Đang tải... (xem toàn văn)
Vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để giải toán Những hằng đẳng thức đáng nhớ: A .( B + C) = A.C + A.B ( A + B ) .(C + D ) = A.C+ A.D + B.D + B. C ( A + B ) . (D + E + F ) = A.D + A.E + A.F + B.D + B.E + B.F 7 hằng đẳng thức:(SGK) Với A, B là các biểu thức • (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 • (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 • A2 – B2 = (A + B)(A – B) • (A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 +B3 • (A – B) 3 = A3 – 3A2B + 3AB2 B3 • A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) • A3 ¬– B3 = (A – B) (A2 + AB +B2) Các hằng đẳng thức liên quan: • (A + B)2 = (A –B)2 + 4AB • (A – B)2 = (A +B)2 – 4AB • • A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB (A+B) • A3 B3 = (A – B)3 + 3AB (A – B) • (A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB AC – BC)
Vn dng hng ng thc ỏng nh gii toỏn Nhng hng ng thc ỏng nh: A ( B + C) = A.C + A.B ( A + B ) (C + D ) = A.C+ A.D + B.D + B C ( A + B ) (D + E + F ) = A.D + A.E + A.F + B.D + B.E + B.F hng ng thc:(SGK) Vi A, B l cỏc biu thc (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A B)2 = A2 2AB + B2 A2 B2 = (A + B)(A B) (A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 +B3 (A B) = A3 3A2B + 3AB2 - B3 A3 + B3 = (A + B) (A2 AB + B2) A3 B3 = (A B) (A2 + AB +B2) Cỏc hng ng thc liờn quan: (A + B)2 = (A B)2 + 4AB (A B)2 = (A +B)2 4AB A2 + B = ( A + B ) AB A3 + B3 = (A + B)3 3AB (A+B) A3 - B3 = (A B)3 + 3AB (A B) (A + B C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC BC) Cỏc hng ng thc dng tng quỏt: (A + B)n = An + n An-1B + + n ABn-1 + Bn An Bn = (A B) (An-1 + An-2B + +ABn-2 + Bn-1) (A1 + A2 + +An)2 = A12 + A22 + + An2 + 2(A1A2 + A1A3+ +An-1An) ( a + b ) =a +2 (1 + ( a ) =1 +2 a +a a b ) =a (1 ) a b =( a ab +b =1 ab +b a +a a b )( a + b ) a a +b b =( a + b )(a ab +b ) a a b b =( a b )(a + ab +b ) a +a ( a =(1 + ( a =( a b +b a = a b b )(1 + a )(1 a = a ) ab ) ( ) a +a ) a +a ab ( a + b ) a b) ễN TP KT CHNG I I S Lí THUYT iu kin cú ngha ca mt s biu thc: 1) A(x) l a thc A(x) luụn cú ngha A( x ) cú ngha B(x) B( x) 3) A(x) cú ngha A(x) A( x) 4) cú ngha B(x) > B ( x) 2) A = B A.B = B2 A.B B ( vi B 0, A.B ) Trc cn thc mu s: A A2 = A = A Nu A khụng õm thỡ A2 = A = Kh mu ca biu thc di du cn bc hai: Ta nhõn mu s vi tha s ph thớch hp mu s l mt bỡnh phng A A = A.B = A B ( A ) ( vi A ; B ) Tng quỏt: A1 A2 A n = A1 A2 An vi Ai (1 i n) A A = B B (vi A 0, B 0) a tha s A2 ngoi du cn bc hai: ta c |A| Ta cú: A2 B = A B a tha s vo du cn bc hai: A B = A2 B ( vi A ) A B = A2 B ( vi A < ) Phng trỡnh cha cn thc bc hai: 1) A2 = | A |= A = 3) B A=B A = B 2) B 0(hoc A ) A= B A = B 4) A + B = O A = v B = A Kin thc cn nh iu kin cn thc cú ngha A cú ngha A Cỏc cụng thc bin i cn thc A2 = A a AB = A B ( A 0; B 0) b c A = B d A2 B = A B e A B ( A 0; B > 0) A B = A2 B ( A 0; B 0) A B = A2 B f A = B B ( B 0) AB ( A < 0; B 0) ( AB 0; B 0) i A A B = B B k C C ( A mB ) = A B2 AB m C C( A m B ) = A B2 A B ( B > 0) ( A 0; A B ) ( A 0; B 0; A B ) Kin thc c bn: CH 2: HM S - HM S BC NHT 1.1Hm s bc nht a Khỏi nim hm s bc nht - Hm s bc nht l hm s c cho bi cụng thc y = ax + b Trong ú a, b l cỏc s cho trc v a b Tớnh cht :Hm s bc nht y = ax + b xỏc nh vi mi giỏ tr ca x thuc R v cú tớnh cht sau: - ng bin trờn R a > - Nghch bin trờn R a < c th ca hm s y = ax + b (a 0) th ca hm s y = ax + b (a 0) l mt ng thng - Ct trc tung ti im cú tung bng b - Song song vi ng thng y = ax, nu b 0, trựng vi ng thng y = ax, nu b = * Cỏch v th hm s y = ax + b (a 0) Bc Cho x = thỡ y = b ta c im P(0; b) thuc trc tung Oy Cho y = thỡ x = ta c im Q( ; 0) thuc trc honh Bc V ng thng i qua hai im P v Q ta c th hm s y = ax + b d V trớ tng i ca hai ng thng Cho hai ng thng (d): y = ax + b (a 0) v (d): y = ax + b (a 0) Khi ú a = a ' + d // d ' b b ' + d ' d ' = { A} a a ' a = a ' + d d ' b = b ' d d ' a.a ' = + e H s gúc ca ng thng y = ax + b (a 0) *Gúc to bi ng thng y = ax + b v trc Ox - Gúc to bi ng thng y = ax + b v trc Ox l gúc to bi tia Ax v tia AT, ú A l giao im ca ng thng y = ax + b vi trc Ox, T l im thuc ng thng y = ax + b v cú tung dng *H s gúc ca ng thng y = ax + b - H s a phng trỡnh y = ax + b c gi l h s gúc ca ng thng y = ax +b f Mt s phng trỡnh ng thng - ng thng i qua im M0(x0;y0)cú h s gúc k: y = k(x x0) + y0 x y - ng thng i qua im A(x0, 0) v B(0; y0) vi x0.y0 l x + y = 0 2.1 Cng thc tớnh to trung im ca on thng v di on thng Cho hai im phõn bit A vi B vi A(x1, y1) v B(x2, y2) Khi ú - di on thng AB c tớnh bi cụng thc AB = ( xB x A ) + ( y B y A ) - Ta trung im M ca AB c tớnh bi cụng thc xM = x A + xB y + yB ; yM = A 2 CH 3: H HAI PHNG TRèNH BC NHT HAI N I CC KHI NIM: Phng trỡnh bc nht hai n: +Dng: ax + by = c ú a; b; c l cỏc h s ó bit( a hoc b 0) + Mt nghim ca phng trỡnh l cp s x0; y0 tha : ax0 + by0 = c + Phng trỡnh bc nht hai n ax + by = c luụn luụn cú vụ s nghim + Tp nghim c biu din bi ng thng (d): ax + by = c Nu a 0; b thỡ ng a b c b thng (d) l th ca hm s bc nht: y = x + H hai phng trỡnh bc nht hai n: ax + by = c.(1) + Dng: , , , a x + b y = c (2) + Nghim ca h l nghim chung ca hai phng trỡnh + Nu hai phng trỡnh y khụng cú nghim chung thỡ ta núi h vụ nghim + Quan h gia s nghim ca h v ng thng biu din nghim: -Phng trỡnh (1) c biu din bi ng thng (d) -Phng trỡnh (2) c biu din bi ng thng (d') *Nu (d) ct (d') h cú nghim nht *Nu (d) song song vi (d') thỡ h vụ nghim *Nu (d) trựng (d') thỡ h vụ s nghim H phng trỡnh tng ng: Hai h phng trỡnh c gi l tng ng vi nu chỳng cú cựng nghim II.PHNG PHP GII H PHNG TRèNH: Gii h phng trỡnh bng phng phỏp th: a) Quy tc th: + Bc 1: T mt phng trỡnh ca h ó cho, ta biu din mt n theo n kia, ri thay vo phng trỡnh th hai c mt phng trỡnh mi (ch cũn n) + Bc 2: Dựng phng trỡnh mi ny thay th cho phng trỡnh th hai h (phng trỡnh th nht cng thng c thay th bi h thc biu din mt n theo n cú c bc 1) Gii h phng trỡnh bng phng phỏp cng i s: a)Quy tc cng i s: + Bc 1: Cng hay tr tng v hai phng trỡnh ca h ca h phng trỡnh ó cho c mt phng trỡnh mi + Bc 2: Dựng phng trỡnh mi y thay th cho mt hai phng trỡnh ca h (v gi nguyờn phng trỡnh kia) Lu ý: Khi cỏc h s ca cựng mt n i thỡ ta cng v theo v ca h Khi cỏc h s ca cựng mt n bng thỡ ta tr v theo v ca h Khi h s ca cựng mt n khụng bng cng khụng i thỡ ta chn nhõn vi s thớch hp a v h s ca cựng mt n i (hoc bng nhau).( tm gi l quy ng h s) H S GểC CA NG THNG NG THNG SONG SONG, NG THNG CT NHAU A Kin thc cn bn Gúc to bi ng thng y = ax + b (a khỏc 0) v trc Ox - Gúc to bi ng thng y = ax + b (a khỏc 0) v trc Ox l gúc to bi tia Ax v tia AT, ú A l giao im ca ng thng y = ax + b vi trc Ox; T l im thuc ng thng y = ax + b v cú tung dng 8 6 T 4 T A -15 -10 -5 10 15 -15 -10 -5 A y=ax+b 10 15 y=ax y=ax -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 y=ax+b Trng hp a > Trng hp a < 0 - vi a > < < 90 , a cng ln thỡ cng ln - vi a < 900 < < 1800 , a cng ln thỡ cng ln y = ax + b (a khỏc 0) thỡ a c gi l h s gúc ca ng thng ' ' ' ' Vi ng thng ( d ) : y = ax + b v ( d ) : y = a x + b ( a; a ) , ta cú: ( ) + ( d ) ì( d ) a a + ( d ) / / d ' a = a ' ; b b' ' ' ( ) + ( d ) ( d ) a.a = + ( d ) d ' a = a' ; b = b' ' ' - Chỳ ý: a khỏc a v b = b thỡ ng thng cú cựng tung gc, ú chỳng ct ti im trờn trc tung cú tung l b GII H PHNG TRèNH BNG PHNG PHP TH A Kin thc c bn Quy tc th - t mt cỏc phng trỡnh ca h biu din x theo y (hoc y theo x) - dựng kt qu ú th cho x (hoc y) pt cũn li ri thu gn Cỏch gii h phng trỡnh bng phng phỏp th - dựng quy tc th bin i h phng trỡnh ó cho c hpt mi ú cú pt n - gii pt n va tỡm c, ri suy nghim ca hpt ó cho GII H PHNG TRèNH BNG PHNG PHP CNG I S A Kin thc c bn Quy tc cng i s: gm bc - Cng hay tr tng v pt ca hpt ó cho c pt mi - Dựng pt mi y thay th cho pt ca h (gi nguyờn pt kia) Túm tt cỏch gii h phng trỡnh bng phng phỏp cng i s - Gii theo quy tc: Nhõn bng, i i, cng, chia Thay vo tớnh nt n l thnh - Ngha l: + nhõn cho h s ca n hai phng trỡnh bng + i du c v ca pt: h s ca n i + cng v vi v ca pt h, rỳt gn v tỡm n + thay vo tớnh nt n cũn li GII BI TON BNG CCH LP H PHNG TRèNH A Kin thc c bn gii bi toỏn bng cỏch lp h phng trỡnh ta thc hin theo bc sau : - bc : lp hpt (bao gm cỏc cụng vic sau) + chn n v t iu kin thớch hp cho n) + biu din cỏc i lng cha bit theo n v cỏc i lng ó bit + lp hpt biu th tng quan gia cỏc i lng - bc : gii hpt va lp c bc - bc : kt lun : so sỏnh nghim tỡm c vi iu kin t ban u 2 HM S y = ax ( a ) TH HM S y = ax ( a ) A Kin thc c bn Tớnh cht hm s y = ax ( a ) a) Tớnh cht: Nu a > thỡ hm s nghch bin x < v ng bin x > Nu a < thỡ hm s nghch bin x > v ng bin x < b) Nhn xột: Nu a > thỡ y > vi mi x khỏc 0; y = x = giỏ tr nh nht ca hm s l y = Nu a < thỡ y < vi mi x khỏc 0; y = x = giỏ tr ln nht ca hm s l y = 2 Tớnh cht th hm s y = ax ( a ) th hm s y = ax ( a ) l mt ng cong i qua gc ta v nhn trc Oy l trc i xng ng cong ú c gi l mt Parabol vi nh O Nu a > thỡ th nm phớa trờn trc honh, O(0;0) l im thp nht ca th Nu a < thỡ th nm phớa di trc honh, O(0;0) l im cao nht ca th PHNG TRèNH BC HAI MT N A Kin thc c bn nh ngha: pt bc hai mt n l pt cú dng: ax + bx + c = ( a ) b, c l cỏc s cho trc Cỏch gii (1), ú x l n; a, x = x = a) Khuyt c (c = 0): pt (1) tr thnh: ax + bx = x ( ax + b ) = x = b ax + b = a c b) Khuyt b (b = 0): pt (1) tr thnh: ax + c = ax = c x = (2) a c - nu < thỡ pt (2) vụ nghim, suy pt (1) cung vụ nghim a c c - nu > x = a a c) y : ax + bx + c = ( a ) Cụng thc nghim Cụng thc nghim thu gn = b 4ac + Nu > thỡ pt cú nghim phõn bit: b + b x1 = ; x2 = 2a 2a = + nu thỡ pt cú nghim kộp: b x1 = x2 = 2a + nu < thỡ pt vụ nghim ' = b '2 ac + Nu ' > thỡ pt cú nghim phõn bit: b ' + ' b ' ' x1 = ; x2 = a a ' + nu = thỡ pt cú nghim kộp: b ' x1 = x2 = a ' + nu < thỡ pt vụ nghim d) Cho pt: ax + bx + c = ( a ) iu kin phng trỡnh: - Vụ nghim: < ( ' < ) - Nghim kộp: = ( ' = ) - Cú nghim phõn bit: > ( ' > ) hoc a.c < - Cú nghim - Cú nghim - Cú nghim - Cú nghim ( ' ) cựng du: P = x1.x2 > ( ' ) cựng du õm: P = x1.x2 > S = x + x < ( ' ) cựng du dng: P = x1.x2 > S = x + x > ( ' ) khỏc du: P = x1.x2 < H thc Vi-ột v ng dng b x + x = a - nh lý: Nu x1; x2 l nghim ca pt ax + bx + c = ( a ) thỡ x x = c a - ng dng nhm nghim ca h thc Vi-ột: + nu pt ax + bx + c = ( a ) cú a + b + c = thỡ pt cú nghim l: x1 = 1; x2 = c a + nu pt ax + bx + c = ( a ) cú a b + c = thỡ pt cú nghim l: x1 = 1; x2 = c a u + v = S thỡ suy u, v l nghim ca pt: x Sx + P = (iu kin tn ti u, v l u v = P + nu = S 4P ) PHNG TRèNH QUY V PHNG TRèNH BC HAI Phng trỡnh trựng phng - dng tng quỏt: ax + bx + c = ( a ) - cỏch gii: dựng phng phỏp t n ph, t x = t ( t ) Khi ú ta cú pt: at + bt + c = (õy l pt bc hai mt n) Phng trỡnh cha n mu: Cỏc bc gii - Tỡm k xỏc nh ca pt - Quy ng mu thc c v ca pt, ri kh mu - Gii pt va nhn c - Kt lun: so sỏnh nghim tỡm c vi k xỏc nh ca pt Phng trỡnh tớch - dng tng quỏt: A( x ) B( x ) = A( x ) = - cỏch gii: A( x ) B( x ) = B( x ) = Hm s y = ax + b (a 0) - Tớnh cht: + Hm s ng bin trờn R a > + Hm s nghch bin trờn R a < - th: th l mt ng thng i qua im A(0;b); B(-b/a;0) Hm s y = ax2 (a 0) - Tớnh cht: + Nu a > hm s nghch bin x < v ng bin x > + Nu a < hm s ng bin x < v nghch bin x > - th: th l mt ng cong Parabol i qua gc to O(0;0) + Nu a > thỡ th nm phớa trờn trc honh + Nu a < thỡ th nm phớa di trc honh V trớ tng i ca hai ng thng Xột ng thng y = ax + b (d) v y = a'x + b' (d') (d) v (d') ct a a' (d) // (d') a = a' v b b' (d) (d') a = a' v b = b' V trớ tng i ca ng thng v ng cong Xột ng thng y = ax + b (d) v y = ax2 (P) (d) v (P) ct ti hai im (d) tip xỳc vi (P) ti mt im (d) v (P) khụng cú im chung Phng trỡnh bc hai Xột phng trỡnh bc hai ax2 + bx + c = (a 0) Cụng thc nghim Cụng thc nghim thu gn = b - 4ac ' = b'2 - ac vi b = 2b' Nu > : Phng trỡnh cú hai - Nu ' > : Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit: nghim phõn bit: x1 = b+ b ; x2 = 2a 2a x1 = Nu = : Phng trỡnh cú nghim ' ' b ' + ' ; x2 = b a a - Nu ' = : Phng trỡnh cú nghim b ' kộp: x1 = x2 = a - Nu ' < : Phng trỡnh vụ nghim b kộp : x1 = x2 = 2a Nu < : Phng trỡnh vụ nghim H thc Viet v ng dng - H thc Viet: Nu x1, x2 l nghim ca phng trỡnh bc hai ax2 + bx + c = (a0) thỡ: b S = x1 + x2 = a P = x x = c a - Mt s ng dng: + Tỡm hai s u v v bit u + v = S; u.v = P ta gii phng trỡnh: x2 - Sx + P = (iu kin S2 - 4P 0) + Nhm nghim ca phng trỡnh bc hai ax2 + bx + c = (a0) Nu a + b + c = thỡ phng trỡnh cú hai nghim: x1 = ; x2 = c a Nu a - b + c = thỡ phng trỡnh cú hai nghim: x1 = -1 ; x2 = c a Gii bi toỏn bng cỏch lp phng trỡnh, h phng trỡnh Bc 1: Lp phng trỡnh hoc h phng trỡnh Bc 2: Gii phng trỡnh hoc h phng trỡnh Bc 3: Kim tra cỏc nghim ca phng trỡnh hoc h phng trỡnh nghim no thớch hp vi bi toỏn v kt lun B cỏc dng bi Dng 1: Rỳt gn biu thc Bi toỏn: Rỳt gn biu thc A rỳt gn biu thc A ta thc hin cỏc bc sau: - Quy ng mu thc (nu cú) - a bt tha s ngoi cn thc (nu cú) - Trc cn thc mu (nu cú) - Thc hin cỏc phộp tớnh: lu tha, khai cn, nhõn chia - Cng tr cỏc s hng ng dng Dng 2: Bi toỏn tớnh toỏn Bi toỏn 1: Tớnh giỏ tr ca biu thc A Tớnh A m khụng cú iu kin kốm theo ng ngha vi bi toỏn Rỳt gn biu thc A Bi toỏn 2: Tớnh giỏ tr ca biu thc A(x) bit x = a Cỏch gii: - Rỳt gn biu thc A(x) - Thay x = a vo biu thc rỳt gn Dng 3: Chng minh ng thc Bi toỏn: Chng minh ng thc A = B Mt s phng phỏp chng minh: - Phng phỏp 1: Da vo nh ngha A=B A-B=0 - Phng phỏp 2: Bin i trc tip A = A1 = A2 = = B - Phng phỏp 3: Phng phỏp so sỏnh A=B A = A1 = A2 = = C B = B1 = B2 = = C - Phng phỏp 4: Phng phỏp tng ng A = B A' = B' A" = B" (*) (*) ỳng ú A = B - Phng phỏp 5: Phng phỏp s dng gi thit - Phng phỏp 6: Phng phỏp quy np - Phng phỏp 7: Phng phỏp dựng biu thc ph Dng 4: Chng minh bt ng thc Bi toỏn: Chng minh bt ng thc A > B Mt s bt ng thc quan trng: - Bt ng thc Cosi: a1 + a2 + a3 + + an n a1.a2 a3 an (vi a1.a2 a3 an ) n Du = xy v ch khi: a1 = a2 = a3 = = an - Bt ng thc BunhiaCụpxki: Vi mi s a1; a2; a3;; an; b1; b2; b3;bn ( a1b1 + a2b2 + a3b3 + + anbn ) (a12 + a22 + a32 + + an2 )(b12 + b22 + b32 + + bn2 ) a a a a n Du = xy v ch khi: b = b = b = = b n Mt s phng phỏp chng minh: - Phng phỏp 1: Da vo nh ngha A>B A-B>0 - Phng phỏp 2: Bin i trc tip Phn II: HèNH HC A Kin thc cn nh H thc lng tam giỏc vuụng b2 = ab' c2 = ac' h2 = b'c' ah = bc a = b2 + c2 1 = 2+ 2 h b c A b c B h c' b' C H a T s lng giỏc ca gúc nhn < sin < < coss < tg = sin cos tg.cotg = cos sin 1 + tg = cos cot g = sin2 + cos2 = 1 + cot g = H thc v cnh v gúc tam giỏc vuụng b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B sin B a c A b C ng trũn - Cỏch xỏc nh: Qua ba im khụng thng hng ta v c mt v ch mt ng trũn - Tõm i xng, trc i xng : ng trũn cú mt tõm i xng; cú vụ s trc i xng - Quan h vuụng gúc gia ng kớnh v dõy Trong mt ng trũn + ng kớnh vuụng gúc vi mt dõy thỡ i qua trung im ca dõy y + ng kớnh i qua trung im ca mt dõy khụng i qua tõm thỡ vuụng gúc vi dõy y - Liờn h gia dõy v khong cỏch t tõm n dõy: Trong mt ng trũn: + Hai dõy bng thỡ cỏch u tõm + Hai dõy cỏch u tõm thỡ bng + Dõy no ln hn thỡ dõy ú gn tõm hn + Dõy no gn tõm hn thỡ dõy ú ln hn - Liờn h gia cung v dõy: Trong mt ng trũn hay hai ng trũn bng nhau: + Hai cung bng cng hai dõy bng + Hai dõy bng cng hai cung bng + Cung ln hn cng dõy ln hn + Dõy ln hn cng cung ln hn - V trớ tng i ca ng thng v ng trũn: V trớ tng i S im chung H thc liờn h gia d v R dR - ng thng v ng trũn ct - ng thng v ng trũn tip xỳc - ng thng v ng trũn khụng giao - V trớ tng i ca ng thng v ng trũn: V trớ tng i S im chung H thc liờn h gia d v R - Hai ng trũn ct - Hai ng trũn tip xỳc + Tip xỳc ngoi R - r < OO' < R + r OO' = R + r + Tip xỳc - Hai ng trũn khụng giao OO' = R - r + (O) v (O') ngoi OO' > R + r + (O) ng (O') OO' < R - r + (O) v (O') ng tõm OO' = Tip tuyn ca ng trũn - Tớnh cht ca tip tuyn: Tip tuyn vuụng gúc vi bỏn kớnh i qua tip im - Du hiu nhn bit tip tuyn: + ng thng v ng trũn ch cú mt im chung + Khong cỏch t tõm ca ng trũn n ng thng bng bỏn kớnh + ng thng i qua mt im ca ng trũn v vuụng gúc vi bỏn kớnh i qua im ú A - Tớnh cht ca tip tuyn ct MA, MB l hai tip tuyn ct thỡ: + MA = MB O M + MO l phõn giỏc ca gúc AMB + OM l phõn giỏc ca gúc AOB - Tip tuyn chung ca hai ng trũn: l ng B thng tip xỳc vi c hai ng trũn ú: Tip tuyn chung ngoi Tip tuyn chung d d d' O O' O O' d' Gúc vi ng trũn Loi gúc Hỡnh v A B Gúc tõm ãAOB = sd ằAB O A B Gúc ni tip Cụng thc tớnh s o O ãAMB = sd ằAB M x Gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung A B ã xBA = sd ằAB O B A Gúc cú nh bờn ng trũn ãAMB = ( sd ằAB + sdCD ằ ) M O C D M D C Gúc cú nh bờn ngoi ng trũn ãAMB = ( sd ằAB sdCD ằ ) O A B Chỳ ý: Trong mt ng trũn - Cỏc gúc ni tip bng chn cỏc cung bng - Cỏc gúc ni tip cựng chn mt cung thỡ bng - Cỏc gúc ni tip chn cỏc cung bng thỡ bng - Gúc ni tip nh hn hoc bng 900 cú s o bng na s o ca gúc tõm cựng chn mt cung - Gúc ni tip chn na ng trũn l gúc vuụng v ngc li gúc vuụng ni tip thỡ chn na ng trũn - Gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung v gúc ni tip cựng chn mt cung thỡ bng di ng trũn - di cung trũn - di ng trũn bỏn kớnh R: C = 2R = d - di cung trũn n0 bỏn kớnh R : l= Rn 180 Din tớch hỡnh trũn - Din tớch hỡnh qut trũn - Din tớch hỡnh trũn: S = R2 - Din tớch hỡnh qut trũn bỏn kớnh R, cong n : S = Cỏc loi ng trũn ng trũn ngoi