http://hocmaivn.com Lấ NGUYấN THCH TUYN CHN 100 THI TH I HC MễN TON 2015 TP 9(91-100) THANH HểA, THNG 09 - 2014 http://hocmaivn.com LI NểI U Cỏc em hc sinh thõn mn! Luyn gii b trc k thi tuyn sinh i hc l mt quỏ trỡnh ht sc quan trng Cun sỏch Tuyn 100 TON LUYN THI VO I HC thy tng hp v biờn son t nhiu thi th i hc c nc vi nhiu thi hay giỳp cỏc em h thng li kin thc v chuyờn ó c hc, rốn luyn k nng gii toỏn to nn tng kin thc tt nht cho k thi i hc sp ti Ni dung sỏch c vit trờn tinh thn i mi ,cỏch gii trỡnh by chi tit, rừ rng phự hp theo quan im v chm thi ca B Giỏo dc v o to rt phự hp cỏc em t ụn luyn Toỏn l mụn khoa hc tru tng vi phm vi ng dng rng rói mi hot ng ca ngi hc toỏn tt trc ht rt cn s t m, cn cự, n lc phn u Bờn cnh ú phng phỏp hc cng rt quan trng, nờn i t cỏi d v c bn ti cỏi khú hn vi mt t logic Tip xỳc mt bi toỏn khụng ch dng li cỏch gii thụng thng m nờn suy ngh, ỏp dng nhiu hng v cỏch gii khỏc Sau mi bi toỏn nờn rỳt cho mỡnh nhng im chỳ ý quan trng Cui cựng thy chỳc tt c cỏc em luụn cú c SC KHE, NIM VUI, S AM Mấ, v THNH CễNG cỏc k thi sp ti! Thanh húa.Thỏng nm 2014 Tỏc gi S 91 http://hocmaivn.com Cõu 1.(2,0 im) Cho hm s: y = x 3mx + (1), m l tham s Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) m = Tỡm m ng thng qua im cc tr ca th hm s (1) to vi cỏc trc ta mt tam giỏc cú din tớch bng Cõu 2.(2,0 im) Gii phng trỡnh: 3cot x + 2 sin x = (2 + 2) cos x Gii phng trỡnh: x + x = x+7 Cõu (1,0 im) Tớnh tớch phõn 3x + x x dx Cõu 4.(1,0 im) 1/Cho hai s phc z1 , z tha i.z1 + = 0,5 v z = i.z1 Tỡm giỏ tr nh nht ca z1 z 2/ Rỳt gn biu thc: S= 1 1 + + + + + 1.0!.2013! 2.1!.2012! 3.2!.2011! 4.3!.2010! 2014.2013!.0! Cõu 5.(1,0 im) Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú trung im cnh BC l 2 3 M(3,2), trng tõm v tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ln lt l G( , ) v I(1,-2) Xỏc nh ta nh C Cõu 6.(1,0 im) x y +1 z = = , im 1 A (1,4,2) v mt phng (P): 5x y + 3z = Vit phng trỡnh ng thng i qua A, nm mp(P) bit rng khong cỏch gia d v bng Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d : Cõu 7.(1,0 im) Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh 2a, SA = a, ã SB = a , BAD = 600 v mp(SAB) vuụng gúc vi mt ỏy Gi M, N l trung im ca AB, BC Tớnh th tớch t din NSDC v tớnh cosin ca gúc gia hai ng thng SM v DN ( ) xy + y + = x +1 x x (9 y + 1) + 4( x + 1) x = 10 Cõu 8.(1,0 im) Gii h phng trỡnh: Cõu 9.(1,0 im) Xột cỏc s thc dng x, y, z tha x + y + z = x y z + y + z ữ ữ ữ ữ ữ ữ y+3 z +3 x+3 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = x LI GII http://hocmaivn.com Cõu 1.(2,0 im) Cho hm s: y = x 3mx + (1), m l tham s 1.(1,0 im) Vi m = y = x 3x + Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s y = x 3x + a) TX: R y = ; lim y = + *) Gii hn: xlim x+ b) S bin thiờn: *) Chiu bin thiờn: y' = 3x 6x x = ; y' = x = Hm s ng bin trờn mi khong (- ; 0) v (2; + ), hm s nghch bin trờn (0; 2) Hm s t cc i ti x = 0, yC= 2; hm s t tiu ti x = 2, yCT= - BBT x - f(x) f(x) + - + - + + -2 c) th: 2.(1,0 im) Tỡm m ng thng qua im cc tr ca th hm s (1) to vi cỏc trc ta mt tam giỏc cú din tớch bng x = y = x 3mx + y' = 3x 6mx ; y' = x = 2m th hm s cú im cc tr y = cú nghim phõn bit m Vi m thỡ th hm s (1) cú ta im cc tr l: A(0; 2) v B(2m;-4m 3+2) Phng trỡnh ng thng i qua im cc tr A, B l: x y = 2m x + y = AB ct Ox ti C ;0 ữ , ct Oy ti A(0; 2) 2m - 4m m ng thng qua im cc tr to vi cỏc trc ta tam giỏc OAC vuụng ti O ta cú: 1 1 OA.OC = 2 = 2 m m2 1 Yờu cu bi toỏn tha = m = (tha m 0) Vy m = m 2 SOAC = Cõu 2.(1,0 im) 1.(0,5 im) Gii phng trỡnh: 3cot x + 2 sin x = (2 + 2) cos x http://hocmaivn.com iu kin : x k cos x ) = 2(cosx - sin2x) sin x cos x + cos x = 2 sin x)(3cosx 2sin x) = cos x + cos x = Phng trỡnh tng ng: 3cosx( (cosx - ; cos x = (loai ); cos x = 2 cos x = (loai ); cos x = + k & x = + k x+7 2.