Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề này cung cấp đầy đủ các dạng, các phương pháp giải phương trình vô tỷ. Phù hợp với tất cả các đối tượng học sinh từ lớp 10 đến lớp 12 và các em ôn thi ĐH, CĐ. Đọc song chuyên đề này chắc chắn các em sẽ có cái nhìn thân thiện hơn với dạng bài tập phương trình, bất phương trình và hệ phương trình vô tỷ.
www.VIETMATHS.com CHUYấN : PHNG PHP GII PHNG TRèNH Vễ T I PHNG PHP BIN I TNG NG Bỡnh phng v ca phng trỡnh a) Phng phỏp Thụng thng nu ta gp phng trỡnh dng : A + B = C + D , ta thng bỡnh phng v , iu ú ụi li gp khú khn hóy gii vớ d sau A + B = C A + B + 3 A.B A + B = C ( ) v ta s dng phộp th : A + B = C ta c phng trỡnh : A + B + 3 A.B.C = C b) Vớ d Gii phng trỡnh sau : x + + x + = x + x + Gii: k x Bỡnh phng v khụng õm ca phng trỡnh ta c: + ( x + 3) ( x + 1) = x + x ( x + 1) , gii phng trỡnh ny d nhiờn l khụng khú nhng hi phc mt chỳt Phng trỡnh gii s rt n gin nu ta chuyn v phng trỡnh : 3x + x + = x x + Bỡnh phng hai v ta cú : x + x + = x + 12 x x = Th li x=1 tha Nhn xột : Nu phng trỡnh : f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) Bi M cú : f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + k ( x ) , thỡ ta bin i phng trỡnh v dng : f ( x ) h ( x ) = k ( x ) g ( x ) sau ú bỡnh phng ,gii phng trỡnh h qu Bi Gii phng trỡnh sau : x3 + + x + = x2 x + + x + x+3 Gii: iu kin : x Bỡnh phng v phng trỡnh ? Nu chuyn v thỡ chuyn nh th no? Ta cú nhn xột : x3 + x + = x x + x + , t nhn xột ny ta cú li gii nh x+3 sau : (2) x3 + x + = x2 x + x + x+3 x = x3 + = x2 x x2 2x = Bỡnh phng v ta c: x+3 x = + Th li : x = 3, x = + l nghim f ( x) + g ( x) = h( x) + k ( x) Qua li gii trờn ta cú nhn xột : Nu phng trỡnh : M cú : f ( x ) h ( x ) = k ( x ) g ( x ) thỡ ta bin i f ( x) h ( x) = k ( x) g ( x) Trc cn thc 2.1 Trc cn thc xut hin nhõn t chung a) Phng phỏp www.VIETMATHS.com Mt s phng trỡnh vụ t ta cú th nhm c nghim x0 nh vy phng trỡnh luụn a v c dng tớch ( x x0 ) A ( x ) = ta cú th gii phng trỡnh A ( x ) = hoc chng minh A ( x ) = vụ nghim , chỳ ý iu kin ca nghim ca phng trỡnh ta cú th ỏnh gớa A ( x ) = vụ nghim b) Vớ d x x + x = ( x x 1) x x + Bi Gii phng trỡnh sau : Gii: 2 Ta nhn thy : ( x x + 1) ( x x 3) = ( x ) v (x ) ( x 3x + ) = ( x ) x + Ta cú th trc cn thc v : x x + + ( x x + 1) 3x = x + x 3x + D dng nhn thy x=2 l nghim nht ca phng trỡnh Bi Gii phng trỡnh sau (OLYMPIC 30/4 ngh) : x + 12 + = x + x + 5 Gii: phng trỡnh cú nghim thỡ : x + 12 x + = x x Ta nhn thy : x=2 l nghim ca phng trỡnh , nh vy phng trỡnh cú th phõn tớch v dng ( x ) A ( x ) = , thc hin c iu ú ta phi nhúm , tỏch nh sau : x2 x2 x + 12 = x + x + = 3( x 2) + x + 12 + x2 + + x+2 x +1 ( x 2) 3ữ= x = 2 x2 + + x + 12 + x+2 x+2 < 0, x > D dng chng minh c : x + 12 + x2 + + Bi Gii phng trỡnh : x + x = x3 Gii :k x Nhn thy x=3 l nghim ca phng trỡnh , nờn ta bin i phng trỡnh ( x 3) ( x + x + ) x+3 3 x + x = x ( x 3) + = 3 x2 x3 + ( ) + x + Ta chng minh : x+3 1+ (x 1) + x + = 1+ ( x+3 < < x + 3x + x2 + + x3 + ) Vy pt cú nghim nht x=3 2.2 a v h tm a) Phng phỏp Nu phng trỡnh vụ t cú dng A + B = C , m : A B = C dõy C cú th l hng s ,cú th l biu thc ca x Ta cú th gii nh sau : A + B = C A B = C A B = , ta cú h: A = C + A B A B = b) Vớ d www.VIETMATHS.com Bi Gii phng trỡnh sau : x + x + + x x + = x + Gii: 2 Ta thy : ( x + x + ) ( x x + 1) = ( x + ) x = khụng phi l nghim Xột x Trc cn thc ta cú : 2x + = x + x2 + x + x2 x + = 2 2x + x + 2x x + x = x + x + x x + = 2 2x + x + = x + Vy ta cú h: 2 x = x + x + + x x + = x + Th li tha; vy phng trỡnh cú nghim : x=0 v x= 2 Bi Gii phng trỡnh : x + x + + x x + = 3x 2 Ta thy : ( x + x + 1) ( x x + 1) = x + x , nh vy khụng tha iu kin trờn Ta cú th chia c hai v cho x v t t = thỡ bi toỏn tr nờn n gin hn x Bi ngh Gii cỏc phng trỡnh sau : 1) x + 3x + = ( x + 3) x + 2) 10 x = x (HSG Ton Quc 2002) 3) ( x ) ( x ) = x + ( x ) ( 10 x ) 4) x + = x + x 5) x + 3x3 = x 6) x 11x + 21 3 x = (OLYMPIC 30/4-2007) 7) x + x 3x = x + x + + x x + 8) x + 16 x + 18 + x = x + 9) x + 15 = 3x + x + Phng trỡnh bin i v tớch S dng ng thc u + v = + uv ( u 1) ( v 1) = au + bv = ab + vu ( u b ) ( v a ) = A2 = B Bi Gii phng trỡnh : Gii: pt ( )( x +1 x + + x + = + x + 3x + x = x + = x = ) Bi Gii phng trỡnh : x + + x = x + x + x Gii: + x = , khụng phi l nghim www.VIETMATHS.com + x , ta chia hai v cho x: x +1 x +1 3 + x = 1+ x +1 1ữ x x ( Bi Gii phng trỡnh: Gii: dk : x ) x = x = x + + x x + = 2x + x2 + x + x = x +1 = x = 4x =4 x Bi Gii phng trỡnh : x + + x+3 Gii: k: x pt ( x + 2x )( ) 4x 4x 4x =2 Chia c hai v cho x + : + ữ = x =1 x+3 x+3 x + Dựng hng ng thc Bin i phng trỡnh v dng : Ak = B k Bi Gii phng trỡnh : 3x = x 3+x Gii: k: x ú pt cho tng ng : x + 3x + x = 3 10 10 x+ x= ữ = 3 3 Bi Gii phng trỡnh sau : x + = x x Gii: k: x phng trỡnh tng ng : x = x + + = x + + x = 9x2 x = 97 x + + = x 18 ( ) Bi Gii phng trỡnh sau : + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) Gii : pttt ( x + 3x ) = x =1 II PHNG PHP T N PH Phng phỏp t n ph thụng thng i vi nhiu phng trỡnh vụ vụ t , gii chỳng ta cú th t t = f ( x ) v chỳ ý iu kin ca t nu phng trỡnh ban u tr thnh phng trỡnh cha mt bin t quan trng hn ta cú th gii c phng trỡnh ú theo t thỡ vic t ph xem nh hon ton Núi chung nhng phng trỡnh m cú th t hon ton t = f ( x ) thng l nhng phng trỡnh d Bi Gii phng trỡnh: iu kin: x Nhn xột x x2 + x + x2 = x x x + x = 1 t t = x x thỡ phng trỡnh cú dng: t + = t = t Thay vo tỡm c x = www.VIETMATHS.com Bi Gii phng trỡnh: x x = x + Gii iu kin: x t2 t t = x + 5(t 0) thỡ x = Thay vo ta cú phng trỡnh sau: t 10t + 25 2 (t 5) = t t 22t 8t + 27 = 16 (t + 2t 7)(t 2t 11) = Ta tỡm c bn nghim l: t1,2 = 2; t3,4 = Do t nờn ch nhn cỏc gỏi tr t1 = + 2, t3 = + T ú tỡm c cỏc nghim ca phng trỡnh l: x = vaứ x = + Cỏch khỏc: Ta cú th bỡnh phng hai v ca phng trỡnh vi iu kin x x Ta c: x ( x 3) ( x 1) = , t ú ta tỡm c nghim tng ng n gin nht l ta t : y = x + v a v h i xng (Xem phn dt n ph a v h) Bi Gii phng trỡnh sau: x + + x = iu kin: x t y = x 1( y 0) thỡ phng trỡnh tr thnh: y + y + = y 10 y y + 20 = ( vi y 5) ( y + y 4)( y y 5) = y= + 21 + 17 (loaùi), y = 2 T ú ta tỡm c cỏc giỏ tr ca x = 11 17 ( )( Bi (THTT 3-2005) Gii phng trỡnh sau : x = 2004 + x x Gii: k x t y = x pttt ( y ) (y ) + y 1002 ) = y = x = Bi Gii phng trỡnh sau : x + x x = 3x + x Gii: iu kin: x < Chia c hai v cho x ta nhn c: x + x 1 = 3+ x x , ta gii c x Bi Gii phng trỡnh : x + x x = x + t t = x 1 Gii: x = khụng phi l nghim , Chia c hai v cho x ta c: x ữ+ x = x x 1 t t= x , Ta cú : t + t = t = x = x Bi ngh www.VIETMATHS.com Gii cỏc phng trỡnh sau a 15 x x = x 15 x + 11 b ( x + 5)(2 x) = x + x (1 + x)(2 x) = + x x c d x + 17 x + x 17 x = e 3x + x = x + 3x x + f x + x + 11 = 31 g n (1 + x) + n x + n (1 x) = h x = (2004 + x )(1 x ) i ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x j x2 + x2 = Nhn xột : i vi cỏch t n ph nh trờn chỳng ta ch gii quyt c mt lp bi n gin, ụi phng trỡnh i vi t li quỏ khú gii t n ph a v phng trỡnh thun nht bc i vi bin : Chỳng ta ó bit cỏch gii phng trỡnh: u + uv + v = (1) bng cỏch u u Xột v phng trỡnh tr thnh : ữ + ữ+ = v v v = th trc tip Cỏc trng hp sau cng a v c (1) a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) u + v = mu + nv Chỳng ta hóy thay cỏc biu thc A(x) , B(x) bi cỏc biu thc vụ t thỡ s nhn c phng trỡnh vụ t theo dng ny a) Phng trỡnh dng : a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) Nh vy phng trỡnh Q ( x ) = P ( x ) cú th gii bng phng phỏp trờn nu P ( x ) = A ( x ) B ( x ) Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Xut phỏt t ng thc : x + = ( x + 1) ( x x + 1) x + x + = ( x + x + 1) x = ( x + x + 1) ( x x + 1) ( )( ) x4 + = x2 x + x2 + 2x + x + = ( x x + 1) ( x + x + 1) Hóy to nhng phng trỡnh vụ t dng trờn vớ d nh: x 2 x + = x + cú mt phng trỡnh p , chỳng ta phi chn h s a,b,c cho phng trỡnh bc hai at + bt c = gii nghim p Bi Gii phng trỡnh : ( x + ) = x + Gii: t u = x + 1, v = x x + www.VIETMATHS.com phng trỡnh tr thnh : ( u + v Tỡm c: x = ) u = 2v = 5uv u = v 37 Bi Gii phng trỡnh : x 3x + = x + x2 + Bi 3: gii phng trỡnh sau : x + x = x3 Gii: k: x Nhn xt : Ta vit ( x 1) + ( x + x + 1) = ( x 1) ( x + x + 1) ng nht th ta c ( x 1) + ( x + x + 1) = ( x 1) ( x + x + 1) v = 9u t u = x , v = x + x + > , ta c: 3u + 2v = uv v = u Ta c : x = Bi Gii phng trỡnh : x 3x + ( x + 2) 6x = Gii: Nhn xột : t y = x + ta hy bin pt trn v phng trỡnh thun nht bc i vi x v y: x = y x 3x + y x = x 3xy + y = x = y Pt cú nghim : x = 2, x = 22 b).Phng trỡnh dng : u + v = mu + nv Phng trỡnh cho dng ny thng khú phỏt hin hn dng trờn , nhg nu ta bỡnh phng hai v thỡ a v c dng trờn Bi gii phng trỡnh : x + x = x x + Gii: u = x Ta t : ú phng trỡnh tr thnh : u + 3v = u v 2 v = x Bi 2.Gii phng trỡnh sau : x + x + x = x + x + Gii k x Bỡnh phng v ta cú : (x + x ) ( x 1) = x + (x + x ) ( x 1) = ( x + x ) ( x 1) u= v u = x + x 2 Ta cú th t : ú ta cú h : uv = u v v = x 1+ v u = 2 www.VIETMATHS.com 1+ 1+ Do u , v u = v x2 + 2x = ( x 1) 2 Bi gii phng trỡnh : x 14 x + x x 20 = x + Gii: (x k x Chuyn v bỡnh phng ta c: x x + = x 20 ) ( x + 1) 2 Nhn xột : khụng tn ti s , : x x + = ( x x 20 ) + ( x + 1) vy ta khụng th t u = x x 20 v = x + 2 Nhng may mn ta cú : ( x x 20 ) ( x + 1) = ( x + ) ( x ) ( x + 1) = ( x + ) ( x x ) Ta vit li phng trỡnh: ( x x ) + ( x + ) = ( x x 5)( x + 4) n õy bi toỏn c gii quyt Cỏc em hóy t sỏng to cho mỡnh nhng phng trỡnh vụ t p theo cỏch trờn Phng phỏp t n ph khụng hon ton x +1 x + = , T nhng phng trỡnh tớch x + ( 2x + x )( ( ) )( ) 2x + x + = Khai trin v rỳt gn ta s c nhng phng trỡnh vụ t khụng tm thng chỳt no, khú ca phng trỡnh dng ny ph thuc vo phng trỡnh tớch m ta xut phỏt T ú chỳng ta mi i tỡm cỏch gii phng trỡnh dng ny Phng phỏp gii c th hin qua cỏc vớ d sau ) ( 2 Bi Gii phng trỡnh : x + x + x = + x + Gii: t = t + x t + x = ( ) , ta cú : t = x +2 t = x Bi Gii phng trỡnh : ( x + 1) x x + = x + Gii: t : t = x x + 3, t 2 Khi ú phng trỡnh tr thnh : ( x + 1) t = x + x + ( x + 1) t = Bõy gi ta thờm bt , c phng trỡnh bc theo t cú chn : t = x x + ( x + 1) t + ( x 1) = t ( x + 1) t + ( x 1) = t = x T mt phng trỡnh n gin : ( x 1+ x )( ) x + + x = , khai trin ta s c pt sau Bi Gii phng trỡnh sau : x + = x + x + x Gii: Nhn xột : t t = x , pttt: + x = x + 2t + t + x (1) ( ) Ta rt x = t thay vo thỡ c pt: 3t + + x t + ( ) 1+ x = www.VIETMATHS.com Nhng khụng cú s may mn gii c phng trỡnh theo t ( = + 1+ x ) 48 ( ) x + khụng cú dng bỡnh phng Mun t c mc ớch trờn thỡ ta phi tỏch 3x theo C th nh sau : x = ( x ) + ( + x ) ( ) ( x , 1+ x ) thay vo pt (1) ta c: Bi Gii phng trỡnh: 2 x + + x = x + 16 Gii Bỡnh phng v phng trỡnh: ( x + ) + 16 ( x ) + 16 ( x ) = x + 16 Ta t : t = ( x ) Ta c: x 16t 32 + x = 2 Ta phi tỏch x = ( x ) + ( + ) x lm cho t cú dng chỡnh phng Nhn xột : Thụng thng ta ch cn nhúm cho ht h s t thỡ s t c mc ớch t nhiu n ph a v tớch Xut phỏt t mt s h i s p chỳng ta cú th to c nhng phng trỡnh vụ t m gii nú chỳng ta li t nhiu n ph v tỡm mi quan h gia cỏc n ph a v h Xut phỏt t ng thc ( a + b + c ) = a + b3 + c + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) , Ta cú a + b3 + c3 = ( a + b + c ) ( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) = T nhn xột ny ta cú th to nhng phng trỡnh vụ t cú cha cn bc ba x + x2 x + x2 8x + = 3x + + x + x x = Bi Gii phng trỡnh : x = x x + x x + x x u = x ( u + v ) ( u + w ) = 2 u = uv + vw + wu Gii : v = x , ta cú : v = uv + vw + wu ( u + v ) ( v + w ) = , gii h ta w2 = uv + vw + wu ( v + w ) ( u + w ) = w = x 30 239 c: u = x= 60 120 Bi Gii phng trỡnh sau : x + x x = x + x + + x x + a = x b = x 3x Gii Ta t : , ú ta cú : c = x + x + d = x x + Bi Gii cỏc phng trỡnh sau 1) x + x + x x + = x 2) a + b = c + d x = 2 2 a b = c d x + x ( x ) + ( x ) = x + x3 + x ( x ) t n ph a v h: 5.1 t n ph a v h thụng thng t u = ( x ) , v = ( x ) v tỡm mi quan h gia ( x ) v ( x ) t ú tỡm c h theo u,v www.VIETMATHS.com ) ( 3 3 Bi Gii phng trỡnh: x 25 x x + 25 x = 30 t y = 35 x3 x3 + y = 35 xy ( x + y ) = 30 Khi ú phng trỡnh chuyn v h phng trỡnh sau: , gii h ny ta tỡm x + y = 35 c ( x; y ) = (2;3) = (3;2) Tc l nghim ca phng trỡnh l x {2;3} x + x = Bi Gii phng trỡnh: iu kin: x x = u 0u 1,0 v t x = v u = v u + v = Ta a v h phng trỡnh sau: u + v = v + v = ữ Gii phng trỡnh th 2: (v + 1) v + ữ = , t ú tỡm v ri thay vo tỡm nghim ca phng trỡnh Bi Gii phng trỡnh sau: x + + x = iu kin: x 2 t a = x 1, b = + x 1(a 0, b 0) thỡ ta a v h phng trỡnh sau: a + b = (a + b)(a b + 1) = a b + = a = b b a = 11 17 Vy x + = + x x = x x = 2x + 2x + = Bi Gii phng trỡnh: x 5+ x Gii iu kin: < x < t u = x , v = y < u , v < 10 ( ) (u + v) = 10 + 2uv u + v = 10 Khi ú ta c h phng trỡnh: 4 + 2(u + z ) = (u + v) ữ = u v uv 5.2 Xõy dng phng trỡnh vụ t t h i xng loi II Ta hóy i tỡm ngun gc ca nhng bi toỏn gii phng trỡnh bng cỏch a v h i xng loi II 10 www.VIETMATHS.com ( x + 1) = y + (1) Ta xột mt h phng trỡnh i xng loi II sau : vic gii h ( y + 1) = x + (2) ny thỡ n gin Bõy gii ta s bin h thnh phng trỡnh bng cỏch t y = f ( x ) cho (2) luụn ỳng , y = x + , ú ta cú phng trỡnh : ( x + 1) = ( x + 1) + x + x = x + Vy gii phng trỡnh : x + x = x + ta t li nh trờn v a v h ( x + ) = ay + b Bng cỏch tng t xột h tng quỏt dng bc : , ta s xõy dng y + = ax + b ) ( c phng trỡnh dng sau : t y + = ax + b , ú ta cú phng trỡnh : a ( x + ) = ax + b + b a n Tng t cho bc cao hn : ( x + ) = n ax + b + b Túm li phng trỡnh thng cho di dng khia trin ta phi vit v dng : n ( x + ) = p n a ' x + b ' + v t y + = n ax + b a v h , chỳ ý v du ca ??? Vic chn ; thụng thng chỳng ta ch cn vit di dng : n ( x + ) = p n a ' x + b ' + l chn c Gii phng trỡnh: x x = 2 x 1 iu kin: x Ta cú phng trỡnh c vit li l: ( x 1) = 2 x Bi x x = 2( y 1) t y = x thỡ ta a v h sau: y y = 2( x 1) Tr hai v ca phng trỡnh ta c ( x y )( x + y ) = Gii ta tỡm c nghim ca phng trỡnh l: x = + Bi Gii phng trỡnh: x x = x + Gii iu kin x Ta bin i phng trỡnh nh sau: x 12 x = x + (2 x 3) = x + + 11 t y = x + ta c h phng trỡnh sau: (2 x 3) = y + ( x y )( x + y 1) = (2 y 3) = x + Vi x = y x = x + x = + Vi x + y = y = x x = Kt lun: Nghim ca phng trỡnh l {1 2; + 3} Cỏc em hóy xõy dng mt s h dng ny ? 11 www.VIETMATHS.com Dng h gn i xng (2 x 3) = y + x + (1) õy khụng phi l h i xng loi nhng Ta xt h sau : (2 y 3) = x + chỳng ta gii h c , v t h ny chỳng ta xõy dng c bi toỏn phng trỡnh sau : Bi Gii phng trỡnh: x + 13 x + x + = Nhn xột : Nu chỳng ta nhúm nh nhng phng trỡnh trc : 13 33 x ữ = 3x + 4 13 t y = x + thỡ chỳng ta khụng thu c h phng trỡnh m chỳng ta cú th gii c thu c h (1) ta t : y + = 3x + , chn , cho h chỳng ta cú th gii c , (i xng hoc gn i xng ) 2 ( y + ) = 3x + y + y 3x + = (1) (*) Ta cú h : (2) x 13 x + = y x 13 x + y + + = gii h trờn thỡ ta ly (1) nhõn vi k cng vi (2): v mong mun ca chỳng ta l cú nghim x = y 2 = = Nờn ta phi cú : , ta chn c = 2; = 13 5+ Ta cú li gii nh sau : iu kin: x , 3 t x + = (2 y 3), ( y ) (2 x 3) = y + x + ( x y )(2 x + y 5) = Ta cú h phng trỡnh sau: (2 y 3) = x + 15 97 Vi x = y x = 11 + 73 Vi x + y = x = 15 97 11 + 73 ; Kt lun: nghim ca phng trỡnh l: 8 Chỳ ý : ó lm quen, chỳng ta cú th tỡm ; bng cỏch vit li phng trỡnh ta vit li phng trỡnh nh sau: (2 x 3) = x + + x + ú t x + = y + , nu t y = x + thỡ chỳng ta khụng thu c h nh mong mun , ta thy du ca cựng du vi du trc cn Mt cỏch tng quỏt f ( x) = A.x + B y + m Xột h: f ( y ) = A '.x + m ' (1) (2) h cú nghim x = y thỡ : A-A=B v m=m, Nu t (2) tỡm c hm ngc y = g ( x ) thay vo (1) ta c phng trỡnh 12 www.VIETMATHS.com Nh vy xõy dng pt theo li ny ta cn xem xột cú hm ngc v tỡm c v hn na h phi gii c Mt s phng trỡnh c xõy dng t h Gii cỏc phng trỡnh sau 1) x 13 x + + x + = 2) x 13 x + + x + = 3) 81x = x3 x + x 3 4) x + = x x 15 30 x x ) = 2004 30060 x + + 5) ( 6) x = x3 36 x + 53 25 ( ) Gii (3): Phng trỡnh : 27 81x = 27 x 54 x + 36 x 54 27 81x = ( x ) 46 Ta t : y = 81x Cỏc em hóy xõy dng nhng phng trỡnh dng ny ! III PHNG PHP NH GI Dựng hng ng thc : T nhng ỏnh giỏ bỡnh phng : A2 + B , ta xõy dng phng trỡnh dng A2 + B = T phng trỡnh ( ) ( 5x x + trỡnh : x + 12 + x = x x + x ( ) x + x = ta khai trin cú phng ) Dựng bt ng thc A m Mt s phng trỡnh c to t du bng ca bt ng thc: nu du B m bng (1) v (2) cựng dt c ti x0 thỡ x0 l nghim ca phng trỡnh A = B , du Ta cú : + x + x Du bng v ch x = v x + + x +1 bng v ch x=0 Vy ta cú phng trỡnh: 1 2008 x + + 2008 x = + 1+ x x +1 A f ( x ) ụi mt s phng trỡnh c to t ý tng : ú : B f ( x) A = f ( x ) A=B B = f ( x ) Nu ta oỏn trc c nghim thỡ vic dựng bt ng thc d dng hn, nhng cú nhiu bi nghim l vụ t vic oỏn nghim khụng c, ta dựng bt ng thc ỏnh giỏ c 13 www.VIETMATHS.com Bi Gii phng trỡnh (OLYMPIC 30/4 -2007): Gii: k x 2 x + x +1 + ữ = x+9 x + x + 1 x= x +1 2 + xữ 2 Ta cú : x +1 Du bng 2 = x +1 2 + x = x+9 x +1 ( ) Bi Gii phng trỡnh : 13 x x + x + x = 16 Gii: k: x ( Bin i pt ta cú : x 13 x + + x ) = 256 p dng bt ng thc Bunhiacopxki: ( 13 13 x + 3 + x ) ( 13 + 27 ) ( 13 13 x + + x ) = 40 ( 16 10 x ) p dng bt ng thc Cụsi: 10 x ( 16 10 x 2 ) 16 ữ = 64 2 x= + x2 x = Du bng 10 x = 16 10 x x = Bi gii phng trỡnh: x 3` 3x x + 40 4 x + = Ta chng minh : 4 x + x + 13 v x 3x x + 40 ( x 3) Bi ngh Gii cỏc phng trỡnh sau 2x + 2x + 1) x + + x = + 2x 2x 4 2) x + x + x x = + 3) x + = 4 + x + x ( x + 3) x + 13 4) 16 x + = x3 + x 5) x 3` 3x x + 40 4 x + = 6) + x + 64 x3 = x x + 28 7) x2 + 1 = 4x+ ữ x x Xõy dng bi toỏn t tớnh cht cc tr hỡnh hc 3.1 Dựng ta ca vộc t r r Trong mt phng ta Oxy, Cho cỏc vộc t: u = ( x1 ; y1 ) , v = ( x2 ; y2 ) ú ta cú 14 www.VIETMATHS.com r r r r u+v u + v ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) x12 + y12 + x22 + y22 r r x1 y1 = = k , chỳ ý t Du bng xy v ch hai vộc t u , v cựng hng x2 y2 s phi dng rr r r r r r u.v = u v cos u v , du bng xy v ch cos = u v 3.2 S dng tớnh cht c bit v tam giỏc Nu tam giỏc ABC l tam giỏc u , thỡ vi mi im M trờn mt phng tam giỏc, ta luụn cú MA + MB + MC OA + OB + OC vi O l tõm ca ng trũn Du bng xy v ch M O Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn v im M tựy ý mt mt phng Thỡ MA+MB+MC nh nht im M nhỡn cỏc cnh AB,BC,AC di cựng mt gúc 1200 Bi ( ) 1) 2x2 2x + + 2x2 x + + 2x2 + 2) x x + x 10 x + 50 = ( ) +1 x +1 = IV PHNG PHP HM S 1.Xõy dng phng trỡnh vụ t da theo hm n iu Da vo kt qu : Nu y = f ( t ) l hm n iu thỡ f ( x ) = f ( t ) x = t ta cú th xõy dng c nhng phng trỡnh vụ t Xut phỏt t hm n iu : y = f ( x ) = x + x + mi x ta xõy dng phng trỡnh : f ( x) = f ( ) 3x x + x + = ( trỡnh x + x 3x + = ( x 1) x T phng trỡnh f ( x + 1) = f x + x + x + = ( x 1) ( ) 3x + (3 x 1) + , Rỳt gn ta c phng ) 3x thỡ bi toỏn s khú hn ( 3x 1) gi hai bi toỏn trờn chỳng ta cú th lm nh sau : x + x + x + = y t y = 3x ú ta cú h : cng hai phng trỡnh ta 3x = y c: 2 ( x + 1) + ( x + 1) = y + y Hóy xõy dng nhng hm n iu v nhng bi toỏn vụ t theo dng trờn ? ) ( ) ( 2 Bi Gii phng trỡnh : ( x + 1) + x + x + + x + x + = Gii: ( ( x + 1) + ( x + 1) ( ) ( + = ( x ) + ( x ) ) + f ( x + 1) = f ( 3x ) ) Xột hm s f ( t ) = t + t + , l hm ng bin trờn R, ta cú x = Bi Gii phng trỡnh x x x + = x + x 15 www.VIETMATHS.com Gii t y = x + x , ta cú h : 3 x x x + = y y + y = x + + ( x + 1) ( ) x + x = y Xột hm s : f ( t ) = t + t , l hm n iu tng T phng trỡnh x = f ( y ) = f ( x + 1) y = x + ( x + 1) = x + x x = 3 Bi Gii phng trỡnh : x + = x x V PHNG PHP LNG GIC HểA Mt s kin thc c bn: Nu x thỡ cú mt s t vi t ; cho : sin t = x v mt s y vi 2 y [ 0; ] cho x = cos y Nu x thỡ cú mt s t vi t 0; cho : sin t = x v mt s y vi y 0; cho x = cos y Vi mi s thc x cú t ; ữ cho : x = tan t 2 Nu : x , y l hai s thc tha: x + y = , thỡ cú mt s t vi t , cho x = sin t , y = cos t T ú chỳng ta cú phng phỏp gii toỏn : Nu : x thỡ t sin t = x vi t ; hoc x = cos y vi y [ 0; ] 2 Nu x thỡ t sin t = x , vi t 0; hoc x = cos y , vi y 0; 2 Nu : x , y l hai s thc tha: x + y = , thỡ t x = sin t , y = cos t vi t a Nu x a , ta cú th t : x = , vi t ; ữ , tng t cho trng sin t 2 hp khỏc X l s thc bt k thi t : x = tan t , t ; ữ 2 Ti li phi t iu kin cho t nh vy ? Chỳng ta bit rng t iu kin x = f ( t ) thỡ phi m bo vi mi x cú nht mt t , v iu kin trờn m bo iu ny (xem li vũng trũn lng giỏc ) Xõy dng phng trỡnh vụ t bng phng phỏp lng giỏc nh th no ? T cụng phng trỡnh lng giỏc n gin: cos3t = sin t , ta cú th to c phng trỡnh vụ t Chỳ ý : cos3t = 4cos3 t 3cos t ta cú phng trỡnh vụ t: x x = x (1) Nu thay x bng ta li cú phng trỡnh : x = x x (2) x 16 www.VIETMATHS.com Nu thay x phng trỡnh (1) bi : (x-1) ta s cú phng trỡnh v t khú: x 12 x + x = x x (3) Vic gii phng trỡnh (2) v (3) khụng n gin chỳt no ? Tng t nh vy t cụng thc sin 3x, sin 4x,.hóy xõy dng nhng phng trỡnh vụ t theo kiu lng giỏc Mt s vớ d Bi Gii phng trỡnh sau : + x ( + x ) 2 x2 ( x) = + 3 Gii: iu kin : x Vi x [1;0] : thỡ ( 1+ x) ( x) (ptvn) x [0;1] ta t : x = cos t , t 0; Khi ú phng trỡnh tr thnh: 1 cos x + sin t ữ = + sin t cos t = vy phng trỡnh cú nghim : x = 6 Bi Gii cỏc phng trỡnh sau : 2x + 2x + 2cos x + 1) x + + x = DH: tan x = + 2x 2x 2cos x 2) + x = x + x s: x = 3) x x = x + HD: chng minh x > vụ nghim ) ( Bi Gii phng trỡnh sau: 6x + = 2x Gii: Lp phng v ta c: x x = x x = Xột : x , t x = cos t , t [ 0; ] Khi ú ta c S = cos ;cos ;cos m 9 phng trỡnh bc cú ti a nghim vy ú cng chớnh l nghim ca phng trỡnh Bi .Gii phng trỡnh x + ữ x , t ; ữ Gii: k: x > , ta cú th t x = sin t 2 cos t = ( + cot t ) = Khi ú ptt: sin x sin 2t = Phng trỡnh cú nghim : x = + ( ) x + ( x + 1) x +1 = + 2x x ( x2 ) Bi Gii phng trỡnh : Gii: k x 0, x 17 www.VIETMATHS.com Ta cú th t : x = tan t , t ; ữ 2 Khi ú pttt 2sin t cos 2t + cos 2t = sin t ( sin t 2sin t ) = Kt hp vi iu kin ta cú nghim x = Bi tng hp Gii cỏc phng trỡnh sau 1) x + (1 x ) = x x2 2) x x 30 2007 30 + x 2007 = 30 2007 12 x 3) x + 2 x > x + 16 4) x + x + = x 5) x + x + = x + 6) x + + x + = x + + x + 7) x + x + = ( x + 3) x + 8) 9) 10 x = x (HSG Ton Quc 2002) ( x) ( x) = x+ ( x ) ( 10 x ) 10) x + = x + x 11) x + x3 = x 12) x 11x + 21 3 x = (OLYMPIC 30/4-2007) 13) x + x x = x + x + + x x + 14) x + 16 x + 18 + x = x + 3x + 3x + 2 15) x + x + = 3x + 16) 12 x + x = x + 17) x + + x = + x + x 18) x + x + = x x + + 2 x 19) x + x + x + x + = + x 20) ( x + ) + 16 ( x ) + 16 ( x ) = x + 16 21) x = (2004 + x )(1 x ) 22) ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x 23) x x + = x + x2 + 24) ( + x ) + 3 x + ( x ) = 2 25) 2008 x x + = 2007 x 18 www.VIETMATHS.com 26) ( ) ( x + = x + 3x + x + ) 27) x + x + 12 x + = 36 28) ( x 1) x3 + = x3 + x + 29) x + x 1 = + x x x x 30) x 14 x + x x 20 = x + 31) x + = x x 15 32) ( 30 x x ) = 2004 30060 x + + 4x + = x2 + 7x 33) 28 34) x x 10 = x x 10 ( 35) 3x =x ) x+x 19 www.VIETMATHS.com CHUYấN : PHNG TRèNH Vễ T I PHNG PHP BIN I TNG NG x D (*) A = B A= B0 A = B Dng : Phng trỡnh Lu ý: iu kin (*) c chn tu thuục vo phc ca A hay B B A=B A = B Dng 2: Phng trỡnh Dng 3: Phng trỡnh A A + B = C B (chuyn v dng 2) A + B + AB = C A + B = C A + B + 3 A.B ( ) A+ B =C v ta s dng phộp th : A + B = C ta c phng trỡnh : A + B + 3 A.B.C = C Bi 1: Gii phng trỡnh: f) + x x = a) x = x g) x + = x + b) x x + = h) x + x + = x + c) x + x + = 3+ x + x = 3x + x = Bi 2: Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim: d) e) i) ( x + 3) 10 x = x x 12 x + x = 2m + x x Bi 3: Cho phng trỡnh: x x = m a) Gii phng trỡnh m=1 b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Bi 4: Cho phng trỡnh: x + mx = x m a) Gii phng trỡnh m=3 b) Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh cú nghim II PHNG PHP T N PH 1) Phng phỏp t n ph thụng thng a) Nu bi toỏn cú cha f ( x) v f ( x) ú t t = f ( x) (vi iu kin ti thiu l t i vi cỏc phng trỡnh cú cha tham s thỡ nht thit phi tỡm iu kin ỳng cho n ph) b) Nu bi toỏn cú cha f ( x) , g ( x) v f ( x) g ( x) = k (vi k l hng s) k ú cú th t : t = f ( x) , ú g ( x ) = t c) Nu bi toỏn cú cha f ( x) g ( x) ; f ( x).g ( x) v f ( x) + g ( x) = k ú cú th t: t = f ( x) g ( x) suy d) Nu bi toỏn cú cha f ( x).g ( x) = t2 k a x thỡ t x = a sin t vi x = a cos t vi t t hoc 2 20 www.VIETMATHS.com x a thỡ t x = e) Nu bi toỏn cú cha x= a vi t [ 0; ] \ cos t a vi t ; \ { 0} hoc sin t 2 x + a ta cú th t x = a tan t vi t ; ữ 2 f) Nu bi toỏn cú cha Bi 1: Gii phng trỡnh: a) x + x + x + = 12 x f) x2 + 5x + 2 x2 + 5x = b) x x + x + = x c) x x + = x x + 12 g) x + 3x + 2 x + x + = d) x + 15 x + x + x + = i) ( x + 5)(2 x) = x + x h) x + x + 11 = 31 e) ( x + 4)( x + 1) x + x + = Bi 2: Gii phng trỡnh: a) x + (1 x ) = x ( x2 ) b) + x2 ( x ) c) x 2x x2 x2 + = ( 1+ x) = + x2 d) 64 x 112 x + 56 x = x x 35 = e) x + x 12 f) ( x 3) ( x + 1) + ( x 3) x +1 = x3 Bi 3: Cho phng trỡnh: + x + x + ( + x ) ( x ) = m a) Gii phng trỡnh vi m=3 b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim c) Tỡm m phng trỡnh cú nghim nht 1 =m Bi 4: Cho phng trỡnh: + x x2 a) Gii phng trỡnh vi m = + b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Bi 5: Cho phng trỡnh: ( x x ) + x x m = a) Gii phng trỡnh vi m = b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Phng phỏp t n ph khụng hon ton L vic s dng mt n ph chuyn phng trỡnh ban u thnh mt phng trỡnh vi mt n ph nhng cỏc h s cũn cha x x +1 x +1 x + = , T nhng phng trỡnh tớch ( 2x + x )( ) ( )( ) 2x + x + = Khai trin v rỳt gn ta s c nhng phng trỡnh vụ t khụng tm thng chỳt no, khú ca phng trỡnh dng ny ph thuc vo phng trỡnh tớch m ta xut phỏt 21 www.VIETMATHS.com T ú chỳng ta mi i tỡm cỏch gii phng trỡnh dng ny Phng phỏp gii c th hin qua cỏc vớ d sau ) ( 2 Bi Gii phng trỡnh : x + x + x = + x + t = Gii: t = x + , ta cú : t ( + x ) t + 3x = t = x Bi Gii phng trỡnh : ( x + 1) x x + = x + Gii: t : t = x x + 3, t 2 Khi ú phng trỡnh tr thnh : ( x + 1) t = x + x + ( x + 1) t = Bõy gi ta thờm bt , c phng trỡnh bc theo t cú chn t = x x + ( x + 1) t + ( x 1) = t ( x + 1) t + ( x 1) = t = x T mt phng trỡnh n gin : ( x 1+ x )( ) x + + x = , khai trin ta s c pt sau Bi Gii phng trỡnh sau : x + = x + x + x Gii: Nhn xột : t t = x , pttt: + x = x + 2t + t + x (1) ( ) Ta rt x = t thay vo thỡ c pt: 3t + + x t + ( ) 1+ x = Nhng khụng cú s may mn gii c phng trỡnh theo t ( = + 1+ x ) 48 ( ) x + khụng cú dng bỡnh phng Mun t c mc ớch trờn thỡ ta phi tỏch 3x theo C th nh sau : x = ( x ) + ( + x ) ( ) ( x , 1+ x ) thay vo pt (1) ta c: Bi Gii phng trỡnh: 2 x + + x = x + 16 Gii Bỡnh phng v phng trỡnh: ( x + ) + 16 ( x ) + 16 ( x ) = x + 16 Ta t : t = ( x ) Ta c: x 16t 32 + x = 2 Ta phi tỏch x = ( x ) + ( + ) x lm cho t cú dng chỡnh phng Nhn xột : Thụng thng ta ch cn nhúm cho ht h s t thỡ s t c mc ớch Bi tp: Gii cỏc phng trỡnh sau: a) (4 x 1) x + = x + x + b) x = x x x c) x = x x + x d) x + x = ( x + 2) x x + Phng phỏp t n ph chuyn v h a) Dng thụng thng: t u = ( x ) , v = ( x ) v tỡm mi quan h gia ( x ) v ( x ) t ú tỡm c h theo u,v Chng hn i vi phng trỡnh: m a f ( x) + m b + f ( x) = c 22 www.VIETMATHS.com u = m a f ( x ) ta cú th t: t ú suy u m + v m = a + b Khi ú ta cú h v = m b + f ( x ) u m + v m = a + b u + v = c Bi tp: Gii cỏc phng trỡnh sau: a) x = x b) x = x c) x x ( x 1) x + x x = b) Dng phng trỡnh cha cn bc hai v ly tha bc hai: d = ac + ax + b = c(dx + e) + x + vi e = bc + Cỏch gii: t: dy + e = ax + b ú phng trỡnh c chuyn thnh h: dy + e = ax + b ( dy + e ) = ax + b ->gii 2 dy + e = c ( dx + e ) + x + c ( dy + e ) = x + dy + e Nhn xột: D s dng c phng phỏp trờn cn phi khộo lộo bin i phng trỡnh ban u v dng tha iu kin trờn t n ph.Vic chn ; thụng thng n chỳng ta ch cn vit di dng : ( x + ) = p n a ' x + b ' + l chn c c) Dng phng trỡnh cha cn bc ba v ly tha bc ba d = ac + 3 ax + b = c ( dx + e ) + x + vi e = bc + Cỏch gii: t dy + e = ax + b ú phng trỡnh c chuyn thnh h: dy + e = ax + b ( dy + e ) = ax + b 3 dy + e = c ( dx + e ) + x + c ( dx + e ) = x + dy + e c ( dy + e ) = acx + bc c(dx + e) = ( ac d ) x + dy + bc Bi tp: Gii cỏc phng trỡnh sau: 1) x + = x + x + 7) x 13x + + 3x + = 2) x + = x + 13 x 8) x 13 x + + x + = 3) x + = 3 x 9) 81x = x3 x + x 4x + = x2 + x x > 4) 3 10) x + = x x 28 11) 5) x + = x 15 3 3 30 x x ) = 2004 30060 x + + ( x 35 x x + 35 x = 30 6) 12) 3 x = x3 36 x + 53 25 ( ) ( ) III PHNG PHP HM S S dng cỏc tớnh cht ca hm s gii phng trỡnh l dng toỏn khỏ quen thuc Ta cú hng ỏp dng sau õy: 23 www.VIETMATHS.com Hng 1: Thc hin theo cỏc bc: Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng: f ( x) = k Bc 2: Xột hm s y = f ( x) Bc 3: Nhn xột: Vi x = x0 f ( x ) = f ( x0 ) = k ú x0 l nghim Vi x > x0 f ( x ) > f ( x0 ) = k ú phng trỡnh vụ nghim Vi x < x0 f ( x ) < f ( x0 ) = k ú phng trỡnh vụ nghim Vy x0 l nghim nht ca phng trỡnh Hng 2: thc hin theo cỏc bc Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng: f ( x) = g ( x) Bc 2: Dựng lp lun khng nh rng f ( x) v g(x) cú nhng tớnh cht trỏi ngc v xỏc nh x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) Bc 3: Vy x0 l nghim nht ca phng trỡnh Hng 3: Thc hin theo cỏc bc: Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng f (u ) = f (v) Bc 2: Xột hm s y = f ( x) , dựng lp lun khng nh hm s n iu Bc 3: Khi ú f (u ) = f (v) u = v ) ( ( ) 2 Vớ d: Gii phng trỡnh : ( x + 1) + x + x + + x + x + = Gii: ( pt ( x + 1) + ( x + 1) ( ) ( + = ( x ) + ( x ) ) ) + f ( x + 1) = f ( 3x ) Xột hm s f ( t ) = t + t + , l hm ng bin trờn R, ta cú x = Bi tp: Gii phng trỡnh: a) x + x = b) c) x = x3 x + x = + x x2 d) e) x = x + x x3 x + x + = f) 2x + x2 + = x 24 [...]... www.VIETMATHS.com CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG x ∈ D (*) A = B ⇔ A= B≥0⇔ A = B Dạng 1 : Phương trình Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của A ≥ 0 hay B ≥ 0 B ≥ 0 A=B⇔ 2 A = B Dạng 2: Phương trình Dạng 3: Phương trình A ≥ 0 A + B = C ⇔ B ≥ 0 (chuyển về dạng 2) A + B + 2 AB = C • • 3 A + 3 B = 3 C ⇒ A + B + 3 3 A.B ( 3 ) A+ 3 B =C và ta sử dụng... nghiệm 2 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x x +1 −1 x +1 − x + 2 = 0 , Từ những phương trình tích ( 2x + 3 − x )( ) ( )( ) 2x + 3 − x + 2 = 0 Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương. .. Giải phương trình khi m=1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 4: Cho phương trình: 2 x 2 + mx − 3 = x − m a) Giải phương trình khi m=3 b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 1) Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường a) Nếu bài toán có chứa f ( x) và f ( x) khi đó đặt t = f ( x) (với điều kiện tối thiểu là t ≥ 0 đối với các phương trình có chứa tham số thì nhất... Bài 3: Cho phương trình: 1 + x + 8 − x + ( 1 + x ) ( 8 − x ) = m a) Giải phương trình với m=3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất 1 1 =m Bài 4: Cho phương trình: + x 1 − x2 2 a) Giải phương trình với m = 2 + 3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 5: Cho phương trình: 2 ( x 2 − 2 x ) + x 2 − 2 x − 3 − m = 0 a) Giải phương trình với m = 9 b) Tìm m để phương trình... = 8 x3 − 36 x 2 + 53 − 25 ( ) Giải (3): 3 Phương trình : ⇔ 27 3 81x − 8 = 27 x 3 − 54 x 2 + 36 x − 54 ⇔ 27 3 81x − 8 = ( 3 x − 2 ) − 46 Ta đặt : 3 y − 2 = 3 81x − 8 Các em hãy xây dựng những phương trình dạng này ! III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 1 Dùng hằng đẳng thức : Từ những đánh giá bình phương : A2 + B 2 ≥ 0 , ta xây dựng phương trình dạng A2 + B 2 = 0 Từ phương trình ( ) ( 2 5x − 1 − 2 x + trình... k do đó phương trình vô nghiệm • Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình Hướng 2: thực hiện theo các bước Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f ( x) = g ( x) Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng f ( x) và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác định x0 sao cho f ( x0 ) = g ( x0 ) Bước 3: Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình Hướng 3: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình... phương ) 2 Dùng bất đẳng thức A ≥ m Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: nếu dấu B ≤ m bằng ỏ (1) và (2) cùng dạt được tại x0 thì x0 là nghiệm của phương trình A = B 1 ≥ 2 , dấu Ta có : 1 + x + 1 − x ≤ 2 Dấu bằng khi và chỉ khi x = 0 và x + 1 + x +1 bằng khi và chỉ khi x=0 Vậy ta có phương trình: 1 1 − 2008 x + 1 + 2008 x = + 1+ x x +1 A ≥ f ( x ) Đôi khi một số phương. .. www.VIETMATHS.com Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau ) ( 2 2 2 Bài 1 Giải phương trình : x + 3 − x + 2 x = 1 + 2 x + 2 t = 3 2 Giải: t = x 2 + 2 , ta có : t − ( 2 + x ) t − 3 + 3x = 0 ⇔ t = x − 1 Bài 2 Giải phương trình : ( x + 1) x 2 − 2 x + 3 = x 2 + 1 Giải: Đặt : t = x 2 − 2 x + 3, t ≥ 2 2 2 Khi đó phương trình trở thnh : ( x + 1)... ( ) III PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc Ta có 3 hướng áp dụng sau đây: 23 www.VIETMATHS.com Hướng 1: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f ( x) = k Bước 2: Xét hàm số y = f ( x) Bước 3: Nhận xét: • Với x = x0 ⇔ f ( x ) = f ( x0 ) = k do đó x0 là nghiệm • Với x > x0 ⇔ f ( x ) > f ( x0 ) = k do đó phương trình... trước căn Một cách tổng quát f ( x) = A.x + B y + m Xét hệ: f ( y ) = A '.x + m ' (1) (2) để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’, Nếu từ (2) tìm được hàm ngược y = g ( x ) thay vào (1) ta được phương trình 12 www.VIETMATHS.com Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được Một số phương trình được xây dựng từ hệ Giải các phương trình