Bài giảng tích phân phạm kim chung

24 324 0
Bài giảng tích phân   phạm kim chung

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc Sở GD & Đt nghệ an Trờng THPT Đặng thúc hứa sin4x + cos2x co m sin x + cos x dx oc uo c tích phân 6 dx ( x +1) - ( x -1) I= = dx = x +1 x +1 Tổ : Toán kh on gb Giáo viên : Phạm Kim Chung Năm học : 2007 - 2008 " 12 giảng tích phân  Phạm Kim Chung om Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 c Thực mặt đất lm có đờng, ngời ta thnh đờng ! - Lỗ Tấn - = (x + 1) - ( 2x x2 + dx + x + 2x + ( ) 2 ) -1 gb oc u dx x8 + Thử giải bi toán khó nhng cha thật hi lòng ! ( x + 1) - ( x - 1) ( x + 1) ( x - 2x + 1) + ( - 1) x (x = dx = dx + 4 (x ( x + 1) x (x oc Viết ti liệu khó, để viết cho hay cho tâm đắc lại đòi hỏi đẳng cấp thực ! Cũng may t tởng lớn nh viết sách, không hy vọng điều lớn lao biết lực môn Toán l có hạn Khi có ý tởng viết điều gom nhặt đợc mong qua ngy lĩnh hội sâu môn Toán sơ cấp qua tiết học học trò bớt băn khoăn, ngơ ngác V đọc bi viết ny nghĩa l có ngời thầy, ngời bạn chung niềm đam mê diệu kì Toán học + 1) - ( 2x ) 2 )( ) - 2x + x + 2x + dx + 2 ( ) ( ) - 1) x - 2x + + + x dx 2 x + 2x ( ) ( ) x2 - dx + x + 2x + ( ) +1 (x (x - 1) x )( ) - 2x + x + 2x + 1 1 1+ 1- 1+ dx - dx -1 + 1 x x x x = dx + + dx + 2 2 2 2 1 1 x + - + x + - - x - + - x - + + x - +2+ x + - 2- x x x x x x 1 1 1 dx - dx - dx + dx + dx + dx - 2 + + 1 x x x x x x + + + = 2 2 2 2 4 4 1 1 1 x - + - x - + + x + - + x + - - x + - 2- x - +2+ x x x x x x ( ) ( ) ( kh ) ( 1 x + - 2- x + - 2+ 2+ 2- 2- 2 + x x = u+ v+ ln + ln +C 1 8 16 16 x + + 2- x + + 2+ x x _ ) ( ( ) on ( ( Tháng 12 năm 2007 ( Với x - ) ) ( ) ( ( = + tgu = - tgv x ) ) ) ( ) ) (Nếu dùng kết ny để suy ngợc có tìm đợc lời giải hay ? ) (Trang Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc 12 Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Phần lý thuyết b Công thức Newton Laipnit : f ( x )dx = F (x) x dx = Ví dụ : co a b = F(b) F(a) a x3 1 = (1 03 ) = 3 b f ( x )dx phụ thuộc v f, a v b m không phụ thuộc vo kí hiệu biến số tích phân Vì ta a b viết : F(b) F(a) = f ( x )dx = b b a a f ( t )dt = f ( u )du a a f ( x )dx = a b a a b f ( x )dx = - f ( x )dx b oc uo Các tính chất tích phân c Chú ý : Tích phân m Định nghĩa : Giả sử f(x) l hm số liên tục khoảng K, a v b l hai phần tử K, F(x) l nguyên hm f(x) K Hiệu số F(b) - F(a) đợc gọi l tích phân từ a đến b f(x) v đợc kí hiệu l b b a f ( x )dx Ta dùng kí hiệu F ( x ) a để hiệu số : F(b) F(a) b b a a f ( x ) g ( x )dx = f ( x )dx g ( x )dx a e e e e e VD : 2x + dx = xdx + dx = x + ln x = ( e2 1) + (1 ) = e2 + 1 x x 1 c b c a gb f ( x )dx = f ( x )dx + f ( x )dx a b VD : x dx = 1 1 x dx + x dx = xdx + xdx = x2 x2 + =1 2 b on f(x) đoạn [a ; b] f ( x )dx b f(x) g(x) đoạn [a ; b] kh b f ( x )dx g ( x )dx a a VD : Chứng minh : a 0 sin2xdx sinxdx b m f(x) M đoạn [a ; b] m(b a) = m dx a b b a a f ( x )dx M dx = M(b a) VD : Chứng minh : x + dx x đoạn [1; 2] ta có : max y = ; y = HD Khảo sát hm số y = x + [1;2] [1;2] x ê 0974.337.449 _ Tháng 12 năm 2007 _ Trang Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc 12 Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 2 2 2 5 Do : dx x + dx dx 2x x + dx x x + dx 1 x x x 1 1 m Phần phơng pháp b b a a c co Phơng pháp đổi biến số : t = v(x) x dx VD Tính tích phân : I = x +1 Đặt : t = x + Khi x= t=1, x=1 t=2 dt Ta có : dt = 2xdx = xdx Do : 2 x dt I= dx = = ln t = ln 2 21 t x +1 f ( x )dx = g ( v ( x ) )v' ( x ) dx Quy trình giải toán oc uo Bớc Đặt t = v(x) , v(x) có đạo hm liên tục, đổi cận Bớc Biểu thị f(x)dx theo t v dt : f(x)dx = g(t)dt v ( b) Bớc Tính g ( t )dt v(a) Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính tích phân sau : e2 e 2 dx ( 2x 1) 1 dx sin3 x gb dx x ln x x dx x + dx ( 2x + 1) x +1 4 dx x (1 + x xdx x ) Phơng pháp đổi biến số : x = u(t) on sinx O kh VD Tính tích phân : cosx x dx Đặt x = sint t ; Khi x=0 t=0, x=1 t= 2 Vậy với x = sint x 0;1 t 0; v dx = costdt Do : x dx = sin t cos tdt = cos t cos tdt = cos tdt = + cos 2t 1 dt = t + sin 2t = = 2 b Quy trình giải toán f ( x )dx a Bớc Đặt x = u(t), t ; cho u(t) có đạo hm liên tục đoạn ; , f(u(t)) đợc xác định đoạn ; v u ( ) = a; u ( ) = b ê 0974.337.449 _ Tháng 12 năm 2007 _ Trang Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc 12 Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Bớc Biểu thị f(x)dx theo t v dt : f(x)dx = g(t)dt g ( t )dt Bớc Tính dx + x2 x x 2 x dx x + x dx 5+x dx ( Đặt x=5cos2t) 5x Phơng pháp đổi biến số : u(x) = g(x,t) VD1 Tính tích phân : I = dx + x +1 co x 1 dx m Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính tích phân sau : + x dx c t2 2t t2 + Khi x =0 t= -1, x=1 t= v dx = dt Do : 2t 2 2 t + 2t + 1 1 t2 t2 + I= dt = dt tdt dt dt = = + + 2t 2t t t t 1 Đặt = + x = x - t = -2xt + t x = oc uo Cách (1) t2 1 = ln ln t + 8t 1 ( ) + 2 Cách (2) : Đặt x=tgt , x 0;1 nên ta chọn t 0; Khi x=0 t=0, x=1 t = dt Do : v dx= cos2 t + x dx = 1 + tg t dt = cos t 4 1 cos t dt dt dt = = = cos t cos t cos t cos t gb d ( sin t ) (1 sin t ) 2 = 1 (1 sin t ) + (1 + sin t ) 14 = + d ( sin t ) = d ( sin t ) = (1 sin t )(1 + sin t ) (1 sin t ) (1 + sin t ) on d ( sin t ) 1 d (1 sin t ) 4 d (1 + sin t ) = = + + + d ( sin t ) = (1 sin t ) (1 + sin t ) (1 sin t ) (1 sin t )(1 + sin t ) (1 + sin t )2 1 1 + sin t sin t 1 + sin t = ln + = ln + = + ln 4 4 2 sin t + sin t sin t cos t sin t ) kh ( Bình luận : Bi toán ny giải đợc phơng pháp tích phân phần Còn với cách giảI rõ rng bắt gặp cách 1) ta nghĩ chứa đựng phép tính toán phức tạp cách 2) chứa phép tính toán đơn giản Nhng ngợc lại suy đoán - cách 2) lại chứa phép tính toán di dòng v thật không tích phân cha hẳn l đợc lm đợc m lại di dòng VD2 Tính tích phân : I = ê 0974.337.449 _ 1 + x2 dx Tháng 12 năm 2007 _ Trang Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc 12 Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 t2 2t t2 + dt Do : Khi x =0 t= -1, x=1 t= v dx = 2t 2 2t t + 1 I= dt = dt = t + 2t t 1 = ln t = ln ( m + x = x - t = -2xt + t x = Đặt Cách (1) ) + x2 dx = 4 cos t 1 cos t dt = dt = dt = dt = 2 2 cos t cos t cost cos t + tg t 0 = d ( sin t ) (1 sin t ) = 1 sin t ln = ln + sin t ( c Do : ) oc uo co Cách (2) : Đặt x=tgt , x 0;1 nên ta chọn t 0; Khi x=0 t=0, x=1 t = dt v dx= cos2 t Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính tích phân sau : 1 1+ x 1dx x 4x + x2 1 dx x2 1+ dx dx 2x x x+ 0 x + 2x + 2dx xdx x2 gb Chú ý : Khi đứng trớc bi toán tích phân, bi toán no xuất nhân tử để sử dụng phơng pháp đổi biến số Có nhiều bi toán phải qua hay nhiều phép biến đổi xuất nhân tử để đặt ẩn phụ ( nói đến phần Phân Loại Các dạng Toán ) on Phơng pháp tích phân phần kh Nếu u(x) v v(x) l hai hm số có đạo hm liên tục đoạn [a; b] : b b b u x v' x dx = u x v x - v ( x )u' ( x ) dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a VD1 Tính hay b u ( x )dv = ( u ( x ) v ( x ) ) a b b - v ( x )du a a x cos xdx du = dx u=x Đặt , ta có : dv = cos xdx v = sin x ê 0974.337.449 _ Tháng 12 năm 2007 _ Trang Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc 12 Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 x cos xdx = ( x sin x ) sin xdx = + cosx = 0 u = cosx dv = xdx có đợc không ? Ta thử : x2 12 = x cos xdx cosx + x sin xdx , rõ rng tích phân 20 x m Nhận xét : Một câu hỏi đặt l đặt sin xdx phức tạp tích co phân cần tính Vậy việc lựa chọn u v dv định lớn việc sử dụng phơng pháp tích phân phần Ta xét VD để tìm câu trả lời vừa ý ! ln x VD2 Tính dx x 1 u = Ta thử đặt : x dv = ln xdx c rõ rng để tính v= ln xdx l việc khó khăn ! du = x ta có : v = dx = x5 4x 2 ln x ln ln x dx + Do : dx = + = x 4x x 64 4x 1 oc uo u = ln x Giải Đặt dv = x dx 15 ln 1= 256 64 Nhận xét : Từ VD ta rút nhận xét ( với tích phân đơn giản ) : Việc lựa chọn u v dv phải thoả mãn : du đơn giản, v dễ tính Tích phân sau ( vdu ) phải đơn giản tích phân cần tính ( udv ) x xe dx gb Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính tích phân sau : 3x xe dx e x cosxdx on x sin xdx 2 ( x 1)cosxdx e e 10 x e x dx 0 ( x ) sin 3xdx 2x ln ( x 1)dx ln xdx ( ln x ) dx kh Mỗi dạng toán chứa đựng đặc thù riêng ! Phần phân loại dạng toán Tích phân hm hữu tỷ A Dạng : I = P (x) dx ax + b ê 0974.337.449 ( a 0) _ Tháng 12 năm 2007 _ Trang Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc 12 giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Công thức cần lu ý : I = dx = ln ax + b + C ax + b a P (x) dx ax + bx + c ( a 0) c B Dạng : I = co m Tính I1 = x + dx x Tính I2 = x dx x +1 x3 Tính I3 = 2x + dx Phơng pháp : Thực phép chia đa thức P(x) cho nhị