇔ ⇔ ⇔ m = −3 + 3 m = − +  − m + + = m < 2m < m <  ⇔ ⇔ Và (2) ⇔  3 3m + = 8m + + ( 8m − ) cos 60 = 8m + + ( 8m − ) = m < m <   ⇔ ⇔m=−3 ⇔ m = − m = − 3  Vậy m = − m = − + đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có góc 300 ( ) ( ( ( ) ) ) III BÀI TẬP Bài tập Cho hàm số y = x − 2mx + m + Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác ĐS: m = 3 Bài tập Cho hàm số y = − x + 2mx + m + m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có góc ĐS: m = + m = 300 Bài tập Cho hàm số y = x − 2mx − m + (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo điểm cực trị đạt giá trị nhỏ ĐS: R = ⇔ m = 4 Bài tập Cho hàm số y = x − ( m + 3) x + m + (1), m tham số Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC ; O gốc tọa độ , A điểm cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại ĐS: m = ± Bài tập Cho hàm số y = − x − ( m − 1) x + m + Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có diện tích 32 ĐS: m = −3 ( ) -Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế Chuyên đề: Tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax + bx + c ứng dụng IV KẾT LUẬN Bài viết nêu tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ ) số ứng dụng chúng Hy vọng viết cung cấp cho bạn tài liệu để giảng dạy ôn tập cho học sinh lớp 12 thi vào trường Đại học Cao đẳng có kết Cuối tác giả mong đón nhận góp ý chân thành bạn xin chúc bạn sức khỏe, hạnh phúc thành đạt Trân trọng cám ơn Nguyễn Văn Thiết -Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế Chuyên đề: Tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax + bx + c ứng dụng MỤC LỤC Mở đầu …………………………………………………………………………… trang I Cơ sở lý thuyết ……………………………………………………………………… 1) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác vuông ……………………………………………………………… Tính chất 2) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác ………………………………………………………………… Tính chất 3) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác cân có góc α cho trước………………………………………….2 Tính chất 4) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn BC = OA (với O gốc tọa độ) ………………………………………………………… Tính chất 5) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác tính diện tích tam giác đó……………………………………… Tính chất 6) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC……………… Tính chất II Ứng dụng Ví dụ 1…………………………………………………………………………… Ví dụ …………………………………………………………………………… Ví dụ …………………………………………………………………………… Ví dụ …………………………………………………………………………… Ví dụ …………………………………………………………………………… Ví dụ …………………………………………………………………………… Ví dụ ………………………………………………………………………… Ví dụ …………………………………………………………………………… III Bài tập Bài tập ………………………………………………………………………… Bài tập ………………………………………………………………………… Bài tập ………………………………………………………………………… Bài tập ………………………………………………………………………… Bài tập ………………………………………………………………………… IV Kết luận …………………………………………………………………………… Mục lục ………………………………………………………………………………… Nhận xét BGH……………………………………………………………………… -Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế Chuyên đề: Tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax + bx + c ứng dụng PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… Xếp loại: Ngày tháng năm PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ …………………………………………………………………………………………………… Ngày tháng năm -Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế