15/5/2015 15 sai lầm thường gặp khi làm bài thi môn Toán — Ebook toán Thạc sĩ Nguyễn Sơn Hà –  giáo viên trường THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội – cho biết: Để không bị mất điểm môn Toán kì thi ĐH, học sinh cần chú ý: 1. Biến đổi “tương đương” trong những tình huống chỉ đúng một chiều là chiều “suy ra” Những biến đổi sau không đúng: Hai đường thẳng song song “tương đương” với hai hệ số góc bằng nhau Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABC ‘tương đương’ đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AB f(x) bằng g(x) ‘tương đương’ với đạo hàm của f(x) bằng đạo hàm của g(x) u bằng f(x) ‘tương đương’ với du bằng đạo hàm của f(x) nhân với dx Hệ hai phương trình f(x,y)=0 và g(x,y)=0 ‘tương đương’ với một phương trình a.f(x,y)+b.g(x,y)=0 (a, b là hai số thực khác 0) Hai số phức bằng nhau ‘tương đương’ với hai phần thực bằng nhau Hai số phức bằng nhau ‘tương đương’ với hai phần ảo bằng nhau… Giải pháp an toàn: Một số trường hợp thường dùng biến đổi “tương đương” là giải phương trình, giải hệ phương trình, giải bất phương trình, giải hệ bất phương trình, giải bài toán tìm điều kiện cần và đủ. Các trường hợp khác, học sinh nên biến đổi “suy ra” Tóm lại, khi khẳng định ‘Nếu A thì B’ đúng và khẳng định “Nếu B thì A” sai, học sinh không được biến đổi “tương đương” 2. Thiếu điều kiện, thừa kết quả, quên kết luận Khi bài toán có biểu thức căn bậc hai, biểu thức có ẩn dưới mẫu số, biểu thức tanx, biểu thức cotx, biểu thức logarit, dạng đại số của số phức, học sinh cần hình thành ‘phản xạ có điều kiện’ và kiểm tra lại điều kiện trước khi viết đáp số data:text/html;charset=utf­8,%3Cdiv%20class%3D%22summary%22%20style%3D%22box­sizing%3A%20border­box%3B%20color%3A%20rgb(68%2C%20… 1/5 15/5/2015 15 sai lầm thường gặp khi làm bài thi môn Toán — Ebook toán Với những bài toán cần xét nhiều trường hợp, học sinh cần chú ý tổng hợp kết quả và kết luận 3. Gạch đầu dòng tùy tiện Nếu học sinh gạch đầu dòng liền trước một biểu thức thì có thể bị hiểu là: nhầm dấu của biểu thức Ví dụ: Giải phương trình sinx + cosx = 1. Nếu học sinh gạch đầu dòng là ” – sinx + cosx = 1″ thì sẽ bị hiểu nhầm là ‘biểu thức trừ sinx cộng với cosx bằng 1’ 4. Viết lời giải bài toán như một ‘đoạn văn’ dài, không chia ý rõ ràng và làm sai ở câu cuối cùng của đoạn mình viết Học sinh nên chia ý rõ ràng và xuống dòng khi kết thúc các ý, nếu sai ý sau thì vẫn được chấm điểm ý trước Mỗi bài toán thi đại học thường được tính 1 điểm và đáp án thường có 4 ý, mỗi ý 0,25 điểm Các học sinh cần chú ý điều này để trình bày các ý rõ ràng 5. Viết nhầm lẫn các chữ, các kí hiệu Học sinh chú ý phân biệt các chữ, các kí hiệu sau khi viết bài thi: Chữ i và số 1, chữ b và số 6, chữ z và số 2, chữ D và chữ P, chữ D và chữ O, chữ P và chữ O, chữ H và chữ A, chữ g và chữ y, chữ g và chữ q, chữ q và số 9, chữ C và dấu ngoặc đơn ( , chữ C và kí hiệu chỉ quan hệ tập hợp con, dấu ngoặc đơn ( và kí hiệu chỉ quan hệ tập hợp con, chữ u và chữ v, chữ u và chữ n, dùng chung kí hiệu chỉ quan hệ tập hợp con và kí hiệu chỉ quan hệ phần tử thuộc tập hợp, chữ a và kí hiệu góc anpha 6. Dùng chung tên điểm tại hai vị trí khác nhau data:text/html;charset=utf­8,%3Cdiv%20class%3D%22summary%22%20style%3D%22box­sizing%3A%20border­box%3B%20color%3A%20rgb(68%2C%20… 2/5 15/5/2015 15 sai lầm thường gặp khi làm bài thi môn Toán — Ebook toán Bài toán phương pháp tọa độ, học sinh thường có thói quen gọi tâm đường tròn là O, gọi tâm mặt cầu là O. Các em cần chú ý rằng, O là gốc tọa độ. Trong trường hợp dùng chung tên điểm, các em không nên vội vàng xóa, có thể khắc phục nhanh sự cố bằng cách thêm dấu phẩy vào điểm đó, ví dụ O’ 7. Tính toán sai, sử dụng kết quả sai để làm tiếp Học sinh cần chú ý cẩn thận trong từng phép tính, tránh tình trạng tính toán vội vàng rất nhiều phép tính rồi mới kiểm tra từ đầu và sửa sai từ đầu 8. Lập phương trình sai, sử dụng máy tính để tìm chính xác nghiệm của phương trình đó và yên tâm kết luận Học sinh cần chú ý kiểm tra kĩ phương trình trước khi dùng máy tính để tìm nghiệm, tránh tình trạng quá tin tưởng máy tính mà quên mất là phương trình sai 9. Nhập sai số liệu vào máy tính điện tử và yên tâm dùng kết quả của máy tính Học sinh không nên chủ quan khi dùng máy tính, cần kiểm tra cẩn thận các số liệu khi nhập vào máy tính 10. Sử dụng máy tính điện tử để tìm nghiệm dưới dạng gần đúng Khi đáp số được viết dưới dạng phân số hoặc dạng căn bậc hai, dạng logarit của một số dương, nếu máy tính cho kết quả là một số thập phân gần đúng thì vẫn không được chấp nhận với bài toán yêu cầu tìm đúng kết quả. Học sinh cần chú ý thử máy tính trước khi đi thi 11. Đọc nhầm đề dẫn đến một bài toán dễ hơn, tính toán nhanh hơn, giải được bài toán mới và yên tâm không kiểm tra lại đề bài Học sinh cần đọc đề kĩ, xác định đúng yếu tố đã cho, điều phải tìm, điều phải chứng minh 12. Sử dụng đúng giả thiết và mất thời gian đưa ra kết quả mới không liên quan gì đến kết luận của bài toán data:text/html;charset=utf­8,%3Cdiv%20class%3D%22summary%22%20style%3D%22box­sizing%3A%20border­box%3B%20color%3A%20rgb(68%2C%20… 3/5 15/5/2015 15 sai lầm thường gặp khi làm bài thi môn Toán — Ebook toán Học sinh phải rất cảnh giác với những tình huống ‘lạc đề’, suy luận đúng nhưng không để làm gì, không phục vụ cho việc giải bài toán trong đề thi 13. Mất thời gian làm đúng một bài toán không liên quan đến bài toán trong đề thi Tình huống có thể xảy ra với học sinh và không có điểm Bài toán trong đề thi: Chứng minh biểu thức A lớn hơn biểu thức B. Học sinh mất thời gian chứng minh được biểu thức A lớn hơn biểu thức C nhưng không biết biểu thức C lại nhỏ hơn biểu thức B 14. Sử dụng kết quả không được quy định trong chương trình Kết quả được sử dụng để giải bài thi phải phù hợp với sách giáo khoa chương trình hiện hành Khi học sinh thừa nhận kiến thức không được quy định trong chương trình, học sinh làm đúng, bài thi vẫn không được tính điểm tối đa Nếu các học sinh giỏi sử dụng kết quả ngoài sách giáo khoa thì phải chứng minh lại các kết quả đó bằng kiến thức trong sách giáo khoa Khi chọn đề theo chương trình ban cơ bản, học sinh đã học sách giáo khoa ban nâng cao có thể không biết những kết quả mình sử dụng không có trong sách giáo khoa ban cơ bản. Học sinh cần tìm hiểu trước những kiến thức có trong sách giáo khoa ban nâng cao nhưng không có trong sách giáo khoa ban cơ bản 15. Nghĩ được cách giải, học sinh có thể vui mừng và chủ quan, không kiểm soát được mình viết đúng hay viết sai, không cẩn thận trong việc viết kết quả Học sinh không có cơ hội gặp giám khảo để giải thích suy nghĩ của mình. Khi đi thi, các em không thể bằng lòng sớm với việc phát hiện ra cách giải. Khi ngồi trong phòng thi, yếu tố tâm lí có thể làm cho các em không viết được chính xác những điều đã suy nghĩ Học sinh cần chú ý data:text/html;charset=utf­8,%3Cdiv%20class%3D%22summary%22%20style%3D%22box­sizing%3A%20border­box%3B%20color%3A%20rgb(68%2C%20… 4/5 15/5/2015 15 sai lầm thường gặp khi làm bài thi môn Toán — Ebook toán – Ba yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến kết quả thi là: kiến thức, kĩ năng và tâm lí – Ba nguyên tắc quan trọng khi viết bài thi để có thể đạt điểm cao là: 3 Đ: Đúng – Đủ – Đẹp 1) Học sinh phải viết đúng kí hiệu, viết đúng công thức, vẽ hình đúng, lập luận đúng, kết quả 2) Học sinh phải viết đủ ý 3) Học sinh phải trình bày đẹp, diễn đạt tốt data:text/html;charset=utf­8,%3Cdiv%20class%3D%22summary%22%20style%3D%22box­sizing%3A%20border­box%3B%20color%3A%20rgb(68%2C%20… 5/5 TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357) NHỮNG ĐIỂM CẦN CHÚ Ý KHI LÀM BÀI THI ĐH&CĐ MÔN TOÁN Kỳ thi ĐH&CĐ đến gần, sách “Những điều cần biết” để em chọn cho ngành học phù hợp có thêm “những điều cần biết” khác là: Các kiến thức cần ý làm thi Vì giảm tải chương trình, cấu trúc đề thi ĐH&CĐ nên Bộ GD&ĐT hạn chế bớt số kiến thức hay số phương pháp giải khác so với năm đề thi riêng trước Song nhiều tài liệu, nhiều giáo viên vùng sâu vùng xa bị ảnh hưởng phương pháp trình bày Điều đáng ý chưa có sách hay tài liệu đáng tin cậy viết vấn đề cho em học sinh Chính lí sau đây xin nêu lên số điểm ý làm thi môn Toán Đó kiến thức em không áp dụng trình làm bài, hay áp dụng em áp dụng A PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH: Vấn đề hàm ngược hàm lượng giác: Chúng ta thấy giải phương trình lượng giác, tính tích phân xác định có số không đổi ngược lại thành góc đặc biệt nên người ta nghĩ đặt tên cho số là: arcsin α , arccos α , arctan α , arc cot α Nhưng ngày không áp dụng cách viết mà đặt góc α hay β biểu thị qua hàm lượng giác chúng • Ví dụ 1: Khi giải PT lượng giác đến chỗ s inx = ta suy  x = α + k 2π  x = π − α + k 2π ; k ∈ ¢ sin α =  10 điểm ý làm thi ĐH&CĐ môn Toán Page TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357) • Ví dụ 2: Khi tính tích phân ta đổi cận thấy tích phân I = ∫ dx đặt x +7 x = tan t ⇒ t = arctan để đổi cận Nhưng ta không dùng arctan mà ta đặt α β 1    tan α =  tan α = 7 cho:  Khi ta có kết là: I = ( β − α ) ; với   tan β =  tan β =   7 Vấn đề sử dụng định lí đảo “ ĐL dấu tam thức bậc 2”: Ta thấy có nhiều toán cần đến kiến thức này, toán phụ khảo sát hàm số như: Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu đoạn Hay hàm số đạt cực trị thõa mãn ràng buốc Nếu áp dụng ĐL đảo “ĐL dấu tam thức bậc 2” thuận tiện Nhưng Bộ GĐ không cho dùng Song lại có không dùng định lí giải Vậy làm nào? Sau giải pháp • Giải pháp: ( Tịnh tiến áp dụng tổng tích nghiệm) Nếu toán sau chuyển ngôn ngữ PT bậc là: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm x1 ≤ x2 thỏa mãn điều kiện: Hoặc x1 ≤ x2 ≤ α x1 ≤ α ≤ x2 α ≤ x1 ≤ x2 thông thường nghĩ đến việc áp dụng ∆;af ( α ) ; S để giải lại  y1 = x1 − α chuyển điều kiện x1 ≤ x2 ≤ α x1 ≤ α ≤ x2 α ≤ x1 ≤ x2 thành   y2 = x − α Lúc toán trở đặt y = (x – α) sau biến đổi đưa PT bậc biến y tham số m thõa mãn điều kiện: ∆ y ≥   Tương ứng với x1 ≤ x2 ≤ α là: ≤ y1 ≤ y2 ⇒  S = y1 + y2 ≥ P = y y ≥   ∆ y ≥  Tương ứng với x1 ≤ α ≤ x2 là: y1 ≤ ≤ y2 ⇒   P = y1 y2 ≥ 10 điểm ý làm thi ĐH&CĐ môn Toán Page TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357) ∆ y ≥   Tương ứng với α ≤ x1 ≤ x2 là: y1 ≤ y2 ≤ ⇒  S = y1 + y2 ≤ P = y y ≥  • Ví dụ: Tìm a để hàm số: y = x − 3(m + 1) x + 3(m + 1) + nghịch biến ( −∞;1) Giải: Ta có: y ' = x − 6(m + 1) x + 3(m + 1) Để hàm số nghịch biến ( −∞;1) BPT x − 6(m + 1) x + 3(m + 1) < với x ∈ ( −∞;1) Đến tất nhiên em sử dụng PP hàm số cô lập m sang vế tìm Min, Max hàm số vế Song làm sau: Ta thấy PT: x − 6(m + 1) x + 3( m + 1) = ( * ) vô nghiệm không thõa mãn a =3 > nên (*) phải có nghiệm x1 ≤ x2 thỏa mãn điều kiện: x1 ≤ x2 ≤ Đặt y = x – ⇔ ( y + 1) − 6( m + 1) ( y + 1) + 3( m + 1) = ⇔ y + ( m + ) y + 3m + = (**) ∆ y ≥  Khi PT ( ** ) có ngiệm thõa mãn y1 ≤ y2 ≤ ⇒  S = y1 + y2 ≤ P = y y ≥    Δ ' = ( m + 1) − (m + 1) = m ( m + 1) ≥  m ≤ −1; m ≥   ⇔  −2 ( m + ) ≤ ⇔ m ≥ −4 ⇔ −4 ≤ m ≤ −   m + ≥ m ≥ −   3 Vấn đề sử dụng định lí Viet cho phương trình bậc 3: Ta thấy toán tương giao hàm bậc hay toán cực trị hàm bậc có toán dẫn đến việc tính theo tham số m giá trị biểu thức chứa x1; x2; x3 Chúng ta nghĩ đến ĐL Viet cho PT bậc 3, song Bộ GD&ĐT không cho nói áp dụng ĐL Viet cho PT bậc Vậy giải đây? • Giải pháp: Chúng ta áp dụng ĐL Viet cho PT bậc 3, song lại chứng minh lại ĐL Như làm toán dựa theo phương pháp chứng minh ĐL Viet cho PT bậc Sau ví dụ xin trích từ đề thi ĐH năm 2010 vừa qua sau: 10 điểm ý làm thi ĐH&CĐ môn Toán Page TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357) • Ví dụ: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m)x + m cắt trục hoành 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện x1 + x2 + x3 < Giải: Sau tìm điều kiện để PT x3 − 2x2 + (1 − m)x + m = có nghiệm phân biệt x1, x2, x3 ta có: x3 − 2x2 + (1 − m)x + m = (x – x1)(x – x2)(x – x3)  x1 + x2 + x3 = −2  = x + x ( x1 + x2 + x3 ) + x ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) + x1 x2 x3 ⇒  x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = − m x x x = m  3 ⇒ x12 + x22 + x32 = ( x1 + x2 + x3 ) − ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) = + ( m − 1) < ⇔ m < Kết hợp với điều kiện m để PT có nghiệm phân biệt x1, x2, x3 ta có kết cuối  − ≤ m ≤ là:  Bài toán nhẩm nghiệm trước x = nên đưa PT bậc  m ≠ nên đơn giản ( Cách bạn xem đáp án Bộ GD nhé) Vấn đề sử dụng điều kiện nghiệm kép: Trong nhiều toán tiếp xúc Bộ GD không cho sử dụng điều kiện nghiệm kép để giải toán Vấn đề chuyển hướng giải vấn đề nói nhiều cách 6, năm nhiều tài liệu bắt đầu chuyển dần sang hướng Tôi xin nhắc lại cho bạn sau: • Bài toán tổng quát: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x) tiếp xúc với Trước người ta tìm điều kiện tham số m để PT hoành độ: f(x) = g(x) có nghiệm kép Nhưng người ta chuyển điều kiện thành:  f ( x ) = g ( x ) Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm Khi g(x) hàm bậc ta có  f ' ( x ) = g ' ( x ) tiếp tuyến, f(x) g(x) hàm khác tiếp xúc đường cong Cùng xem xét ví dụ nhé! • Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) : y = x3 − x + biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y − x + = Giải: 10 điểm ý làm thi ĐH&CĐ môn Toán Page TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho có phương trình dạng: (d ) : y = − x +a   x − x + = − x + a Điều kiện để (d) (C) tiếp xúc là: hệ  có nghiệm 3x − x = −   x = →a=  2 Từ 3x − x = − ⇒ x − 18 x + = ⇒  x = → a =  29 27 61 27 29 61 Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn toán: (d1 ) : y = − x + (d ) : y = − x + 27 27 • Ví dụ 2: : Tìm m để đường cong y = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 2m2 + m y = 2x3 –10x2 +10x+1 tiếp xúc với Giải: Gọi x hoành độ tiếp điểm Khi ta có hệ sau: x 40 - 6x30 +12x 20 - 14x + 2m + m=2x 30 - 10x 20 + 10x + 1(1)  2 4x - 18x + 24x -14=6x - 20x + 10(2) Ta thấy (2) ⇔ 4x 30 + 24x 20 + 44x − 24 = ⇔ x30 − 6x 20 + 11x − = ⇔ ( x - 1)( x - 2)( x - 3) = ⇔ x = x = x = m = - Nếu x = Thay vào (1) ta có: 2m + m – = ⇔ 2m + m – 10 = ⇔  m = −  2 −1 ± 57 - Nếu x = Thay vào (1) ta có: 2m2 + m – = ⇔ m = - Nếu x = Thay vào (1) ta có: 2m2 + m – 10 = (Quay trường hợp x = 1) Vậy giá trị cần tìm m : m = , m = − 5 −1 ± 57 , m = Vấn đề sử dụng phương pháp tính nhanh cực trị hàm phân thức đa thức: 10 điểm ý làm thi ĐH&CĐ môn Toán Page TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357) Chúng ta biết tính trực trị hàm số điểm đạt cực trị số nguyên cụ thể tính đơn giản Nhưng số vô tỷ phức tạp, chí có tham số hay viết PT đường thẳng qua CĐ CT áp dụng “ Bổ đề” sau Và cần chứng minh lại bổ đề áp dụng thi Việc nhớ cách chứng minh không khó khăn đâu bạn à, áp dụng cách tính đạo hàm thôi, mà đạo hàm chẳng biết tính • Bổ đề 1: ( Với hàm đa thức)  Hàm bậc 3: - Bước 1: Thực phép chia f (x) cho f ′(x) ta có: ( ) ( ) ( f ( x ) = x + b f ′ ( x ) + c − b x + d − bc 9a 3a 9a ) hay f ( x ) = f ′ ( x ) q ( x ) + r ( x ) với bậc r ( x ) = ( ) ( ) ( ) -  c − b x + d − bc y = f x = r x = ( ) ( ) 1  f ′ ( x1 ) =  3a 9a   nên  Bước 2: Do   f ′ ( x ) =  b2 bc  y = f ( x ) = r ( x ) = c − 3a x + d − 9a - Hệ quả: Đường thẳng qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y = r(x) ( ) Đối với hàm số tổng quát : y = f (x) = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) đường thẳng qua cực 3( đại, cực tiểu có phương trình: y = c − b 3a ) x + ( d − 9bca )  Hàm bậc 4: Giả sử f ′(x) triệt tiêu đổi dấu x = x0, f (x) đạt cực trị x0 với số cực trị f ( x ) = ax 04 + bx 03 + cx 02 + dx + e Trong trường hợp x0 số vô tỉ cực trị f (x0) tính theo thuật toán: f ( x) = q ( x) f ′( x) + r ( x) • - Bước 1: Thực phép chia f (x) cho f ′(x) ta có: - Bước 2: Do f ′(x0) = nên f (x0) = r(x0) - Hệ quả: Các điểm cực trị hàm bậc 4: y = f (x) nằm y = r(x) ↓ BËc ↓ ↓ BËc BËc Bổ đề 2: ( Với hàm phân thức) 10 điểm ý làm thi ĐH&CĐ môn Toán Page TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357) Nếu hàm số y = u ' ( x0 ) u ( x) ; v ( x ) ≠ đạt cực trị x = x0 , y(x0) = v ( x) v ' ( x0 ) Chứng minh: Ta có: y = y' ( x ) = u 'v − v 'u để hàm số đạt cực trị x = x0 v2 u ' ( x0 ) v ( x0 ) − v ' ( x0 ) u ( x0 ) ⇔ y ( x0 ) = v ' ( x0 ) u ( x0 ) v ( x0 ) = u ' ( x0 ) v ' ( x0 ) Áp dụng: Nếu hàm số y = = ⇔ u ' ( x0 ) v ( x0 ) − v ' ( x0 ) u ( x0 ) = ⇒ ĐPCM u ( x) đạt cực trị x1; x2 giá trị cực trị là: v ( x)  u ' ( x1 )  y1 = f ( x1 ) = v ' ( x1 ) u '( x)  đường thẳng qua CĐ CT có phương trình là: y =  v '( x) u '( x2 )   y2 = f ( x2 ) = v '( x2 )  Vấn đề em tự tìm cho ví dụ nhé! Vấn đề sử dụng quy tắc L’Hopital tích phân để tính giới hạn: Về vấn đề mang tính chất nâng cao chút hoàn toàn kiến thức chương trình ĐH liên quan đến giới hạn – nội dung nằm cấu trúc đề thi ĐH&CĐ Xin cảnh báo bạn học chuyên Toán bạn thi đội tuyến HSG môn Toán rằng: Trong trình ôn thi đội tuyển bạn đương trang bị thêm phương pháp tính giới hạn PP phổ thông nói là: Dùng quy tắc L’ Hopital dùng tích phân Tôi xin nêu lại phương pháp sau: • Quy tắc L’ Hopital: Khi x → ∞ hay x → giới hạn: lim x →∞ • u ( x) u '( x) u ( x) u '( x) = lim = lim lim x →∞ x → x → v ( x) v '( x) v ( x) v '( x) Quy tắc tích phân: Sn Xét toán: Cho S n = u1 + u2 + + un Tính lim x →∞ 10 điểm ý làm thi ĐH&CĐ môn Toán Page TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357) Giải quyết: Giả sử f(x) liên tục [a;b] với phép phân hoạch π đoạn [a;b] ( ) ax ( xi − xi −1 ) ta có: cách chọn điểm ξi ∈ [ xi −1 ; xi ] , i = 1; n Đặt: d = M 1≤i ≤ n b n lim ∑ f ( ξi ) ( xi − xi −1 ) = ∫ f ( x ) dx Từ ta tính giới hạn tổng nhờ tích phân d →0 i =1 a theo quy trình sau đây: Bước 1: Biến đổi tổng giới hạn biểu thức: S n = - Bước 2: Xây dựng hàm f(x) khả tích đoạn [a;b] b - Bước 3: Tính tích phân ∫ a b−a n ∑ n i =1 - b−a   f a +i ÷ n   b f ( x ) dx ⇒ lim S n = ∫ f ( x ) dx x →∞ a Vấn đề sử dụng Bất Đẳng Thức: Bất đẳng thức trở thành vấn đề nan giải nhiều bạn Tất nhiên có cấu trúc đề thi ĐH&CĐ chí ẩn số toán khác Song cần phải biết kể từ áp dụng BĐT Cauchy (Côsi) trình làm thi mình, bất đẳng thức quen thuộc khác như: Bunhiacôpxki , BĐT Trebưsep, BĐT Svacxơ, BĐT Becnuli, BĐT Mincopxki, BĐT Jensen… không áp dụng chứng minh lại BĐT vận dụng Về BĐT áp dụng phương pháp: PP tam thức bậc 2, PP biến đổi tương đương, PP phản chứng, PP hàm số, PP hình học, PP lượng giác hóa áp dụng BĐT Côsi với hệ mà ta chứng minh làm hệ quả: • Các hệ BĐT Côsi: - 1 1 Hệ 1: Cho số thực dương x; y đó: ( x + y )  + ÷ ≥ x y - 1 1 Hệ 2: Cho số thực dương x; y; z đó: ( x + y + z )  + + ÷ ≥ x y z Vấn đề sử dụng BĐT tích phân BPT lượng giác: Về vấn đề Bộ SGK không đề cập đến đọc thêm Song nhiều tài liệu viết loại toán Chính lí không học nên không thi vào Song đọc tài liệu có loại xin bạn đừng dùng vào 10 điểm ý làm thi ĐH&CĐ môn Toán Page TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357) trình làm thi Tôi xin nhắc lại đôi chút dạng toán để bạn đề phòng nhé! • Bất đẳng thức tích phân: Định lí: Nếu f(x) g(x) liên tục đoạn [a,b] f ( x ) ≤ g ( x ) , ∀x ∈ [a, b] b b a a ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ g ( x ) Dấu “=” xảy ⇔ f ( x ) ≡ g ( x ) , ∀x ∈ [a, b] • Bất phương trình lượng giác: Có nhiều tìm điều kiện ẩn sau đặt ẩn phụ dẫn đến bất phương trình lượng giác Trước SGK cũ có dạy cách giải BPT lượng giác Song ngày không Vậy gặp trường hợp phải làm nào? • Hướng giải quyết: Chẳng hạn toán là: Tìm điều kiện tham số m để PT có nghiệm mà đặt t = sinα ta đến BPT sinα > a (a ∈ [ −1;1] ) Ví dụ a = BPT: sin α > Ta gải bạn dựng đường lượng giác xác định rõ trục sin, cos, tan cot Sau xác định miền nghiệm:Lúc miền nghiệm cung bé từ π 5π → 6 5π π  + k 2π  Vậy α ∈  + k 2π ; 6  B PHẦN HÌNH HỌC: Vấn đề sử dụng PHƯƠNG TRÌNH CHÙM: Vấn đề hay, trước SGK dành riêng nói phương pháp làm Liên quan đến chùm ta có: Chùm đường thẳng qua điểm hình học giải tích phẳng, chùm mặt phẳng nhận đường thẳng cho trước làm giao tuyến, chùm đường tròn qua điểm… Sau xin nói lại chùm mặt phẳng hay dùng toán hình giải tích không gian Nhưng Bộ GD&ĐT hạn chế Chúng ta làm nào? 10 điểm ý làm thi ĐH&CĐ môn Toán Page TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357) •  Ax + By + Cz + D = PP chùm mặt phẳng: Cho đường thẳng d có PT:   A'x + B ' y + C ' z + D ' = Khi PT chùm mặt phẳng chứa đường thẳng d có dạng: α ( Ax + By + Cz + D ) + β ( A'x + B ' y + C ' z + D ' ) = , α + β > (α β không đồng thời 0).Ta thường dùng công thức để viết PT mặt phẳng xác định đường thẳng d điểm A (Tham số m PT chùm tìm cách điểm A PT) • Cách giải quyết: Nếu cần lập PT mặt phẳng ta coi mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là: (a;b;c) (a;b;c) khác (0;0;0) Khi ta chọn số lớn {a,b,c} Giả sử a số lớn ta chia số cho a, điều