tip tam giỏc ng trũn ni tip tam giỏc R n lR = 360 ng trũn bng tip tam giỏc Tõm ca ng trũn bng tip gúc A l giao im ca hai ng phõn giỏc cỏc gúc ngoi ti B hoc C hoc l giao im ca ng phõn giỏc gúc A v ng phõn giỏc ngoi ti B (hoc C) A A B C O F B C Tõm ng trũn l giao ca ba ng trung trc E J ca tam giỏc A O B C Tõm ng trũn l giao ca ba ng phõn giỏc ca tam giỏc 10 Cỏc loi hỡnh khụng gian a Hỡnh tr - Din tớch xung quanh: Sxq = 2rh - Din tớch ton phn: Stp = 2rh + r2 - Th tớch hỡnh tr: V = Sh = r2h b Hỡnh nún: - Din tớch xung quanh: Sxq = 2rl - Din tớch ton phn: Stp = 2rl + r2 - Th tớch hỡnh tr: V = h: chiều cao Trong ú r 2h c Hỡnh nún ct: - Din tớch xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l - Th tớch: V = h(r12 + r22 + r1 r2 ) d Hỡnh cu - Din tớch mt cu: S = 4R2 = d - Th tớch hỡnh cu: V = r: bán kính Trong R3 r: bỏn kớnh l: ng sinh h: chiu cao r1: bỏn kớnh dỏy ln r2: bỏn kớnh ỏy nh Trong ú l: ng sinh h: chiu cao R: bỏn kớnh Trong ú d: ng kớnh 11 T giỏc ni tip: Du hiu nhn bit t giỏc ni tip: - T giỏc cú tng hai gúc i bng 1800 - T giỏc cú gúc ngoi ti mt nh bng gúc ca nh i din - T giỏc cú nh cỏch u mt im - T giỏc cú hai nh k cựng nhỡn cnh cha hai nh cũn li di mt gúc B cỏc dng bi Dng 1: Chng minh hai gúc bng Cỏch chng minh: - Chng minh hai gúc cựng bng gúc th ba - Chng minh hai gúc bng vi hai gúc bng khỏc - Hai gúc bng tng hoc hiu ca hai gúc theo th t ụi mt bng - Hai gúc cựng ph (hoc cựng bự) vi gúc th ba - Hai gúc cựng nhn hoc cựng tự cú cỏc cnh ụi mt song song hoc vuụng gúc - Hai gúc ú le trong, so le ngoi hoc ng v - Hai gúc v trớ i nh - Hai gúc ca cựng m tam giỏc cõn hoc u - Hai gúc tng ng ca hai tam giỏc bng hoc ng dng - Hai gúc ni tip cựng chn mt cung hoc chn hai cung bng Dng 2: Chng minh hai on thng bng Cỏch chng minh: - Chng minh hai on thng cựng bng on th ba - Hai cnh ca mmt tam giỏc cõn hoc tam giỏc u - Hai cnh tng ng ca hai tam giỏc bng - Hai cnh i ca hỡnh bỡnh hnh (ch nht, hỡnh thoi, hỡnh vuụng) - Hai cnh bờn ca hỡnh thang cõn - Hai dõy trng hai cung bng mt ng trũn hoc hai ng bng Dng 2: Chng minh hai ng thng song song Cỏch chng minh: - Chng minh hai ng thng cựng song song vi ng thng th ba - Chng minh hai ng thng cựng vuụng gúc vi ng thng th ba - Chng minh chỳng cựng to vi mt cỏt tuyn hai gúc bng nhau: + v trớ so le + v trớ so le ngoi + v trớ ng v - L hai dõy chn gia chỳng hai cung bng mt ng trũn - Chỳng l hai cnh i ca mt hỡnh bỡnh hnh Dng 3: Chng minh hai ng thng vuụng gúc Cỏch chng minh: - Chỳng song song song song vi hai ng thng vuụng gúc khỏc - Chng minh chỳng l chõn ng cao mt tam giỏc - ng kớnh i qua trung im dõy v dõy - Chỳng l phõn giỏc ca hai gúc k bự Dng 4: Chng minh ba ng thng ng quy Cỏch chng minh: - Chng minh chỳng l ba ng cao, ba trung tuyn, ba trung trc, ba phõn giỏc (hoc mt phõn giỏc v phõn giỏc ngoi ca hai gúc kia) - Vn dng nh lớ o ca nh lớ Talet Dng 5: Chng minh hai tam giỏc bng Cỏch chng minh: * Hai tam giỏc thng: - Trng hp gúc - cnh - gúc (g-c-g) - Trng hp cnh - gúc - cnh (c-g-c) - Trng hp cnh - cnh - cnh (c-c-c) * Hai tam giỏc vuụng: - Cú cnh huyn v mt gúc nhn bng - Cú cnh huyn bng v mt cnh gúc vuụng bng - Cnh gúc vuụng ụi mt bng Dng 6: Chng minh hai tam giỏc ng dng Cỏch chng minh: * Hai tam giỏc thng: - Cú hai gúc bng ụi mt - Cú mt gúc bng xen gia hai cnh tng ng t l - Cú ba cnh tng ng t l * Hai tam giỏc vuụng: - Cú mt gúc nhn bng - Cú hai cnh gúc vuụng tng ng t l Dng 7: Chng minh ng thc hỡnh hc Cỏch chng minh: Gi s phi chng minh ng thc: MA.MB = MC.MD (*) - Chng minh: MAC MDB hoc MAD MCB - Nu im M, A, B, C, D cỳng nm trờn mt ng thng thỡ phi chng minh cỏc tớch trờn cựng bng tớch th ba: MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tc l ta chng minh: MAE MFB MCE MFD MA.MB = MC.MD * Trng hp c bit: MT2 = MA.MB ta chng minh MTA MBT Dng 8: Chng minh t giỏc ni tip Cỏch chng minh: Du hiu nhn bit t giỏc ni tip: - T giỏc cú tng hai gúc i bng 1800 - T giỏc cú gúc ngoi ti mt nh bng gúc ca nh i din - T giỏc cú nh cỏch u mt im - T giỏc cú hai nh k cựng nhỡn cnh cha hai nh cũn li di mt gúc Dng 9: Chng minh MT l tip tuyn ca ng trũn (O;R) Cỏch chng minh: - Chng minh OT MT ti T (O;R) - Chng minh khong cỏch t tõm O n ng thng MT bng bỏn kớnh - Dựng gúc ni tip Dng 10: Cỏc bi toỏn tớnh toỏn di cnh, ln gúc Cỏch tớnh: - Da vo h thc lng tam giỏc vuụng - Da vo t s lng giỏc - Da vo h thc gia cnh v gúc tam giỏc vuụng - Da vo cụng thc tớnh di, din tớch, th tớch Vn : nh ngha v s xỏc nh ng trũn Tp hp cỏc im cỏch O cho trc mt khong R khụng i gi l ng trũn tõm O bỏn kớnh R Kớ hiu: (O; R) xỏc nh c ng trũn ta cú cỏc cỏch sau: Bit tõm O v bỏn kớnh R Bit im khụng thng hng nm trờn ng trũn Cho (O; R) v im M Khi ú cú cỏc kh nng sau: Nu MO > R thỡ M nm ngoi ng trũn (O; R) Nu MO=R thỡ M nm trờn ng trũn (O;R) Kớ hiu: M (O; R) Nu MO < R thỡ M nm ng trũn (O; R) Dõy cung l on thng ni hai im trờn ng trũn ng kớnh l dõy cung qua tõm Vy ng kớnh l dõy cung ln nht mt ng trũn Mun c/m cỏc im cựng nm trờn (O; R) ta ch khong cỏch t mi im n O u l R Cỏc cỏch khỏc sau ny xột sau ng trũn qua hai im A v B cú tõm nm trờn trung trc ca AB ng trũn ngoi tip tam giỏc vuụng cú tõm l trung im cnh huyn Vn : tớnh cht i xng xa ng trũn ng trũn l hỡnh cú mt tõm i xng l tõm ng trũn ú ng trũn cú vụ s trc i xng l mi ng kớnh ca nú ng kớnh vuụng gúc dõy cung thỡ i qua trung im v ngc li Hai dõy cung bng v ch chỳng cỏch u tõm Dõy cung no gn tõm hn thỡ di hn v ngc li Vn dng cỏc tớnh cht trờn ta cú th tớnh di cỏc on v c/m cỏc tớnh cht cng nh so sỏnh cỏc on thng da vo ng trũn Vn : v trớ tng i gia ng thng v ng trũn Khong cỏch t im n ng thng l di ng vuụng gúc t im ú n ng thng Cho ng trũn (O; R) v ng thng d ú cú cỏc trng hp sau: Nu d(O;d) = OH > R thỡ ng thng v ng trũn khụng cú im chung Ta núi ng thng v ng trũn ngoi hoc khụng ct Nu d(O; d) = OH = R ú ng thng v ng trũn cú mt im chung nht chớnh l H Khi ú ta núi ngthng tip xỳc ng trũn (ng thng ny gi l tip tuyn ca (O)) Nu d(O; d) = OH < R thỡ ng thng d ct ng trũn (O; R) ti hai im phõn bit A v B ng thng ny gi l cỏt tuyn vi (O; R) Vy mun xỏc nh v trớ ca ng thng d v ng trũn ta cn tỡm bỏn kớnh R v khong cỏch d(O; d) ri so sỏnh v kt lun Vn : tip tuyn ca ng trũn Cho (O; R) tip tuyn ca (O; R) l mt ng thng tip xỳc vi (O; R) Vy d l tip tuyn (O; R) d OA ti A A gi l tip im .O D A Núi cỏch khỏc : d l tip tuyn ca (O; R) d(O; d) =R Ta cú tớnh cht: t mt im M nm ngoi (O; R) ta k c hai tip tuyn n (O; R) ti hai tip im A v B ú MA=MB T mt im A trờn (O; R) ta k c mt tip tuyn nht, ú l ng thng qua A v vuụng gúc bỏn kớnh OA T hai im A v B trờn (O) k hai tip tuyn ct ti M thỡ MA= MB A O M B Ngoi ta cũn cú : MO l phõn giỏc ca gúc AOB v OM l phõn giỏc gúc AOB Phng phỏp v tip tuyn vi (O) t mt im nm ngoi (O) Ta ni OM V ( I; OM/2) ct (O) ti hai im A v B Ni MA v MB c hai tip tuyn .Vn : v trớ tng i ca hai ng trũn Cho hai ng trũn (O; R) v (O; R) ú da vo khong cỏch OO v R; R ta cú cỏc kh nng sau: Nu OO = R-R vi R > R thỡ hai ng trũn ny tip xỳc Nu OO = R +R thỡ hai ng trũn cú mt im chung v im ny l giao im ca OO v hai ng trũn Ta gi hai ng trũn tip xỳc ngoi Nu OO < R+R thỡ hai ng trũn ny ct ti hai im Hai im ny nhn OO lm trung trc Nu OO > R+R thỡ hai ng trũn khụng ct v ngoi OO < R-R thỡ hai ng trũn ng (O; R) cha (O; R) hay (O; R) cha (O; R) Hai ng trũn ng tõm l hai ng trũn cú cựng tõm Nu cú hai ng trũn thỡ tip tuyn chung ca chỳng v ng ni tõm OO ng quy - Nu ng quy bờn on OO thỡ gi l tip tuyn chung - Nu ng quy bờn ngoi on OO thỡ gi l tip tuyn chung ngoi - im ng quy ny chia OO theo t l bng t l hai bỏn kớnh Vn : ng trũn ngoi tip- ni tip v bng tip tam giỏc a giỏc Cho tam giỏc ABC, ng trũn i qua nh A; B v C ca tam giỏc gi l ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Tõm ca ng trũn ngoi tip l im cỏch u nh nờn l giao im ca ba ng trung trc ca ba cnh tam giỏc ng trũn tip xỳc vi c ba cnh ca tam giỏc ABC gi l ng trũn ni tip tam giỏc Tõm ca ng trũn ni tip l im cỏch u cnh nờn nú l giao im ca ba ng phõn giỏc ng trũn tip xỳc vi cnh BC v phn kộo di ca hai cnh (AB v AC) gi l ng trũn bng tip gúc A Vy ng trũn bng timtong gúc A cú tõm l giao im phõn giỏc gúc A v hai phõn giỏc ngoi ti B v C Mt tam giỏc cú ba ng trũn bng tip Tam giỏc ni tip ng trũn thỡ ng trũn ny gi l ngoi tip tam giỏc Tam giỏc ngoi tip ng trũn thỡ ng trũn ngoi tip tam giỏc Vn : Gúc tõm- s o ca cungso sỏnh cung Gúc tõm l gúc cú nh l tõm ca ng trũn Gúc ny ct ng trũn ti A v B ú cung AB l cung b chn ca gúc tõm AOB Ta cú tớnh cht: s o cung b chn bng s o ca gúc tõm chn cung ú So sỏnh cung: cung no ln hn thỡ cú s o cng ln hn v ngc li Cung no cú gúc tõm ln hn thỡ ln hn v ngc li Vn : Liờn h gia cung v dõy Cho (O) cung AB l ng cong chy t A n B theo ng trũn Cũn dõy (dõy cung) l on thng AB Ta chỳ ý vi hai im A v B trờn (O) luụn to hai cung ln v cung nh Sau õy ta ch xột cung nh Hai dõy cung bng hai cung bng Dõy ln hn cung ln hn Vn : gúc ni tip Gúc ni tip ca (O) l gúc cú nh nm trờn ng trũn (O) v hai cnh ct (O) ti hai im phõn bit cú gúc ni tip thng ta cú ba im nm trờn ng trũn S o gúc ni tip chn cung bng ẵ s o gúc tõm cựng chn cung ú Chỳ ý l cựng mt cung Gúc ni tip cú s o bng ẵ s o cung b chn Cựng mt cung cú th cú nhiu gúc ni tip thỡ cỏc gúc ny u bng c bit gúc ni tip chn na ng trũn thỡ l gúc vuụng 900 Cỏc cung bng thỡ gúc ni tip chn cung ú cng bng v ngc li Cung no ln hn thỡ gúc ni tip chn cung ú cng ln hn Vn : gúc to bi tip tuyn v dõy cung Gúc to bi mt tip tuyn ti tip im A v dõy cung AX gi l gúc to bi tip tuyn v dõy cung S o ca gúc ny bng ẵ s o gúc tõm chn cung AX S o ca gúc ny bng ẵ s o cung AX S o gúc ny cng bng s o mt gúc ni tip bt k chn cung ú Vn : gúc cú nh bờn bờn ngoi ng trũn Cho (O) v M (O) ú cú hai ng thng cựng qua M to thnh gúc Gúc ny l gúc bờn ng trũn Hai ng thng ny ct ng trũn to thnh cỏc cung Khi ú s o gúc ng trũn bng tng s o hai cung ny chia hai A B M C D ằ + sdCD ằ sd AB ãAMB = CMD ã = Cho (O) v M ngoi (O) ú gúc m cỏc cnh ca nú luụn tip xỳc hoc ct (O) gi l gúc ngoi ng trũn (O) ti M Khi ú gúc ny cng ct ng trũn tao thnh hai cung; mt cung ln v mt cung nh S o gúc ngoi bng s cung ln cung nh sau ú chia hai C A C A A M M n m M B D B B ằ ằ ãAMB = sdCD sd AB ằ ằ ãAMB = sdCB sd AB ẳ ẳ ãAMB = sd AmB sd AnB Vn : cung cha gúc Cho on thng AB c nh ú qu tớch cỏc im M cho: ãAMB = cho trc l mt cung Cung ny c gi l cung cha gúc nhn AB lm dõy Cho mt dõy AB v ú ta cú hai cung cha gúc nhn AB lm dõy v hai cung ny i xng qua AB Cỏch v cung cha gúc nhn AB lm dõy nh sau: Cú AB: ti A v tia At to AB gúc Ti A v tia Ax At ct trung trc AB ti O V cung trũn (O; OA) phớa cha O Khi ú cung ny chớnh l cung cha gúc nhn AB lm dõy Ta ly O i xng O qua AB v v cung trũn (O; OA) ta c cung th hai Vn : t giỏc ni tip T giỏc ni tip l t giỏc cú nh nm trờn mt ng trũn T giỏc ABCD ni tip ng ngha im A; B; C v D cựng nm trờn ng trũn T giỏc ni tip ng trũn thỡ ng trũn gi l ngoi tip t giỏc ú Tõm ca ng trũn ngoi tip t giỏc l giao im ba ng trung trc ca ba cnh t giỏc ú Cho t giỏc ABCD ni tip (O; R) ú OA= OB= OC = OD =R Chỳ ý: O cú th nm ngoi t giỏc; cng cú th nm hoc nm trờn mt cnh ch khụng phi lỳc no cng nm Cho ABCD l t giỏc ni tip thỡ A+C= B+D = 1800 Ngc li t giỏc ABCD cú A+C =1800 hoc B+D=1800 thỡ ABCD ni tip c/m t giỏc ABCD ni tip ta cú cỏc cỏch sau: a Ch A+C =1800 b Ch B+D=1800 c Ch bn im A; B;C v D cựng thuc mt ng trũn no ú c th d Ch cỏc gúc ni tip ti A v B cựng nhỡn CD gúc bng Vn : a giỏc u ngoi tip ni tip ng trũn a giỏc u l a giỏc cú tt c cỏc cnh v gúc u bng a giỏc ni tip (O) l a giỏc cú cỏc nh cựng nm trờn (O) Khi ú ng trũn gi l ngoi tip a giỏc a giỏc ngoi tip (O) l a giỏc cú cỏc cnh cựng tip xỳc (O) Khi ú (O) gi l ngoi tip a giỏc Mi a giỏc u bt k cú mt ng trũn ngoi tip v ng trũn nụ tip v hai ng ny ng tõm Tõm ny l giao im hai ng trung trc ca hai cnh hoc l hai ng phõn giỏc ca hai gúc Bỏn kớnh ng trũn ngoi tip a giỏc l khong cỏch t tõm n nh: OA= Bỏn kớnh ng trũn ni tip a giỏc l khong cỏch t tõm O n cnh Khong cỏch ny gi l trung on ca a giỏc Cho n giỏc u cnh a ú: Chu vi ca a giỏc: 2p= na vi p l na chu vi (tờn thng dựng) (n 2).180 Mi gúc cú s o: A=B== n a 180 (dựng t s lng giỏc) Bỏn kớnh ng trũn ngoi tip: R= 2sin n a 180 Bỏn kớnh ng trũn ni tip r= tan n Ta cú: R2-r2 = a2/4 Din tớch a giỏc u: S= n/2.a.r .Vn : di ng trũn din tớch hỡnh trũn ng trũn ch l ng biờn ngoi cũn hỡnh trũn l c phn v biờn Cho (O; R) ú di ng trũn chớnh l chu vi ca ng trũn: C= 2R R.n 0 Nu cho cung n trờn (O; R) thỡ di cung l: l = Vỡ c ng trũn 360 di 180 R R = R nờn 10 di sau ú ta nhõn lờn 360 180 Din tớch ca(O; R) l : S= R2 Trờn (O; R) cho cung AB cú s o n0 ú hỡnh qut OAB cú din tớch: = R2 Squt OAB n = lab.R/2 360 Hỡnh viờn phõn l ta ly phn qut ri b i tam giỏc OAB l c viờn phõn : tớnh din tớch viờn phõn ly Sh.qut- Stgiac OAB Hỡnh xuyn l hỡnh to cú hai ng trũn ng tõm (O; R) v (O; r) vi R > r Bng cỏch ly ng trũn ln v b i ng trũn nh Phn gia l hỡnh xuyn Vy: Sxuyn = Stron ln- Strũn nh = ( R2-r2) =3.14 nhng thng dựng l =3.14 Vn : phng phỏp chng minh ba im thng hng Ta cú th ch ba im to thnh gúc bt (1800) Vn dng tớnh cht cỏc ng ng quy C/m hai tia AB v AC trựng theo tiờn clit(cựng song song ng) Ch im cựng nm trờn ng no ú Cú th ch AB+BC=AC Vn : phng phỏp c/m hai on thng bng Dựng hai tam giỏc bng Dựng tớnh cht ca tam giỏc; hỡnh thang cõn; hỡnh bỡnh hnh; S dng tớnh cht ca ng chộo cỏc hỡnh Tớnh cht ng trung bỡnh S dng tớnh cht bc cu Vn :phng phỏp c/m hai ng thng vuụng gúc Hai ng thng vuụng gúc l hai ng thng ct v cỏc gúc to thnh cú gúc vuụng 900 Cho im O v d ú cú nht mt ng thng qua O v d Cho a//b ú nu c a thỡ c b Ngoi ta cũn dựng cỏc tớnh cht khỏc nh xem hai ng thng l hai cnh ca tam giỏc vuụng Xột cỏc tớnh chttm giỏc cõn; tam giỏc vuụng; hỡnh thoi, hỡnh ch nht; c/m hai ng thng vuụng gúc Vn : c/m hai ng thng song song Hai ng thng song song l hai ng thng khụng cú im chung( khụng lm c gỡ) Hai ng thng song song cú ng thng ct qua v to cỏc cp: So le bng ng v bng Cỏc gúc cựng phớa ng v Hai ng thng cựng vuụng gúc ng th ba thỡ song song Hai cnh i ca hỡnh bỡnh hnh thỡ song song Tớnh cht dng trung bỡnh tam giỏc v hỡnh thang Cỏc tớnh cht ca cỏc hỡnh khỏc nh hỡnh hp ch nht Tớnh cht bc cu: ch a//b v b//c thỡ a//c Vn : c/m cỏc ng thng ng quy Cỏc ng thng ng quy l cỏc ng thng ú cựng i qua mt im Ta cú th ch mt im O no ú v c/m cỏc ng thng cựng i qua nú Ta gi O l giao im hai ng thng v ch ng cũn li cng qua nú Ta dựng tớnh cht cỏc ng chộo hỡnh bỡnh hnh; hỡnh ch nht ch cỏc ng cựng i qua trung im cnh no ú Vn dng tớnh cht cỏc ng ng quy tam giỏc Ta dng nh lớ Talet o v cỏc on song song Vn : c/m h thc hỡnh hc Tc l ta phi i c/m mt ng thc ỳng t cỏc d kin bi cho Ta thng dựng cỏc cụng thc ca tam giỏc vuụng nu bi xut hin gúc vuụng (xem phn trc) Ta dựng phng phỏp hai tam giỏc ng dng c/m t s bng v t t s ny ta suy ng thc cn c/m Chỳ ý l cú th s dng tớnh cht bc cu nhiu tam giỏc ng dng Vn dng cụng thc din tớch v phõn tớch mt hỡnh thnh nhiu tam giỏc v cng din tớch li S dng tam giỏc bng chuyn cnh cn thit Dựng cỏc tớnh cht ca ng trung bỡnh ,HBH; on chn bi cỏc ng thng // Vn : c/m t giỏc ni tip c/m t giỏc ABCD ni tip ta cú cỏc cỏch sau: Ch A+C =1800 Ch B+D=1800 Ch bn im A; B;C v D cựng thuc mt ng trũn no ú c th Ch cỏc gúc ni tip ti A v B cựng nhỡn CD gúc bng Vn : tớnh gúc tớnh gúc ta dựng cỏc tớnh cht v gúc i nh; gúc k bự; gúc ph Cỏc tớnh cht v gúc ca tam giỏc; gúc v gúc ngoi Vn dng tớnh cht tng cỏc gúc tam giỏc; t giỏc Vn dng tớnh cht phõn giỏc; phõn giỏc v phõn giỏc ngoi vuụng gúc Vn dng tớnh cht ca gúc ni tip Vn dng tớnh cht cỏc tam giỏc ng dng Cỏc tớnh cht v gúc v hai ng thng song song Cỏc tớnh cht ca hỡnh thang; hỡnh thang cõn; hỡnh bỡnh hnh; hỡnh thoi; II Cỏc bt ng thc c bn : Bt ng thc Cauchy: a+b ab Cho hai s khụng õm a; b ta cú : Du "=" xóy v ch a=b Tng quỏt : Cho n s khụng õm a1,a2, an ta cú : a1 + a2 + + an n a1 a2 an n Du "=" xóy v ch a1 = a2 = = an Bt ng thc Bunhiacpski : Cho bn s thc a,b,x,y ta cú : (ax + by)2 (a2 + b2 )( x + y ) Du "=" xóy v ch ay = bx Tng quỏt : Cho hai b s (a1 , a2 , an ) v (b1 , b2 , , bn ) ta cú : (a1b1 + a2 b2 + + an bn )2 (a12 + a2 + + an )(b12 + b2 + + bn ) a a a n Du "=" xóy v ch b = b = = b vi quy c rng nu mu bng thỡ t cng n bng 3) Bt ng thc c bn: a) Cho hai s dng x, y ta luụn cú: 1 1 ( + ) x+y x y Du "=" xóy v ch x = y b) Vi mi s thc x, y ta luụn cú: x + y xy Du "=" xóy v ch x = y III Bt ng thc JENSEN : 1) Nu hm s y=f(x) cú o hm cp hai f''(x) < x (a; b) (f l hm li) thỡ Vi mi x1 , x2 , , x n (a; b) ta cú: f ( x1 ) + f ( x ) + + f ( x n ) x + x + x n (n 2) f( ) n n Du "=" xóy v ch x1 = x = = x n 2) Nu hm s y=f(x) cú o hm cp hai f''(x) > x (a; b) (f l hm lừm) thỡ Vi mi x1 , x2 , , x n (a; b) ta cú: f ( x1 ) + f ( x ) + + f ( x n ) x + x + x n (n 2) f( ) n n Du "=" xóy v ch x1 = x = = x n chng minh ng thc lng giỏc A < B (>, , ) ta cú th thc hin theo mt cỏc phng phỏp sau: Phng phỏp 1: Bin i bt ng thc cn chng minh n n mt bt ng thc hin nhiờn ỳng Phng phỏp 2: S dng cỏc bt ng thc c bn ó bit (Cụ si, BCS, ) suy bt ng thc cn chng minh II Din tớch cỏc hỡnh h b a a S = a b S=a h a a S = ah S = ah b h E a S = ah h F h a S = (a + b)h = EF.h d2 a d1 S = a h S = d1 ìd2 *********************************************** Y CH L MT S KIN THC C BN CA CHNG TRèNH TON ễN TP TT HN CC EM CN C K TI LIU V XEM THấM SCH GIO KHOA TON