Trờng THCS Định Hng Đề Thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2006-2007 Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 120 Giáo viên ra đề: Nguyễn Văn Tài Bài 1: (2 Điểm) Cho biểu thức: P = ( ) + + + 1 122 : 11 x xx xx xx xx xx a,Rút gọn P b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên. Bài 2: ( 2điểm). Cho phơng trình: x 2 -( 2m + 1)x + m 2 + m - 6= 0 (*) a.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm âm. b.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm x 1 ; x 2 thoả mãn 3 2 3 1 xx =50 Bài 3: (2 Điểm). Cho phơng trình: ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt x 1 , x 2 Chứng minh: a,Phơng trình ct 2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt t 1 và t 2 . b,Chứng minh: x 1 + x 2 + t 1 + t 2 4 Bài 4: ( 3 Điểm). Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . H là trực tâm của tam giác. D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành. b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đờng thẳng AB và AC . Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng. c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất. Bài 5: ( 1 Điểm) Cho hai số dơng x; y thoả mãn: x + y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = xyyx 5011 22 + + Đá án: Toán 9 Bài 1: (2 điểm). ĐK: x 1;0 x ( 0, 25 điểm) a, Rút gọn: P = ( ) ( ) ( ) 1 12 : 1 12 2 x x xx xx z ( 0, 25 điểm) P = 1 1 )1( 1 2 + = x x x x ( 0, 5 điểm) b. P = 1 2 1 1 1 += + xx x Để P nguyên thì )(121 9321 0011 4211 Loaixx xxx xxx xxx == === === === (0,5điêm) Vậy với x= { } 9;4;0 thì P có giá trị nguyên. Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì: ( ) ( ) <+=+ >+= ++= 012 06 06412 21 2 21 2 2 mxx mmxx mmm (0,5đ) 3 2 1 0)3)(2( 025 < < >+ >= m m mm (0,5đ) b. Giải phơng trình: ( ) 50)3(2 3 3 =+ mm (0,5đ) = + = =+=++ 2 51 2 51 0150)733(5 2 1 22 m m mmmm (0,5đ) Bài 3: ( 2điểm). a. Vì x 1 là nghiệm của phơng trình: ax 2 + bx + c = 0 nên ax 1 2 + bx 1 + c =0. (0, 5 điểm) . Vì x 1 > 0 => c. .0 1 . 1 1 2 1 =++ a x b x Chứng tỏ 1 1 x là một nghiệm dơng của phơng trình: ct 2 + bt + a = 0; t 1 = 1 1 x Vì x 2 là nghiệm của phơng trình: ax 2 + bx + c = 0 => ax 2 2 + bx 2 + c =0 vì x 2 > 0 nên c. 0 1 . 1 2 2 2 =+ + a x b x điều này chứng tỏ 2 1 x là một nghiệm dơng của ph- ơng trình ct 2 + bt + a = 0 ; t 2 = 2 1 x (0,5 điểm). Vậy nếu phơng trình: ax 2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân biệt x 1 ; x 2 thì phơng trình : ct 2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt t 1 ; t 2 . t 1 = 1 1 x ; t 2 = 2 1 x b. Do x 1 ; x 1 ; t 1 ; t 2 đều là những nghiệm dơng nên t 1 + x 1 = 1 1 x + x 1 2 (0,5 điểm) t 2 + x 2 = 2 1 x + x 2 2 Do đó x 1 + x 2 + t 1 + t 2 4 (0,5 điểm) Bài 4: (3 điểm) a. (1 điểm) Giả sử đã tìm đợc điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình bình hành . Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam giác ABC nên CH AB và BH AC => BD AB và CD AC (0,5đ) . Do đó: ABD = 90 0 và ACD = 90 0 . Vậy AD là đờng kính của đờng tròn tâm O (0,5 đ) Ngợc lại nếu D là đầu đờng kính AD của đờng tròn tâm O thì tứ giác BHCD là hình bình hành. b. Vì P đối xứng với D qua AB nên APB = ADB nhng ADB =ACB nhng ADB = ACB (0,25 đ) Do đó: APB = ACB Mặt khác: AHB + ACB = 180 0 (0,25 đ) => APB + AHB = 180 0 (0,25 đ) Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = PHB Mà PAB = DAB do đó: PHB = DAB Chứng minh tơng tự ta có: CHQ = DAC (0,25 đ) Vậy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 180 0 Ba điểm P; H; Q thẳng hàng (0,25đ) c. (1 điểm) Ta thấy APQ là tam giác cân đỉnh A (0,25đ) Có AP = AQ = AD và PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ (0,25đ) đạt giá trị lớn nhất AP và AQ là lớn nhất hay AD là lớn nhất (0,25đ) D là đầu đờng kính kẻ từ A của đờng tròn tâm O (0,25đ) Bài 5: (1điểm). Ta có: A = xyxyyx 2 1001 2 11 22 ++ + (0,25đ) Mà ( ) )1( 4 2 4 2 11 2 2222 yx xyyxxyyx + = ++ + + (0,25đ) x 2 + 2xy + y 2 4xy =>(x + y) 2 4xy => 2 )( 1 4 1 yxxy + => ( ) 2 41 yx xy + (2) (0,25đ) Từ (1) và (2) => A ( ) ( ) 2 22 )( 20064 . 2 10014 yx yxyx + = + + + Vậy Min A = 2006 x = y = 2 1 . Trờng THCS Định Hng Đề Thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2006-2007 Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 120 Giáo viên ra đề: Nguyễn Văn