làm vectơ điểm Ta lại vectơ pháp tuyến có dạng (1;m;n) Đến khai thác kiện ta có m n lập PT mặt phẳng cần tìm Sau ví dụ so sánh cách giải này: • Ví dụ: Cho điểm A(- 1; 2; 3) Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng  x − y − = d:   z − = • khoảng cách từ A đến (P) Cách 1: (Dùng chùm) Do d thuộc mp (P) nên (P) có dạng: α ( 2x - y - 1) + β ( z − 1) = ⇔ 2αx − αy + β z − β = , α2 + β2 > Vì d(A,(P)) = nên: ⇔ ( 2α + β ) = ⇔ • −2α − 2α + 3β − β 2 4α + α + β ( ) = ⇔ ( 2β − 5α ) = 5α + β ⇔ 20α + 20αβ + 5β = α = − Chọn α = 1; β = - Ta có (P): 2x – y – 2z + = β Cách 2: (PP khác) r Gọi vtpt (P) là: n( P ) = ( a; b; c ) ≠ ( 0;0;0 ) ⇒ Giả sử r  a c a = Min { a; b; c} ⇒ n ( P ) ↑↑ 1; ; ÷ = ( 1; m; n )  b b r r r Do u d ⊥ n( P ) ⇒ 2m + = với u d = ( −1; −2;0 ) ⇒ m = − Do điểm M(1;1;1) thuộc d nên M thuộc (P) lúc (P) có dạng: ( x − 1) − ( y − 1) + n ( z − 1) = ⇔ x − y + 2nz − ( 2n + 1) = 10 điểm ý làm thi ĐH&CĐ môn Toán Page 10 TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357) Do d(A,(P)) = nên: 4n − 4n + = ⇔ ( n + 1) = ⇔ n = −1 Vậy ta có (P): 2x – y – 2z + = Vấn đề sử dụng TÍCH HỐN TẠP: Trong hình học giải tích phẳng ta gặp toán xác định vị trí tương đối đường thẳng hay thể tích, khoảng cách… sử dụng công thức tích hỗn tạp Có nhiều tài liệu viết cách tính tích hỗn tạp Song xin khẳng định rằng: Chương trình bạn làm quen với “ Định thức cấp II” thôi, chưa học đến cấp III nên thi bạn không dùng cách tính định thức cấp III Mà bạn phải tính dần dần: Tích có • - hướng tìm vectơ tích trước, sau nhân vô hướng có kết quả: r  a = ( 1; 2;3)  r Ví dụ: Chứng minh vectơ sau đồng phẳng: b = ( 1;1;1) r c = ( 2;3; ) Nếu áp dụng cách tính định thức cấp bạn cần chứng minh cho định thức: 1 = ( 1.1.4 + 1.3.3 + 2.1.2 ) − ( 3.1.2 + 1.2.4 + 1.3.1) = 17 − 17 = => ĐPCM r r 2 3 1 2 ; ; Thay việc làm ta tìm tích có hướng  a ∧ b  =  ÷ = ( −1; 2; −1) 1 1 1 1 r r r Khi  a ∧ b  c = - + – = => ĐPCM  Thay lời kết: Quả thực tham khảo nhiều tài liệu đương nhiên bị ảnh hưởng tài liệu Tài liệu lại nhiều, có, cũ có, viết theo lối cũ có Bởi em cần biết chọn cho tài liệu tham khảo cho phù hợp Trên 10 điểm ý làm thi môn Toán em nên biết để không bị điểm Thực mà nói Bộ GD&ĐT nói không dùng PP hay PP chưa có tài liệu Bộ GD ban hành vấn đề này, nói rõ lí không dùng Trên rút kinh nghiệm thân qua đáp án thi môn Toán Khối A, B, D đề thi ĐH&CĐ qua năm vừa qua, với kinh nghiệm số thầy giáo khác Một số ý kiến khác… Tôi xin ghi chép, tổng hợp cẩn thận để bạn yên tâm đứng vào 10 điểm ý làm thi ĐH&CĐ môn Toán Page 11 TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357) gianh giới “ không được” Sẽ đáng tiếc gọi “ Không biết tội” Mong em đạt kết cao nhất!  Giáo viên hocmai.vn: Trịnh Hào Quang  Birthday: 09 – 09 – 1987  Numberphone: 094 – 2222 – 408  Email: Quangth@hocmai.vn ( Haoquang170787@gmail.com)  Yahoo: ladieubong_q  Ola: Quanglyly  From: Thanh Hoa City 10 điểm ý làm thi ĐH&CĐ môn Toán Page 12