Chuyên đề 1: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT Bài 1: Cho ab = CMR: a + b = ( a + b ) ( a + b ) − (a + b) 5 3 2 Bài 2: Cho a > b > thỏa mãn: a + b = 10ab Tính giá trị biểu thức: P = Bài 3: Cho x > y > x + y = 5xy Tính giá trị biểu thức: E = x+ y x− y a −b a+b 1 ab bc ca + + = Tính giá trị biểu thức: P = + + a b c c a b c  a  b  Bài 5: Cho a + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức: A =  + ÷1 + ÷ + ÷  b  c  a  2 Bài 6: Cho a + b + c = a + b + c = 14 Tính giá trị biểu thức: B = a + b + c Bài 4: Cho Bài 7: Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn: ab + bc + ca = Tính giá trị biểu thức: ( a + 2bc − 1)(b + 2ca − 1)(c + 2ab − 1) ( a − b) (b − c) (c − a ) 1 Bài 8: Cho x > thỏa mãn: x + = CMR: x5 + số nguyên Tìm số nguyên x x Bài 9: Cho x ≠ x + = a số Tính theo a biểu thức: x 1 A = x3 + ; B = x + ; C = x + x x x Bài 10: Cho ba số x, y, z thỏa mãn: x + y + z = x + y + z = a Tính x + y + z theo a 1 Bài 11: Cho a + b + c = + + = CMR: a + b + c = a b c Bài 12: Cho số x = by + cz, y = ax + cz, z = ax + by x + y + z ≠ 1 + + Tính giá trị biểu thức: Q = 1+ a 1+ b 1+ c 4 x y + = ; x + y = CMR: Bài 13: Cho: a b a+b x 2000 y 2000 a) b x = a y b) 1000 + 1000 = a b ( a + b)1000 1 1 Bài 14: CMR a, b, c ba số thỏa mãn: a + b + c = 2000 + + = a b c 2000 a) A = ( a + b) (b + c) (c + a ) (1 + a )(1 + b )(1 + c ) b) B = ba số a, b, c có số 2000 2 a + b2 + c 2 5 2 Bài 16: CMR, x + y + z = x + y + z = xyz x + y + z Bài 15: Cho a + b + c = CMR: a + b + c = ( ( ) ) ( ) Bài 17: Cho a, b, c ba số khác CMR: b−c c−a a −b 2 + + = + + (HSG HCM 78 – 79) (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b) a − b b − c c − a 1 + + = (PTNK ĐHQG 97- 98) Bài 18: CMR : xyz = thì: + x + xy + y + yz + z + zx Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang a) a (b − c) + b (c − a) + c (a − b) b) a + 4a − 29a + 24 c) x + x + x − x + d) x3 + x + 11x + e) ( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + 7) + 15 f) ( x − y )3 + ( y − z )3 + ( z − x)3 g) x + 2000 x + 1999 x + 2000 Bài 20: Tìm biểu thức ngắn gọn cho tích sau đây:       Pn =  − ÷1 − ÷ − ÷ 1 − ÷    25   (2n − 1)  Biết với n ≥ chứng minh phương pháp quy nạp toán học a −b b−c c−a ; y= ; z= Bài 21: CMR, : x = a+b b+c c+a (1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 – x)(1 – y)(1 – z) Bài 22: Cho a, b, c ba số thực khác CMR: a+b b+c a+c b+c a+c b+a + + = −1 a −b b−c c−a b−c c −a a −b Bài 23: Cho a, b, c đôi khác Tính giá trị biểu thức: ab bc ca + + (b − c)(c − a ) (c − a )( a − b) (a − b)(b − c ) Bài 24: Đơn giản biểu thức: A = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) (HSG HCM 87) Bài 25: Cho a, b, c CMR: a + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a + b2 + c − ab − bc − ca ) Bài 26: Cho a, b, c, d số dương thỏa mãn điều kiện: a + b + (a − b) = c + d + (c − d ) CMR: a + b + (a − b) = c + d + (c − d ) a+b−c b+c−a c+a−b = = c a b  b  c  a  Tính giá trị biểu thức: P =  + ÷1 + ÷ + ÷ c  a  b  1 Bài 28: Cho x, y, z thỏa mãn: x + = a; y + = b; xy + = c x y xy CMR: a + b + c = abc + x + y + z =  2 Bài 29: Cho  x + y + z = CMR: x1 + y + z =  x3 + y + z =  Bài 27: Cho a, b, c số thỏa mãn: Bài 30: Cho ba số x, y, z thỏa mãn: by + cz = a; ax + cz = b; ax + by = c; a, b, c 1 + + không phụ thuộc vào a, b, c x +1 y +1 z +1 1 1 1 Bài 31: CMR, nếu: + + = a + b + c = abc ta có: + + = a b c a b c số dương cho trước CMR: Bài 32: Cho a, b, c ba số thực đôi khác khác thỏa mãn: 1 = b + = c + CMR: abc = abc = – b c a x + y = a +b  xn + y n = an + bn Bài 34: Cho  2 2 CMR, với số nguyên dương n ta có: x + y = a + b  Bài 35: Cho x y thỏa mãn: x + y = a; x + y = b; x3 + y = c CMR: a + 2c = 3ab Bài 36: Cho ba số x, y, z thỏa mãn đồng thời: x + 2y + = 0; y + 2z + = 0; z + 2x +1 = Tính giá trị biểu thức: A = x 2000 + y 2000 + z 2000 a+ Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang  xy + x + y =  Bài 37: Cho số dương x, y, z thỏa mãn:  yz + y + z =  zx + z + x = 15  Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z Bài 38: Cho hai số x, y thỏa: xy + x + y = – 1; Tính giá trị biểu thức: P = x3 + y x y + x y = – 12  x − yz = a  Bài 39: Cho biết :  y − zx = b (x, y, z ≠ 0) CMR: ax + by + cz = (x + y + z)(a + b + c)  z − xy = c  Bài 40: Cho a, b, c số khác thỏa mãn: a 3b3 + b3 c3 + c3 a = 3a b c c  a  b  Tính giá trị biểu thức: A =  + ÷1 + ÷ + ÷  b  c  a   x + xy + y =  Bài 41: Cho x, y, z số không âm thỏa mãn:  y + yz + z = Tính M = x1 + y + z  z + zx + x =  ay − bx cx − az bz − cy = = c b a 2 2 2 y CMR: (ax + by + cz) = ( x + + z )( a + b + c )  ax + by = c  Bài 43: Cho x, y hai số thỏa mãn: bx + cy = a CMR: a + b3 + c3 =3abc cx + ay = b  Bài 42: Cho a, b, c ba số khác thỏa mãn: Bài 44: Cho ba số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn: abc = a b c b2 c2 a2 + + = + + a b c b2 c2 a CMR ba số a, b, c phải có số bình phương số lại Bài 45: Cho x, y, z ba số thỏa mãn: xyz = x + y + z = 1 + + x y z Tính giá trị biểu thức: P = ( x19 − 1)( y − 1)( z1980 − 1) Bài 46: Cho ba số a, b, c đôi khác thỏa mãn: a b c + + =0 b−c c−a a −b CMR ba số a, b, c phải có số âm, số dương Bài 47: CMR không tồn số a, b, c thỏa mãn đồng thời: b c  a  a − b + b − c + c − a = (1)  a b c  + + = (2) 2 (b − c) (c − a )  (a − b) Bài 48: Cho a, b, c số hữu tỉ đôi khác CMR: 1 + + bình phương số hữu tỉ 2 ( a − b) (b − c ) (c − a ) a −b b−c c−a c a b + + + + Bài 49: Cho a + b + c = Đặt P = ; Q= c a b a −b b−c c −a N= CMR: P.Q = Bài 50: Cho a + b + c + d = CMR: a + b3 + c3 + d = 3(c + d)(ab – cd) Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang a + b = c + d CMR: c = d  ab + = cd Bài 51: Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn:   x + y + z = a  2 2 Bài 52: Cho  x + y + z = b Tính x3 + y + z theo a, b, c 1 1  + + =  x y z c  a + b + c =  2 Bài 53: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức: P = xy + yz + zx x y z  = = a b c a + b + c =  2 Bài 54: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức: P = a1998 + b1999 + c 2000  a + b3 + c =  a b c + + =0 Bài 55: Cho a, b, c đôi khác b−c c−a a −b a b c + + Tính giá trị biểu thức: 2 (b − c ) (c − a ) ( a − b) a b c + + =1 Bài 56: Cho a, b, c khác thỏa mãn: b+c c+a a+b a2 b2 c2 + + Tính giá trị biểu thức: Q = b+c c+a a+b a b c x y z x2 y z + + = + + = Bài 57: Cho Tính giá trị biểu thức: A = + + x y z a b c a b c Bài 58: Cho ba số a, b, c thỏa mãn abc = 2000 Tính giá trị biểu thức: P= 2000a b c + + ab + 2000a + 2000 bc + b + 2000 ac + c + Bài 59: Cho a, b, c khác a + b + c = Tính giá trị biểu thức: Q = 1 + + 2 2 a +b −c b +c −a a + c2 − b2 Bài 60: Cho a, b, c đôi khác Tính giá trị biểu thức: a2 b2 c2 P= + + ( a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − b)(c − a ) a + (a − c) a − c = Bài 61: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: b ≠ c a + b ≠ c CMR: b + (b − c) b − c Bài 62: Cho biết ax + by + cz = 0; a + b + c = 2000 2 ax + by + cz = 2000 CMR: bc ( y − z ) + ac ( x − z ) + ab( x − y ) Bài 63: Gọi a, b, c số đo ba cạnh tam giác, cho biết : a + b3 + c3 – 3abc = Hỏi: Tam giác la tam giác ? Bài 64: Cho a, b, c đôi khác Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang CMR: P = a (b − c) + b (c − a ) + c (a − b) khác Bài 65: Cho a, b, c thỏa mãn: (HSG Nam Tư 1978) (a + b − 2c) + (b + c − 2a) + (c + a − 2b) = (a − b) + (b − c) + (c − a ) CMR: a = b = c Bài 66: Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Biết : (a + b)(b + c)(c + a ) = 8abc CMR: Tam giác cho tam giác 1981 Bài 67: Cho a + a + = Tính giá trị biểu thức: P = a + Bài 68: Cho a, b ≠ thỏa mãn: a + b = CMR: (chuyên LHP 81) 1981 a a b 2(ab − 2) a b 2(b − a ) + = 2 − = 2 b) b −1 a −1 a b + b −1 a −1 a b + 2 a − bc b − ca c − ab x − yz y − zx z − xy = = = = Bài 69: Cho CMR: x y z a b c a) Chuyên đề 2: BIẾN ĐỔI CĂN THỨC Bài 1: Rút gọn a) A = − 15 − + 15 b) B = + − − c) C = + 10 + + − 10 + d) D = + 15 + − 15 − − Bài 2: CMR: 49 + 20 + 49 − 20 = Bài 3: CMR số sau số nguyên: a) A = b) B = − − 29 − 12 − 11 d) D = + − 13 + 48 c) C = + + 48 − 10 + e) E = ( − 1) + 2 − (5 + 6)(49 − 20 6) − 6+ 2 + 12 + 18 − 128 Bài 4: Trục thức mẫu: a) A = b) B = 23 + + c) C = 23 − + 4+ 2+2 Bài 5: Tìm x biết x = + 13 + + 13 + Trong dấu chấm có nghĩa lặp lặp lại cách viết thức có chứa 13 cách vô hạn lần Bài 6: Tính giá trị biểu thức: A = (3 x + x + 2) 1998 với x = ( + 2) 17 − 38 + 14 − (HSG QG) Bài 7: Rút gọn: a) A = 182 + 33125 + 182 − 33125 c) C = ( )( x − x +1 )( ) x + x +1 x − x +1 Bài 8: CMR: x = 3 + + 19 + 10 −2 b) B = 10 d) D = ( 25 + − + ) 1− 125 125 số nguyên − −3 + + 27 27 Bài 9: Cho số x = + + − Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang a) CMR x nghiệm phương trình: x3 – 3x – 18 = Bài 10: Đặt x = a + b) Tính x a + 8a − a + 8a − CMR, ∀ a > x nguyên dương + a− 3 3 2 2 Bài 11: Tính giá trị biểu thức: A = x − 3x + ( x − 1) x − + x − 3x − ( x − 1) x − Tại x = 1995 Bài 12: Chứng minh đẳng thức sau: a) + + − = b) c) + − − = e) 3 −1 = 32 34 − + 9 d) f) 3 20 + 14 − 14 − 20 = + 20 − 25 = +1 = 5−34 + 24 5 −1 − 24 1 Bài 13: CMR a x3 = b y = c z + + = ax + by + cz = a + b + c x y z Bài 14: Rút gọn: a) A = 8+ −1 − 4 8− 8− −1 +1 (1− a ) b) P = (1+ a ) + a + a2 − − a + a2 Bài 15: Cho a = xy + (1 + x )(1 + y ) ; b = x + y + y + x Trong xy > Tính b theo a Bài 16: Cho x, y, z > thỏa : xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thức: (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y ) P=x +y +z + x2 + y2 + z2 Bài 17: Rút gọn: S= +1 + +2 + + Bài 18: Trục thức mẫu: B = + 1999 1998 + 1998 1999 + 2000 1999 + 1999 2000 3+ + 2+ 5 − = 3 12 Bài 20: Cho a > 0, b > a – b ≥ CMR: Bài 19: CMR: 1 + a + a2 − b a − a2 − b a + a2 − b a − a2 − b b) a+ b = + a− b = − 2 2 2+ 2− + c) Áp dụng rút gọn: P = (HSG QG 90 – 91) + 2+ − 2− Bài 21: CMR, : b + + c + = a + b + c ≥ 2a + 2x − 2x + Bài 22: Tính giá trị biểu thức: A = + + 2x − − 2x a) Bài 23: Cho A = x − x −1 + x + x −1   1 − ÷ x −1  x − 4( x − 1) a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa b) Rút gọn A Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang Bài 24: Rút gọn:  a − a 1+ a B =  + 4 a  1− a  ÷ ÷ −  1+ a + a với a > a ≠ 1+ a Bài 25: Cho < a < Rút gọn biểu thức:   1+ a 1− a 1 P =  + − − ÷ ÷ ÷ a÷ + a2 + a −   a   1+ a − 1− a Bài 26: Cho biểu thức : A = x + x − − x − x − a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa b) Tính giá trị A x ≥ Bài 27: Rút gọn: a) A = x − + x − x + x − − x − x với x ≥ 147  a + a  a − a  c) C =  − ÷ ÷1 − a − ÷ ÷ (với a ≥ a ≠ 1) a +    x +1 : Bài 28: Cho A = x − x x x +x+ x b) B = 48 − 75 + 108 − a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa b) Rút gọn A 1 + + số hữu tỉ 2 ( a − b) (b − c) (c − a ) Bài 29: Cho a, b, c số hữu tỉ CMR: Bài 30: Tính giá trị biểu thức: A = x + x + x + với x = x + − x = a Tính giá trị biểu thức: A = Bài 31: Cho x > Bài 32: Cho − ≤ x ≤ Bài 33: Cho B = 2+ x + x −1 + x − − x = a Tính A = − x − x −1 − a) Tìm điều kiện x để B có nghĩa − 8 − x − x theo a x−2 + − 4x theo a (x ≠ 0) x x3 − x 1− x b) Tìm x để B > ( )(  2x − + x 2x x + x − x  x − x − x + ÷ ÷ − x + x x x −1   Bài 34: Cho biểu thức: E = −  a) Tìm điều kiện x để E có nghĩa ) b) Rút gọn E 1 a b + ÷, a > 0, b > 2 b a÷  Bài 35: Cho x =  Tính giá trị biểu thức: A = x2 − x − x2 − Bài 36: Tính giá trị biểu thức: P = xy − x − y − xy + x − y − Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang 1 1 1 1 Với x =  a + ÷ y =  b + ÷ với a, b ≥ a b     + xy − xy − Bài 37: Cho E = Tính giá trị biểu thức E, biết: x+ y x− y x = + + + − + y = Bài 38: Tính P = + 19992 + − 12 + 20 18 − 27 + 45 1999 1999 + 2000 2000 Bài 39: CMR: A= 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + + + 2 2 3 1998 1999 1999 20002 Là số hữu tỉ Bài 40: CMR: E = ( ) +1 3 −1 số nguyên  a − b3  a − b ÷: −1 ÷ a − b −1 a − b   Bài 41: Cho A =  a) Tìm điều kiện a, b để A có nghĩa Bài 42: CMR: − + − 125 4 = 1+ b) Rút gọn A (PTNK HCM 98 – 99) (HSG Moscow 82) Chuyên đề 3: XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Bài 1: Tìm đa thức bậc hai, biết: P(0) = 19, P(1) = 5, P(2) = 1995 Bài 2: Tìm đa thức bậc ba, biết: P(0) = 10, P(1) = 12, P(2) = 4, P(3) = Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), cho biết x P(x) chia cho đa thức : (x – 1), (x – 2), (x – 3) dư P(– 1) = – 18 Bài 4: Cho đa thức bậc P(x) thỏa mãn: P(– 1) = P(x) – P(x – 1) = x(x + 1)(2x + 1) a) Xác định P(x) b) Suy giá trị tổng sau đây: S = 1.2.3 + 2.3.5 + ………+ n(n + 1)(2n + 1) Bài 5: Cho biết đa thức bậc hai P(x) có ba nghiệm số phân biệt α , β , γ CMR: P(x) = 0, ∀ x Bài 6: Cho đa thức P(x) = a x + bx + c (a, b, c ≠ 0) Cho biết 2a + 3b + 6c = 1 a) Tính a, b, c theo P(0), P  ÷, P(1) 2 1   b) CMR: P(0), P  ÷, P(1) âm dương c) CMR: Đa thức P(x) có nghiệm dương bé Bài 7: Tìm đa thức bậc hai biết : P(0) = 19, P(1) = 85, P(2) = 1985 Bài 8: Cho đa thức: P(x) = x + x3 – x + ax + b Q(x) = x + x – Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x) Bài 9: Xác định a b cho đa thức P(x) = a x + b x3 +1 chia hết cho Q(x) = (x – 1)2 Bài 10: Cho đa thức: P(x) = x – x3 + a x +3x + Q(x) = x – x + b Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x) Bài 11: Cho biết đa thức P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho đa thức x + dư 1, P(x) chia cho đa thức x – dư Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang P(x) chia cho đa thức (x + 3)(x – 4) thương 3x dư Bài 12: Cho đa thức: P(x) = x + a x + Q(x) = x3 + ax + Xác định a để đa thức P(x) Q(x) có nghiệm chung Bài 13: CMR, không tồn đa thức với hệ số nguyên P(x) thỏa : P(1) = 19, P(19) = 85 Bài 14: Cho đa thức: P( x) = + x + x + + x n − Q( x) = + x + x + + x n −1 Tìm số nguyên dương n cho P(x) chia hết cho Q(x) Bài 15: Xác định dư phép chia đa thức: P( x) = x + x + x + x 27 + x81 cho Q(x) = x – Bài 16: Xác định dư phép chia đa thức: P( x) = x + x + x + x 27 + x81 cho Q(x) = x – Bài 17: Xác định dư phép chia đa thức: P( x) = + x + x + x 25 + x 49 + x81 cho Q(x) = x3 – x Bài 18: Với giá trị a b đa thức: x3 + a x +2x + b chia hết cho x + x + Chuyên đề 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT  x + my = (1)  mx + y = (2) Bài 1: Cho hệ phương trình :  a) Giải biện luận theo tham số m b) Tìm số nguyên m cho hệ có nghiệm (x; y) với x, y số nguyên  mx + y = 10 − m (m tham sô)  x + my = Bài 2: Cho hệ phương trình :  a) Giải biện luận theo tham số m b) Với giá trị số nguyên m , hệ có nghiệm (x; y) với x, y số nguyên dương (m − 1) x − my = 3m − (m tham sô) 2 x − y = m + Bài 3: Cho hệ phương trình :  Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà S = x + y đạt giá trị nhỏ (m + 1) x + my = 2m − Bài 4: Cho hệ phương trình :   mx − y = m − (m tham sô) Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà P = xy đạt giá trị lớn  mx + y = 2m (m tham sô)  x + my = m + Bài 5: Cho hệ phương trình :  a) Giải hệ m = – b) Tìm m để hệ có vô số nghiệm, có nghiệm : x = 1, y =  mx + y = m + (1) (2)  x + my = Bài 6: Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m :  (1)  x + my =  mx − 3my = 2m + (2) Bài 7: Cho hệ phương trình :  a) Giải hệ m = – b) Giải biện luận hệ cho theo m  x + my =  mx − y = Bài 8: Cho hệ phương trình :  a) Giải hệ m = b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) mà x > y < c) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) mà x, y số nguyên Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang 2 x + y = m (m tham sô nguyên) 3 x − y = Bài 9: Cho hệ phương trình :  Xác định m để hệ có nghiệm (x; y) mà x > y <  mx + 2my = m + (1)  x + (m + 1) y = (2) Bài 10: Cho hệ phương trình :  a) CMR hệ có nghiệm (x; y) điểm M(x; y) luôn thuộc đường thẳng cố định m thay đổi b) Xác định m để điểm M thuộc góc vuông phần tư thứ c) Xác định m để điểm M thuộc đường tròn có tâm gốc tọa độ bán kính  mx + y = m + (1) có nghiệm (2)  x + my = m Bài 11: Với giá trị số nguyên m, hệ phương trình :  (x; y) với x, y số nguyên  x + my =  mx + y = Bài 12: Cho hệ phương trình :  a) Giải biện luận theo tham số m b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) với x, y số nguyên c) CMR hệ có nghiệm (x, y), điểm M(x; y) luôn chạy đường thẳng cố định d) Xác định m để điểm M thuộc đường tròn có tâm gốc tọa độ bán kính 2 Bài 13: Giải biện luận hệ phương trình sau:  2m2 x + 3(m − 1) y = a)   m( x + y ) − y = x − y = m + x + y = − m b)   x − my = x − y = m c)   −2mx + y =  mx + y = Bài 14: Cho hệ phương trình :  a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m  mx − y = (m tham sô) − x + y = −m Bài 15: Cho hệ phương trình :  a) CMR hệ phương trình có vô số nghiệm m = b) Giải hệ lúc m khác  x − y 2x + y  + 17 = (1) Bài 16: Giải hệ phương trình :  (Chuyên Lê Hồng Phong HCM 90)  x + y + y − = 15 (2)  19 Bài 17: Giải hệ phương trình : x + y + z =  a)  x + y + z =  x + y + z = 27   x + y + 3z = 11  b) 2 x + y + z = −2 3 x + y + z =  Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701   2x + y + z =  c) 2 y − 3z =   −y=  x + y Trang 10 Bài 45: Tìm GTNN: x2 + a) A = (x ≥ 0) x+2 b) B = −8 ,∀x 3x + x2 −1 ,∀x c) C = x +1 Bài 46: Tìm GTNN biểu thức sau: x2 − x + a) P = (x > 0) x + x +1 x2 − x + b) Q = x − 2x + Bài 47: Tìm GTNN GTLN biểu thức sau: x2 + x + x2 + x + a) A = (x bất kì) b) B = (x ≥ 0) x2 + x + 2x + x − x + 2000 Bài 48: Tìm GTNN: A = (x ≠ 0) x2 x Bài 49: Tìm GTLN: B = (x > 0) ( x + 2000) x + 16 x + 56 x + 80 x + 356 Bài 50: Tìm GTNN: P = x2 + 2x + Bài 51: Tìm GTNN: a) A = c ) C= x2 + x + ( x > 0) x x2 + x + x2 ( x > 1) x −1  1 d) D = (1 + x) 1 + ÷ (x > 0)  x b) B = x2 + x +  x2  e) E = ( x + 1) +  + ÷ ( x ≠ −1)  x +1  x g) G = + ( x > 1) x −1 Bài 52: Tìm GTLN GTNN : P = f) x + (0 < x < 1) 1− x x x + xy x2 + y Bài 53: Cho x + y + z ≤ 27 Tìm GTLN GTNN P = x + y + z + xy + yz + zx Bài 54: Cho a, b hai số thỏa mãn đồng thời : a, b ≥ 0; 2a + 3b ≤ 6; 2a + b ≤ Tìm GTLN GTNN A = a − 2a − b Bài 55: Cho a, b, c số thỏa mãn: a + b + c ≤ Tìm GTNN S = ab + bc + 2ca Bài 56: Cho x, y > thỏa x + y ≤ Tìm GTNN: A = + x +y xy Bài 57: Cho x, y > thỏa: x + y = xy Tìm GTNN: S = x + y 2 1  1  Bài 58: a) Cho x, y hai số dương có tổng Tìm GTNN: A =  x + ÷ +  y + ÷ x  y  2 1  1  1  b) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = Tìm GTNN: B =  a + ÷ +  b + ÷ +  c + ÷ a  b  c  4 Bài 59: Cho x, y > x + y = Tìm minP = 2( x + y ) + xy Bài 60: Cho hai số thực x, y thỏa: x + 2y = Tìm GTLN: P = xy x Bài 61: Cho x, y > x + y = 10 Tìm GTNN: S = + y Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang 31 Bài 62: Tìm GTLN GTNN P = x + y + z, biết x, y, z biến số thỏa mãn điều kiện: y + z + yz = − x Bài 63: Cho số thực không âm x1 , x2 , x3 , x4 , x5 có tổng Tìm GTLN : P = x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x5 + x5 x1 1 + + = Tìm GTLN : Q = abc 1+ a 1+ b 1+ c    Bài 65: Cho x, y > x + y = Tìm GTNN: P = 1 + ÷1 + ÷ y  x  Bài 64: Cho a, b, c > thỏa: 2  1  1 Bài 66: Cho x, y > thỏa: x + y = Tìm GTNN: E =  x + ÷ +  y + ÷ y  x  x y − + y x −3 Bài 67: Tìm GTLN biểu thức: P = (x ≥ 3; y ≥ 2) xy Bài 68: Tìm GTLN GTNN A = + x + − x với − ≤ x ≤ Bài 69: a) Tìm GTLN GTNN y = − x + + x ( − ≤ x ≤ 1) 2 b) Suy giá trị lớn tham số m để: − x + + x ≥ m với − ≤ x ≤ Bài 70: a) Tìm GTLN GTNN y = − x + + x ( − ≤ x ≤ 4) b) Tìm GTLN m để : − x + + x ≥ m với − ≤ x ≤ c) Tìm GTNN k để − x + + x ≤ k với − ≤ x ≤ Bài 71: Tìm GTLN hàm số sau: a) y = x + + x − + 21 − 3x b) y = x − + x − + − 3x với ≤x≤ Bài 72: Cho (x; y) nghiệm phương trình : x +3 y + 2xy − 10x − 14x +18 = Tìm nghiệm (x; y) cho S = x + y a) Đạt GTLN b) Đạt GTNN 2 Bài 73: Cho x, y hai số thực thỏa: x + y = Tìm GTLN GTNN của: A = x y + + y x + Bài 74: Cho a, b > thỏa: 3a + 5b = 12 Tìm GTLN: P = ab Bài 75: Cho x, y ≥ − x + y = Tìm GTLN : A = x + + y + Bài 76: Cho a, b > ab = 216 Tìm GTNN S = 6a + 4b 3a + 2c = 51 Tìm GTLN: P = a + b + c c + 5b = 21  2a + b = − 3c Bài 78: Cho a, b, c không âm thỏa:  Tìm GTNN E = 2a + 3b − 4c 3a + 4b = 3c + Bài 77: Cho a, b, c số không âm thỏa:  Bài 79: Tìm GTNN: E = x + x + + x − x + 1 b a b Bài 80: Cho a, b > thỏa: a + ≤ Tìm GTNN: A = + b a Bài 81: Cho a, b, c ba số thực thỏa: a, b, c ≥ a + b + c ≤ a b c 1 + + + + b) Tìm GTNN: B = 2 1+ a 1+ b 1+ c 1+ a 1+ b 1+ c 2 Bài 82: Cho a, b thỏa: a ≥ a + b ≥ Tìm GTNN: S = a + b Bài 83: Cho a ≥ b > 0; x, y hai biến số thỏa: x ≥ a x + y ≥ a + b Tìm GTNN: S = x + y a) Tìm GTLN: A = Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang 32 Bài 84: Cho a, b > thỏa a ≥ ab ≥ Tìm GTNN: S = a + b Bài 85: Cho x, y, z số nguyên dương thỏa: 12 x + 11 y + 34 z + 16 x + y + = xy + xz + 36 yz + 24 z Tìm GTNN: A = x − 2y + 3z Bài 86: Cho x, y, z số thỏa: xy + yz + zx = Tìm GTNN: P = x + y + z Bài 87: Cho x, y, z ba số không âm thỏa: xy + yz + zx = 100 Tìm GTLN A = xyz x2 y2 z2 + + y+z z+x x+ y Bài 89: Tìm GTLN, GTNN: y = x − x + 21x + 18 với − ≤ x ≤ (HSG HCM 91 – 92) Bài 88: Cho x, y, z > x + y + z = Tìm GTNN: P = Chuyên đề 10: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 2 Bài 1: Cho hàm số : y = − x a) Vẽ đồ thị (P) hàm số b) Trên (P) lấy hai điểm M N có hoành độ − 2; Viết phương trình đường thẳng MN c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) song song với đường thẳng MN cắt (P) điểm (Lê Hồng Phong 90 – 91) Bài 2: Cho hàm số : y = − x a) Khào sát vẽ đồ thị (p) hàm số b) Lập phương trình đường thẳng (D) qua A( − 2; − 2) tiếp xúc với (P) Bài 3: Cho hàm số : y = f ( x) = − x − x + a) Vẽ đồ thị hàm số b) Tìm tất giá trị x cho f(x) ≤ Bài 4: Cho hàm số : y = x y = x + m (m tham số) a) Tìm m cho đồ thị (p) y = x đồ thị (D) y = x + m có hai giao điểm phân biệt A B b) Tìm phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (D) (d) tiếp xúc với (P) c) i) Thiết lập công thức tính khoảng cách hai điểm theo tọa độ hai điểm ii) Áp dụng: Tìm m cho khoảng cách hai điểm A, B (ở câu 1) 3 Bài 5: Trong hệ trục tọa độ gọi (P) đồ thị hàm số y = a x (D) đồ thị hàm số y= − x+m a) Tìm a biết (P) qua A(2; − 1) vẽ (P) với a tìm b) Tìm m cho (D) tiếp xúc với (P) (ở câu 1) tìm tọa độ tiếp điểm c) Gọi B giao điểm (D) (ờ câu 2) với trục tung C điểm đối xứng A qua trục tung CMR C nằm (P) ∆ ABC vuông cân (Lê Hồng Phong 91 – 92) Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng : (D1): y = x + , (D2): x + 2y + = a) Tìm tọa độ giao điểm A (D1) (D2) đồ thị kiểm tra lại phép toán b) Tìm a hàm số y = a x có đồ thị (P) qua A Khảo sát vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm c) Tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A (Lê Hồng Phong 91 – 92) Bài 7: Cho (P) đồ thị hàm số y = a x điểm A( − 2; − 1) hệ trục a) Tìm a cho A thuộc (P) Vẽ (P) với a vừa tìm Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang 33 b) Gọi B điểm thuộc (P) có hoành độ Viết phương trình đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) song song với AB Bài 8: Cho Parabol (P): y = x đường thẳng (D) qua hai điểm A B (P) có hoành độ − a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (P) b) Viết phương trình đường thẳng (D) c) Tìm điểm M cung AB (P) (tương ứng hoành độ) x ∈ [ − 2; 4] cho tam giác MAB có diện tích lớn (Lê Hồng Phong HCM 93 – 94) Bài 9: Trong hệ trục vuông góc, cho Parabol (P): y = − x đường thẳng (D): y = mx − 2m − a) Vẽ (P) b) Tìm m cho (D) tiếp xúc (P) c) CMR (D) luôn qua điểm cố định A thuộc (P) x2 Bài 10: Trong hệ trục vuông góc có Parabol (P): y = đường thẳng (D) qua điểm 3  I  ; −1÷ có hệ số góc m 2  a) Vẽ (P) viết phương trình (D) b) Tìm m cho (D) tiếp xúc với (P) c) Tìm m cho (D) (P) có hai điểm chung phân biệt (Lê Hồng Phong HCM 95 – 96) Bài 11: Trong hệ trục tọa độ cho Parabol (P): y = x đường thẳng (D): y = − x + a) Vẽ (P) (D) b) Bằng phép toán, tìm tọa độ giao điểm (P) (D) c) Tìm tọa độ điểm thuộc (P) cho đường tiếp tuyến (P) song song với (D) Bài 12: Cho họ đường thẳng có phương trình : mx + (2m − 1)y + = (1) a) Viết phương trình đường thẳng qua A(2; 1) b) CMR đường thẳng qua điểm cố định M với m Tìm tọa độ M x3 + x − 8x − Bài 13: Cho hàm số: y = f ( x) = x2 − a) Tìm tập xác định hàm số b) Vẽ đồ thị (D) hàm số c) Qua điểm M(2; 2) vẽ đường thẳng không cắt đồ thị (D) hàm số ? Bài 14: Cho Parabol (P): y = x − 4x + a) CMR đường thẳng y = 2x − tiếp xúc với Parabol (P) b) Giải đồ thị BPT : x − 4x + > 2x − (PTNK HCM 1998) Bài 15: a) Cho đường thẳng (d1): y = kx + Tìm k để đường thẳng (d1) song song với đường thẳng (d2); biết (d2) qua hai điểm A(1; 2) B( − 3; − 2) b) Giải đồ thị BPT: x + ≥ x − (PTNK HCM 1999) 2 Bài 16: Cho Parabol y = x (P), điểm I(0; 2) điểm M(m; 0) với m ≠ a) b) c) d) Vẽ (P) Viết phương trình đường thẳng (D) qua hai điểm M, I CMR đường thẳng (D) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với m ≠ Gọi H K hình chiếu a B trục hoành CMR: ∆ IHK vuông Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang 34 e) CMR độ dài đoạn AB > với m ≠ (chuyên Bùi Thị Xuân HCM) Bài 17: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho Parabol (P): y = − x điểm I(0; − 2) Gọi (D) đường thẳng qua I có hệ số góc m a) Vẽ đồ thị (P) b) CMR với m, (D) cắt (P) hai điểm phân biệt A B Tìm quỹ tích trung điểm M AB c) Với giá trị M AB ngắn ? Tìm GTNN (HSG HCM 94 – 95) Bài 18: Cho hàm số y = x có đồ thị (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm quỹ tích điểm M qua vẽ hai đường thẳng vuông góc với tiếp xúc với (P) Bài 19: Trong hệ trục tọa độ, cho Parabol (P): y = a x (a ≠ 0) đường thẳng (D): y = kx + b a) Tìm k b cho biết (D) qua hai điểm A(1; 0) B(0; − 1) b) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm câu a c) Vẽ (D) (P) vừa tìm câu câu 3  d) Gọi (d) đường thẳng qua điểm C  ; −1÷ có hệ số góc m 2  i) Viết phương trình (d) ii) Chứng tỏ qua điểm C có hai đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) vuông góc với Bài 20: Cho hàm số y = x co1 đồ thị (P) mặt phẳng tọa độ Oxy a) Vẽ (P) b) Gọi A B hai điểm nằm (P) có hoành độ − CMR: ∆ OAB vuông c) Viết phương trình đường thẳng (D) song song với AB tiếp xúc với (P) d) Cho đường thẳng (d): y = mx + (với m tham số) i) CMR; (d) qua điểm cố định với m ii) Tìm m cho (d) cắt đồ thị (P) hai điểm có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn: 1 + = 11 Vẽ (d) với m vừa tìm x12 x22 Bài 21: Cho hàm số: y = x − x + + x − x + a) Vẽ đồ thị hàm số b) Tìm GTNN y giá trị x tương ứng c) Với giá trị x y ≥ Bài 22: Cho hàm số: y = x2 − x có đồ thị (P) a) Vẽ (P) b) Viết phương trình đường tiếp tuyến từ điểm A(2; − 2) đến (P) c) Tìm tập hợp điểm mà qua có hai tiếp tuyến vuông góc đến (P) (HSG HCM 92) Bài 23: Cho hàm số: y = x (P) a) Vẽ đồ thị (P) hàm số b) Tìm quỹ tích điểm M cho qua M kẻ hai đường thẳng vuông góc tiếp xúc với (P) (HSG HCM 95 – 96) − Bài 24: Trong củng mặt phẳng tọa độ cho Parabol (P): y = x + 4x − đường thẳng (D) : 2y + 4x − 17 = Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang 35 a) Vẽ (P) (D) b) Tìm vị trí A thuộc (P) B thuộc (D) cho độ dài đoạn AB ngắn Bài 25: Cho Parabol (P): y = − x + 6x − Gọi (d) đường thẳng qua A(3; 2) có hệ số góc m a) CMR; với m, đường thẳng (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt B, C b) Xác định đường thẳng (d) cho độ dài đoạn BC đạt GTNN (HSG HCM 96 – 97) x2 Bài 26: Cho Parabol (P): y = đường thẳng (d) có phương trình : y = mx + 2 a) CMR; với m, (d) luôn qua điểm cố định b) CMR; với m, (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt M, N Tim quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng MN Bài 27: Cho hai đường thẳng: (d1): y = ( m + 2m)x (d2): y = ax (a ≠ 0) a) Định a để (d2) qua A(3; − 1) b) Tìm giá trị m (d1) vuông góc với (d2) câu a Bài 28: Cho hàm số: y = ax + b a) Tìm a b cho biết đồ thị hàm số qua hai điểm M( − 1; 1) N(2; 4) Vẽ đồ thị (d1) hàm số với a, b vừa tìm b) Xác định m để đồ thị hàm số y = (2 m − m)x + m + m đường thẳng song song với (d1) Vẽ (d2) với m vừa tìm c) Gọi A điểm đường thẳng (d1) có hoành độ x = Tìm phương trình đường thẳng (d3) qua A vuông góc với hai đường thẳng (d1) (d2) Tính khoảng cách (d1) (d2) Bài 29: Cho hàm số: y = mx − 2m − (1) (m ≠ 0) a) Xác định m để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ O Vẽ đồ thị (d1) với m tìm b) Tính theo m tọa độ giao điểm A, B đồ thị hàm số (1) với trục Ox, Oy Xác định m để tam giác AOB có diện tích (đ.v.d.t) c) CMR; đồ thị hàm số (1) luôn qua điểm cố định m thay đổi Bài 30: Cho Parabol (P): y = a x hai điểm A(2; 3) , B( − 1; 0) a) Tìm a biết (P) qua điểm M(1; 2) Khảo sát vẽ (P) với a vừa tìm b) Tìm phương trình đường thẳng AB tìm giao điểm đường thẳng với (P) (ờ câu a) c) Gọi C giao điểm có hoành độ dương Viết phương trình đường thẳng qua C có với (P) điểm chung Bài 31: a) Cho Parabol (P): y = a x ; cho biết điểm A(1; − 1) ∈ (P) Xác định a vẽ (P) với a tìm b) Biện luận số giao điểm (P) đường thẳng (d): y = 2mx − m + 1  c) CMR; I  ; ÷ thuộc (d) với m Tìm phương trình đương thẳng qua I có với 2  (P) điềm chung Bài 32: a) Khảo sát vẽ đồ thị (P) hàm số y = x2 đường thẳng (d): y = x − 2 b) CMR; (d) tiếp tuyến (P) c) Biện luận số giao điểm (P) (d’): y = x − m hai cách (đồ thị phép toán) x2 Bài 33: Cho Parabol (P): y = đường thẳng (d) qua hai điểm A B thuộc (P) có hoành − độ a) Khảo sát vẽ đổ thị (P) Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang 36 b) Viết phương trình đường thẳng (d) c) Tìm điểm M cung AB (P) cho tam giác ABC có diện tích lớn d) Tìm trục Ox điểm N cho NA + NB nhỏ Bài 34: Cho Parabol (P): y = a x hai điểm A( − 2; − 5) B(3; 5) a) Viết phương trình đường thẳng AB Xác định a để đường thẳng AB tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm b) Khảo sát vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm c) Một đường thẳng (D) di động luôn vuông góc với AB cắt (P) hai điểm M N Xác định vị trí (D) để MN = Bài 35: Cho hàm số: y = x − 2x + m − có đồ thị (P) a) Vẽ đồ thị (P) m = b) Xác định m để đồ thị (P) hàm số tiếp xúc với trục hoành c) Xác định m để đồ thị (P) hàm số cắt đường thẳng (d) có phương trình : y = x + hai điểm phân biệt Bài 36: Cho đường thẳng (D1): y = mx − (D2): y = 2mx + − m a) Vẽ mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng (D1) (D2) ứng với m = Tìm tọa độ giao điểm B chúng Qua O viết phương trình đường thẳng vuông góc với (D1) A xác định A tính diện tích tam giác AOB b) CMR; đường thẳng (D1) (D2) qua điểm cố định Tìm tọa độ điểm cố định Bài 37: Cho hai đường thẳng (d1) (d2) có phương trình : (d1): y = 3− m x + 2m − ; (d2): y = −(m + 2) x + − 2m a) CMR; (d1) (d2) qua điểm cố định Tìm tọa độ điểm cố định b) Viết phương trình đường thẳng (d1) (d2); cho biết (d1) ⊥ (d2) c) Viết phương trình đường thẳng (d1) (d2); cho biết (d1) // (d2) Bài 38: Cho điểm A(1; 1) hai đường thẳng (d1): y = x − ; (d2): y = 4x + Hãy viết phương trình đường thẳng (d) qua A cắt đường thẳng (d 1), (d2) tạo thành tam giác vuông Bài 39: Cho Parabol (P): y = x − 6x + Viết phương trình tiếp tuyến với (P) qua điểm M(0 ; 1) x2 Bài 40: Cho Parabol (P): y = − a) CMR; điểm A( 2; 1) nằm Parabol (P) b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A có chung với (P) điểm c) Vẽ (P) tiếp tuyến (d) câu b Bài 41: Cho Parabol (P) : y = x điểm A(3; 0) Điểm M có hoành độ a thuộc (P) a) Tính khoảng cách AM theo a Xác định a AM ngắn b) CMR; AM ngắn đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến (P) M Bài 42: Cho Parabol (P): y = x2 a) Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc m qua điểm A trục hoành có hoành độ đường thẳng gọi (D) b) Biện luận theo m số giao điểm (P) đường thẳng (D) Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang 37 c) Viết phương trình đường thẳng (D) cắt (P) hai điểm phân biệt A B Tìm quỹ tích trung điểm I AB d) Tìm (P) điểm mà đường thẳng (D) không qua với m Bài 43: Cho Parabol (P): y = x − 4x + điểm A(2; 1) Gọi (d) đường thẳng qua A có hệ số góc m a) CMR; (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt M N b) Xác định m để MN ngắn Bài 44: Cho hàm số: y = x − 2mx + m − có đồ thị (P) a) CMR; với m, đồ thị (P) luôn cắt trục hoành hai điểm phân biệt b) CMR; m thay đổi, đỉnh Parabol luôn chạy đường thẳng song song với trục hoành Bài 45: Cho hàm số y = x − x + + x + x + + ax a) Xác định a để hàm số luôn đồng biến b) Xác định a để đồ thị hàm số qua điểm B(1; 6) Vẽ đồ thị (C) với a tìm c) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình : x2 − 4x + + x2 + x + = x + m Bài 46: Cho Parabol (P): y = a x + bx − (a ≥ ) a) Xác định a b đỉnh Parabol nằm đường thẳng (d) có phương trình: y = 2x + b) Vẽ (P) với a b vừa tìm vẽ (d) hệ trục Oxy Bài 47: a) Vẽ đồ thị hàm số: y = x − x + − x − x + − x + x + (C) b) Dùng đồ thị (C) giải biện luận số nghiệm phương trình : x − x + − x − x + = m + x + x + tùy theo giá trị m Bài 48: Trong hệ trục tọa độ vuông góc Oxy a) Vẽ tập hợp điểm M(x; y) mà tọa độ (x; y) thỏa mãn: x − + y − = b) Tìm m cho hệ phương trình sau có nghiệm: (1)  x − + y − =  ( x − y ) + m( x − y − 1) − x + y = (2) Bài 49: Trong hệ trục tọa độ vuông góc Oxy a) Vẽ tập hợp điểm M(x; y) mà tọa độ (x; y) thỏa mãn: x − y = (C)  y = x + (m tham sô)  y = m + b) Từ (C) suy số nghiệm hệ phương trình :  Bài 50: a) Vẽ đồ thị hàm số: y = x − x + + x − x + + x + b) Dùng đồ thị đây, biện luận theo m số nghiệm phương trình : x2 − x + + x2 − 6x + = x + m −1 Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang 38 Chuyên đề 11: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Bài 1: Cho phương trình x +1+ x + + x = a (x ẩn số) a) Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa b) Với giá trị a phương trình có nghiệm số ? Tính x theo a Bài 2: Giải phương trình : a) x + = x − b) − x − + x = c) − x + + x = Bài 3: Giải phương trình : x2 + x − = 3+ x x −1 (Lê Hồng Phong HCM 92 – 93) Bài 4: Giải phương trình : a) x −5 − b) − 2x2 = x −1 x − 14 =3 3+ x −5 c) x + y + z + = x − + y − + z − Bài 5: Cho phương trình có số ẩn x : x − = x − a a) Giải phương trình với a = b) Giải biện luận phương trình theo tham số a (Lê Hồng Phong HCM 95 – 96) Bài 6: Giải phương trình : 3x − 12 x + 16 + y − y + 13 = (HSG HCM 1998) 2x + x −1 ,B= Với giá trị số x A có nghĩa B x −1 x + 10 Bài 7: a) Cho A = không cố nghĩa b) Giải phương trình : A = B Bài 8: Giải phương trình : a) x + = x( x + 1)  x + y − = 3 x + y = d)  (PTNK ĐHQG HCM 1998) b) − x = x − c) e) x + x = x + x + − x f) x + x + = 2 x + Bài 9: Giải phương trình : a) x − x + + x + x + = c) (5−2 6) x + ( 5+2 6) x = 10 + x − 2x = b) x + + x −1 + x + − x −1 = d) x − 3x + + x − x + = x − x + Bài 10: Tìm số nguyên dương a, b, c thỏa mãn đồng thời:  a−b+c = a − b + c  1 1  + + =1 a b c Bài 11: Giải phương trình : x a) x = x − + − x b) x + x + + x + = (chuyên toán ĐHTH HCM 93 – 94) Bài 12: a) Giải phương trình : − x = 49 − x3 − 12 3x b) CMR: 49 + 20 + 49 − 20 = (chuyên toán ĐHTH HCM 93 – 94) Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang 39 16 + x−3 Bài 13: Giải phương trình : 1225 + = 82 − x − − y − − z − 665 y −1 z − 665  x+ y 12 = ( x + y ) − x− y x− y Bài 14: Giải hệ phương trình :   xy = 15  Bài 15: a) Giải phương trình : − 2x − x =5 + 3x + x − b) Tìm giá trị nguyên x y cho x + y số nguyên tố Bài 16: Tìm tất cặp số tự nhiên x, y cho: x + y = 1989 (HSG HCM 89) Bài 17: Giải phương trình : − x + x + = x − x + 13 (HSG HCM 90 – 91) 2 Bài 18: Giải phương trình : x − + x − = Bài 19: a) Giải phương trình : (HSG HCM 94 – 95) x + + 2( x + 1) = x − + − x + − x b) Với giá trị tham số a, phương trình sau có nghiệm nhất: x − a + = x + Bài 20: Cho phương trình : a) Tính: 25 − x − 15 − x = 25 − x + 15 − x b) Tìm giá trị thực x thỏa mãn: Bài 21: Giải phương trình : 25 − x − 15 − x = x+3 a) x + x −1 + x − x −1 = c) x + + 2x − + x − − 2x − = 2 b) x − x − = x − x + 12 d) x − 10 x + 21 = x − + − x e) x + = x − x + f) x−2 = x−4 g ) 3( x − x + 1) = ( x + x − 1) h) x−4 = 4− x i) k) x2 − x + = x −1 j) x − x + = x + x2 − x + = x2 − 2x −1 l) x+3 + x = m) 15 − x − x − = n) =2 2− x +3 o) x−2 + q) x − x −1 + x + − x −1 = s) x + x −1 = x − 2x −1 + x + 2x −1 (5 − x) − x + ( x − 3) x − =2 5− x + x −3 p) x + x + − x + x − = x − r) x + − x −1 + x + + x −1 = Bài 22: Với giá trị tham số m, phương trình sau có nghiệm ? Tìm nghiệm theo m x + 16 − 4m = x + − 2m − x Bài 23: Giải phương trình sau: a ) x + x = x + x + + 20 b) − x = − x − −(2 x + 5) c) + x + x − = x − x − d) e) x +1 x −1 − = x −1 x +1 f) x2 − 3x − = − x 3x − x −1 + x − = 2x − Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang 40 Bài 24: Giải phương trình : x + − x + x − − x − = x + Bài 25: Giải phương trình : a) x + 3x − − x + + = b) c ) (9 − x ) − x = (HSG QG 1978 – 1979) x−2 =1 x −1 −1 d) − x − x = x + e) ( x − 3)( x + 1) + 3( x − 3) x +1 =4 x−3 f) ( x + 2)( x + 4) + 5( x + 2) g ) ( x − 5)( x − 1) + 3( x − 5) x −1 =4 x−5 h) ( x − 2)( x − 4) − 5( x − 2) i ) 3x x + x − x = x +1 − j) x+4 =6 x+2 x−4 =6 x−2 x =1 Bài 26: Giải hệ phương trình sau :  x + y − = a)   x − y + = 2( y − 1)  x + y + = b)   x − y + = y − Bài 27: Giải biện luận theo tham số m phương trình sau: a) x − x = m − m b) x + − m x = c) x + x − = x + m Bài 28: Giải hệ phương trình :  2001 (1)  + x1 + + x2 + + + x2000 = 2000 2000   1999  − x + − x + + − x = 2000 (2) 2000  2000 Bài 29: Giải phương trình : a) x +1 − − x = c ) 14 − x − x − = x − b) x − x + − 2( x + x) = x − d) 13x e) + x − x2 = − 2x2 f) g) x + + x −1 = − x2 x + − x −1 h) 3 − x x = 20 x x + + 3x + = x − x − + x +1 = Bài 30: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m : a) x − = x − m c) b) x − 2mx + 4m + = − x x2 − x + = x2 − 2x + + m − m2 Bài 31: Cho phương trình : x + x − + x + + x − = m + a) Giải phương trình m = b) Xác định m để phương trình có nghiệm Bài 32: Cho phương trình : x − x + m + = x − (m tham số) c) Giải phương trình m = − d) Xác định m để phương trình có nghiệm Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang 41 Bài 33: Giải phương trình : a) + x + − x = c) e) x +1 + x + + x + = x− 1 x −1 − 1− = x x x b) x − 16 + x+3 = x−3 x −3 d) x+ x − x− x = x x+ x f) x − x + = −2 x + 10 x − 11 g ) x3 − x − x − = x3 + x + x − Bài 34: Cho phương trình : − x + + x = a a) Giải phương trình a = b) Tìm điều kiện a để phương trình có nghiệm Bài 35: Cho phương trình : x + x − x + + m + = Giải phương trình m = − Định m để phương trình có nghiệm phân biệt Chuyên đề 12: BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải biện luận theo tham số m, bất phương trình : (x + 2)(x − 3m) > (x − 3)(x + m − 1) (2 x + 3)(5 − x ) x +1 − b) Giải đồ thị bất phương trình : x + ≥ x Bài 2: a) Tìm tập xác định hàm số: y = f ( x) = Bài 3: Giải bất phương trình sau: a) (x − 1)(3x + 2) > 3x(x + 2) + Bài 4: Giải bất phương trình : b) − x − x + ≤ (HSG HCM 92 – 93) x − x + 16 ≥ − x 2  x + y = 2  x + (5 y + 2) x + y + y < Bài 5: Cho hệ phương trình với ẩn số x:  Tìm y hệ có nghiệm x Bài 6: Giải bất phương trình sau: a) ( x − 2x + 3)( x + 4x − 5) > b) x − < x + x + Bài 7: Giải biện luận bất phương trình (ần x, tham số m) a ) mx( x + 1) > mx( x + m) + m − b) ( x + m) > ( x + m)(2 x − m + 1) c ) m x − > x + m − 4m d) (m x − 1) < ( x − 1) Bài 8: Giải bất phương trình sau: a) x −1 + x − 12 x + 15 >0 x −1 b) x2 − 4x + 25 − x >0 c ) (2 x + 3x + 4)2 − ( x + x + 4) > Bài 9: Tìm tất cặp số (x; y) thỏa mãn đồng thời khẳng định: a) (i): x − xy + = b) (i): x − xy + = (ii): x + y ≤ 81 (ii): x + y ≤ 60 (iii): x số nguyên (iii): x số nguyên Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang 42 Chuyên đề 13: TOÁN SUY LUẬN LOGIC Chuyên đề 14: SỐ HỌC Chuyên đề 15: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Chuyên đề 16: NGUYÊN TẮC CỰC HẠN Chuyên đề 17: NGUYÊN TẮC DIRICHLET Chuyên đề 18: BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC Chuyên đề 19: CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC Chuyên đề 20: HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC, TRONG ĐƯỜNG TRÒN Chuyên đề 21: BÀI TOÁN DIỆN TÍCH Chuyên đề 22: CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN VÀ CHỨNG MINH ĐẶC TÍNH HÌNH HỌC Chuyên đề 23: QUỸ TÍCH VÀ DỰNG HÌNH Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang 43 Bài 1: Cho (O; R) tam giác cân ABC có AB = AC nội tiếp (O; R), kẻ đường kính AI Gọi M điểm cung nhỏ »AC Mx tia đối tia MC Trên tia đối tia MB lấy điểm D cho MD = MC · a) CMR tia MA phân giác góc BMx b) Gọi K giao điểm thứ hai đường thẳng DC với đường tròn (O) Tứ giác MIKD hình ? Vì ? c) Gọi G trọng tâm ∆ MDK CMR; M di động cung nhỏ »AC G nằm đường tròn cố định d) Gọi N giao điểm thứ hai đường thẳng AD với đường tròn (O) Gọi P giao điểm thứ hai phân giác góc IBN với đường tròn (O) CMR; đường thẳng DP luôn qua điểm cố định M di động cung nhỏ »AC (Hà Nội – Amsterdam 1994) » Bài 2: Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi D điểm cung BC không chứa điểm A Vẽ đường tròn qua D tiếp xúc với AB B Vẽ đường tròn qua D tiếp xúc với AC C Gọi E giao điểm thứ hai đường tròn CMR; B, C, E thẳng hang Một đường tròn tâm K di động luôn qua A D, cắt AB AC theo thứ tự M N CMR; BM = CN Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng MN Bài 3: Cho đoạn thẳng AB cố định Một điểm M di động đoạn AB Dựng nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB hình vuông AMDE MBGH Gọi O O’ tương ứng tâm hình vuông AMDE MBGH a) Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng OO’ b) CMR; AH EG qua giao điểm N khác M đường tròn ngoại tiếp hình vuông AMDE MBGH c) CMR; đường thẳng MN luôn qua điểm cố định Bài 4: Cho (O; R) (O’; R’) cắt A D Vẽ đường kính AOB AO’C vuông góc với A Một đường thẳng d qua A cắt nửa đường tròn không chứa điểm D (O) (O’) tương ứng điểm M N khác A a) CMR; ∆ ABM đồng dạng với ∆ CAN b) Tìm quỹ tích giao điểm P OM O’N d di động c) Tiếp tuyến M (O) cắt AD I CMR; IM2 = IA ID d) Suy vị trí cát tuyến d tiếp tuyến M với đường tròn (O) tiếp tuyến N đường tròn (O’) cắt điểm thuộc đường thẳng AD e) Xác định vị trí D cho tứ giác MNCB có diện tích lớn Tìm GTLN theo R R’ µ = 800 Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM = BC Bài 5: a) Một ∆ ABC có µA = 200 B · Tính BMC b) Cho ∆ ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M Trên cạnh Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang 44 Giáo viên soạn: Nguyễn Văn Dương – SĐT: 0988298701 Trang 45