giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 hay

53 535 0
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 25/08/2016, 14:31

Ngày soạn 5/12/2014 BUỔI : HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A MỤC TIÊU: * Củng cố nâng cao kiến thức phép nhân đa thức – đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ giải tốn phép nhân đa thức – đẳng thức * Tạo hứng thú cho HS q trình học nâng cao mơn tốn B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Nhắc lại nội dung học: Nhân đa thức với đa thức: A( B + C + D) = AB + AC + AD (A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE 2.Những đẳng thức đáng nhớ: Bình phương tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) Bình phương hiệu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) II Bài tập áp dụng: Hoạt động GV Hoạt động HS Bài 1: Rút gọn biểu thức HS ghi đề, thực theo nhóm a) (x + 1) (x + 2x + 4) HS GV thực lời giải Thực phép nhân rút gọn a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) =x3 + 2x2 + 4x + x2 + 2x + = x3 + 3x2 + 6x + b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) = …= x7 + x2 + c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 = [(3x + 1) – (3x + 5)]2 = (3x + – 3x – 5)2 = (- 4)2 = 16 Bài 2: Tìm x biết: 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = 172 HS ghi đề giải theo nhóm phút áp dụng H.đẳng thức để giải áp dụng H.đẳng thức (1), (2), (3) Biến đổi, rút gọn vế trái 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = 172 ⇔ 3(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + – 7(x2 – 9) = 172 ⇔ … ⇔ 8x = 96 ⇔ x = 12 Bài 3: Cho x + y = a; xy = b tính giá trị biểu HS ghi đề bài, tiến hành giải thức sau theo a b: Ta có x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x2 + y2; x4 + y4 x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 - 4a2b + 2b2 Bài 4: chứng minh a) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – y4 HS ghi đề, tiến hành giải với GV a)VT = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) b) Nếu: (a + b)2 = 2(a2 + b2) thì: a = b Từ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy điều gì? c) Nếu: x + y + z = xy + yz + zx = x = y = z Từ : x + y + z = ⇒ (x + y + z)2 =? Từ đo ta có điều gì? d) cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = c/m: a4 + b4 + c4 = HD cách giải tương tự Bài 5: So sánh: a) A = 1997 1999 B = 19982 = x4 – x3y + x2y2 – xy3 +x3y - x2y2 + xy3- y4 = x4 – y4 = VP (đpcm) b) Từ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 ⇒ a2 - 2ab + b2 = ⇒ (a – b)2 = ⇒ a – b = ⇒ a = b (đpcm) c) Từ : x + y + z = ⇒ (x + y + z)2 = ⇒ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = ⇒ x2 + y2 + z2 = ( xy + yz + zx = 0) ⇒ x=y=z d) Từ a + b + c = ⇒ (a + b + c )2 = ⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = ⇒ ab + bc + ca = -1 (1) Ta lại có: (a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = (2) Từ (1) ⇒ (ab + bc + ca)2 = ⇒ a2b2 + b2c2 + c2a2 = (3) Từ (2) (3) suy a4 + b4 + c4 = a) A = 1997 1999 = (1998 – 1)(1998 + 1) = 19982 – < 19982 ⇒ A < B b) Vì = b)A = 4(32 + 1)(34 + 1)…(364 + 1) B = 3128 - Tính theo 32 – 1? Khi A = ? áp dụng đẳng thức liên tiếp để so sánh A B Bài 6: a) Cho a = 11…1( co n chữ số 1) b = 100…05( có n – chữ số 0) Cmr: ab + số phương 32 − nên A = 4(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) 32 − = (3 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (3 - 1) (34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (38 - 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (316 - 1)(316 + 1)(332 + 1)(364 + 1) = (332 - 1)(332 + 1)(364 + 1) 64 1 = (3 - 1)(364 + 1) = (3128 - 1) = B 2 Vậy: A < B Ta có: b = 10n + = 9….9 + = 9(1…1) + = 9a + ⇒ ab + = a(9a + 6) + = 9a2 + 6a +1 = (3a + 1)2 số phương Un = n sè Ta viết: n sè + n sè n sè n sè b) Cho Un = 11…155…5 (có n chữ số n chữ số 5) Cmr: Un + số phương = = 11…1.10n + 11…1 Đặt: a = 11…1 9a + = 10n Do : Un + = 9a2 + 6a +1 =(3a + 1)2 III Bài tập nhà: Bài 1: cho x + y = Tính giá trị biểu thức: x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y + Bài 2: Chứng minh rằng: x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Bài 3: Cho (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2) Cmr: a = b = c Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu n tổng hai số phương 2n n2 củng tổng hai số phương Bài 5: So sánh: x−y x2 − y2 A= với B = (Với < y < x ) x+y x + y2 Ngày soạn 7/12/2014 BUỔI : HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A MỤC TIÊU: * Củng cố nâng cao kiến thức đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ giải tốn đẳng thức * Tạo hứng thú cho HS q trình học nâng cao mơn tốn B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Nhắc lại nội dung học: Những đẳng thức đáng nhớ: Bình phương tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) Bình phương hiệu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) Lập phương tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (4) Lập phương hiệu: (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 (5) Tổng hai lập phương: A3 + B3 = ( A + B )( A2 – AB + B2 ) (6) Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = ( A – B )( A2 + AB + B2 ) (7) Bình phương tổng ba hạng tử: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC) II Bài tập áp dụng: Hoạt động GV Hoạt động HS Bài 1: Rút gọn biểu thức: a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) HS ghi đề, tiến hành giải Cho HS ghi đề, tiến hành giải 1HS lên giải Ta thực phép tính nào? a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) = = 5x - HS thực hiện, 1HS lên giải 2 b) (x - 2)(x - 2x + 4)(x + 2)(x + 2x + 4) b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) Ta nên thực phép tính nào? = (x - 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 - 2x + 4) = (x3 - 8)(x3 + 8) = x6 - 64 Bài 2: Tìm x biết (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = Để tìm x ta làm nào? HS ghi đề, tiến hành giải Thực phép tính, rút gọn vế trái 1HS lên bảng giải (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = ⇔ x3 - 27 - x(x + 2)(x - 2) = ⇔ x3 - 27 - x(x2 - 4) = ⇔ x3 - 27 - x3 + 4x = ⇔ 4x = 28 ⇔ x = Bài 3: Viết biểu thức sau dạng tổng ba bình phương: A = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 Cho HS suy nghĩ, tìm cách giải Nếu HS chưa giải gợi ý: Hãy triển khai, tách tổng thành ba HS ghi đề, tìm cách giải Đại diện HS lên trình bày( Nếu khơng giải theo Hd GV) A = a2+ b2+ c2 +2ab+2bc+ ca+ a2+ b2+ c2 = (a2+ 2ab+ b2) + (a2 +2ac+ c2) + (b2+ 2bc+ c2) tổng có dạng: A2 + 2AB + B2 Bài 4: Tính giá trị Bt biết giá tri Bt khác a) Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10 Tính giá trị Bt A = x3 + y3 Cho HS giải Viết A thành tích Để tính giá trị A ta cần tính xy Tính xy nào? Từ : x + y = 2; x2 + y2 = 10 Hãy tìm cách tính xy b) Cho a + b + c = ; a2 + b2 + c2 = Tính giá trị Bt: B = a4 + b4 + c4 ? Để có a4 + b4 + c4 ta làm nào? Nhiệm vụ làm gì? Để có (a2b2 + b2c2 + c2a2) ta phải làm gì? Khi ab + bc + ca = ? a2b2 + b2c2 + c2a2 = ? Từ đây, làm để tính giá trị Bt B Bài 5: { ; b = 1 { c = 6 { Cho a = 1 2n n +1 n Chứng minh rằng: A = a + b + c + số phương Để chứng minh tổng số phương, ta cần c/m gì? A=a+b+c+8=? 9 Ta có: 11 { = (11 1) { Viết thành luỹ n thừa 10? n = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 HS giải A = (x + y)(x2 + y2 - xy) = 2( 10 - xy) (1) HS suy nghĩ, tìm cách tính xy Từ x + y = ⇒ x2 + y2 + 2xy = ⇒ xy = - (2) Thay (2) vào (1) ta có : A = 2(10 + 3) = 26 HS ghi đề Bình phương Bt: a2 + b2 + c2 = 1, ta có a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = ⇒ a4 + b4 + c4 = - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1) Tính: 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) ta phải bình phương Bt: (ab + bc + ca) Ta bình phương Bt: a + b + c = 0, ta có: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 1 ⇒ (ab + bc + ca)2 = ⇔ a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(a + b + c) abc = ⇒ a2b2 + b2c2 + c2a2 = (2) ⇒ ab + bc + ca = − Thay (2) vào (1) ta có: B = - 1 =1- = 2 HS ghi đề, tìm cách giải Để chứng minh tổng số phương, ta cần c/m bình phương số { + 1 { + 6 { +8 A = 1 2n n +1 n = 1 1 { )+8 ({ ) + ({ ) + 6( 1 2n n + n 9 102n − 10n +1 − 10n − + + +8 9 102n + 10n +1 + 10 n + 64 102n + 16.10n + 64 = = 9 = 2   10n +   100 08   = ÷ = ÷ =  33 36 ÷  12    n −1  Bài 6: Tồn hay khơng số x, y, z thỗ mãn đẳng thức: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = Hãy biến đổi vế trái đẳng thức thành dạng x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = ⇔ (x2- 4x+ 4)+(4y2+4y+1)+(z2- 8z +16)+ = tổng bình phương? ⇔ (x - 2)2 + (2y + 1)2 + (z - 4)2 + = Có nhận xét hai vế đẳng thức? Rõ ràng, vế trái đẳng thức số dương với x, y, z; vế phải Ta có kết luận gì? Vậy khơng tồn số x, y, z thỗ mãn đẳng thức: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = Ta nói : Biểu thức A = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 có giá trị nhỏ x = ; y = − z=4 Bài tập nhà Bài 1: Rút gọn biểu thức: a) (y - 2)(y + 2)(y2 + 4) - (y + 3)(y - 3)(y2 + 9) b) 2(x2 - xy + y2)(x - y)(x2 + xy + y2)(x + y) - 2(x6 - y6) Bài 2: a) Cho x - y = Tính giá trị Bt: A = x3 - y3 - 3xy b) Cho x + y = a + b; x2 + y2 = a2 + b2 Tính x3 + y3 theo a b Bài 3: Chứng minh Nếu a + b + c = a3 + b3 + c3 = abc Ngày soạn 15/12/2014 BUỔI : ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, HÌNH THANG A MỤC TIÊU: - Củng cố nâng cao kiến thức hình thang, đường trung bình tam giác, đường trung bình hình thang - Tiếp tục rèn luyện kỷ chứng minh hình học cho HS - tạo niềm tin hứng thú cho HS học nâng cao B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Nhắc lại số kiến thức học: Đường trung bình tam giác A * Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác E gọi đường trung bình tam giác F - E trung điểm AB, F trung điểm AC thi EF đường trung bình ∆ ABC B C - Nếu E trung điểm AB EF // BC F trung điểm AC - EF đường trung bình ∆ ABC EF // BC EF = BC Đường trung bình hình thang: * Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang gọi đường trung bình hình thang + Hình thang ABCD (AB // CD) có M trung điểm AD, N trung điểm BC MN đường trung bình hình thang ABCD + Nếu MA = MD, MN // CD // AB NB = NC + MN đường trung bình hình thang ABCD MN // AB // CD MN = (AB + CD) II Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho ∆ ABC cạnh a Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB AC a) Tứ giác BCMN hình gì? sao? b) Tính chu vi tứ giác BCNM theo a Cho HS tìm lời giải phút Dự đốn dạng tứ giác BCNM? Để c/m tứ giác BCNM hình thang cân ta cần c/m gì? Vì MN // BC µ =C µ? Vì B Từ ta có KL gì? HS ghi đề Viết GT, KL, vẽ hình HS suy nghĩ, tìm lời giải HS dự đốn c/m: MN // BC µ =C µ B A M N B C Từ GT ⇒ MN đường trung bình ∆ ABC ⇒ MN // BC (1) MN = µ =C µ = 600 (3) ∆ ABC nên B BC (2) Từ (1) (3) suy tứ giác BCNM hình thang cân III Bài tập nhà: Bài 1: µ = 900); AB = CD = AB Cho hình thang vng ABCD (AB // CD, A kẻ CH ⊥ AB, Gọi giao điểm AC DH E, giao điểm BD CH F a) Tứ giác ADCH hình gì? b) C/m : AC ⊥ BC c) EF = 1 DC = AB Bài 2: Chứng minh rằng: Đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo hình thang song song với hai đáy nửa hiệu hai đáy Ngày soạn 22/12/2014 BUỔI PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A MỤC TIÊU: * Củng cố, khắc sâu nâng cao kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử * HS sử dụng thành thạo phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử * Vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử vào tốn chứng minh, tìm giá trị biểu thức, biến B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Nhắc lại kiến thức học: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: * Phương pháp đặt nhân tử chung: AB + AC + AD = A(B + C + D) * Phương pháp dùng đẳng thức: Sử dụng Hđt để viết đa thức thành tích * Phương pháp nhóm hạng tử: Nhóm hạng tử với để làm xuất nhân tử chung xuất đẳng thức * Phương pháp tách hạng tử : Với đa thức dạng: a x2 + bx + c ta làm sau: Viết tích ac = b1b2 = b3b4 = sau chọn thừa số có tổng b Tách bx = (b1x + b2x) b = b1 + b2 Khi a x2 + bx + c = (b1 x2 + b1x) + ( b2x + b2) = * Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt ẩn phụ để đưa biểu thức cần phân tích thành biểu thức dễ phân tích * Phương pháp Thêm bớt hạng tử : Thêm bớt hạng tử để làm xuất nhân tử chung đẳng thức * Phối hợp nhiều phương pháp: sử dụng đồng thời nhiều phương pháp để phân tích II Bài tập vận dụng: Hoạt động Giáo viên Hoạt động học sinh Bài 1: Phân tích thành nhân tử: a) 25x4 – 10x2y + y2 áp dụng phương pháp để phân tích đa thức b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 Bài 2: Phân tích thành nhân tử a) x4 + 2x3 – 4x - Ta áp dụng phương pháp để phân tích b) x3 +2x2y – x – 2y c) ac2x – adx – bc2x + cdx +bdx – c3x Bài 3: Phân tích thành nhân tử a) x2 – 6x + áp dụng phương pháp để phân tích? Phân tích cách tách hạng tử nào? tách nào? Có thể tách khác để xuất đẳng thức tiếp tục phân tích Tương tự, GV HS tìm cách phân tích khác phương pháp tách hạng tử b) a4 + a2 + Hãy tách a2 thành hạng tử để phân tích c) x3 – 19x – 30 Hãy tách hạng tử -19x để phân tích HS: áp dụng PP dùng Hđt 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2)2 – 5x2.y + y2 = (5x2 – y)2 b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 = (2m)3 + 3.(2m)2.3n + 3.2m.(3n)2 + (3n)3 = (2m + 3n)3 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 = [(4x2 – 3x -18) – (4x2 + 3x)][(4x2 – 3x -18) + (4x2 + 3x)] = (8x2 – 18) (- 6x – 18) = 2(4x2 – 9)[- 6(x + 3)] = -12(2x + 3)(2x – 3)(x + 3) áp dụng phương pháp nhóm hạng tử a) x4 + 2x3 – 4x – = (x4 – ) + (2x3 – 4x) = (x2 + 2)(x2 – 2) + 2x(x2 – 2) = (x2 – 2)(x2 + 2x + 2) b) x3 +2x2y – x – 2y = x2 (x + 2y) – (x + 2y) = (x + 2y)(x2 – 1) = (x + 2y)(x – 1)(x + 1) c) ac2x – adx – bc2x + cdx + bdx – c3x = (– adx + bdx + cdx) + (ac2x – bc2x – c3x) = dx( -a + b + c) + c2x(a – b – c) = x[(b + c – a)d – c2(b + c – a)] = x(b + c – a) (d - c2) HS ghi đề Cách 1: Vì 1.8 = 2.4 = (-4)(-2); -6 = (-2) + (-4) nên ta có: x2 – 6x + = (x2 - 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x - 4) Cách 2: x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = …? Cách 3: x2 – 6x + = (x2 – 4) – 6x + 12 =…? Cách 4: x2 – 6x + = (x2 – 16) – 6x + 24 = ? HS nhà tìm thêm cách khác b) a4 + a2 + = (a4 + 2a2 + ) – a2 = (a2 + 1)2 – a2 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1) c) x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) – (10x + 30) = x(x2 – 9) – 10 (x + 3) = (x + 3)[x(x – 3) – 10] = (x + 3)(x2 – 3x – 10) = (x + 3) [(x2 – 5x) + (2x – 10)] = (x + 3)[x(x – 5) + 2(x – 5)] = (x + 3)(x – 5)(x + 2) Bài 4: Phân tích thành nhân tử a) a4 + 64 Dạng a2 + b2 nên ta thêm bớt hạng tử để xuất đẳng thức b) x5 – x4 - c) a3 + b3 + c3 - 3abc Ta có a3 + b3, nên thêm bớt hạng tử để xuất đẳng thức Hãy phân tích đa thức thành nhân tử Bài 5: Phân tích thành nhân tử a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 Ta sử dụng phương pháp để phân tích b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 Yc HS làm tương tự câu a Bài 6: a) Cho a + b + c = c/m rằng: a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) Từ a + b + c = ⇒ ? thêm bớt 2ab ta có; a4 + 64 = (a2)2 + 2.8a2 + 64 – 2.8a2 = (a2 + 8)2 – (4a)2 = (a2 + 4a + 8)(a2 - 4a + 8) b) x5 – x4 – = (x5 - x4 + x3) - (x3- x2 + x) - (x2 - x + 1) = x3 (x2 - x + 1) - x (x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x - 1) HS suy nghĩ, trả lời c) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a3+ b3+ 3a2b+ 3ab2)+ c3- (3a2b+ 3ab2+3abc) = (a + b)3+ c3- 3ab(a+ b+ c) = (a+ b+ c)[(a+ b)2- (a+ b)c + c2] - 3ab(a+b+c) = (a+ b+ c)(a2+ b2+ c2 - ab - ac - bc) a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2 + x )2 + 4(x2 + x ) – 12 (*) Đặt (x2 + x ) = y ta có (*) = y2 + 4y – 12 = (y2 + 4y + 4) – 16 = (y + 2)2 – 42 = (y + 6)(y – 2) = (x2 + x +6 )(x2 + x - 2) = (x2 + x +6 )[(x2 – x) + (2x – 2)] = (x2 + x +6 )[x(x – 1) + 2(x – 1)] = (x2 + x +6 )(x – 1)(x + 2) b) Đặt y = x2 + 8x + x2 + 8x + 15 = y + ta có: (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 8y +16 – = (y + 4)2 – = (y + 3)(y + 5) =(x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) a) Từ a + b + c = ⇒ (a + b + c )2 = ⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = ⇒ (a2 + b2 + c2)2 = [ - 2(ab + bc + ca)]2 ⇒ a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4[a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) ⇒ a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2) Vì a + b + c = b) x3 + x2 x x2 x x2 x + + + + + + =0 a ac b bc c ab abc BiÕn ®ỉi Pt nµy b»ng c¸ch nµo? =0 ⇔ (x – a) [x(x – b) – c(x – b)] = ⇔ (x – a)(x – b)(x – c) = ⇔ ⇔ x2 x x2 x x2 x =0 b) x + + + + + + + a ac b bc c ab abc  x2   x2 x   x2 x   x  ⇔  x3 + ÷+  + ÷+  + ÷+  + =0 a   c ac   b ab   bc abc ÷   1 x 1 x 1  1  ⇔ x  x + ÷ +  x + ÷+  x + ÷+  x + ÷ = a c a b a  bc  a   x x   ⇔  x + ÷ x + + + ÷ = a  b c bc   1  1 1   ⇔  x + ÷ x  x + ÷+  x + ÷ = a  b c b   c) x7 + x5 + x4 + x3 + x2 +1 = Ph©n tÝch vÕ tr¸i cđa Pt thµnh nh©n tư b»ng   1  ⇔  x + ÷ x + ÷ x + ÷ = ⇔ ⇔ ph¬ng ph¸p nµo? a  b  c  c) x7 + x5 + x4 + x3 + x2 +1 = ⇔ (x7 + x5 + x3 ) +( x4 + x2 +1) = ⇔ x3 (x4 + x2 + x ) +( x4 + x2 +1) = ⇔ ( x4 + x2 +1) (x3 + 1) = d) x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + = h·y gi¶i t¬ng tù nh c©u trªn  x3 + = ⇔ ⇔ x + = ⇔ x = −1  x + x + = 1  V× x + x +1 =  x + ÷ + > Víi ∀ x 2  10 d) x + x + x + x + x + = ⇔ x6 (x4 + x2 + 1) + (x4 + x2 + 1) = ⇔ (x6 + 1)( x4 + x2 + 1) = ⇔ (x6 + 1) [( x + ) + ]=  x6 + =  ⇔   + =0  x + ÷   V× : x6 + ≥ víi mäi x ∈ R; Nªn Pt : x6 + = v« nghiƯm 3 ) + ≥ víi mäi x ∈ R nªn Pt : 4 ( x + )2 + = v« nghiƯm (x+ VÝ dơ 5: Cho Pt x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m – 2) = (1) a) X¸c ®Þnh m ®Ĩ Pt cã nghiƯm b»ng b) Gi¶i Pt t¬ng øng víi gi¸ trÞ m võa t×m VËy Pt ®· cho v« nghiƯm a)V× x = lµ nghiƯm cđa Pt (1) , nªn ta cã : – (m2 – m + 7) – 3m2 +3m + = b) Thay : m – m = Vµo Pt (1) ta cã (1) trë thµnh Pt nµo? m = ⇔ - 4m + 4m = ⇔  m = b) Thay : m2 – m = Vµo Pt (1) ta cã : ( 1) ⇔ x - 7x + = ⇔ (x − x ) - ( 6x - ) = ⇔ (x - 1) ( x + x - ) =  x −1 = x = ⇔ ( x − 1)( x − 2)( x + 3) =  x − = ⇔  x =  x + =  x = −3 Bµi tËp vỊ nhµ 1) Gi¶i Pt : a) (x - 2)(x + 2) - (2x + 1)2 = x(2 - 3x) x +1 x + x + x + x - 3x - 2x - 7x + + -x = + = + c) 10 65 63 61 59 x - 29 x - 27 x - 25 x - 23 x - 1970 x - 1972 x - 1974 x - 1976 + + + + + + + d) -8=0 1970 1972 1974 1976 29 27 25 23 b) 2) Gi¶i c¸c Pt sau : a) x3 + 3x2 + 4x + = c)(x – 2)4+ (x – 3)4 = b) 6x4 – x3 – 7x2+ x + = d) x6 – x3 + = e) (x2 + 10x + 16)( x2 + 10x + 24) +16 = 3) Cho Pt : x3 + (m2 – 2)x2 – (m – 1)x – = a) X¸c ®Þnh m , biÕt Pt cã mét nghiƯm : x = - b) T×m nghiƯm cßn l¹i cđa Pt víi m võa x¸c ®Þnh Bi 13 : ®Þnh lý talÐt thn vµ ®¶o, tÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c a.mơc tiªu: - HƯ thèng, cđng cè vµ n©ng cao kiÕn thøc vỊ c¸c ®Þnh lÝ TalÐt ¸p dơng vµo tam gi¸c ,tÝnh chÊt ®êngph©n gi¸c - Lµm c¸c bµi tËp cđng cè vµ n©ng cao vỊ ®Þnh lÝ TalÐt , tÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c A - HS vËn dơng thµnh th¹o kiÕn thøc vµo c¸c bµi tËp thĨ A b kiÕn thøc, bµi tËp: M N I KiÕn thøc: §Þnh lÝ Ta – lÐt: ABC MN // BC BB D CC HƯ qu¶: ABC MN // BC TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c cđa tam gi¸c ABC AD lµ ph©n gi¸c 1.VÝ dơ Cho tia Ox , Oy , Oz t¹o thµnh · · xOy = yOz = 600 Cmr : NÕu ®iĨn A , B , C th¼ng hµng trªn Ox, Oy, Oz th×: HS tiÕp cËn ®Ị bµi HS vÏ h×nh 1 = + OB OA OC 1 = + OB OA OC ta cÇn c/m g× NÕu kỴ BD // Oz ( D ∈ Ox ) th× ta cã ®iỊu g× nÕu ¸p dơng hƯ qu¶ cđa ®Þnh lÝ TalÐt vµo ∆ AOC Tõ ®ã ta suy diỊu g×? C B O Gi¶i: §Ĩ C/m y z D A x HS tr¶ lêi KỴ BD // Oz ( D ∈ Ox ) ¸p dơng hƯ qu¶ cđa §L TalÐt vµo ∆ AOC víi AD BD AO − OD BD = ⇒ = (1) AO CO AO OC Ta l¹i cã : OB = BD = OD (do ∆ BOD®Ịu ) BD//OC ta cã: Nªn tõ (1) suy : OD OD OD OD   = ⇔1 = + ⇔ = OD  + ÷ OA OC OC OA  OA OC   1  ⇔ = OB  + = + ÷⇔ OB OA OC  OA OC  1− 2.VÝ dơ : Cho ∆ ABC cã gãc nhän , c¸c ®êng cao AD, BE, CF c¾t t¹i H C¸c ®iĨm I, J, K ®èi xøng víi H qua BC , AC , AB Cmr : AI BJ CK + + kh«ng ®ỉi AD BE CF Gi¶i: §Ĩ C/m AI BJ CK + + kh«ng ®ỉi ta cÇn AD BE CF C/m g×? AI H·y tÝnh theo AD vµ DI? AD HD tÝnh theo tØ sè hai diƯn tÝch cđa hai AD tam gi¸c nµo? HS ph¸t biĨu AI AD+DI DI HD = = 1+ = 1+ AD AD AD AD (v× DI = HD I ®èi xøng víi H qua BC ) Ta cã : Ta l¹i cã : BC.HD S S HD AI = = BHC ⇒ = + BHC AD AD SABC BC.AD SABC T¬ng tù , ta cã : (1) BJ CK T¬ng tù h·y tÝnh vµ CE CF Tõ ®ã ta cã AI BJ CK + + =? AD BE CF S BJ = + CHA (2) vµ CE SABC CK S = + BHA (3) CF SABC Céng tõng vÕ ®¼ng thøc (1) , (2) , (3) ta cã : VÝ dơ : Gäi d a , d b , d c lµ®é dµi c¸c ®êng ph©n gi¸c thc c¸c c¹nh a , b , c cđa ∆ABC 1 1 1 + + > + + Chøng minh : da db dc a b c §Ỉt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da Qua C kỴ ®êng th¼ng song song víi AD , c¾t tia BA ë E Theo §L TalÐt ta cã ®¨ng thøc nµo? Tõ ®ã ta suy ®iỊu g×? A K J E F H B C D I S S S AI BJ CK = + CHA + CHB + BHA + + AD BE CF SABC SABC SABC S = + ABC = + = Kh«ng ®ỉi (®pcm) SABC b A c b D C §Ỉt AB = c , AC = b , B a BC = a , AD = da Qua C kỴ ®êng th¼ng song song víi AD , c¾t tia BA ë E AD BA = suy CE BE BA.CE c.CE c AD = = = CE BE BA + AE b + c 2bc Do CE < AC + AE = 2b nªn: d a < b+c b+c 11 1 11 1 ⇒ > =  + ÷⇔ >  + ÷ da 2bc  b c  da  b c  Theo §L TalÐt ta cã: V× CE < AC + AE = 2b nªn ta cã da = AD < ? T¬ng tù nh trªn th× ta cã c¸c bÊt ®¼ng thøc nµo? Chøng minh t¬ng tù ta cã : 1 VËy d + d + d > ? a b c VÝ dơ 4: Cho tam gi¸c ABC cã ba ®êng ph©n gi¸c AD , BE , CF C¸c ®iĨm G , I , K theo thø tù ®èi xøng víi B , A , C qua AD , BE , 11 1 11 1 >  + ÷ Vµ >  + ÷ Nªn: db  a c  dc  a b  1 1  1   1   1   + + >  + ÷+  + ÷+  + ÷ d a d b d c  b c   a c   a b   E AD H lµ ®iĨm ®èi xøng víi A qua CF Chøng minh : GI // HK Tõ GT suy BC , GK cã quan hƯ g×? Theo tÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c ta cã ®iỊu g×? ID TØ sè tÝnh nh thÕ nµo? HD GD T¬ng tù: =? KD Tõ ®ã ta suy ®iỊu g×? VÝ dơ Cho tam gi¸c ABC, ®êng ph©n gi¸c AD Gäi DE, DF lµ ph©n gi¸c cđa tam gi¸c ADB vµ ADC Chøng minh : a) AF DC BE =1 BD FC AE b)Víi §K nµo th× EF // BC , ®ã EF ⊥ BC hay kh«ng ? v× ? Gi¶i: ¸p dơng t/c ®êng ph©n gi¸c vµo c¸c tam gi¸c ∆ ABD vµ ∆ ADC ta cã tØ sè nµo? AF DC BE Tõ ®ã, ®Ĩ cã ta lµm thÕ BD FC AE nµo? Khi nµo th× EF // BC ? 1 1 1 1 + + >  + + ÷ da db dc  a b c  1 1 1 ⇔ + + > + + ( ®pcm ) da db dc a b c ⇔ K HS ghi ®Ị bµi vµ vÏ h×nh H B D F I C A E G Tõ GT suy : BC ®èi xøng víi GK qua AD nªn chóng c¾t t¹i D (V× D ∈ BC ) Theo t/c ®êng ph©n gi¸c AD ta cã: AB DB = AC DC ID IB - DB AB - DB AB = = = (1) HD HC - DC AC - DC AC GD AB = T¬ng tù ta cã : (2) KD AC (Hc sư dơng t/c ®êng ph©n gi¸c AD ∆ GD GA AB = = GAK : ) KD KA AC ID GD ⇒ GI // HK = Tõ (1) vµ (2) suy : HD DK XÐt tØ sè : (§L TalÐt ®¶o ) HS ghi ®Ị bµi vµ vÏ h×nh T×m c¸ch c/m A E F B D C a)¸p dơng t/c ®êng ph©n gi¸c vµo c¸c tam gi¸c ∆ ABD vµ ∆ ADC ta cã : BE BD AF AD = (1); = (2) AE AD FC DC Nh©n tõng vÕ (1) víi (2) ta cã: BE AF BD AD AF DC BE BD AD DC = ⇒ = =1 AE FC AD DC BD FC AE AD DC BD BE CF BD CD = ⇔ = AE AF AD AD ⇔ BD = CD ⇔ AD lµ trung tun , mµ AD cđng lµ ph©n gi¸c (GT) ⇔ ∆ ABC c©n t¹i A AD cđng lµ ®êng cao ⇒ AD ⊥ BC mµ EF // BC nªn EF ⊥ AD b) EF // BC ⇔ Bµi tËp vỊ nhµ: Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A (AB = AC = a , BC = b ) vµ ®iĨm P n»m trªn phÇn kÐo dµi cđa c¹nh BC vỊ phÝa C Qua P kỴ ®gth d c¾t c¸c c¹nh AB vµ AC ë D vµ E a) Chøng minh r»ng : BP CP − BD CE kh«ng phơ thc vÞ trÝ cđa d vµ P b) KỴ DM//AC , EN//AB ( M , N thc BC ) Chøng minh r»ng: PM PN kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ cđa ®êng th¼ng d Bµi : Cho h×nh thang ABCD ( AB // CD ) Hai ®êng chÐo AC vµ BD c¾t t¹i O §êng th¼ng qua O vµ song song víi hai ®¸y c¾t hai c¹nh AD vµ BC theo thø tù t¹i E vµ F Chøng minh r»ng : a) EO = FO b)  1  1 − + ÷ = Tõ ®ã suy r»ng : FE = AB + CD OE  AB CD  bi 14 – ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÈu thøc A Mơc tiªu : * Cđng cè, kh¾c s©u kiÕn thøc vỊ PT chøa Èn ë mÈu * TiÕp tơc rÌn lun vµ n©ng cao kü n¨ng vµ ph¬ng ph¸p gi¶i Pt chøa Èn ë mÈu * Kh¬i dËy høng thó cho HS viƯc gi¶i PT B Nh¾c l¹i kiÕn thøc bµi häc : A(x) C(x) = B(x) D(x) TËp x¸c ®Þnh : { x ∈ R / B(x) ≠ 0; D(x) ≠ 0} D¹ng tỉng qu¸t : C¸ch gi¶i : a) T×m §kx® cđa Pt : nh÷ng gi¸ trÞ cđa biÕn ®Ĩ mÈu thøc kh¸c b) Quy ®ång vµ khư mÈu c) gi¶i Pt sau ®¶ khư mÈu d) §èi chiÕu §kx® ®Ĩ t×m tËp nghiƯm cđa Pt c C¸c vÝ dơ: VÝ dơ : Gi¶i c¸c pt : a) x + x − 2x + 23x + 61 + = (1) x −5 x +6 x + x − 30 x − ≠ x ≠ ⇔ x + ≠  x ≠ −6 Ta cã : x2 + x – 30 = (x - 5)(x + 6) ⇒ §kx® :  (x + 6) + (x − 5) 2x + 23x + 61 = ⇔ (x + 6) + (x − 5) = 2x + 23x + 61 (x − 5)(x + 6) (x − 5)(x + 6) 2 ⇔ x + 12x + 36 + x + 10x + 25 = 2x + 23x + 61 ⇔ x = (Tm®k) 5−x x −1 + = + b) (2) 4x − 8x 2x(x − 2) 8x − 16 Ta cã : 4x − 8x = 4x(x − 2) ; 8x −16 = 8(x − 2) x − ≠ x ≠ ⇔ §kx® :  x ≠ x ≠ 5− x x −1 2(5 − x) + 7x(x − 2) 4(x − 1) + x + = + ⇔ = (2) ⇔ 4x(x − 2) 2x(x − 2) 8(x − 2) 8x(x − 2) 8x(x − 2) (1) ⇔ ⇒ 2(5 − x) + 7x(x − 2) = 4(x − 1) + x ⇔ 10 − 2x + 7x − 14x = 4x − + x ⇔ 7x − 21x + 14 = x − =  x = (loai) ⇔ 7(x − 3x + 2) = ⇔ x − 3x + = ⇔ (x − 2)(x − 1) = ⇔  ⇔ x −1 =  x = 1(nhan) c) x+2 x−2 − = (3) x + 2x + x − 2x + x(x + 4x + 16) V× : (x2 + 2x + 4)(x2 – 2x + 4) = x4+ 4x2 +16 §kx® : x ( x4+ 4x2 +16 ) ≠ ⇔ x ≠ Do : x4+ 4x2 +16 ≠ víi mäi x (3) ⇔ x(x + 2)(x + 2x + 4) − x(x − 2)(x − 2x + 4) = 4 x(x + 4x + 16) x(x + 4x + 16) ⇒ x(x + 2)(x + 2x + 4) − x(x − 2)(x − 2x + 4) = ⇔ x + 8x − x + 8x = ⇔ 16x = ⇔ 8x = ⇔ x = 3 (Tm) VËy : S =   8  x+4 x +1 2x + x+4 x+4 ⇔ − =0 + = 2x − 5x + 2x − 7x + 2x − 5x + 2x − 7x + 2x − 7x + 1 (x + 4)(1 − 2x)   ⇔ (x + 4)  − = ⇔ (x + 4)(1 − 2x) = ÷= ⇔ (2x − 5x + 2)(2x − 7x + 3)  x − 5x + x − 7x +  d) 1 Th× : 2x2 - 5x + = Nªn x = kh«ng tho· m·n 2 2 * Víi x = - Th× : (2x - 5x + ) (2x - 7x + ) ≠ *Víi x = VËy Pt cã nghiƯm lµ : x = - e) 4x + x ≠ 1 + 4y + = (6) §kx® :  x y y≠0  1  (6) ⇔  4x − 2.2x + x x  1   ÷+  4y − 2.2y + y y    1    2x − ÷ = 2x − = x = ±  x  x   2x =  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2y =     2y − = y = ±  y  2y − y ÷ =       VËy : nghiƯm cđa Pt (6) lµ :( x = (x=- ;y= 2 f) + x + x −1 ) hc :( x = =2 2  1  1  ÷ = ⇔  2x − ÷ +  2y − ÷ = x  y   2 1 1 ;y= ) hc : ( x = ; y = - ) hc 2 2 1 ;y=) 2 (7) §kx® : x ≠ ±1 1 x2 −1 ⇔ =1⇔ =1⇔ =1⇔ = ⇔ x − = 3x − (7) 2(x − 1) + (x + 1) 2x − + x + 3x − 3x − 2 x −1 x −1 x −1 x = ⇔ x − 3x = ⇔ x(x − 3) = ⇔  (tho· m·n §kx® ) x =  VÝ dơ : Gi¶i vµ biƯn ln c¸c Pt : 1+ a = − a (a) §kx® : x ≠ (a) ⇔ + a = (1 − a)(1 − x) ⇔ (a − 1)x = 2a a) 1− x *NÕu a ≠ ⇒ x = 2a 2a ≠ ⇔ 2a ≠ a − ⇔ a ≠ −1 ; mµ x ≠ ⇒ a −1 a −1 *NÕu a = th× Pt v« nghiƯm VËy : + Víi a ≠ ±1 th× Pt (a) cã nghiƯm nhÊt : x = + C¸c ttrênghỵp cßn l¹i ®Ịu v« nghiƯm 2a a −1 x 2a + x 8a b) (b) + = 2a + x 2a − x x − 4a §kx® : x ≠ ±2a (b) ⇔ x ( 2a − x ) + ( 2a + x ) = x − 4a 8a ⇒ 2ax − x + 4a + 4ax + x = 8a 2 x − 4a ⇔ 6ax = −12a ⇔ ax = −2a *NÕu a ≠ ⇒ x = 2a : kh«ng tho· m·n §kx® *NÕu a = th× pt trë thµnh : 0x = ⇒ Pt cã v« sè nghiƯm c) 1 1 + + = (c) a b x a+b+x §k ®Ĩ Pt cã nghÜa : a ≠ 0; b ≠ §kx® : x ≠ − ( a + b ) (c) ⇔ 1 a+b a+b a+b − = ⇔ = a+b+x x ab −x ( a + b + x ) ab *NÕu a + b = thi (c) cã v« sè nghiƯm : x ∈ R; x ≠  x = −a  x = −b *NÕu a + b ≠ th× : - x(a + b + x) = ab ⇔ ab + ax + bx + x = ⇔ ( x + a ) ( x + b ) = ⇔   −a ≠ a ≠ ⇔ (§k nµy ®· cã )  − a ≠ −a − b b ≠ +§Ĩ : – a tho· m·n th× :   −b ≠ b ≠ ⇔ (§k nµy ®· cã )  − b ≠ −a − b a ≠ + §Ĩ : - b tho· m·n th× :  VËy : *NÕu : a ≠ 0; b ≠ 0; a + b = th× Pt (c) cã v« sè nghiƯm : x ∈ R; x ≠ *NÕu : a ≠ 0; b ≠ 0;a + b ≠ Th× Pt (c) cã nghiƯm x = - a vµ x = - b Bµi tËp vỊ nhµ : bµi : Gi¶i c¸c Pt x2 − x x2 7x − 3x a) − = x +3 x −3 − x2 bµi : Gi¶i vµ biƯn ln Pt : y+b y+3 + =2 a) y−3 y−b b) b) =1 1 x + + x + x − x2 − x + a + x + 11 10 − = x+a x + 10 (x + a)(x + 10) BUỔI 19 GIẢI BÀI TỐN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn lu ý A ≥ B ⇔ A − B ≥ A ≤ B ⇔ A − B ≤ 1-§inhnghÜa:  2-tÝnh chÊt + A>B ⇔ B < A + A > B > ⇒ An > B n + A>B vµ B >C ⇔ A > C +A>B ⇒ An > Bn víi n lỴ + A>B ⇒ A + C >B + C + A > B ⇒ An > Bn víi n ch½n + A>B vµ C > D ⇒ A +C > B + D + m > n > vµ A > ⇒ A m > A n + A>B vµ C > ⇒ A.C > B.C + A>B vµ C < ⇒ A.C < B.C + < A < B vµ < C < D ⇒ < A.C < B.D - mét sè h»ng bÊt ®¼ng thøc ∀n + m > n > vµ ⇒ 1 > A B + A ≥ víi ∀ A ( dÊu = x¶y A = ) + An ≥ víi ∀ A ( dÊu = x¶y A = ) + A ≥ víi ∀A (dÊu = x¶y A = ) + -A 0) + A− B ≤ A − B ( dÊu = x¶y A.B < 0) PhÇn II : mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc 1) Ph¬ng ph¸p 1: dïng ®Þnh nghÜa KiÕn thøc : §Ĩ chøng minh A > B Ta chøng minh A – B > Lu ý dïng h»ng bÊt ®¼ng thøc M ≥ víi ∀ M VÝ dơ ∀ x, y, z chøng minh r»ng : a) x + y + z ≥ xy+ yz + zx b) x + y + z ≥ 2xy – 2xz + 2yz Gi¶i: a) Ta xÐt hiƯu : x + y + z - xy – yz – zx = ( x + y + z - xy – yz – zx) 2 2 = ( x − y ) + ( x −z ) + ( y − z )  ≥ ®óng víi mäi x;y;z ∈ R V× (x-y)2 ≥ víi∀x ; y DÊu b»ng x¶y x = y (x- z)2 ≥ víi∀x ; z DÊu b»ng x¶y x = z (y- z)2 ≥ víi∀ z; y DÊu b»ng x¶y z = y VËy x + y + z ≥ xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y x = y =z b)Ta xÐt hiƯu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) ≥ ®óng víi mäi x;y;z ∈ R VËy x + y + z ≥ 2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z ∈ R DÊu b»ng x¶y x + y = z VÝ dơ 2: chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2  a + b + c  ≥  3   a2 + b2  a + b  ≥ a)  ; b)   c) H·y tỉng qu¸t bµi to¸n gi¶i a) Ta xÐt hiƯu ( ) ( ) 1 a2 + b2  a + b  a2 + b2 a + 2ab + b 2 2a + 2b − a − b − 2ab = ( a − b ) ≥ − − =  = 4 4   a2 + b2  a + b  ≥ VËy    DÊu b»ng x¶y a = b [ ] a2 + b2 + c2  a + b + c  2 − b)Ta xÐt hiƯu:  = ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) ≥ 3   VËy a2 + b2 + c2  a + b + c  ≥  DÊu b»ng x¶y a = b =c 3   c)Tỉng qu¸t: a12 + a 22 + + a n2  a1 + a + + a n  ≥  n n   * Tãm l¹i c¸c bíc ®Ĩ chøng minh A ≥ B theo ®Þnh nghÜa Bíc 1: Ta xÐt hiƯu H = A - B Bíc 2:BiÕn ®ỉi H = (C+D) hc H=(C+D) +….+(E+F) Bíc 3: KÕt ln A ≥ B 2) ph¬ng ph¸p : Dïng phÐp biÕn ®ỉi t¬ng ®¬ng Lu ý: Ta biÕn ®ỉi bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi bÊt ®¼ng thøc ®óng hc bÊt ®¼ng thøc ®· ®ỵc chøng minh lµ ®óng VÝ dơ 1: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng a) a + b2 ≥ ab b) a + b + ≥ ab + a + b c) a + b + c + d + e ≥ a( b + c + d + e ) Gi¶i: a) a + b2 ≥ ab ⇔ 4a + b ≥ 4ab ⇔ 4a − 4a + b ≥ ⇔ ( 2a − b ) ≥ (B®t nµy lu«n ®óng) VËy a + b2 ≥ ab (dÊu b»ng x¶y 2a = b) b) a + b + ≥ ab + a + b ⇔ 2(a + b + ) > 2(ab + a + b) 2 ⇔ a − 2ab + b + a − 2a + + b − 2b + ≥ ⇔ (a − b) + ( a − 1) + (b − 1) ≥ (lu«n ®óng) VËy a + b + ≥ ab + a + b DÊu b»ng x¶y a = b = c) a + b + c + d + e ≥ a( b + c + d + e ) ⇔ 4( a + b + c + d + e ) ≥ 4a( b + c + d + e ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ a − 4ab + 4b + a − 4ac + 4c + a − 4ad + 4d + a − 4ac + 4c ≥ ⇔ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a − 2c ) ≥ VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng: ( a10 + b10 )( a + b ) ≥ ( a + b )( a + b ) Gi¶i: (a 10 )( (a ) ( )( + b10 a + b ≥ a + b a + b ⇔ a 8b 2 ) ( ) ⇔ a 12 + a 10 b + a b10 + b12 ≥ a 12 + a b + a b + b12 ) − b + a b b − a ≥ ⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6) ≥ ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) ≥ x y.z =  1 1 VÝ dơ 4: cho ba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa m·n:  + + < x + y + z  x y z Chøng minh r»ng : cã ®óng mét ba sè x,y,z lín h¬n Gi¶i: XÐt (x-1)(y-1)(z-1) = xyz + (xy + yz + zx) + x + y + z - 1 x y z 1 x y z = (xyz - 1) + (x + y + z) - xyz( + + ) = x + y + z - ( + + ) > x y z (v× + + < x+y+z theo gt) → sè x-1 , y-1 , z-1 ©m hc c¶ ba sç-1 , y-1, z-1 lµ NĂM HỌC 2014 - 2012 Thanh Long, ngày tháng năm 2015 DUYỆT CỦA TỔ TRƯỞNG CHUN MƠN NHĨM TRƯỞNG TT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Chủ đề 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Tên dạy Hằng đẳng thức đáng nhớ Hằng đẳng thức đáng nhớ Đường trung bình tam giác , hình thang Phân tích đa thức thành nhân tử Hình bình hành – Hình chữ nhật Phép chia đa thức Các tốn hình vng hình thoi Rút gọn phân thức Các phép tốn phân thức Các tốn diện tích Biến đổi biểu thức hữu tỉ - Giá trị phân thức Phương trình đưa dạng ax + b = – Phương trình tích Định lí Ta lét thuận đảo – Tính chất đường phân giác Phương trình chứa ẩn mẫu thức Giá trị nhỏ – Giá trị lớn Giá trị nhỏ – Giá trị lớn Tính chất chia hết số ngun Các tốn biểu thức có điều kiện Giải tốn BĐT Các trường hợp đồng dạng tam giác Lê Hữu Từ TRƯỜNG THCS THANH LONG TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Hằng PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN NĂM HỌC 2015 – 2016 Thanh Long, ngày tháng năm 2015 TT Chủ đề Tên dạy 1 Hằng đẳng thức đáng nhớ 2 Hằng đẳng thức đáng nhớ 3 Đường trung bình tam giác , hình thang 4 Phân tích đa thức thành nhân tử 5 Hình bình hành – Hình chữ nhật 6 Phép chia đa thức 7 Các tốn hình vng hình thoi 8 Rút gọn phân thức 9 Các phép tốn phân thức 10 10 Các tốn diện tích 11 11 Biến đổi biểu thức hữu tỉ - Giá trị phân thức 12 12 Phương trình đưa dạng ax + b = – Phương trình tích 13 13 Định lí Ta lét thuận đảo – Tính chất đường phân giác 14 14 Phương trình chứa ẩn mẫu thức 15 15 Giá trị nhỏ – Giá trị lớn 16 16 Giá trị nhỏ – Giá trị lớn 17 17 Tính chất chia hết số ngun 18 18 Các tốn biểu thức có điều kiện 19 19 Giải tốn BĐT 20 20 Các trường hợp đồng dạng tam giác DUYỆT CỦA TỔ TRƯỞNG CHUN MƠN NHĨM TRƯỞNG Lê Hữu Từ Nguyễn thị Hằng
- Xem thêm -

Xem thêm: giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 hay , giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 hay , giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 hay

Từ khóa liên quan