thức : ax+b, đa tích phân dạng : dx ( Trong Q(x) l hm đa thức viết dới dạng khai triển ) I = Q ( x ) dx + ax + b Tam thức : f ( x ) = ax + bx + c có hai nghiệm phân biệt Tính I = x u' ( x ) u ( x ) dx = ln u ( x ) + C oc uo Công thức cần lu ý : I = dx Cách ( phơng pháp hệ số bất định ) A + B = A B = + (A + B) x + 2(A B) x x x +2 A B = x x 2 1 1 +C dx = dx - dx = ln x+2 x 2 x+2 gb Do : I = A = B = kh on Cách ( phơng pháp nhảy tầng lầu ) 2x 2x dx = dx dx = ln x ln x + + C Ta có : I = x x x dx < Tổng quát >Tính I = x a2 2x Tính I = dx x2 3x + Tính I = dx x x2 Tính I = dx x 5x + Tính I = 3x x 3x + dx Phơng pháp : Khi bậc đa thức P(x) x cos2 2 dx dx 2cos3x + sin 3x sin x + cosx sin x 5cosx sin x cosx + dx sin x + 2cosx + 3 ( sin x + 4cosx ) Tạo ( sin x 2cosx ) dx 10 dx sin2 x 2cos x sin ( cosx )3 dx sin2 x sin xcosx 3cos2 x dx sin x dx co tg xdx m 4 dx cos2 x Tạo d(tgx) Tạo dx sin xcos x dx c dx sin x + 5cosx + D sáng tạo bi tập gb Nếu đợc phép hỏi, hỏi bạn có cảm thấy nhàm chán bạn suốt ngày ôm lấy sách tham khảo làm hết tập đến tập khác, mà đôi lúc bạn cảm giác khả giải toán không giỏi lên Còn đam mê môn Toán từ biết sáng tạo Bạn có muốn thử xem có khả sáng tạo hay không ? Dù khả sáng tạo tập đợc xuất phát từ chất sơ đẳng, bạn sáng tạo toán mà bạn bắt gặp sách nhng mang dáng dấp bạn Tôi mạn phép t để tham khảo cho vui ! on Tôi lấy hm số f(x) no m thích, đạo hm để tìm d(f(x)) h Tôi chọn : f ( x ) = sin4 x + cos4 x , f' ( x ) = ( sin3 xcosx cos3 x sin x ) = 2.sin 2x ( sin2 x cos x ) = sin 4x Một bi toán đơn giản đợc tạo : Tính sin4x sin x + cos xdx 4 kh Một bi toán nhìn đẹp mắt, bạn gặp đâu cha ? Nếu gặp bi toán ny trớc bạn biết sáng tạo bạn giải nh no ? Để tăng khả đánh lừa trực giác bạn tạo mẫu số thnh hm số hợp no quen thuộc , ví dụ : Tính tích phân sau : sin4x 4 sin x + cos x ê 0974.337.449 dx sin4x ( sin x + cos x ) _ 2007 dx sin4x cos ( sin x + cos x )dx 4 Tháng 12 năm 2007 _ Trang 19 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc 12 Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 sin4x tg ( sin x + cos x )dx 4 Tính : m Biết đâu lúc no có hỏi cách giải bi toán lại quên !!!!! Tôi biết bạn nghĩ t kiểu ny cũ Vậy ta không thử t kiểu no cho lạ tý : 1 2 Bi toán ny xuất phát từ đâu ? f ( x ) = sin x + cos x = sin xcos2 x = ( sin 2x ) = + ( cos2x ) 2 sin2x + cos2x sin x + cos x dx 4 co oc uo c i Nếu nh xuất phát từ lợng giác để tạo toán tích phân hàm lợng giác nghe hiển nhiên quá, ta xuất phát từ hàm phân thức hữu tỷ xem ? dx Tôi xuất phát từ bi toán tìm nguyên hm : I = x 1 1+ tg x dt = (1 + tg2 t ) dt mắt toán : I = dx Tôi đặt : x=tgt dx = cos t tg x Bạn suy nghĩ đơn giản nhng bạn cho cách giải với toán : d ( tgx ) 1 nhờng chỗ cho I= dx , phải bạn nghĩ I = dx = tg x tg x (1 tg2 x )(1+ tg2 x ) kh on gb lời giải thông minh !!! a Bạn ôn thi đại học, bạn đọc nhiều tài liệu bạn gặp toán khó hay lời giải dài dòng bạn bạn thấy ngày tiến Đôi bạn gặp phơng pháp với tên gọi làm bạn hoảng hốt Hãy dừng lại v t duy, bạn tìm lời giải đáp ! Tôi đơn cử ví dụ Khi bạn đọc tài liệu bạn thấy cụm từ tích phân liên kết bạn bỏ qua nghĩ khó cosxdx VD Tính E = sin x + cosx sin x dx Lời giải : Xét tích phân liên kết với E E1 = sin x + cosx sin x + cosx E + E1 = dx = dx = x + C1 sin x + cosx Ta có : E E = sin x cosx dx = d ( sin x + cosx ) = ln sin x + cosx + C sin x + cosx sin x + cosx E = ( x + ln sin x + cosx ) + C Giải hệ phơng trình suy : E = ( x ln sin x + cosx ) + C Bình luận : Sự đồ sộ lm bạn hoảng hốt, nhng suy nghĩ xem thực chất l phép tách đơn giản : ( cosx + sin x ) + ( cosx sin x ) dx 1 d ( cosx + sin x ) = dx + = x + ln sin x + cosx + C E = sin x + cosx 2 cosx + sin x Nếu cha thực tin bạn thử với loạt bi toán khác tơng tự : sin x sin 3x sin4 x dx dx dx 3cosx + sin x 2cos3x sin 3x sin x + cos x Việc đa bi toán l đúc rút kinh nghiệm l sáng tạo, nhng giúp lí giải đựơc điều quan trọng sáng tạo bi tập : l muốn có bi tập hay bạn cần kết hợp nhiều phép biến đổi v dĩ nhiên đòi hỏi bạn phải kiên trì v chút yếu tố may mắn d Tôi thử lấy hàm số : f ( x ) = sin2 x sin2x + 5cos2 x tách thành kiểu khác : Kiểu1 f ( x ) = sin2 x sin 2x + 5cos x = ( sin x + cos x ) + ( sin x + 2cosx ) = + ( sin x + 2cosx ) = + u 2 ê 0974.337.449 _ Tháng 12 năm 2007 _ Trang 20 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc 12 Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Kiểu2 f ( x ) = sin x sin 2x + 5cos x = ( sin x + cos x ) ( cosx sin x ) = ( cosx sin x ) = v 2 v ' = sin x 2cosx u'+ v ' = ( sin x + cosx ) sin x + cosx dx Vậy phải bi toán ny khó : 2 sin x sin 2x + 5cos2 x Tôi nhìn thấy bạn cời chế diễu bạn bắt gặp nhng có điều muốn nói với bạn : - Hãy giải bi toán ny cách thật thông minh - Hãy mợn tạm t ny để bi tập dx Bạn quen với bi toán ny : nhng khẳng định bạn có chút băn khoăn với bi toán : sin x sinxcosx ( sin4 x + sin2 x + sinx + 1) Tìm họ nguyên hm : I = dx sin6 x - Giải sin xcosx ( sin x + sin x + 1) d ( sin3 x ) sinxcosx ( sin4 x + sin2 x + sinx + 1) sin xcosx d ( sin x ) dx = + = + sin6 x sin6 x - sin6 x ( sin3 x )2 sin x 1 cos2 x ln + ln ( cos x ) + C bạn tìm lời giải nhanh ! sin2 x + oc uo = c I= co m kiểu1 u' = cosx sin x v kiểu2 Bi toán bị lộ ý tởng giải toán xuất : sin4 x + sin2 x + nhng bi toán ny bạn giải dùm sinxcosx ( sinx + 1) dx Tìm họ nguyên hm : I = sin6 x - Với ý tởng ny bạn ung dung nghĩ : ngời khác đau đầu bi toán bạn ! Hãy thử theo ý tởng bạn, đảm bảo bó tay com !!! dùng đồ ngời khác cảm zác không thoải máinhng dùng mi mà ngời ta không bắt trả lại thành ! < triết lí không ? > Đêm khuya rồi, tạm chia tay với tích phân hm lợng giác ! Nhờng lại sân chơi cho bạn ! sin4x + cos2x gb on Tìm họ nguyên hm : sin x + cos x dx 6 ( Với giá dùng thử có dấu = ) Vỡ ủụứi phuù kieỏp taứi hoa Vỡ ngửụứi gian dớu hay ta tỡnh ?! Tích phân hm chứa dấu giá trị tuyệt đối kh VD Tính 2 1 x dx = x dx + x dx = ( x 1) d ( x 1) + ( x 1) d ( x 1) = (1 x ) + ( x 1) = Tích phân hm chứa dấu giá trị tuyệt đối không khó lắm, phụ thuộc hon ton vo khả xét dấu hm số dấu giá trị tuyệt đối Khi xét dấu hm đa thức chứa dấu giá trị tuyệt đối bạn cần lu ý mẹo vặt : Đa thức có n nghiệm ta xét (n+1) khoảng Đa thức bậc n có n nghiệm đan dấu khoảng, khác n nghiệm tính đan dấu ê 0974.337.449 _ Tháng 12 năm 2007 _ Trang 21 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc 12 Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 VD1 Tính x dx -2 + -1 m x =1 ( tam thức bậc có nghiệm ) Nháp : x = x = xét dấu : co _ + Thử số khoảng x dx = x dx + 1 x VD2 Tính x dx + x dx = (x 2 1) dx (x x dx 1 oc uo Giải c Đan dấu 1) dx + ( x 1) dx = 28 Chúng ta thờng nhầm lẫn xét dấu l đa thức có nghiệm v đan dấu khoảng cho kết sai ! Hãy lm nh sau : x x dx = Các bi tập rèn luyện : x x dx 1 2 x x 1dx = x x dx + x x dx = x 1dx gb 2 9x 6x + 1dx 4 + cos2xdx cos3 x cos2 xdx on Tích phân phần b Tích phân dạng : P ( x ) sin xdx , a b P ( x ) cosxdx a Đặt u = P(x) để giảm bậc P(x) kh VD Tính x sin xdx du = 2xdx u = x Đặt Do : v = cosx dv = sin xdx 2 x sin xdx x cosx 2xcosxdx = + = + ( ) 0 xcosxdx 0 Ta tính tích phân : xcosxdx ê 0974.337.449 _ Tháng 12 năm 2007 _ Trang 22 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc 12 Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 du = dx u=x Đặt Do : dv = cosxdx v = sin x xcosxdx x.sin x = sin xdx = cosx = 0 0 x sin xdx = Bi tập tự luyện : xcos xdx x cosxdx 3 x sin xcos xdx 0 x cos xdx b Tích phân dạng : P ( x ) ln xdx a dv = P(x)dx để dễ tìm v x sin3 x dx kh on gb oc uo c Đặt co m Vậy ê 0974.337.449 _ Tháng 12 năm 2007 _ Trang 23 [...]... 2007 _ Trang 14 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc 12 Phạm Kim Chung bài giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 4 Kĩ thuật chồng nhị thức Cơ sở của phơng pháp : a b c d ax + b dx , ta dựa vo cơ sở : = 2 cx + d ( cx + d ) m v phân tích biểu thức dới dấu tích phân về dạng : dx ax + b ax + b ax + b I = k f = k f d 2 cx + d ( cx + d ) cx +... 12 năm 2007 _ Trang 12 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc 12 Phạm Kim Chung bài giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 x 6 dx x6 1 dx Tính I = 100 3x + 5x dx Tính I = 2 x ( 2x 50 + 7 ) (1 x ) dx x (1 + x ) 2000 2000 2 Kĩ thuật đặt ẩn phụ với tích phân có dạng : I = Tính I = x3 + x + 1 ( x 2) 30 P(x) ( ax + b ) dx 3 +t+3 t 30 Tính I = x4 ( x... _ 7 3x 1 2x 1 4 = ( 2t 3 ) 5 dt t4 Tháng 12 năm 2007 _ Trang 15 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc 12 Phạm Kim Chung bài giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Tích phân của các hm lợng giác cos 2 xdx = m A Sử dụng thuần tuý các công thức lợng giác 1 cos2x 1 + cos2x Công thức hạ bậc : sin2 x = ; cos 2 x = 2 2 VD Tìm họ nguyên... 1 +C ln 2cos10 cos ( x 5 ) dx sin 2x sin x 2 dx sin x + sin 3x 3 dx 1 sin x B Tính tích phân khi biết d(ux)) 2 VD Tính sin x.cosxdx 2 0 ê 0974.337.449 _ Tháng 12 năm 2007 _ Trang 16 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc 12 Phạm Kim Chung bài giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Đặt t=sinx, t 0; 1 Khi x=0 thì t=1, khi x= 1 0 0 2... một hm số hợp no đó quen thuộc , ví dụ : Tính các tích phân sau : 1 2 0 2 sin4x 4 4 sin x + cos x ê 0974.337.449 dx 2 0 2 sin4x ( sin x + cos x ) 4 _ 4 2007 dx 3 sin4x cos 2 ( sin x + cos x )dx 4 4 0 Tháng 12 năm 2007 _ Trang 19 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc 12 Phạm Kim Chung bài giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 2 4 sin4x ... www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc 12 Phạm Kim Chung bài giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 du = dx u=x Đặt Do đó : dv = cosxdx v = sin x xcosxdx x.sin x = sin xdx = cosx = 2 0 0 0 0 x 2 sin xdx = 2 4 0 Bi tập tự luyện : 1 xcos xdx 2 6 2 0 x cosxdx 3 3 x sin xcos xdx 2 0 0 2 4 2 3 x cos xdx 5 0 b 2 Tích phân dạng : P ( x ) ln xdx a dv = P(x)dx để dễ tìm...Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc 12 bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Tính I = m Phơng pháp nhảy tầng lầu đặc biệt có hiệu quả khi tử số của phân thức l một hằng số Phơng pháp hệ số bất định : bậc của đa thức trên tử số luôn nhỏ hơn bậc mẫu số 1 bậc 2x + 1 x ( x 2 ) dx... số l nghiệm của mẫu số Tử số l đạo hm của mẫu số v phân thức đợc quy về 4 dạng cơ bản sau : 1 1 1 dx = ln ax + b + C { ax + b ứng với ax + b a u' u' dx = ln u + C { u ứng với u ê 0974.337.449 _ Tháng 12 năm 2007 _ Trang 11 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc 12 bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Q (x) dx < P(x)... + tgx d ( f ( x ) ) = cosx + 2 cos x cos2 x 1 ê 0974.337.449 _ Tháng 12 năm 2007 _ Trang 17 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc 12 Phạm Kim Chung bài giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Nh vậy ta có thể ra một bi toán tìm nguyên hm nh sau : ( sin x + tgx ) ( cos3 x + 1) dx cos2 x Để tăng độ khó của bi toán bạn có thể thực hiện một vi... sinxdx dx 2 3 sin x 2 3 cos3 x sin5 x dx 4 ê 0974.337.449 _ Tháng 12 năm 2007 _ Trang 18 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc 12 Phạm Kim Chung bài giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 dx 5 sin x ( cos3 x 1) 4 sin3 x 1 + cosx 3 ( sin x ) 4 sin2 x dx 2 0 1 + cos x 2 4 tg 8 xdx 5 0 d(cotgx) 2 1 cotg 3 xdx 4 1 dx sin 4 x 6 3

Ngày đăng: 28/08/2016, 20:08

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Untitled

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan