SKNN – phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

107 422 0
SKNN – phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng A T VN Lí DO CHN TI Toỏn hc l mt khoa hc t nhiờn, toỏn hc i t rt sm nhm ỏp ng nhu cu o c rung t v xõy dng nh ca Cng ngy xó hi loi ngi cng tin dn lờn mc cao hn v n ang ang trỡnh cao nht t m loi ngi cha tng cú Do ú toỏn hc cng khụng nm ngoi quy lut phỏt trin t s khai n hin i Toỏn hc nghiờn cu rt nhiu, rt a dng v phong phỳ Trong ú cỏc bi toỏn v bt ng thc l nhng bi toỏn khú , gii c cỏc bi toỏn v bt ng thc, bờn cnh vic nm vng khỏi nim v cỏc tớnh cht c bn ca bt ng, cũn phi nm c cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc Cú nhiu phng phỏp chng minh bt ng v ta phi cn c vo c thự ca mi bi toỏn m s dng phng phỏp cho phự hp Mi bi toỏn chng minh bt ng thc cú th ỏp dng c nhiu phng phỏp gii khỏc , cng cú bi phi phi hp nhiu phng phỏp mt cỏch hp lớ mi gii c Bi toỏn chng minh bt ng thc c dng nhiu vo cỏc dng bi toỏn gii v bin lun phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh c bit , tỡm giỏ tr ln nht , nh nht ca biu thc v thi hc sinh gii huyn, thnh ph, tuyn sinh vo lp 10 thng cú bi toỏn bt ng thc, ú sỏch giỏo khoa ph thụng li trỡnh by Vỡ vy hc sinh cn thit phi nm c nhng kin thc c bn v bt ng thc Trong thc t trng THCS v THPT, hc sinh gp nhiu khú khn gii cỏc bi toỏn liờn quan v bt ng thc , vỡ cỏc bi toỏn chng minh bt ng thc thng khụng cú cỏch gii mu, khụng theo mt phng phỏp nht nh nờn hc sinh khụng xỏc nh c hng gii bi toỏn Mt khỏc vỡ nhn thc ca hc sinh THCS V THPT cũn cú nhiu hn ch v kh nng t cha tt ú hc sinh cũn lỳng tỳng nhiu v khụng bit dng kin thc vo gii cỏc dng bi khỏc Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Trong ni dung ca ti ny xin c trung gii thiu cỏc tớnh cht c bn, mt s phng phỏp hay c s dng chng minh bt ng thc nh : dựng nh ngha , bin i tng ng , dựng cỏc bt ng thc ó bit , phng phỏp phn chng, tam tc bc hai ., mt s bi dng v cỏc ng dng ca bt ng thc nhm giỳp hc sinh bt lỳng tỳng gp cỏc bi toỏn v chng minh hay dng bt ng thc , giỳp hc sinh cú th t nh hng c phng phỏp chng minh, gii cỏc bi toỏn liờn quan v hng thỳ hn hc v bt ng thc núi riờng v b mụn Toỏn núi chung Qua ti (mt s phng phỏp chng minh bt ng thc v ng dng ca bt ng thc ) tụi mun giỳp hc hc sinh cú thờm mt s phng phỏp chng minh bt ng thc ú l lý tụi chn ố ti ny, nghiờn cu khụng trỏnh nhng sai sot mỏc phi rt mong c s gúp ý ca cỏc thy cụ giỏo, cỏc bn ti c hon thin hn, tụi xin chõn thnh cm n! NHIM V NGHIấN CU - k nng gii cỏc bi toỏn chng minh bt ng thc - k nng dng bt ng thc gii cỏc bi toỏn: Tỡm giỏ tr ln nht-nh nht, gii h phng trỡnh, phng trỡnh nghim nguyờn, phng trỡnh vụ t I TNG NGHIấN CU - Hc sinh trung hc c s - Cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc v ng dng ca nú 4- PHNG PHP NGHIấN CU : Qua quỏ trỡnh hc t trc n nay, tham kho ti liu, thu thp ti liu, ỳc rỳt, tng kt kinh nghim, kim tra kt qu kim tra cht lng hc sinh, nghiờn cu h s ging dy, iu tra trc tip thụng qua cỏc gi hc, th hin trờn nhiu i tng hc sinh khỏc : Hc sinh gii, khỏ v hc sinh trung bỡnh v mụn Toỏn PHM VI NGHIấN CU Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Gii hn phn