(0,5 im) Gii phng trỡnh: x + x = x+7 1 ( x + 1)2 = ( x + 1) + , x Ta cú x + x = 3 u = x + u 2= v t ta cú h phng trỡnh: ( x + 1) + (v 0) v = v = u 2 (u v)[3(u + v) + 1] = 3u = v 3(u v ) + u v = 3u = v 3v = u 3u = v Kết hợp với đ/k suy pt có nghiệm: x = u v = 3u = v 3(u + v) + = hoc 3u = v 73 (loại) u = u v = u = v + 73 3u = v 3u u = u = 1 69 v = u u= 3( u + v ) + = 3u = v 3u + u 17 = u = + 69 (loại) 1+ + 73 73 + Vi u = x= = 6 69 69 69 + Vi u = x= = 6 Cõu 3.(1,0 im) Tớnh tớch phõn I = x 3x + x2 3x + x x dx 1 dx = x (3x x 1)dx = 3x dx x x 1dx 3 31 http://hocmaivn.com I1 = x dx = x 3 = 26 27 1 I = x x 1dx = x 1d (9 x 1) = (9 x 1) 18 27 1 = Vy I = 3 16 27 26 16 27 Cõu 4.(1,0 im) 1.(0,5 im) Cho hai s phc z1 , z tha i.z1 + = 0,5 v z = i.z1 Tỡm giỏ tr nh nht ca z1 z t z1 = x1 + iy1 ( x1 , y1 R ) Khi ú im M ( x1 , y1 ) biu din z1 , i.z1 + = 0,5 i.x1 y1 + = 0,5 x12 + ( y1 2) = 0, 25 Suy hp cỏc im M biu din z1 l ng trũn (C1) tõm O1(0, z2 = iz1 = y1 + x1i Suy N (- y1 , x1) biu din z2 Ta cn tỡm M thuc (C1) z1 z2 = MN nh nht uuuur uuur ý rng OM ( x1 , y1 ) ON ( y1 , x1 ) v OM = ON nờn MN = ) bỏn kớnh R1=0,5 OM MN t giỏ tr nh nht OM nh nht ng thng OO1 ng trũn (C1) ti M1(0, ) 1 + ) D thy MN nh nht bng M trựng M1(0, ) tc l 2 z1 = ( )i v M2(0, 2.(0,5 im) Rỳt gn biu thc: S= 1 1 1 + + + + + + + 1.0!.2013! 2.1!.2012! 3.2!.2011! 4.3!.2010! (k + 1).k!.(2013 k )! 2014.2013!.0! 2013 Ck S 2013! = 2013 k = ( k + 1).k!.(2013 k )! k =0 k + k k +1 C 2013 C 2014 2013! 2014! = = = +) Ta cú: k + (k + 1)!.(2013 k )! 2014.(k + 1)![ 2014 (k + 1)]! 2014 2013 +) Ta cú: S = (k =0;1;;2013) k +1 C 2014 2014 k = C 2014 2014 k =1 k = 2014 2014 2014 S = +) S.2013! = 2014 2014! 2013 +) Do ú: S.2013!= ( ) Cõu 5.(1,0 im) Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú trung im cnh 2 3 BC l M(3,2), trng tõm v tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ln lt l G( , ) v I(1,-2) Xỏc nh ta nh C uuur uuur uuur uuur IM = (2;4), GM = ; ữ.Gi A(xA; yA) Cú AG = GM A(-4; -2) Ta cú 3 uuur ng thng BC i qua M nhn vec t IM lm vec t phỏp tuyn nờn cú PT: 2(x - 3) + 4(y - 2) = x + 2y - = Gi C(x; y) Cú C BC x + 2y - = Mt khỏc IC = IA ( x 1)2 + ( y + 2) = 25 ( x 1)2 + ( y + 2) = 25 http://hocmaivn.com x 2y = Ta C l nghim ca h phng trỡnh: 2 ( x 1) + ( y + 2) = 25 x = x = Gii h phng trỡnh ta tỡm c v y = y = Vy cú im C tha l C(5; 1) v C(1; 3) Cõu 6.(1,0 im) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng x y +1 z = = , im A (1,4,2) v mt phng (P): 5x y + 3z = Vit phng trỡnh 1 ng thng i qua A, nm mp(P) bit rng khong cỏch gia d v bng d: Gi (Q) l mt phng qua d v cỏch A(1,4,2) mt khong (Q) qua N(1, -1, 1) thuc d nờn cú phng trỡnh: a(x-1) + b(y+1) +c(z-1) = (1) Do (Q) qua N(1, -1, 1) thuc d nờn 2a + b + c =0 hay c = - 2a 2b (2) d ( A,( Q )) = a (1 1) + b(4 + 1) + c(2 1) a +b +c 12a 13b + 11c 10bc = (3) 2 2 = (5b + c) = 12( a + b + c ) Thay (2) vo (3) cú a + 8ab + b = Chn b = c a = -1 hoc a = Vi b = , a = -1 thỡ (Q) cú phng trỡnh: x y z = ng thng qua A v song song vi giao tuyn ca (P) v (Q) cú VTCP r 1 1 x y z u = , , = = ữ = 4(1, 2, 1) nờn cú phng trỡnh: 3 5 Vi b = , a = thỡ (Q) cú phng trỡnh: x 7y +5z 13 = ng thng qua A v song song vi giao tuyn ca (P) v (Q) cú VTCP r x y z = = u (8,11,17) nờn cú phng trỡnh: 11 17 x y z x y z = = = = ỏp s: ng thng cn tỡm ; 11 17 Cõu 7.(1,0 im) Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh 2a, SA = a, ã SB = a , BAD = 600 v mp(SAB) vuụng gúc vi mt ỏy Gi M, N l trung im ca AB, BC Tớnh th tớch t din NSDC v tớnh cosin ca gúc gia hai ng thng SM v DN T gi thit cú AB = 2a, SA = a, SB = , tam giỏc ASB vuụng ti S suy SM = AB = a ú tam giỏc SAM u Gi H l trung im AM thỡ SH AB Mt khỏc (SAB) (ABCD) nờn suy SH ( ABCD) 1 1 a 4a a VNSDC = VSNDC = SH SDNC = SH S BDC = = 3 2 4 Gi Q l im thuc on AD cho AD = AQ ú MQ//ND nờn (ãSM , DN ) = (ãSM , QM ) Gi K l trung im MQ suy HK//AD nờn HK MQ ã M SH (ABCD), HK MK suy SK MQ suy (ãSM , DN ) = (ãSM , QM ) = SMK 1 MQ DN a MK Trong tam giỏc vuụng SMK: cos SMK 4 ã = = = = = SM a a a http://hocmaivn.com ) ( ( 1) xy + y + = x +1 x x (9 y + 1) + 4( x + 1) x = 10 ( ) Cõu 8.(1,0 im) Gii h phng trỡnh: iu kin : x Nhn xột : x = khụng tha h phng trỡnh Xột x > x +1 + x Phng trỡnh (1) y + y y + = x y + y (3 y ) + = x + + (3) x x T (1) v x > ta cú: y > Xột hm s f(t)= t + t t + , t > Ta cú: f(t) = + t + + t2 t +1 >0 Suy f(t) luụn ng bin trờn (0,+) 3y = x x PT(3) f(3y)= f Th vo pt(2) ta c PT: x + x + 4( x + 1) x = 10 t g(x)= x + x + 4( x + 1) x 10 , x > Ta cú g(x) > vi x > g(x) l hm s ng bin trờn khong (0,+) Ta cú g(1) = Vy pt g(x) = cú nghim nht x = Vi x =1 y = 3 Vy h cú nghim nht: (1; ) Cõu 9.(1,0 im) Xột cỏc s thc dng x, y, z tha x + y + z = x y z + y + z ữ ữ ữ ữ ữ ữ y+3 z +3 x+3 ặt x = a , y = b , z = c Do x + y + z = suy a + b + c = a3 b3 c3 + + Ta cn tỡm giỏ tr nh nht ca P = b +3 c2 + a2 + Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = x p dng Bt ng thc Trung bỡnh cng trung bỡnh nhõn cú: 3 a a http://hocmaivn.com + b2 + b3 c2 + c3 a2 + b2 + + + b3 c2 + c3 a2 + + b2 + a 3a 33 = (1); 16 64 + c2 + c 3c 33 = (2) 16 64 + a2 + c 3c 33 = (3) 16 64 a + b2 + c2 + ( a + b + c ) (4) 16 Vỡ a2+b2+c2=3 T (4) P Vy giỏ tr nh nht P = a = b = c =1 x = y = z = Cng theo v ta c: P + S 92 http://hocmaivn.com Cõu 1.(2,0 im) Cho hm s y = 2x x +1 Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s Vit phng trỡnh ng thng ct th (C) ti hai im A, B phõn bit cho A v B i xng qua ng thng cú phng trỡnh: x + 2y +3= Cõu 2.(2,0 im) Gii phng trỡnh: Gii phng trỡnh: sin x + = 2cosx sin x + cos x tan x ( x 1) ( ) x + 3 x + = x + Cõu 3.(1,0 im) Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = x5 x + 3x + Cõu 4.(1,0 im) 1/Xột s phc z tha iu kin : z 3i = , tỡm giỏ tr nh nht ca z cos x.cos 2x x x 2/ Cho hm s f (x) = x = Tớnh o hm ca hm s ti x = Cõu 5.(1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M (2; 1) v ng thng : x y + = Vit phng trỡnh ng trũn i qua M ct im A, B phõn bit cho MAB vuụng ti M v cú din tớch bng Cõu 6.(1,0 im) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d: x y z = = 1 v mt phng (P) : ax + by + cz = (a + b 0) Vit phng trỡnh mt phng (P) bit (P) i qua ng thng d v to vi cỏc trc Oy, Oz cỏc gúc bng Cõu 7.(1,0 im) Cho lng tr ABC.ABC ni tip hỡnh tr cú bỏn kớnh ỏy r; gúc gia BC v trc ca hỡnh tr bng 300; ỏy ABC l tam giỏc cõn nh B cú ãABC = 1200 Gi E, F, K ln lt l trung im ca BC, AC v AB Tớnh theo r th tớch chúp A.KEF v bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din FKBE Cõu 8.(1,0 im) Gii h phng trỡnh: x+ y xy =2 2 2 x + y +1 x y = 3 Cõu 9.(1,0 im) Cho a, b, c l ba s dng tho : a + b + c = 1 +3 +3 Chng minh rng: a + 3b b + 3c c + 3a 10 Vy h phng trỡnh cú nghim v ch m http://hocmaivn.com Cõu 9.(1,0 im) : Cho x, y, z l s thc dng tha xyz=1 Chng minh rng: 1 + + x + y +1 y + z +1 z + x +1 t x=a3 y=b3 z=c3 thỡ x, y, z >0 v abc=1 Ta cú : a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)ab, a+b>0 v a2+b2-ab ab a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0 1 Tng t ta cú: b3 + c3 + bc a + b + c , ( ) Cng theo v ta cú: 1 a + b + ab ( a + b + c ) 1 c + a + ca ( a + b + c ) 1 1 1 + + = + + 3 x + y +1 y + z +1 z + x +1 a + b +1 b + c +1 c + a3 +1 1 1 + + ữ= a + b + c ( c + a + b ) = ) ( a + b + c ) ab bc ca ( Du bng xy x=y=z=1 50 http://hocmaivn.com S 99 Cõu 1.(2,0 im) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s y = x - 3x2 m Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh x = x x Cõu 2.(2,0 im) Tỡm nghim x ( 0; ) ca phng trỡnh : Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m hm s y = Cõu 3.(1,0 im) Tớnh tớch phõn: I = 5cosx + sinx - = log 3x + x + x + 2mx + sin x + xỏc nh x R sin x cosx + sin x + 2cosx + dx Cõu 4.(1,0 im) ( ) 1/Trong cỏc acgumen ca s phc 3i , tỡm acgumen cú s o dng nh nht 2/ Mt hp cha 30 bi trng, bi v 15 bi xanh Mt hp khỏc cha 10 bi trng, bi v bi xanh Ly ngu nhiờn t mi hp bi mt viờn bi Tỡm xỏc sut bi ly cựng mu Cõu 5.(1,0 im) Trong mt phng vi h ta cỏc vuụng gúc Oxy , xột tam giỏc ABC vuụng ti A, phng trỡnh ng thng BC l : x y - = 0, cỏc nh A v B thuc trc honh v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC bng Tỡm ta trng tõm G ca tam giỏc ABC Cõu 6.(1,0 im) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1;2;3) v B(3;4;1) Tỡm to im M thuc mt phng (P): x y + z = MAB l tam giỏcu Cõu 7.(1,0 im) Cho t din ABCD Gi M l trung im ca AB Trờn cnh AC ly im N, trờn cnh CD ly im P cho AN = 2NC, DP = 2PC Mt phng (MNP) chia t din thnh hai phn Tớnh t s th tớch ca hai phn ú y(x + 1) = x x Cõu 8.(1,0 im) :Gii h phng trỡnh : y(x y) = x x2 Cõu 9.(1,0 im) Cho cỏc s thc dng x, y, z Chng minh rng: 51 1 36 + + x y z + x2 y + y z + z x2 http://hocmaivn.com LI GII Cõu 1.(2,0 im) 1.(1,0 im) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s y = x3 - 3x2 * Tp xỏc nh : D = R * S bin thiờn : y = + lim y = Gii hn: xlim + x , Chiu bin thiờn : y = 3x2 - 6x = 3x(x -2) Bng bin thiờn x - y + y + - 0 + -4 Hm s ng bin trờn cỏc khong ( - ; 0) v (2; + ), nghch bin trờn khong (0;2) - th cú im cc i (0;0), im cc tiu (2; -4) y'' = 6x - = x = im un U(1;-2) th : th i qua cỏc im (-1;4), (3; 0) v nhn im U(1;-2) lm tõm i xng 2.(1,0 im) m m Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh x = x x x 0, x x = x 3x x x x = m S nghim ca phng trỡnh bng s giao im ca th y = x x 3x ( x v x 3) vi th y = m l : x x 3x =m 52 http://hocmaivn.com x x 3x Ta cú y = x 3x x < hoac x > = x + x < x < Lp bng bin thiờn ta cú: - x y + + + - + y 0 +/ m < hoc m > thỡ phng trỡnh cú nghim +/ m = phng trỡnh vụ nghim +/ < m < phng trỡnh cú nghim +/ m = phng trỡnh cú nghim Cõu 2.(1,0 im) 1.(0,5 im) Tỡm nghim x ( 0; ) ca phng trỡnh:5cosx + sinx - = sin x + sin x + 5cosx +sinx = sin2x + cos2x 2cos x 5cosx + + sin2x sinx = (2cosx )(cosx 2) + sinx( 2cosx 1) = (2cosx 1) ( cosx + sinx ) = Ta cú 5cosx + sinx - = +/ cosx + sinx = vụ nghim +/ cosx = x = + 2k , k Z i chiu iu kin x ( 0; ) suy phng trỡnh cú nghim nht l : 2.(0,5 im) Hm s xỏc nh x R log 3x + x + 3x + x + x R (*) x + 2mx + x + 2mx + m < Vỡ 3x + 2x + > x , nờn (*) 2 x + 2mx + x + x + x x + 2(1 m) x + '1 x + 2(m + 1) x + , x R ' < m < < m < Gii ta cú vi : - m < thỡ hm s xỏc nh vi x R 2 Cõu 3.(1,0 im) Tớnh tớch phõn: I = sin x cosx + sin x + 2cosx + dx Ta cú : sinx cosx + = A(sinx + 2cosx + 3) + B(cosx sinx) + C = (A 2B) sinx + ( 2A + B) cosx + 3A + C 53 A = A 2B = ng nht cỏc h s ta c: 2A + B = B = 3A + C = C = http://hocmaivn.com Vy I = dx d ( sin x + 2cosx + 3) + dx sin x + 2cosx + sin x + 2cosx + 50 5 I = ( ln ln ) + J 10 5 I = x 02 ln ( sin x + 2cosx + 3) 02 + J Tớnh J = dx sin x + 2cosx + x 2tdt x dt = tan + 1ữ dx = 2 t +1 i cn : Khi x = thỡ t = t t = tan Khi x = thỡ t = 2dt 1 dt dt t + = 2 = Vy J = 2 2t t t + 2t + 0 ( t + 1) + + + t2 +1 t2 +1 Li t t = = tan u suy dt = ( tan2u + 1)du i cn t = thỡ u = Khi t = thỡ u = vi tan = J= ( tan u + 1) du ( tan u + 1) Do ú : I = = u = 3 + ln 10 5 Cõu 4.(1,0 im) 1.(0,5 im) ( ) Trong cỏc acgumen ca s phc 3i , tỡm acgumen cú s o dng nh nht Ta cú 3i = iữ = cos( ) + i sin( ) ữ ữ 3 Theo cụng thc Moavor ta cú z = cos( T ú suy z cú h cỏc acgumen l : 8 ) + i sin( ) ữ 3 + k , k Z 54 http://hocmaivn.com Ta thy vi k = thỡ acgumen dng nh nht ca z l 2.(0,5 im) S cỏch ly bi bt kỡ t hai hp bi l : 52.25 = 1300 S cỏch ly viờn bi ly cựng mu l : 30x10+7x6+15x9 = 477 Xỏc sut bi ly cựng mu l : 477 1300 Cõu 5.(1,0 im) Trong mt phng vi h ta cỏc vuụng gúc Oxy , xột tam giỏc ABC vuụng ti A, phng trỡnh ng thng BC l : x y - = 0, cỏc nh A v B thuc trc honh v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC bng Tỡm ta trng tõm G ca tam giỏc ABC +) Ta im B l nghim ca h phng trỡnh : 3x y = x = B ( 1;0 ) y = y = y Ta nhn thy ng thng BC cú h s gúc k = , nờn ABC = 600 Suy ng phõn giỏc gúc B ca 3 3 nờn cú phng trỡnh : y = x 3 C O ABC cú h s gúc k = B 60 A x () Tõm I( a ;b) ca ng trũn ni tip tam giỏc ABC thuc () v cỏch trc Ox mt khong bng nờn : | b | = + Vi b = : ta cú a = + , suy I=( + ; ) + Vi b = -2 ta cú a = , suy I = ( ; -2) ng phõn giỏc gúc A cú dng:y = -x + m ().Vỡ nú i qua I nờn + Nu I=( + ; ) thỡ m = + Suy : () : y = -x + + Khi ú () ct Ox A(3 + ; 0) Do AC vuụng gúc vi Ox nờn cú phng trỡnh: x = + T ú suy ta im C = (3 + ; + ) 4+4 6+2 ; ữ 3 ữ Vy ta trng tõm G ca tam giỏc ABC lỳc ny l : + Nu I=( ; ) thỡ m = -1 - Suy : () : y = - x -1 - Khi ú () ct Ox A(-1 - ; 0) Do AC vuụng gúc vi Ox nờn cú phng trỡnh : x = -1 - T ú suy ta im C = (-1 - ; -6 - ) + ; ữ 3 ữ Vy ta trng tõm G ca tam giỏc ABC lỳc ny l : Vy cú hai tam giỏc ABC tho bi v trng tõm ca nú l : 4+4 6+2 ; ữ v G2 = 3 ữ G1 = + ; ữ 3 ữ Cõu 6.(1,0 im) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1;2;3) v B(3;4;1) Tỡm to im M thuc mt phng (P): x y + z = MAB l tam giỏcu Gi (Q) l mt phng trung trc ca on AB (Q): x + y z = 55 http://hocmaivn.com Gi d l giao tuyn ca (P) v (Q) d: Md MAB M (2; t + 1; t ) AM = 2t 8t + 11 , x = y = t +1 z = t AB = 12 u MA = MB = AB 2t 8t = t = 18 18 18 M 2; ; ữ 2 Cõu 7.(1,0 im) Cho t din ABCD Gi M l trung im ca AB Trờn cnh AC ly im N, trờn cnh CD ly im P cho AN = 2NC, DP = 2PC Mt phng (MNP) chia t din thnh hai phn Tớnh t s th tớch ca hai phn ú A D M Q B P N C E Gi E l giao im ca MN v BC, Q l giao im ca EP v BD Khi ú mp(MNP) chia t din thnh a din BCNPQM v ADPNMQ t: VABCD = V , VBCNPQM =V1 , VADPNMQ = V2 Ta cú: N l trng tõm ca ABE C l trung im ca BE P l trng tõm ca DBE Q l trung im ca BD VCNPE CN CP CE 1 1 = = = VCNPE = V (1) VABCD CA CD CB 3 9 VCNPE EC EN EP 2 = = = VEPMQ = VCNPE (2) VEBMQ EB EM EQ 3 2 T (1) v (2) VBEMQ = V V1 = VEBQM VCNPE = Vy: 11 V , V2 = V 18 18 V1 = V2 11 V1 = V2 11 y(x + 1) = x x Cõu 8.(1,0 im) Gii h phng trỡnh : y(x y) = x x2 iu kin: x 3 y ( x + x) = x yx + = x xy Khi ú h (I) y ( x yx ) = x yx + = x + x y 2 t : a = yx + 1, b = x xy Ta cú: x + x y = ( x xy ) + x y a = b a = b a = b = a = b = a = b + 2(a 1) b + b = yx + = yx = x = 1, y = +) Vi a = b = ta cú x xy = x xy = x = 1, y = H (I) tr thnh 56 yx + = yx = (1) +) Vi a = b = ta cú x xy = x xy = (2) H ny vụ nghim (vỡ t (1) suy xy < , t (2)suy xy > ) x = x = Vy h phng trỡnh ú cho cú nghim l v y = y = Cõu 9.(1,0 im) Cho cỏc s thc dng x, y, z http://hocmaivn.com 1 36 + + x y z + x2 y2 + y z + z x2 1 (9 + x y + y z + z x ) + + ữ 36 x y z Chng minh rng: xy + yz + zx Ta cú: ( xyz ) = ( xy ) ( yz ) ( zx ) ữ 2 1 xy + yz+zx 27 ( xy + yz+zx ) 27 = Do ú: + + ữ = ữ x y z xyz xy + y z+zx xy + y z+zx ( ) Mt khỏc: + x y + y z + z x = + ( x y + 1) + ( y z + 1) + ( z x + 1) ( + xy + yz + zx ) 1 27 (9 + x y + y z + z x ) + + ữ + ( xy + yz+zx ) xy + yz+zx x y z = 108 + + ( xy + yz + zx ) xy + yz + zx 108 + ( xy + yz + zx ) ữ = 1296 xy + yz + zx 1 2 2 2 Suy ra: (9 + x y + y z + z x ) + + ữ 36 x y z Du = xy v ch khi: x = y = z = 57 http://hocmaivn.com S 100 Cõu 1.(2,0 im) Cho hm s y = x+2 (C) 2x +1 Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ng thng ( d1 ) cú phng trỡnh y = x ct (C) ti hai im A v B ng thng ( d ) cú phng trỡnh y = x + m Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m ( d ) ct (C) ti hai im phõn bit C, D cho A, B, C, D l bn nh ca hỡnh bỡnh hnh Cõu 2.(2,0 im) cos x ( cos x 1) Gii phng trỡnh: = ( + sin x ) sin x + cos x 2 Gii phng trỡnh: x 3x + 3x + x + = x + x + Cõu 3.(1,0 im) Tớnh tớch phõn: I = x ( 2sin x + cos x ) 2 dx Cõu 4.(1,0 im) Trong mt lụ hng cú 12 sn phm khỏc nhau, ú cú ỳng ph phm Ly ngu nhiờn sn phm t lụ hng ú Hóy tớnh xỏc sut sn phm ly cú khụng quỏ ph phm Cõu 5.(1,0 im) Trong mt phng ta Oxy, cho hai im M ( 1; ) , N ( 3; ) v ng thng d cú phng trỡnh x + y = Vit phng trỡnh ng trũn i qua M, N v tip xỳc vi d Cõu 6.(1,0 im) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng ( d) : x y z = = v mt phng (Q):x+2y+2z-5=0.Vit phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng (d) cho gúc gia mt phng (P) v mt phng (Q) nh nht Cõu 7.(1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA = 3a ( a > ) ; SA to vi mt phng ỏy (ABC) mt gúc bng 60o Tam giỏc ABC vuụng ti B, ãACB = 300 ; G l trng tõm ca tam giỏc ABC Hai mt phng (SGB) v (SGC) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABC) Tớnh th tớch ca chúp S.ABC theo a ( ) x x y y = 15 y + + x ( 1) Cõu 8.(1,0 im):Gii h phng trỡnh: y ( y + ) + x = x + y 15 x + y = 12 ( ) Cõu 9.(1,0 im) Cho ba s x, y, z thuc on [ 0; 2] v x + y + z = Tỡm giỏ tr ln nht ca A = x + y + z xy yz zx 58 http://hocmaivn.com LI GII Cõu 1.(2,0 im) Cho hm s y = x+2 (C) 2x +1 1.(1,0 im ) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s: y = x+2 2x +1 1 y = ; lim y = ; lim+ = +; lim = Gii hn: xlim x + 2 x x TX: D = Ă / 2 th nhn ng thng cú phng trỡnh ; x = th nhn ng thng cú phng trỡnh ; y = lm tim cn ng lm tim cn ngang < x (2 x + 1) Hm s nghch bin trờn ; ữ v ; + ữ S bin thiờn y ' = Bng bin thiờn x y y 2 + + c) th: Giao vi Ox ti ( 2;0 ) , Giao vi Oy ti ( 0; ) 1 th nhn giao im I ; ữ ca hai tim cn lm tõm i xng 2 2.(1,0 im) ng thng ( d1 ) cú phng trỡnh y = x ct (C) ti hai im A v B ng thng ( d ) cú phng trỡnh y = x + m Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m ( d ) ct (C) ti hai im phõn bit C, D cho A, B, C, D l bn nh ca hỡnh bỡnh hnh d1 giao (C) ti im A(-1;-1) , B(1;1) v AB = x + 2mx + m = (1) x+2 = x+m Phng trỡnh honh giao im ca d2 v (C) l 2x +1 x 59 d2http://hocmaivn.com ct (C) ti im C, D v ch (1) cú nghim phõn bit v nghim khỏc m 2m + > ỳng m m + m x1 + x2 = m Gi C ( x1; x1 + m ) ; D ( x2; x2 + m ) ( x1 , x2 l nghim ca (1) tha m2 ) x1 x2 = m AB / / CD m m=2 ABCD l hỡnh bỡnh hnh 2 ( x + x ) x x = AB = CD m m = 2 Vy m = Cõu 2.(1,0 im) cos x ( cos x 1) = ( + sin x ) sin x + cos x (*) iu kin: sin x + cos x x + k , k  Ta cú: PT ( + sin x ) ( + co s x ) ( + sin x ) = 1.(0,5 im) Gii phng trỡnh: x = + k + sin x = ; k  + cos x = x = + k Kt hp vi iu kin (*), suy phng trỡnh ó cho cú h nghim l x = + k ; x = + k ( k  ) 2 2.(0,5 im) Gii phng trỡnh: x 3x + 3x + x + = x + x + t t = 3x + x + t = 3x + x + ( t ) t = t = x + Ta c phng trỡnh t 2( x + 2)t + x + = + 97 x = t = ta c x + x = 97 x = x x x=0 t = x + ta c 3x + x + = x + x=0 x + 3x = x = + 97 97 Vy phng trỡnh cú nghim x = 0; x = ;x = 6 Cõu 3.(1,0 im) Tớnh tớch phõn: I = x ( 2sin x + cos x ) 2 dx 60 http://hocmaivn.com x ( 2sin x + cos x ) Ta cú: I = *Tớnh I1= x ( 4sin 2 x ( 4sin dx = 2 x + cos x ) dx + x sin x.cos xdx = I1 + I x + cos x ) dx t x = t , dt = dx, x = t = ;x = t = 2 2 Ta cú: I1 = ( t ) 4sin 2 x sin x.cos x sin x.cos xdx = x ( sin 3x + sin x ) dx xdx = dv = ( sin x + sin x ) cos 3x cos x ữ| Ta cú I = x du = dx cos 3x v= cos x u=x t t + cos t ( dt ) = t 4sin t + cos t dt = x 4sin x + cos x dx = I1 I1 = *Tớnh I2= 1 16 + cos x + cos 3x ữdx = sin x + sin 3x ữ| = 16 Vy I= Cõu 4(1,0 im) Trong mt lụ hng cú 12 sn phm khỏc nhau, ú cú ỳng ph phm Ly ngu nhiờn sn phm t lụ hng ú Hóy tớnh xỏc sut sn phm ly cú khụng quỏ ph phm S phn t ca khụng gian mu C12 = 924 (phn t) Xột trng hp sn phm ly cú ph phm suy cú C10 = 210 cỏch v xỏc xut l 210 924 Vy xỏc sut ly ngu nhiờn sn phm t lụ hng ú cú khụng quỏ ph phm l P = 210 714 17 = = 924 924 22 Cõu 5(1,0 im) Trong mt phng ta Oxy, cho hai im M ( 1; ) , N ( 3; ) v ng thng d cú phng trỡnh x + y = Vit phng trỡnh ng trũn i qua M, N v tip xỳc vi d Gi E l trung im MN ta cú E(2;-1) Gi l ng trung trc ca MN Suy cú phng trỡnh x ( y + 1) = x y = Gi I l tõm ng trũn i qua M, N thỡ I nm trờn Gi s I ( 3t + 5; t ) Ta cú IM = d ( I , d ) ( 3t + ) + ( t ) 2 ( 4t + ) = 2 2t + 12t + 18 = t = T ú suy I ( 4; 3) , bỏn kớnh R = IM= Phng trỡnh ng trũn ( x + ) + ( y + 3) = 50 2 61 Cõu 6.(1,0 im) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng http://hocmaivn.com ( d) : x y z = = v mt phng (Q):x+2y+2z-5=0.Vit phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng (d) cho gúc gia mt phng (P) v mt phng (Q) nh nht ur ng thng (d) cú vộc t ch phng d = ( 1; 2; 1) , M ( 1; 2;1) ( d ) uur mt phng (Q) cú vộc t phỏp tuyn nQ = ( 1; 2; ) uur 2 Gi vộc t phỏp tuyn ca mt phng (P) l nP = ( a; b; c ) , a + b + c ur uur Vỡ (P) cha (d) nờn d nP = a + 2b c = Gi l gúc gia (P) v (Q) nh nht cos ln nht M cos = a + 2b + 2c + + a + b + c 2 Nu b=0 thỡ cos = Nu b thỡ cos = = a + 2b 2a + 4ab + 5b f ( t ) vi f ( t ) = ( t + 2) ( 2t ) ( t + ) a ,t = f / ( t ) = 2t + 4t + b ( 2t + 4t + 5) 2 bng bin thiờn t f/(t) F(t) -2 - + + - 5 b T bng bin thiờn ta cú f ( t ) f ữ = cos Du bn xy t = = a = 2b a 2 Chn b=1,a=2 thỡ mt phng (P) l ( x 1) + ( y ) + ( z 1) = x+2y+5z-10=0 Cõu 7.(1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA = 3a ( a > ) ; SA to vi mt phng ỏy (ABC) mt gúc bng 60o Tam giỏc ABC vuụng ti B, ãACB = 300 ; G l trng tõm ca tam giỏc ABC Hai mt phng (SGB) v (SGC) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABC) Tớnh th tớch ca chúp S.ABC theo a Gi M l trung im ca BC Ta cú ( SBG ) ( SCG ) = SG 62 ã (SGB) v (SGC) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABC) suy SG ( ABC ), SAG = 600 , SG l http://hocmaivn.com chiu cao ca chúp S.ABC 3a 3a ã ã = ; AG = SA.cos SAG (1) SG = SA.sin SAG = 3a = 2 ABC vuụng ti B cú C = 30o t AB = x ( x > ) x x x , AM = AB + BM = ; AG = AM = (2) 2 3 x 3a 9a = x= T (1) v (2) suy 2 suy BC = x 3, BM = 1 81a 1 3a 81a 243a ; VS ABC = SG.S ABC = (vtt) AB.BC = x = = 2 56 3 56 112 3a 81a 243a Vy th tớch chúp S.ABC l: VS ABC = = 56 112 x x y y = 15 y + + x ( 1) Cõu 8.(1,0 im) Gii h phng trỡnh: y ( y + ) + x = x + y 15 x + y = 12 ( ) y iu kin: x 6; , y S ABC = ( T (1) ta cú ( ) ) x x y y = 15 y + + x x + x = ( y + 1) + ( y + 1) 3 / Xột hm s f ( t ) = 4t + 3t f ( t ) = 12t + > hm s ng bin Vỡ f ( ) x = f ( y + 1) x = y + y + y = x 2 Th vo (2) ta c: x + x = x 11x + ( ( y 1) ) ( x + ) x = x 11x + x5 x 1 + = ( x ) ( x 1) ( x ) x + ữ= x + x +1 x +1 x + 1 Vỡ x x nờn x + >0 ú x=5,y=2 x +1 x + H phng trỡnh cú nghim (x;y) l (5;2) Cõu 9(1,0 im) Cho ba s x, y, z thuc on [ 0; 2] v x + y + z = Tỡm giỏ tr ln nht ca A = x + y + z xy yz zx Ta cú ( x + y + z ) = x + y + z + ( xy + yz + zx ) xy + yz + zx = Vy nờn A = x2 + y + z x + y2 + z2 ) ( 2 Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s: x y z = x + y + z 3x x x [ 1; 2] Li cú: y + z ( y + z )2 = ( x ) x + y + z ( x ) + x = x x + 2 Xột f ( x) = x x + 9, x [ 1; 2] f '( x) = x 6, f '( x ) = x = 3 f (1) = 5; f (2) = 5; f ữ = 2 63 x = x = x = 2 y =1 Suy x + y + z , ng thc xy yz = x + y + z = z = x y z Vy Amax = x = 2, y = 1, z = hoc cỏc hoỏn v ca chỳng http://hocmaivn.com 64 [...]... 8.(1,0 im) Gii h phng trỡnh: 2 1 x y = 2 y 1 Cõu 9. (1,0 im) Cho cỏc s thc khụng õm x, y, z tho món x 2 + y 2 + z 2 = 3 Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: A = xy + yz + zx + 5 x+ y+z LI GII Cõu 1.(2,0 im) 1.(1.0 im).Vi m = 1 Kho sỏt s bin thi n v v th hm s: y = x 4 2 x 2 3 16 Tp xỏc nh: D = Ă Gii hn: y = + ; y = + S bin thi n: - Chiu bin thi n: y ' = 4 x 3 4 x; y ' = 0 x = 0; x = 1 Hm s nghch... 2 4 x + y = 1 32 S 96 http://hocmaivn.com 1 3 Cõu 1.(2,0im) Cho hm s y = x 3 ax 2 3ax + 4 ( 1) (Vi a l tham s) 1 Kho sỏt s bin thi n v v th hm s khi a = 1 2 Tỡm a hm s (1) t cc tr ti x1 , x 2 phõn bit v tho món iu kin: 2 x1 + 2ax 2 + 9a a2 + =2 2 a2 x 2 + 2ax1 + 9a Cõu 2.(2,0 im) ( ) 1 Gii phng trỡnh: tan cos x 3 sin x + 1 = 0 4 2 x x +1 2 Gii phng trỡnh: x + ( 2 9 ) x + 2 22 = 0 ln Cõu... 6.(1,0 im) Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho ng thng : x 1 y 3 z = = v im 1 1 4 M(0 ;-2 ;0) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im M song song vi ng thng ng thi khong cỏch gia ng thng v mt phng (P) bng 4 Cõu 7.(1,0 im) Cho hỡnh lng tr ng ABC.ABC cú AC = a, BC = 2a, ãACB = 1200 v ng thng A ' C to vi mt phng ( ABB ' A ') gúc 300 Tớnh th tớch khi lng tr ú cho v khong cỏch gia hai ng thng A ' B,... bin thi n v v th (C) ca hm s: y = 2x 4 x +1 TX: D = R\{-1} y = 2, lim y = +, lim y = Gii hn: xlim x 1 x 1 => th hm s nhn ng thng cú phng trỡnh x = -1 lm tim cn ng v y = 2 lm tim cn ngang + 6 > 0 x D ( x + 1) 2 Hs ng bin trờn mi khong (; 1) v (1; +) , hs khụng cú cc tr Chiu bin thi n: y ' = BBT x y - + -1 + + + 2 y - 2 + th (C): th ct trc honh ti im ( 2;0 ) , trc tung ti im (0;-4) th nhn giao... c log 2 ( 2 x 2) = 4 x = 9 Suy ra x = y = 9 ,( tho món iu kin) Vi y = 2 x th vo phng trỡnh (1) ta c log 2 ( x 2) = 4 2 x log 2 ( x 2) + 2 x 4 = 0 5 Vỡ hm s f (x) = log 2 (x 2) + 2x 4 l hm s ng bin trờn ( 2;+ ) v f ( ) = 0 2 5 nờn x = l nghim duy nht ca phng trỡnh f(x) = 0 2 5 x = 2 ,( tho món iu kin) Suy ra y = 5 5 x = 9 x = 2 Vy h ú cho cú hai nghim v y = 9 y = 5 2 Cõu 3.(1.0 im)... ngoi tip ABC thỡ: uuuur uuur GK1 = 2GK , R1 = 2 R K1(1;10) , R1=2 19 Phng trỡnh ng trũn ngoi tip ABC l: ( x 1) 2 + ( y 10) 2 = 4 http://hocmaivn.com Cõu 6.(1.0 im) Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho ng thng : x 1 y 3 z = = v im M(0 ;-2 ;0) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im M song 1 1 4 song vir ng thng ng thi khong cỏch gia ng thng v mt phng (P) bng 4 Gi s n ( a; b; c ) l mt vect phỏp... + 3x = - y Cõu 9. (1,0 im) Xột cỏc s thc dng a, b, c tha món a.b.c = 1 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A = 1 1 1 + 3 + 3 a ( b + c) b ( a + c) c ( b + a) 3 LI GII Cõu 1.(2,0 im) Cho hm s : y = x4 5x2 + 4 1.(1,0 im) Kho sỏt s bin thi n v v th hm s :y = x4 5x2 + 4 + TX: R 22 y = + +Gii hn v tim cn: xlim http://hocmaivn.com + S bin thi n: y = 4x3 10x y / = 0 x = 0 hoc x = 5 2 Bng bin thi n : x y y... AD = 2a, SA ^ (ABCD), SA = a 6 , H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn SB Tỡm th tớch khi chúp H.SCD v tớnh khong cỏch gia hai ng thng AD v SC Trong tam giỏc vuụng SAB cú: SA 2 = SH SB ị VHSDC = SH SA 2 SA 2 6a 2 6 = = = = 2 2 2 2 SB 7 SB SA + A B 7a 6 6 6 6 V = V = SA.S B CD = a 6.S B CD 7 B.SCD 7 S.BCD 7 7 K l hỡnh chiu ca B trờn AD ta cú: BK.AD = AB.BD suy ra 3 9a 2 A B BD a 3 1 a 2 3 , suy ra: BK = =... uv + 9 uv = 3 uv + 8 uv + 9 = (3 + uv ) 2 uv = 0 http://hocmaivn.com uv = 0 u = 4, v = 0 (vỡ u>v) T ú ta cú: x =2; y =2.(Tha /k) u + v = 4 Kt hp (1) ta cú: KL: Vy nghim ca h l: (x; y)=(2; 2) Cõu 9. (1,0 im) Cho a, b, c l ba s dng tho món : a + b + c = Chng minh rng: 3 3 4 1 1 1 +3 +3 3 a + 3b b + 3c c + 3a p dng Bt ng thc Trung bỡnh cng trung bỡnh nhõn cho 2 b ba s dng ta cú 1 1 1 3 1 1 1 9 (x... khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A (0, 0, 5), im B (5, 0, 2) v mt phng (P) cú phng trỡnh z = 2 Vit phng trỡnh ng thng D i qua im B, D nm trong mt phng (P) sao cho khong cỏch t im A n ng thng D bng 5 Cõu 7.(1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l na lc giỏc u ni tip trong ng trũn ng kớnh AD = 2a, SA ^ (ABCD), SA = a 6 , H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn SB Tỡm th tớch khi chúp H.SCD v tớnh khong cỏch gia