MR_”Di ’ collection LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Email: hoat@soft-vn.net dinh_quang_hoat@yahoo.com 2/63 MỞ ĐẦU - Lý thuyết Đồ thị là một trong những ngành khoa học ra đời khá sớm. - Lý thuyết Đồ thị giúp mô tả hình học và giải quyết nhiều bài toán thực tế phức tạp liên quan đến các khái niệm như: đường đi, chu trình, tập ổn định, chu số, sắc số, duyệt đồ thị, đường đi ngắn nhất, tâm đồ thị, luồng vận tải, đồ thị phẳng, cây bao trùm, cây biểu thức, cây mã tối ưu …bằng các thuật toán ngắn gọn và lý thú. - Lý thuyết Đồ thị đã gắn kết nhiều ngành khoa học với nhau. 3/63 MỞ ĐẦU (tiếp) Bài giảng điện tử “Lý thuyết Đồ thị” này bao gồm: - 11 chương - phân thành 20 bài học trình bày những vấn đề cốt lõi nhất của lý thuyết đồ thị cùng các thuật toán tiêu biểu; giúp người học có thể cài đặt trên máy tính và ứng dụng trong thực tế. 4/63 CHƯƠNG 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 5/63 NỘI DUNG  Các khái niệm về đồ thị  Biểu diễn đồ thị trong máy tính  Một số tính chất về đường đi trên đồ thị  Bậc của đỉnh và tính liên thông 6/63 1.1. CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐỒ THỊ  Định nghĩa 1.1 Đồ thị là một cặp G = (V, E), trong đó: - V là tập hợp các đỉnh (vertex), - E ⊆ V × V là tập hợp các cạnh (edge). 7/63 VÍ DỤ 1.1 Đồ thị G cho như hình vẽ. - Tập đỉnh V = {a, b , c, d, e}, - Tập các cạnh E = {(a, b), (a, c), (b, c), (d, b), (d, c), (e, a), (e, b), (e, d)}. Hình 1.1: Đồ thị hữu hạn a b e d c 8/63 TÍNH KỀ TRONG ĐỒ THỊ Đỉnh kề: Nếu (a,b) là một cạnh của đồ thị G thì: - Đỉnh b kề với đỉnh a - Hai đỉnh a và b cùng kề với cạnh (a,b). Hai cạnh kề nhau: là hai cạnh có ít nhất một đỉnh chung. 9/63 ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ (tiếp)  Định nghĩa 1.2 Đồ thị là một cặp G = (V, F), trong đó: - V là tập hợp các đỉnh, - F : V → 2 V , được gọi là ánh xạ kề.  Sự tương đương của hai định nghĩa: ∀ x, y ∈ V : (x, y) ∈ E ⇔ y ∈ F(x). 10/63 VÍ DỤ 1.2 Ánh xạ kề của đồ thị trên hình vẽ: F(a) = {b, c} , F(b) = {c} , F(c) = ∅ , F(d) = {b, c} và F(e) = {a, b, d} . Hình 1.1: Đồ thị hữu hạn a b e d c [...]... 1. 4 Ma trận kề của đa đồ thị có hướng: 2 3 1 4 0 A= 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 Hình 1. 3 Đồ thị có hướng và ma trận kề 26/63 2 0 0 0 BIỂU DIỄN BẰNG MA TRẬN KỀ (tiếp)  Định lý 1. 1 Phần tử ở hàng i và cột j của ma trận luỹ thừa Ak chính là số các đường đi khác nhau có độ dài k nối đỉnh i với đỉnh j trong đồ thị G 27/63 BIỂU DIỄN BẰNG MA TRẬN KỀ (tiếp) Chứng minh: Quy nạp theo độ dài k của đường đi - k = 1: ... Định nghĩa 1. 9 Hai đồ thị G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2 ) được gọi là đẳng hình với nhau nếu tồn tại một song ánh S trên các tập đỉnh bảo toàn các cạnh: ∀ x, y ∈ V1 : (x, y) ∈ E1 ⇔ (S(x), S(y)) ∈ E2 21/ 63 1. 4 SỰ ĐẲNG HÌNH (tiếp)  Hai đồ thị đẳng hình chỉ khác nhau về tên gọi của các đỉnh và cách biểu diễn bằng hình vẽ Do vậy, ta không phân biệt hai đồ thị đẳng hình với nhau 22/63 VÍ DỤ 1. 3 Hai đồ... nghĩa là: ∀ i = 2, 3, , k -1, k : (xi -1, xi) ∈ E Ta nói rằng đường đi này đi từ đỉnh đầu x1 đến đỉnh cuối xk 15 /63 ĐƯỜNG ĐI  Độ dài của đường đi: là số cạnh của đường đi đó  Đường đi đơn: Các đỉnh trên nó khác nhau từng đôi một 16 /63 CHU TRÌNH  Định nghĩa 1. 7 Chu trình là một đường đi khép kín (đỉnh cuối trùng với đỉnh đầu của đường) [x1, x2,…, xi, xi +1, …, xk -1, xk] trong đó x1 = xk - Để cho gọn, trong... VÍ DỤ 1. 3 Hai đồ thị sau là đẳng hình với song ánh: S(ai) = xi , i = 1, 2, 3, 4 a1 a2 a3 a4 x1 x2 x3 x4 Hình 1. 3 Hai đồ thị đẳng hình 23/63 1. 5 BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRONG MÁY TÍNH  Biểu diễn bằng ma trận kề  Biểu diễn bằng danh sách kề 24/63 BIỂU DIỄN BẰNG MA TRẬN KỀ  Định nghĩa 1. 10 Cho G = (V, E) là một đồ thị có các đỉnh được đánh số là các số tự nhiên: 1, 2, , n Ma trận vuông A cấp n được gọi là... trình thường không viết đỉnh cuối: [x1, x2,…, xi, xi +1, …, xk -1] Ký hiệu: n là số đỉnh, m là số cạnh của một đồ thị 17 /63 CHU TRÌNH (tiếp)  Chu trình đơn: là chu trình mà các đỉnh trên nó khác nhau từng đôi  Đỉnh nút: là đỉnh kề với chính nó 18 /63 1. 3 ĐỒ THỊ CON VÀ ĐỒ THỊ RIÊNG  Định nghĩa 1. 8 Giả sử G = (V, E) là một đồ thị - Đồ thị G’ = (V’, E’) được gọi là đồ thị con của đồ thị G nếu: V’ ⊆ V và E’... thị G” = (V, E”) với E” ⊆ E, được gọi là đồ thị riêng của đồ thị G 19 /63 1. 3 ĐỒ THỊ CON VÀ ĐỒ THỊ RIÊNG (tiếp)  Một số kết quả - Mỗi tập con các đỉnh V’ của đồ thị tương ứng duy nhất với một đồ thị con - Để xác định một đồ thị con ta chỉ cần nêu tập đỉnh của nó - Đồ thị riêng là đồ thị giữ nguyên tập đỉnh và bỏ bớt một số cạnh 20/63 1. 4 SỰ ĐẲNG HÌNH  Sự đẳng hình của hai đồ thị dựa trên sự đẳng cấu... xứng 13 /63 ĐƠN VÀ ĐA ĐỒ THỊ  Định nghĩa 1. 5 - Đồ thị G = (V, E) mà mỗi cặp đỉnh được nối với nhau không quá một cạnh được gọi là đơn đồ thị (gọi tắtlà đồ thị) - Đồ thị có những cặp đỉnh được nối với nhau nhiều hơn một cạnh thì được gọi là đa đồ thị 14 /63 1. 2 ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH  Định nghĩa 1. 6: Cho G = (V, E) là một đồ thị Đường đi trong đồ thị là một dãy các đỉnh: ... đỉnh (x, y) ∈ E có sắp thứ tự 11 /63 ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ CÓ HƯỚNG (tiếp)  Định nghĩa 1. 3 - Đồ thị chỉ chứa các cạnh vô hướng được gọi là đồ thị vô hướng - Đồ thị chỉ chứa các cạnh có hướng được gọi là đồ thị có hướng Mỗi đồ thị vô hướng có thể biểu diễn bằng một đồ thị có hướng bằng cách thay mỗi cạnh vô hướng bằng hai cạnh có hướng tương ứng 12 /63 ĐỒ THỊ ĐỐI XỨNG  Định nghĩa 1. 4 Đồ thị G = (V, E) được... ⇒ (k +1) Ký hiệu A = [aij], Ak = [bij], C = Ak.A = [cij] Khi đó cij = ∑ biq aqj q j i Hình 1. 4: Các đường đi từ đỉnh i đến đỉnh j qua đỉnh q 28/63 BIỂU DIỄN BẰNG MA TRẬN KỀ (tiếp) Chứng minh: Theo giả thiết quy nạp, với q bất kỳ (1 ≤ q ≤ n), biq chính là số đường đi từ đỉnh i đến đỉnh q có độ dài k - Nếu aqj = d ≥ 1 thì có cạnh đi từ q đến j, do vậy có các đường đi từ i đến j qua q với độ dài k +1, mà... độ dài k +1 Vậy tính theo tổng trên, ta sẽ có tất cả các đường đi từ i đến j với độ dài k +1 30/63 BIỂU DIỄN BẰNG DANH SÁCH KỀ  Với mỗi đỉnh của đồ thị ta xây dựng một danh sách móc nối chứa các đỉnh kề với đỉnh này: Danh sách này được gọi là danh sách kề  Một đồ thị được biểu diễn bằng một mảng các danh sách kề 31/ 63 VÍ DỤ 1. 5 Đồ thị và danh sách kề biểu diễn đồ thị tương ứng: b c a e d Hình 1. 5 Mảng . một. 17 /63 CHU TRÌNH  Định nghĩa 1. 7 Chu trình là một đường đi khép kín (đỉnh cuối trùng với đỉnh đầu của đường). [x 1 , x 2 ,…, x i , x i +1 ,…, x k -1 ,. thị G. 20/63 1. 3. ĐỒ THỊ CON VÀ ĐỒ THỊ RIÊNG (tiếp)  Một số kết quả - Mỗi tập con các đỉnh V’ của đồ thị tương ứng duy nhất với một đồ thị con. - Để xác