chng minh bt ng thc v cỏc ng dng ca bt ng thc chng trỡnh toỏn trung hc c s B GII QUYT VN PHN I C S Lí LUN gii c bi toỏn ũi hi mi ngi phi c k bi toỏn xem bi toỏn yờu cu cỏi gỡ, phi s dng nhng phng phỏp no gii, ó gp bi toỏn no ó gii cú dng tng t nh bi toỏn ú hay khụng t ú cú th tỡm cỏch gii i vi hc sinh trung hc c s vic dng khin thc lý thuyt, nhn dng bi toỏn tỡm cỏch gii cha c rốn luyn nhiu ụi lỳc trỡnh by ny cũn s si Khi nghiờn cu v bt ng thc ta thy rng nú tht s cú tỏc dng rốn luyn v phỏt huy kh nng t gii toỏn khụng ch riờng gỡ bt ng thc m cũn gii cỏc dng toỏn khỏc bi mun gii c nú ũi hi phi tht s cú mt kin thc toỏn hc rt ln Phng phỏp gii cỏc bi toỏn bt ng thc khụng õu xa xụi ngoi chng trỡnh ca cỏc em hc sinh trung hc c s Nhng vic cỏc em dng nú nh th no ú l ct li Mun lm c iu ú ũi hi hc sinh phi tht s nm vng kin thc, phi cú lp lun lụgic, xột y cỏc mt khỏc ca bi toỏn, nhn dng c bi toỏn c bit cỏc hc sinh khỏ gii phi linh hot, sỏng to khụng ch gii c bi toỏn m cũn phi khỏi quỏt c dng ca nú ua phng phỏp chung cho cỏc bi toỏn khỏc tung t Khi ging dy cho hc sinh cỏc giỏo viờn phi rốn luyn cho cỏc em nm chc phn lý thuyt, a cỏc vớ d minh ho c th, cỏc bi dng, nờn chỳ ý to cho cỏc em cỏch nhỡn nhn mt bi toỏn gii khụng nờn gii tt, lm tt to cho hc sinh khú hiu thm khụng hỡnh thnh c lụgic ca toỏn hc Thi lng chng trỡnh dnh cho bt ng thc ph thụng c s l hn ch Do ú vic hc v dng thnh thao cho cỏc em s khú khn vi cỏc em cú hc lc trung bỡnh, khỏ PHN NI DUNG CA TI I> CC KIN THC CN LU í 1) nh ngha bt ng thc Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng + a nh hn b , kớ hiu a < b + a ln hn b , kớ hiu a > b , + a nh hn hoc bng b , kớ hiu a b, + a ln hn hoc bng b , kớ hiu a b , 2) mụt s tớnh cht ca bt ng thc: a) Nu a > b v b > c thỡ a > c (tớnh cht bc cu) b) Nu a > b v c bt kỡ thỡ a + c > b + c Tc l: Khi cng vo v ca bt ng thc vi cựng mt s bt kỡ thỡ bt ng thc khụng i chiu c) Nu a > b + c thỡ a b > c Tc l: Ta cú th chuyn mt s hng ca bt ng thc t v ny sang v v phi i du s hng ú d) Nu a > b v c > d thỡ a + c > b + d Tc l: Nu cng v vi v ca bt ng thc cựng chiu ta c mt bt ng thc cựng chiu Chỳ ý: Khụng c cng v vi v ca bt ng thc ngc chiu e) Nu a > b v c < d thỡ a c > b d Tc l: Nu tr v vi v ca bt ng thc ngc chiu ta c mt bt ng thc cựng chiu vi bt ng thc b tr Chỳ ý: Khụng c tr v vi v ca bt ng thc cựng chiu f) Nu a > b v c > thỡ ac > bc Nu a > b v c < thỡ ac < bc Tc l: Nhõn v ca mt bt ng thc vi cung mt s dng thf bt ng thc khụng i chiu Nhõn v ca mt bt ng thc vi cựng mt s õm thỡ bt ng thc i chiu g) Nu a > b > v c > d > thỡ ac > bd Tc l: Nu ta nhõn v vi v hai bt ng thc cựng chiu cú cỏc v u dng thỡ ta c mt bt ng thc cung chiu Chỳ ý: Khụng c nhõn v vi v ca hai bt ng thc ngc chiu h) Nu a > b > thỡ 1 > >0 b a Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Tc l: Nu nhõn v ca bt ng thc u dng thỡ phộp ly nghch o di chiu ca bt ng thc k) Nu a > b > v n nguyờn dong thỡ a n > b n Nu a > b v n nguyờn dong thỡ a n + > b n +1 Mt s bt ng thc thụng dng + A 0( A = A = 0); A = A + A B B A B (B 0) A B A B + A B + A + B A + B Du = xy v ch A, B Cựng du + A B A B Du = xy v ch A B hoc AB0 2 + A > B A >B 2 + a (a = a = 0) + a + b 2ab (Du = xy v ch a = b ) a b + + (Vi a, b cựng du) b a Chỳ ý: chng minh mt bt ng thc cú nhiu cỏch, tu thuc vo tng dng ca bi toỏn Sau õy l mt s cỏch thng dựng II> CC PHNG PHP CHNG MINH BT NG THC Png phỏp s dng nh ngha chng minh A B (hoc A > B ) ta chng minh A B (hoc A B > ) - Lu ý : A2 vi mi A ; du '' = '' xy A = - Vớ d : Bi toỏn 1.1 Chng minh bt ng thc Cụsi i vi hai s thc khụng õm ( cũn gi l bt ng thc clit ) a + b ab a,b R* Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Du = xy v ch a = b Tht vy, a + b ab a + b ab ( a b)2 Vi mi a,b Du = xy v ch a = b Bi toỏn 1.2 hoctoancapba.com a + b + c2 a + b + c a, b, c Chng minh 3 ữ vi mi s thc Phõn tớch: õy l mt ng thc khỏ quen thuc, ta cú th gii bng cỏch xột hiu v trỏi v v phi Li gii: Xột hiu a + b + c2 a + b + c 3a + 3b2 + 3c2 (a + b + c)2 ữ = (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 = a + b + c2 a + b + c Vy 3 ữ Du = xy a = b = c a + b + c2 a + b + c Do ú 3 ữ Khai thỏc bi toỏn: - Bng phng phỏp xột du ca hiu A B ta xột c s ỳng n ca bt ng thc A B ý rng vi s thc bt kỡ u, v ta cng cú: u + v2 u + v ữ - tng t nh chng minh trờn ta cú th chng minh bi toỏn sau Bi toỏn 1.3 Vi mi s : x, y, z chng minh rng : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) Li gii: Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Ta xột hiu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2 vi mi x (y - 1)2 vi mi y (z - 1)2 vi mi z => H vi mi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) vi mi x, y, z Du bng xy x = y = z = Khai thỏc bi toỏn: Tng t ta cú th chng minh bi toỏn sau: Cho a, b, c, d, e l cỏc s thc : Chng minh rng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) Bi toỏn 1.4 Chng minh rng: a + b vi mi a, b cựng du b a Li gii: a + b 2ab (a b) a b Ta cú: + = = b a ab ab (a b) a, b cựng du ab > ab a b Vy + du = xy v ch a b = hay a = b b a Khai thỏc bi toỏn: 1.4.1 Chng minh tng t nh trờn ta cú th chng minh c bi Toỏn sau Chứng minh với x thoả mãn x 5, ta có : - x + x Hng dn: Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng 5- x + x ( ) - x + x + ( x )( x 1) x = ( x )( x 1) Đ úng dấu x = 1.4.2 Chng minh bt ng thc: ab + bc + ca < c vi a ,b l cnh 2 gúc vuụng ca tam giỏc ABC, cũn c l cnh huyn Hng dn: Ta cú : ab + bc + ca < 2.c2 hay ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 Xột: a2 + b2 + c2 ab bc ca = 2a + 2b + 2c 2ab 2bc 2ca ) = ( 2 ( a b ) + (b c) + (c a) > ( ) Bi toỏn 1.5 Chng minh rng nu a.b thỡ: + 1+ a 1+ b2 1+ ab Phõn tớch: Cng cú th xột hiu v thỡ mi s dng c gi thit a.b ( ab ) Li gii: Xột hiu: + = + 1+ a 1+ b2 1+ ab 1+ a 1+ ab 1+ b2 1+ ab 1) = (b a) (ab (1+ ab)(1+ a )(1+ b2 ) Khai thỏc bi toỏn: - Vi s dng a, b, c m abc , bt ng thc sau ỳng hay sai? Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Chỳng ta cú th phỏt trin bi toỏn tng quỏt hay khụng? Nu c, hóy phỏt biu bi toỏn tng quỏt + + 1+ a 1+ b2 1+ c2 1+ abc - Vi s x, y m x + y ta cú: + y x + + + 2x + y Phng phỏp bin i tng ng - chng minh A B ta bin i tng ng A B C D ú bt ng thc cui cựng C D l mt bt ng thc hin nhiờn ỳng hoc l bt ng thc n gin hn bt ng thc A B Sau khng nh c tớnh ỳng n ca btng thc C D ta kt lun bt ng thc A B ỳng - Mt s hng ng thc thng dựng : (A+B)2=A2+2AB+B2 (A-B)2=A2-2AB+B2 (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 Bi toỏn 2.1 Chng minh rng a, b, c, d R thỡ a + b2 + c2 + d + e2 a(b +c +d +e) Li gii Bt ng thc ang xột tng ng vi b ng thc sau: (nhõn hai v vi 4, chuyn v) (a 4ab + 4b2 ) + (a 4ac + 4c2 ) + (a 4ad + 4d ) +(a 4ae + 4e2 ) (a 2b)2 + (a 2c)2 + (a 2d)2 + (a 2e)2 Bi toỏn 2.2 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Cho a, b, c l cỏc s thc Chng minh rng: a + b2 +1 ab + a + b Li gii: Bt ng thc a + b2 +1 ab + a + b (a + b +1) 2(ab + a + b) (a 2ab + b2 ) + (a 2a +1) + (b 2b +1) (a b)2 + (a 1)2 + (b 1)2 ỳng iu cn chng minh Khai thỏc bi toỏn: Tng t nh bi toỏn trờn hóy chng minh bt ng thc sau: Cho a, b, c l cỏc s thc Chng minh rng: a + b + c + + bc ca ab a b c ữ Bi toỏn 2.3 x, y chng minh rng x + y4 xy3 + x y Li gii: Ta cú: Vy Bi toỏn 2.4 x + y4 xy3 yx = x (x y) y3 (x y) = (x y)2 (x + y )2 + 3y x + y4 xy3 + x y Chng minh rng Li gii Ta cú: (1) a + b3 + c3 3abc (1) a +b+c ( a + b + c) ( a + b2 + c2 ab ac bc ) a +b+c (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 (2) 10 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Vy (a + b)(b + c)(c + a) > 5abc 54> Húng dn: 4( x12 + x 22 + x 32 + x 42 + x 52 ) - x1 ( x + x + x + x ) = (x 4x1x + 4x 22 ) + ( x12 4x1x + 4x 32 ) + (ììì) ( x1 2x ) + ( x1 2x ) + ( x1 2x ) + ( x1 x 52 ) = 55> Hng dn: Ta cú a+b>c a ab + b > a3 + b3 + 3.abc = (a - b)(a2 ab + b2) + 3.abc > c.(a2 ab + b2) + 3.abc = c.(a2 + 2.ab + b2) = c.(a + b)2 > c.c2 = c3 56> Húng dn: Hay Xột: ab + bc + ca < 2.c2 ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 ab bc ca = ( ) 1 2a + 2b + 2c 2ab 2bc 2ca ) = ( a b ) + (b c) + (c a) ( 2 57> Hng dn: Ta vit : a b c (1 a ).(1 b) a + b + ab + 2.ab a + b + c a + b + + 2.ab + ab + ac + bc a b c a +b+c + + vy bc + ac + ab + 1 + ab 58> Hng dn: 4( x ) ( z) ( x z) = ( + y) ( x ) ( y ) ( z ) ( + y ) ( y ) = ( y2 ) Cần chứng minh: + y 1-y (đúng) 93 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng 59> Hng dn: Cỏch 1> Ta cú b + c 2bc;c + d 2cd;d + a 2ad; Cng v vi v ta c ( a + b + c + d ) ( ab + ac + ad + bc + bd + cd ) ( a + b + c + d ) a + b + c + d + ( ab + ac + ad + bc + bd + cd ) ( a + b2 + c2 + d ) ( a + b + c + d ) = ( a + b + c2 + d ) Cỏch ( a + b + c + d ) = ( 12 + 12 + 12 + 12 ) ( a + b + c + d ) ( a + b + c + d) = 60> Hng dn: 2 1 1 a + + b + ữ + + ữ 2 a b a b a + + b + = ữ ữ a b 2 + ữ 25 a+b = 2 61> Hng dn: Ta cú = ( a + b + c ) ( a + b ) c a + b ( a + b ) c Li cú ( a + b) 62> Hng dn: Ta cú Tng t 2 4ab a + b 16abc ( b + c2 ) ( a ) ( a ) 3a 4a a 4 0b ; 0c 3 94 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng 63> Hng dn: ( + a + b + c) 4( a + b + c) Li cú a a ;b b ;c c Vy ( + a + b + c) ( a + b2 + c2 ) 64> Hng dn: p dng bt ng thc Cụsi Tng t a a b a b 3a + + 33 = b b c bc abc b b c 3b + + c c a abc c c a 3c + + a a b abc Cng v vi v ta c iu phi chng minh 65> Hng dn: p dng bt ng thc Cụsi a ( + b ) ( + c ) 3a a3 1+ b 1+ c + + 3 = + b + c 8 64 + b + c ( )( ) ( )( ) b3 + a + c 3b + + Tng t + a + c 8 ( )( ) c3 + a + b 3c + + + a + b 8 ( )( ) Cng v vi v ta c: a3 b3 c3 a + b + c 3 abc + + + = 2 ( + b) ( + c) ( + a ) ( + c) ( + a ) ( + b ) 95 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng 66> Hng dn: 1 ab ( a + b ) ab 64 ab ab ab.( a + b ) ( ( a+ b ) ) ab ( p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm ab v 1-2 ab ( ) ab ab ( ) ab ab ) ab + ab 1 = ab ab hay: 2 ( ) 67> Hng dn: Gi s ngc li c bn ng thc u ỳng Nhõn tng v ta cú : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > => [ a (1 a ) ] [ b(1 b) ] [ c(1 c) ] [ d (1 d ) ] > 256 (1) Mt khỏc , ỏp dng bt ng thc Cụsi ta cú : a (1 a ) a +1 a = 2 => a(1 - a) 4 c(1 - c) d(1 - d) Tng t : b(1 - b) Nhõn tng v cỏc bt ng thc ; ta cú : [ a(1 a)] [ b(1 b)] [ c(1 c)] [ d (1 d )] > 256 (2) T (1) v (2) suy vụ lý iu vụ lý ú chng t ớt nht mt bt ng thc cho u bi l sai 96 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng 69> Hng dn: Ta cú : p - a = b+ca >0 Tng t : p - b > ; p - c > ; p dng kt qu bi (3.5) , ta c ; 1 4 + = p a p b ( p a ) + ( p b) c 1 + Tng t : pb p c a 1 + pa pc b 1 1 1 + + ) 4( + + ) => 2( pa pc pc a b c => iu phi chng minh Du '' = '' xy : p - a = p - b = p - c a = b = c Khi ú tam giỏc ABC l tam giỏc u iii TèM GI TR LN NHT, NH NH 70> Hng dn: p dng bt ng thc Cụ-si ta c A = x = 71> Hng dn: a) A = x + + x Hng dn: Xột A = = x ta c A = vi x = , max A = vi x=0 b) B = x2 + 6x Hng dn: Xột B2 = + (x 2)(6 x) ta cú x = B = x = 97 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng p dng bt ng thc Cụ-si a + b ab ta c max B = 2 x = x = 72> Hng dn: p dnh bt ng thc Bunhacụpski ta c max A = x = 73> Hng dn: p dng bt ng thc Cụsi v Bunhacụpski ta c A = 100 x = 10,max A = 1000 x = 10 74> Hng dn: Cỏch 1: a b ay bx A = x + y = 1(x + y) = + ữ(x + y) = a + + +b x y x y p dng bt ng thc Cụ-si cho hai s dng ta c x = a + ab A = a + b + ab = ( a + b) y = b + ab Cỏch Dựng bt ng thc Bunhacụpski a b a b A = (x + y).1 = (x + y) + ữ x + y ữ x y x y 75> Hng dn: Ta cú x + y 2x y ; z + y 2z y ; x + z 2x z Suy x + y4 + z4 x y2 + z2 y2 + x 2z Mt khỏc, chng minh rng nu a + b + c = thỡ a + b2 + c2 Do ú Vy 76> Hng dn: x y2 + z y2 + x 2z 3 A = x = y = z = 3 98 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng A = x y , ú A ln nht v ch A ln nht A2 ( Bunhacụpski) 77> Hng dn: p dng bt ng thc Cụsi cho s x + y + z v t 2x x = y = Vy max A = hoc x + 4y = y = 10 x = y = 10 78> Hng dn: P( x) = x +x+2 x ( x + 1) + = ( ) x ( x + 1) + + x ( x + 1) + = x ( x + 1) + + x ( x + 1) + x = dấu dẳng thức x ( x + 1) + = x = 79> Hng dn: z4 1 = + ( x + y4 ) Ta cú P = 4 P z 1+ z ( x + y ) x2 y T xy z + x z + y = 3z xy + + =3 z z2 p dng Cụsi cho s khụng õm 2 x x 4 1; ; x ; x cú + + x + x 4 = z z z z p dng Cụsi cho s khụng õm 1 1; ; ; y cú + 14 + 14 + y 4 y8 = y2 z z z z z z 2 2 99 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng p dng Cụsi cho s khụng õm 1; x ; y ; y cú + x + y + y 4 x y8 = 4xy Cng v vi v ca bt ng thc trờn ta c x2 y 1 4 + + 3.x + 3.y + + xy ữ = 12 dấu x = y = z = z P z z Vậy Pmax = x = y = z = 80> Hng dn: (x P= + y3 ) ( x + y ) ( x 1) ( y 1) x ( x 1) + y ( y 1) x2 y2 = = + y x ( x 1) ( y 1) 2xy ( x 1) ( y 1) x2 y2 x +1 x dấu = lại có ( x-1) = dấu x = y x 2 y 1+1 y = dấu y = ( y 1) 2 2xy P = dấu x = y = x y 2 Vậy Pmin = x = y = 81> Hng dn: Ta cú f ( x ) = 2x + 5x + + x + 2x = p dng Cụsi cho s khụng õm Ta cú ( x + ) ( 2x + 1) + ( x + ) ( 2x + 1) ( x + ) 2x x + + 2x + 3x + = 2 dấu dẳng thức khi: x + = 2x + x = p dng Cụsi cho s khụng õm ( x + 3) ( x + ) ( 2x + 1) 100 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Ta cú 4+x +3 x +7 = 2 Dấu dẳng thức : = x + x = ( x + 3) ( x + ) ( 2x + 1) + ( x + 3) 2x 3x + x + + 2x = 2 dấu dẳng thức x = Vậy: f ( x ) = x = 82> Hng dn: Ta cú T = ( x + y ) ( x + z ) = x + xz + xy + yz = x ( x + y + z ) + yz Từ: ( x + y + z ) xyz = x ( x + y + z ) = thay vào T ta có: yz T= + yz dấu dẳng thức yz = yz 83> Li gii x10 y10 + ữ x y Du = xy v ch x12 = y12 Ta cú 2 y x 16 x + y16 ) x y8 dấu x16 = y16 ( 2 1 Q x y8 + x y ( + x y ) = ( x y8 + 2x y + 1) ( + x y ) 2 2 1 = ( x y + 1) ( x y + 1) 2 lại có: ( 12 + 12 ) ( x y ) + 12 ( x y + 1) hay ( x y + 1) ( x y + 1) dấu x y = 84> Hng dn: Ta cú 1 a 1 3a 1 2 P = ( b + c ) + a + ữ = ( b + c ) + + ữ+ 2+ 2ữ a b c a b c b c 101 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng a2 1 a2 1 2 ( b + c ) + b2 + c ữ a ( b + c ) b2 + c2 ữ a2 Cú 2 a2 a2 1 2 b + c = dấu b + c = ( ) b2 + c ( ) b2 + c2 ữ a2 a2 4b c = a ; b = c a2 1 a2 = du = xy v ch Li cú + ữ b c b + c2 b = c a2 a2 2 2 P dấu b = c = Vậy Pmin = b = c = 2 85> Hng dn: x +1 = x3 x ( x 1) + 2x 2 x ( x 1) x2 2x = + 2 x x 86> Hng dn: p dng bt ng thc : a2 + b2 + c2 + d (a + c)2 + (b + d)2 A = x + 12 + (1 x) + 2 ( x + x ) + (1 + 2) = 10 x A = 10 =2 x= x 87> a) iu kin : x 1, y Bt ng thc Cauchy cho phộp lm gim mt tng : a+b ab õy ta mun lm tng mt tng Ta dng bt ng thc : a + b 2(a + b ) A = x + y 2(x + y 3) = 102 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng x = y x = 1,5 max A = x + y = y = 2,5 Cỏch khỏc : Xột A2 ri dựng bt ng thc Cauchy b) iu kin : x 1, y Bt ng thc Cauchy cho phộp lm tri mt tớch : Ta xem cỏc biu thc ab a+b x , y l cỏc tớch : x = 1.(x 1) , y = 2(y 2) x 1.(x 1) + x 1 Theo bt ng thc Cauchy : = = x x 2x y2 2.(y 2) + y 2 = = = y y 2y 2 x = x = 2 2+ M ax B = + = 4 y = y = 88> Hng dn: iu kin x t 2 x = y 0, ta cú : y = x 2 9 a = y + y = y ữ + max A = y = x = 4 4 89> Hng dn p dng | A | + | B | | A + B | A = x p dng cỏc bt ng thc bit p dng xột hiu 90> Hng dn x + x + 12 ( x + 2)(6 x) x 3{ Tp xỏc nh : x + x + ( x + 1)(3 x) (1) Xột hiu : (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + Do (1) nờn 2x + > nờn A > } 103 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Xột : A2 = ( ) ( x + 2)(6 x) ( x + 1)(3 x) Hin nhiờn A2 nhng du = khụng xy (vi A > 0) Ta bin i A2 di dng khỏc : A2 = (x + 2)(6 x) + (x + 1)(3 x) - ( x + 2)(6 x)( x + 1)(3 x) = = (x + 1)(6 x) + (6 x) + (x + 2)(3 x) (3 x) - ( x + 2)(6 x)( x + 1)(3 x) = (x + 1)(6 x) + (x + 2)(3 x) ( x + 2)(6 x)( x + 1)(3 x) + = ( ( x + 1)(6 x) ( x + 2)(3 x) A2 Do A > nờn A = ) + 3 vi x = 91> Li gii: Trc ht ta chng minh : a + b p dng (*) ta cú : S = 2(a + b ) (*) (a + b 0) x + y 2(x + y 2) = x= x = y maxS = x + y = y = 2 Cú th tớnh S ri ỏp dng bt ng thc Cauchy 92> Li gii: A = 3x + 3y 3x.3y = 3x + y = 34 = 18 A = 18 vi x = y = 93 Li gii: Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s