A Những vấn đề chung I Lý do chọn đề tài Là một GV giảng dạy môn toán ở trờng THCS Chất Lợng Cao, ngoài việc làm cho mọi đối tợng học sinh nắm rõ kiến thức cơ bản trong chơng trình THCS bản thân tôi xác định bồi dỡng học sinh giỏi là nhiệm vụ hàng đầu của mỗi ngời giáo viên trong nhà trờng. Vì vậy trong những năm dạy học ở nhà trờng tôi đã thực hiện đợc nhiều chuyên đề, đề tài, sáng kiến kinh nghiệm trong việc bồi dỡng học sinh giỏi: Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa là một trong những đề tài mà tôi đã nghiên cứu với mục đích cho học sinh cả lớp vận dụng đợc lý thuyết về luỹ thừa, đặc biệt là với những em có năng khiếu về môn toán để sau này sẽ vào đội tuyển học sinh giỏi. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa là ứng dụng của phép luỹ thừa, từ các đặc điểm của một số luỹ thừa đặc biệt 1; 2; 3 hoặc 4 chữ số tận cùng của một luỹ thừa bởi trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó. Trong khi tìm chữ số tận cùng của một tích một luỹ thừa học sinh đã biết vận dụng tính chất của một tích các số (lẻ, chẵn) tích của một số với một số tận cùng là 0; 5 một số các số với chữ số tận cùng khi nâng lên luỹ thừa nào cũng giữ nguyên chữ số tận cùng, tính chất của một số chính phơngNh vậy học sinh đợc rèn luyện một cách linh hoạt, tính nhanh khi đọc một bài toán đã có thể xác định đợc sử dụng tính chất nào của luỹ thừa, tìm một số tận cùng thì áp dụng nhận xét nào 2; 3; 4 chữ số tận cùng thì áp dụng nhận xét nào. Trong dạy toán chứng minh chia hết hoặc tìm số d trong một phép chia thì vận dụng tính chất về luỹ thừa cũng là một cách làm đợc sử dụng một cách rất phổ biến. Để học sinh có thể nắm vững về vận dụng một cách có nhiệu quả tất cả những dạng toán đó không chỉ cần đến sự nỗ lực cố gắng của học sinh mà ngời giáo viên cần phải có kiến thức vững chắc, đào sâu nôi dung kiến thức tìm những ví dụ các dạng bài tập từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể đến tổng quát để học sinh biết vận dụng và vận dụng sáng tạo khi gặp các dạng bài tơng tự. Làm đợc những điều đó không chỉ học sinh mà giáo viên còn đợc nâng cao về kiến thức, t duy thích hợp. Với những lý do trên nên trong năm học vừa qua tôi đã đi sâu nghiên cứu vấn đề tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa. Coi đó là một kinh nghiệm nhỏ trong quá trình ôn thi học sinh giỏi ở trờng THCS Chất Lợng Cao. 1 II Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu vấn đề này trong chơng trình THCS chỉ giới hạn ở mức độ học sinh biết vận dụng tính chất của luỹ thừa tìm đợc 1; 2 chữ số tận cùng của một số, một biểu thức. Trờng hợp 3; 4 số tận cùng không phổ biến, chỉ sử dụng với một số trờng hợp đặc biệt. Biết vận dụng để chứng minh chia hết và tìm số d trong một phép chia. Đối với giáo viên cần nắm chắc, sâu kiến thức. Bên cạnh đó cần tìm tòi, su tầm tài liệu để có một hệ thống tài liệu phù hợp phong phú giúp học sinh có hứng thú trong học tập và vận dụng tốt. III - Đối tợng nghiên cứu 1- Đối tợng nghiên cứu: Học sinh lớp 6 A trờng THCS Chất Lợng Cao, Mai Sơn. 2- Cơ sở ngiên cứu trờng THCS Chất Lợng Cao, Mai Sơn. IV Ph ơng pháp nghiên cứu - Nêu và giải quyết vấn đề - Phơng pháp vấn đáp - Phơng pháp đánh giá và tổng kết kinh ngiệm V Lịch sử nghiên cứu Tìm chữ số tận cùng của một tích một luỹ thừa là một nội dung đợc đề cập đến trong lý thuyết về luỹ thừa nhng chiếm lợng kiến thức không nhiều tuy nhiên vận dụng vào giải các bài tập tơng đối phong phú và đợc xuyên suốt trong chơng trình số học đại số ở THCS vì vậy có nhiều tài liệu đề cập. Nghiên cứu vấn đề này, bản thân tôi là một giáo viên trờng phải bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi vì vậy tôi 2 muốn đi sâu nghiên cứu mảng này một cách cụ thể hơn với đối tợng học sinh của mình, giúp các em có đợc nhận thức sâu rộng hơn, góp phần nâng cao chất lợng và số lợng đối tợng học sinh giỏi hàng năm. B. Nội dung I. Cơ sở lí luận Trong thực tế nhiều khi ngời ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó. Chẳng hạn khi so xổ số muốn biết có trúng những giải cuối hay không ngời ta chỉ cần so hai chữ số cuối cùng. Trong toán học khi xét một số chia hết cho 2, 4, 8 hoặc chia hết cho 5, 25, 125 hay không ta chỉ cần xét 1, 2, 3 chữ số tận cùng của số đó. Việc tìm 1, 2, 3 chữ số tận cùng của một số ta chỉ có thể căn cứ: - Tích các số lẻ với lẻ, lẻ với chẵn, lẻ với số tận cùng bằng 5, tích một số với số tận cùng bằng 0 - Với luỹ thừa: các số đặc biệt có tận cùng là 0, 1, 5, 6 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng. - Các số nâng lên luỹ thừa 4n - Tính chất của các số chính phơng. Trên cơ sỏ lí thuyết đó học sinh có những bớc biến đổi để đa về dạng các luỹ thừa đặc biệt trên, từ đó xác định đợc chữ só tận cùng của một tích, một luỹ thừa một biểu thức. II. Cơ sở thực tiễn: Lí thuyết về luỹ thừa rất rõ ràng, cụ thể tuy nhiên quá trình vận dụng kết hợp các nhận xét trên để biến đổi đa về dạng cụ thể là một vấn đề tơng đối khó, nhất là đối với học sinh lớp 6, nhiều em còn rất lúng túng trong quá trình vận dụng: đa số học sinh bớc đầu rất khó khăn để từ một số cụ thể đã cho sử dụng nhận xét nào, biến đổi theo hớng nào để tìm chữ số tận cùng đặc biệt đối với những số phức tạp nh luỹ thừa tầng hoặc luỹ thừa của những số chứa chữ, với học sinh đây là vấn đề trừu tợng khó định hớng. 3 Đối với giáo viên: Đội ngũ giáo viên trong tổ có 7 đồng chí, 100% trình độ đại học đều yêu nghề, ý thức trách nhiệm cao trong công việc, chuyên môn nghiệp vụ vững vàng. Tuy nhiên số giáo viên trực tiếp bồi dớng học sinh giỏi cha nhiều trong đó có một số đồng chí mới nhận lớp chuyên nên kinh nghiệm cha nhiều, vì vậy công việc trao đổi học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau phần nào còn hạn chế. Sự hỗ trợ cho nhau trong việc tìm tòi tài liệu, bài tập hay cha nhiều. Trên cơ sở thực tế từ giáo viên và học sinh tôi đã có những nghiên cứu điều tra, chuẩn bị từ đầu năm học nh nắm bắt chất lợng chuyên môn, dự kiến các đối t- ợng học sinh vào đội tuyển. Su tầm, nghiên cứu tài liệu trao đổi nắm bắt tình hình với các đối tợng học sinh, các giáo viên cùng bộ môn trong tổ để đề tài đợc hoàn thành có hiệu quả nhất. III. Những biện pháp tiến hành: 1. Điều tra học sinh đầu năm. Tổng số Học lực 35 Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 18 15 10 1 0 29.4% 44,1% 23,56% 2,94% 0 Đa số học sinh chăm ngoan có ý thức học tập đợc gia đình nhà trờng giáo viên tạo điều kiện về tài liệu, thời gian và tinh thần để các em tập trung vào học tập 2. Điều tra mức độ hứng thú học tập của học sinh. Tổng số Thích Không thích Bình thờng 35 25 3 7 Qua điều tra tôi nhận thấy đa số các em đều yêu thích bộ môn, có ý thức thái độ học tập đúng mực, một số em đạt kết quả cao trong học tập có hứng thú, yêu 4 thích bộ môn, tuy vậy còn một số em hạn chế về nhận thức nên dẫn đến không có hào hứng trong học tập. 3. Những nguyên nhân của tồn tại: Sự nhận thức và chuyên cần của học sinh không đồng đều, một số ít học sinh do hạn chế về nhận thức nên có tâm lí không thích học bộ môn đặc biệt là với những chuyên đề nâng cao, bởi đây là vấn đề khó đoì hỏi học sinh trớc tiên phải có ý thức, hào hứng trong học tập từ đó cùng độ t duy nhạy bén sự tìm tòi học hỏi nhiều, nhng với những học sinh trung bình cha làm đợc điều đó. Vì vậy vai trò ngời thầy rất quan trọng, thầy ngoài việc truyền thụ, chuyển tải kiến thức còn phải luôn động viên, gần gũi tạo không khí cởi mở biết khích lệ đúng lúc để các em tự tin, yêu thích bộ môn, từ đó nâng cao chất lợng học tập cho các em. 4. Những biện pháp tiến hành I. Lí thuyết 1. Định nghĩa: a n = a.a.aa (n 0) a: cơ số, n: số mũ. Các tính chất: a m .a n = a m + n a m : a n = a m n (a 0, m n) Nhận xét: a/ Tích các số lẻ là một số lẻ. - Tích một số có tận cùng là 5 với bất kì số nhiên lẻ nào cũng có tận cùng là 5. 5 n thừa số - Tích một số chẵn với bất kì số tự nhiên nào cũng là một số chẵn. - Tích một số có chữ số tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên nào cũng tận cùng là 0. b/ Các số tự nhiên có tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì nào (khác 0) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó. - Các chữ số tự nhiên tận cùng bằng những chữ số 3, 7, 9 nâng lên luỹ thừa 4n (n khác 0) nào cũng có tận cùng là 1. 3 4n = 1; 7 4n = 1; 9 4n = 1 - Các số tự nhiên có tận cùng bằng những chữ số 2, 4, 8 nâng lên luỹ thừa 4n (n khác 0) đều có tận cùng là 6. 2 4n = 6; 4 4n = 6; 8 4n = .6 - Các số tự nhiên có tận cùng là 4 hoặc 9 nâng lên luỹ thừa lẻ có tận cùng bằng chính nó, nâng lên luỹ thừa chẵn có số tận cùng lần lợt là 6; 1. - Các số có tận cùng bằng 01, 25, 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng có tận cùng bằng 01, 26, 76. - Các số 3 20 , 81 5 , 7 4 , 51 2 , 99 2 có tận cùng bằng 01. - Các số 2 20 , 6 5 , 18 4 , 24 2 , 68 4 , 74 2 , có tận cùng bằng 76. - Số 26 n (n > 1) có tận cùng bằng 76. - Các số có tận cùng bằng 001, 376, 626 nâng lên luỹ thừa (khác 0)nào cũng có tận cùng bằng 001, 376, 625. - Số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cúng có tận cùng bằng 0625. c/ Số chính phơng không tận cùng bởi các chữ số 2, 3, 7, 8. - Một số chính phơng có nhữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2. II. Bài tập vận dụng. Bài 1: Tích các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích có bao nhiêu thừa số? 6 Giải: Nếu tích có 5 thừa số lẻ liên tiếp trở lên thì ít nhất cùng có một thừa số có chữ số tận cùng là 5 suy ra tích có tận cùng là 5 mâu thuẫn vói đề bài. Vậy số thừa số của tích nhỏ hơn 5. Nếu tích có 4 thừa số lẻ liên tiếp thì tích có tận cùng bằng5 hoặc tận cùng bằng 9 mâu thuẫn với đề bài. Nếu tích có 2 thừa số lẻ liên tiếp thì tích có tận cùng bằng 3 hoặc 5 hoặc 9 mâu thuẫn với đề bài. Vây tích đó chỉ có thể có 3 thừa số, ví dụ: (9).(1).(3) = 7. Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số: 74 30 , 49 31 , 87 32 , 58 33 , 232 35 , 7 6 5 244 , 5 7 6 579 . Giải: * 74 30 = 74 2 . 74 28 = 74 2 .74 4.7 = 74 2 .(74 4 ) 7 = A6.B6 = C6 . Vậy 74 30 có tận cùng là 6. * 49 31 = 49.49 30 = 49 3 .49 28 = 49 3 . (49 4 ) 7 = A9.B1 C9= . Vậy 49 31 có tận cùng là 9. * 87 32 = (87 4 ) 8 = ( ) 8 A1 B1= . Vậy 87 32 có tận cùng bằng 1. * 58 33 = 58.58 32 = 58.(58 4 ) 8 = 58.A6 B8= . Vậy 58 33 có tận cùng bằng 8. * 23 25 = 23 3 .23 32 = (23 4 ) 8 .23 3 = ( ) 8 A1 .B7 C7= Vậy 23 35 có tận cùng là 7. * 244 có tận cùng là 4 nâng lên luỹ thừa bậc lẻ vẫn có tận cùng là 4, vậy 7 6 5 244 có tận cùng là 4. 7 ở những bài tập này ta đã vận dụng các nhận xét về các số tận cùng là 2, 4, 8 nâng lên luỹ thừa 4n có chữ số tận cùng là 6 Số có tận cùng là 3, 7, 9 nâng lên luỹ thừa 4n có tận cùng bằng 1. Bài 3: Cho A = 51 n + 47 102 (n N). Chứng tỏ A M 10. Giải: Ta có: 51 n = A1 47 102 = 47 100 .47 2 = 47 25.4 .47 2 = B9.C1 D9= Vậy 51 n + 47 102 = A1 + D9 = M0 M 10. Bài 4: Chứng tỏ rằng các tổng, hiệu sau không chia hết cho 10. a/ A = 98. 96. 94 91. 93. 95. 97 b/ B = 405 n + 2 405 + m 2 (m, n N, n 0) Giải: a/ 98. 96. 94 là tích các số chẵn tích chẵn. 91. 93. 95. 97 là tích các số lẻ tích lẻ. Hiệu giữa một số chẵn và một số lẻ là một số lẻ A M 10. b/ 405 n = A5 ; 2 405 = 2 404 .2 = 2 4.101 . 2 = B6.2 C2= 405 n + 2 405 = D7 m 2 không có tận cùng bằng 3 B không có tận cùng bằng 0 B M 10. Bài 5: Chứng tỏ rằng: 8 a/ M = 8 102 – 2 102 chia hÕt cho 10. b/ N = 17 5 + 24 4 – 13 21 chia hÕt cho 10. c/ P = 9 2n + 1 + 1 chia hÕt cho 10. Gi¶i: a/ Ta cã 8 102 = (8 4 ) 25 . 8 2 = A6.64 B4= . 2 102 = (2 4 ) 25 . 2 2 = 16 25 . 2 2 = C6.4 D4= VËy M = 8 102 – 2 102 = B4 - D4 = E0 10M b/ 17 5 = 17. 17 4 = 17.A1 B7= 24 4 = C6 13 21 = 13. 13 4.5 = 13. D1 E3= ⇒ N = 17 5 + 24 4 – 13 21 = B7 C6 E3+ − M3 E3 X0 10= − = M . c/ 9 2n + 1 + 1 = 9.9 2n + 1 = 9. 81 n + 1 = A1 .9+1 B0 10= M Bµi 6: Chøng minh r»ng: a/ 7 4n – 1 M 5 b/ 3 4n + 1 + 2 M 5 c/ 2 4n + 2 + 1 M 5. Gi¶i: 9 a/ 7 4n - 1 = (7 4 ) n 1 = ( ) n A1 1 B1 - 1 = C0 5 = M b/ 3 4n + 1 + 2 = 3. ( ) ( ) n n 4 3 2 3. A1 + 2 = B3 + 2 = C5 5+ = M c/ 2 4n + 2 + 1 = (2 4 ) n .2 2 + 1 = A6.4 + 1 = B4 + 1 = C5 5M Các dạng bài tập trên đều vận dụng các nhận xét về luỹ thừa: tích các số tận cùng của một tích tích các số tận cùng của một tổng, một hiệu từ đó dựa vào dấu hiệu chia hết để chứng minh bài toán. 2. Tìm hai chữ số tận cùng. Bài 7: Tìm hai chữ số tận cùng của 2 100 ; 7 1991 ; 51 51 ; 99 99 99 ; 666 6 ; 14 101 . 16 101 . Giải: * 2 100 = (2 10 ) 10 = 1024 10 = (1024 2 ) 5 = 5 A76 B76= 2 100 có hai chữ số tận cùng là 76. * 7 1991 = 7 1988 . 7 3 = (7 4 ) 497 . 7 3 = 2401 497 . 7 3 = ( ) 497 A01 . 343 = B01 . 343 = C43 . 7 1991 có hai chữ số tận cùng là 43. * 51 51 = (51 2 ) 25 . 5 = 25 A01 .51 B01.51 C51= = 51 51 có hai chữ số tận cùng là 51. * 99 99 99 = 99 2k + 1 = (99 2 ) k . 99 = ( A01 ) k . 99 = B99 Vậy 99 99 99 có hai chữ số tận cùng là 99. * 6 666 = (6 5 ) 133 . 6 = ( ) 133 A76 .6 B76.6 = C56= 6 666 có hai chữ số tận cùng là 56. * 14 101 . 16 101 = (14. 16) 101 = 224 101 = (224 2 ) 50 . 224 10 [...]... Bình - Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6 - Tác giả Nguyên Văn Tuyên - Sách giáo viên toán 6 13 - 500 bài tập toán 6 Mục lục A Những vấn đề chung 1 2 3 4 5 Lí do chọn đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài Đối tợng nghiên cứu Phơng pháp nghiên cứu Lịch sử nghiên cứu đề tài B Nội dung: 6 7 8 9 Cơ sở lí luận Cơ sở thực tiễn Biện pháp tiến hành Kết quả C Kết luận chung 1 Những bài học kinh nghiệm... tòi, tham khảo tài liệu, tìm các bài toán hay, các cách giải dặc biệt, học sinh chủ động tìm hớng giải một bài toán, đồng thời cũng giúp giáo viên tự học, tự bồi dỡng, góp phần nâng cao chuyên môn nghiệp vụ 12 C Kết luận chung Việc thực hiên đề tài nâng cao trong bồi dỡng học sinh giỏi là không thể thiếu, nó giúp giáo viên nâng cao nhận thức, giúp học sinh nâng cao mở rộng kiến thức, phát triển t duy... một biểu thức Qua đó còn rèn cho học sinh t duy toán học, tính cẩn thận, tỉ mỉ, chính xác, giúp giáo viên nhìn nhận đánh giá về bản thân, về học sinh một cách khách quan II Kiến nghị đề xuất Việc dạy chuyên đề nâng cao là một mảng kiến thức nằm ngoài chơng trình cơ bản vì vậy với giáo viên nhiều khi còn gặp khó khăn về phơng pháp, về kiến thức do đó nhà trờng cần tạo điều kiện về tài liệu, thời gian... Tổng số 34 Thích 28 Không thích 0 Bình thờng 6 III Bài học kinh nghiệm: Từ kết quả thực tế của sáng kiến kinh nghiệm Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa cho thấy việc tìm tòi, nghiên cứu và vân dụng các chuyên đề nâng cao vào cho đối tợng học sinh khá giỏi là ccần thiết và nên đầu t sâu, đặc biệt là với đội tuyển học sinh giỏi, giúp học sinh có cái nhìn tổng quát, nhạy bén trong các phơng pháp chứng minh . nhiều chữ số tận cùng của nó. Chẳng hạn khi so xổ số muốn biết có trúng những giải cuối hay không ngời ta chỉ cần so hai chữ số cuối cùng. Trong toán học khi. việc, chuyên môn nghiệp vụ vững vàng. Tuy nhiên số giáo viên trực tiếp bồi dớng học sinh giỏi cha nhiều trong đó có một số đồng chí mới nhận lớp chuyên