a + b c + d T gi thit suy : a+b+c+d b c b+c c c a +b+c+d c+d c+d A= + = ữ ữ c+d a +b c+d c+d a+b 2(c + d) c+d a +b t a + b = x ; c + d = y vi x y > 0, ta cú : b+c A x+y y y x y x y x y 1 + = + 1+ = + ữ = 2y y x 2y x 2y x 2y x 2 104 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng d =0 , x = y , b+ca +d ; a = + 1,b = 1,c = 2,d = A = Chng hn II GII PHNG TRèNH 94> Hng dn : a Túm tt : ( x + 2x )2 2(2x - + - 2x) = x + 2x => MaxL = x = x 2 (*) x + 2x = x2 - 4x + VP = (x - 2)2 + , du '' = '' xy x = => vi x = ( tho TX ) thỡ VT = VP = b TX : => phng trỡnh (*) cú nghim x = 95> Hng dn: TX : -2 x VP = (x - 3)2 + Du '' = '' xy x = VT2 = ( x + x + 1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 => VT , du '' = '' xy x = x+2 x=2 => khụng cú giỏ tr no ca x VT = VP => Phng trỡnh vụ nghim 96> Hng dn: y y + 13 => VT x = x = Du '' = '' xy : y = y = x 12 x + 16 2; => phng trỡnh cú nghim : x = ; y = c KT LUN 105 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Cỏc bi v bt ng thc thng l tng i khú i vi hc sinh , nhng hng dn hc sinh xong ti (mt s phng phỏp chng minh bt ng thc v ng dng ca bt ng thc ), hc sinh s thy rng vic lm bi toỏn v bt ng thc s r hn ng thi ng trc bi toỏn khú cho dự dng bi no hc sinh cng cú hng suy ngh v suy lun , cỏc em s cú t tin hn Chuyờn cũn cú th cũn nhiu thiu sút , rt mong c s ng h ca cỏc Thy, Cụ giỏo V cỏc bn ti ngy cng hon thin hn Nhõn õy, tụi xin gi li cm n chõn thnh ti Ban giỏm hiu nh trng, ban ch nhim Khoa Toỏn Tin, c bit l ging viờn.Th.S.NCS.Nguyn Quang Hoố ó to iu kin v trc tip hng dn , giỳp tụi hon thnh ti ny Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng MC LC MC LC 106 ************************************************************ TI LIU THAM KHO 1> 2> 3> 4> 5> 6> i s s cp v thc hnh gii toỏn Hong K( ch biờn) Bi c bn v nõng cao i s (Phan Vn c-Ngyn ThỏI Ho - Nguyn Th Thng Nguyn Anh Dng) Bi toỏn chn lc v BT (GS: Phan Huy Khi) Nõng cao v phỏt trin toỏn (V Hu Bỡnh) Toỏn nõng cao i s (Nguuyn Vnh Cn) Bt ng thc (Trn c Huyờn) 106 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng 7> 8> Toỏn nõng cao v cỏc chuyờn i s (V Dng Thy: Ch biờn) Nguyn Ngc m Nõng cao v phỏt trin toỏn V Hu Bỡnh) 107 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 [...]... ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng (2) ỳng (1) ỳng Bi toỏn 2.5 Chng minh rng a 2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1 + a 2 ) 6abc (1) Li gii: (a bc)2 + (b ac)2 + (c ab)2 0 (1) (2) ỳng (1) ỳng Khai hỏc bi toỏn: Tng t nh trờn ta cú th chng minh bi toỏn sau 2.5.1 (2) Cho a > 0; b > 0 và a 3 + b3 = a b Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + ab < 1 Hng dn: a 3 + b 3 =... 9 2 2 a + 2bc b + 2ca c + 2ab Khai thỏc bi toỏn 22 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Chng minh tng t nh trờn ta cú th chng minh c cỏc bi toỏn sau 5.2.1 Chng minh rng vi mi a,b > 0 tho món a + b = 1 ta cú 5.2.2 1 1 + 2 6 ab a + b 2 Chứng minh rằng với mọi a, b > 0 thoả mãn : a.b = 1, ta có: 1 1 2 + + 3 a b a+b Hng dn: 1 1 2 2 a+b a+b 2 + + = ( a +... chng minh rng x + 2y + 3z 14 2) Cho a,b,c 0 , chng minh rng: a + b + c = 1 a + b + b + c + c + a 6 3) Cho a,b,c 0 , chng minh rng: c(b c) + c)a c) ab 4) Chng minh rng: (a1 + a 2 + + a n )2 n(a 22 + a 22 + + a n 2 ) 28 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng 5) Cho ax + by = C , chng minh rng: A2x 2 + B2 y2 A2B2C2 a 2B2 + b2A2 Bi toỏn 6.4 Chng minh. .. , n >1 Tng t nh trờn ta cú th chng minh cỏc bt ng thc sau 1) Cho a,b,c l 3 cnh ca mt tam giỏc vuụng vi c l cnh huyn Chng minh rng: a 2n + b2n c2n n N 2) n N , Chng minh rng: 22n + 2 > 2n + 5 3) n N , n >1, chng minh rng: 1 + 1 + + 1 < 2 1 n 12 22 n2 Bi toỏn 3.4 Chng minh rng vi a,b,c,d,e ( 0;1) thỡ 15 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng ( 1 a... ữ ( bc + b + 1) a 1 2 á p dụng bất đẳng thức Bunhia - copxki cho hai bộ số : 1 ; b;b c ta có : a 1 2 2 2 b + c + a ữ a; b; c và ( a) +( ) ( ) 2 2 + b c ( 1 + b + bc ) hay ( b) ( 2 ) 2 ( a + b + c ) 1 2 + b + b 2 c ữ ( bc + b + 1) a 1 1 2 + b + b c ữ 2 ( a + b + c) ( bc + b + 1) a 1 Bi toỏn 6.2 Cho n s thc a1,a 2 , ,a n v n s dng ( n 1 ) Chng minh rng a12 + a 22 + + a n... Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng * F(x) = ax 2 + bx + c 4ac-b 2 4a x R (a > 0) b) Phng phỏp *> Phng phỏp 1: chng minh bt ng thc M > N ta bin i M > N B2 4AC 0 (A > 0) Xột tam thc F(x) = Ax 2 + Bx + C ta ch cn chng minh F(x) 0 x R *> Phng phỏp 2: chng minh bt ng thc M > N ta bin i M > N B2 4AC 0 Xột tam thc F(x) = Ax 2 + Bx + C Ta ch cn chng minh: x 0 / aF(x 0 ) 0 *> Phng phỏp 3: chng minh. .. a Ta cú: 1 2 1 2 n n Du = xy ra khi v ch khi a1 = a 2 = = a n Chng minh bng phng phỏp quy np Bi toỏn 5.1 I C 1 1 +19 ữ a b c Cho a,b,c > 0 .Chứng minh ( a + b +c ) + Phõn tớch: V trỏi cha a,b,c > 0 v cỏc nghch o ca chỳng.vỡ vy ta ngh n vic dựng bt dng thc cụsi Li gii: 21 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 B ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng Cỏch 1 p dng bt ng thc Cụsi cho cỏc b 3... Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng 3 Phng phỏp quy np toỏn hc - Kin thc : chng minh mt bt ng thc ỳng vi n > 1 bng phng phỏp quy np toỏn hc , ta tin hnh : + Kim tra bt ng thc ỳng vi n = 1 (n = n0) + Gi s bt ng thc ỳng vi n = k > 1 (k > n0) + Chng minh bt ng thc ỳng vi n = k + 1 + Kt lun bt ng thc ỳng vi n > 1 (n > n0) Chỳ ý: Khi chng minh bt ng thc cú n s (n N) Thỡ ta... d) ( 1 e) > 1 a b c d e V hóy chng minh mt kt qu tng quỏt hn kt qu ca bi toỏn trờn li gii: Ta s chng minh kt qu tng quỏt sau õy Vi a1 ,a 2 , ,a n ( 0;1) ( n 2 ) ( 1 a1 ) ( 1 a 2 ) ( 1 a n ) > 1 a1 a 2 a n Chng minh bng quy np toỏn hc theo n - Vi n = 2 ( 1 a 1 ) ( 1 a 2 ) = 1 a 1 + a 1a 2 > 1 a 1 a 2 - Gi s kng nh ỳn vi n = k , ta s chng minh khng nh cng ỳng vi n = k + 1 Do khng... bi toỏn sau: 1) Cho a,b,c > 0 v a + b + c + d = 1 Chng minh rng a +b+c + b+c+d + b+d+a + c+d+a 2 3 2) Cho a,b,c,d > 0 , Chng minh rng: a) (1+ a)(1+ b)(1+ c) (1+ 3 abc ) b) (a + b)(c + d) + (a + c)(b + d) + + (a + d)(b + c) 6 4 abcd Bi toỏn 5.5 Cho x1,x 2 , ,x n 0;1 , chng minh rng: 25 Sinh viờn: Nguyn Xuõn Lng Lp CSP Toỏn Tin K48 ti: Chng minh bt ng thc v cỏc ng dng (1+ x1 + + x n )2 4(x12

Ngày đăng: 01/09/2016, 10:25

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan