Bài giảng môn học Đại số A1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://w Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Lê Văn Luyện lvluyen@yahoo.com www.math.hcmus.edu.vn/∼lvluyen/09tt Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 / 84 Nội dung Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://w Chương MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 / 84 Ma trận Ma trận Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://w 1.1 Định nghĩa ký hiệu 1.2 Ma trận vuông 1.3 Các phép toán ma trận Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 / 84 Ma trận 1.1 Định nghĩa ký hiệu Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://w Định nghĩa Một ma trận cấp m × n K bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số K có dạng   a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   A=   am1 am2 amn Viết tắt: A = (aij )m×n hay A = (aij ), aij ∈ K aij hay Aij phần tử vị trí dòng i cột j A Mm×n (K) tập hợp tất ma trận cấp m × n K Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 / 84 Ma trận 1.1 Định nghĩa ký hiệu Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://w Ví dụ  A= ∈ M2×3 (K);  B =   ∈ M3×2 (K) Ma trận có phần tử gọi ma trận không , ký hiệu 0m×n ( hay 0) Ví dụ  03×4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)  0 0 = 0 0  0 0 Ma trận Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 / 84 Ma trận 1.2 Ma trận vuông Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://w Định nghĩa Nếu A ∈ Mn×n (K) (số dòng số cột) A gọi ma trận vuông   a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   A=   an1 an2 ann Mn (K): Tập hợp tất ma trận vuông cấp n K Ví dụ   −1 A =  −1  ∈ M3 (K); Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)  0 03 =  0  0 Ma trận Hệ PT tuyến tính  06/04/2010 / 84 Ma trận 1.2 Ma trận vuông Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://w Định nghĩa Nếu A = (aij ) ∈ Mn×n (K) đường chứa phần tử a11 , a22 , , ann gọi đường chéo hay đường chéo A   a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   A=   an1 an2 ann Ví dụ   A =  −2 −3  −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 / 84 Ma trận • Nếu phần tử nằm đường chéo A (nghĩa aij = 0, ∀i > j) A gọi ma trận tam giác Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://w • Nếu phần tử nằm đường chéo A (nghĩa aij = 0, ∀i < j) A gọi ma trận tam giác • Nếu phần tử nằm đường chéo A (nghĩa aij = 0, ∀i = j) gọi ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1 , a2 , , an )     0  Ví dụ A =  −3  , B =  −2 0 −1 −4   −1 0  0  C = diag(−1, 0, 5) = 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 / 84 Ma trận Ma trận đơn vị Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://w Ma trận vuông cấp n có phần tử đường chéo 1, phần tử nằm đường chéo gọi ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In (hoặc I.) Ví dụ  I2 = 0 ;  0 I3 =   0 Nhận xét Ma trận A ma trận đường chéo vừa ma trận tam giác vừa ma trận tam giác Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 / 84 Ma trận 1.3 Các phép toán ma trận Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://w a) So sánh hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n Khi đó, aij = bij , ∀i, j A B gọi hai ma trận nhau, ký hiệu A = B Ví dụ Tìm x, y, z để x+1 2x − z = 3y − y − 2z + Giải Ta có   1;  x + = 3y − 4;  x = 2x − = y − 1; ⇔ y = 2;   z = 2z + z = −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 10 / 84 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 2.1 Không gian ảnh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://w Định nghĩa Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính Ta đặt Imf = {f (u) | u ∈ V } Khi Imf không gian W , ta gọi Imf không gian ảnh f Định lý Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính Khi đó, S = {u1 , u2 , , um } tập sinh V f (S) = {f (u1 ), f (u2 ), , f (um )} tập sinh Imf Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 17 / 31 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính Nhận xét Dựa vào định lý trên, để tìm sở Imf , ta chọn tập Simpo Split Unregistered Version - http://w sinh S V (đểPDF đơn Merge giản ta and chọn sở tắc) Khi Imf sinh tập ảnh S Ví dụ Cho f : R3 → R3 xác định bởi: f (x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z) Tìm sở Imf Giải Gọi B0 = {e1 , e2 , e3 } sở tắc R3 Ta có f (e1 ) = f (1, 0, 0) = (1, 2, 3) f (e2 ) = f (0, 1, 0) = (1, 3, 5) f (e3 ) = f (0, 0, 1) = (−1, −1, −1) Ta có Imf sinh {f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 18 / 31 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính       f (e1 ) 3 →  Lập ma trận A =  f (e2 )  =  Simpo PDF fMerge Version (e3 ) and Split −1 Unregistered −1 −1 0 -0 http://w Do đó, Imf có sở {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)} Định lý Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính V hữu hạn chiều Khi dimImf + dimKerf = dimV Mệnh đề Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính Khi i) f đơn cấu Kerf = {0} ii) f toàn cấu Imf = W iii) f đẳng cấu Kerf = {0} Imf = W Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 19 / 31 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho V có sở B = (u1 , u2 , , un ), W có sở Merge andWSplit Unregistered Version - http://w B = (v1 Simpo , v2 , ,PDF vm ) f ∈ L(V, ) Đặt P = ([f (u1 )]B [f (u2 )]B [f (un )]B ) Khi ma trận P gọi ma trận biểu diễn ánh xạ f theo cặp sở B, B , ký hiệu P = [f]B,B (hoặc [f ]B B ) Nếu f ∈ L(V ) ma trận [f ]B,B gọi ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính f , ký hiệu [f]B Ví dụ Xét ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định f (x, y, z) = (x − y, 2x + y + z) cặp sở B = (u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 2), u3 = (1, 1, 1)), C = (v1 = (1, 3), v2 = (2, 5)) Tìm [f ]B,C Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 20 / 31 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Ta có f (u1 ) = (0, 3) Simpo PDF Merge Split Unregistered Version - http://w f (uand ) = (−1, 3) f (u3 ) = (0, 4) Với v = (a, b) ∈ R2 , tìm [v]C Lập (v1 v2 |v ) → Suy [v]C = a b → −5a + 2b 3a − b −5a + 2b 3a − b Lần lượt thay f (u1 ), f (u2 ), f (u3 ) ta có [f (u1 )]C = −3 , [f (u2 )]C = 11 −6 , [f (u3 )]C = −4 Vậy [f ]B,C = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 11 −3 −6 −4 Chương Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 21 / 31 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 định Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://w f (x, y, z, t) = (x − 2y + z − t, x + 2y + z + t, 2x + 2z) Tìm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính f theo cặp sở tắc Giải  [f ]B0 ,B0  −2 −1 1  = 2 Ví dụ Cho f ∈ L(R2 ) xác định f (x, y) = (2x + y, x − 4y) Khi ma trận biểu diễn f theo sở tắc B0 là: [f ]B0 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 1 −4 Chương Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 22 / 31 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Định lý Cho V W không gian vectơ hữu hạn chiều; B, B C, C tương ứng Merge cặp sở W Khi đó,Version với -ánh xạ Simpo PDF and SplitV Unregistered http://w tuyến tính f : V → W ta có i) ∀u ∈ V, [f (u)]C = [f ]B,C [u]B ii) [f ]B ,C = (C → C )−1 [f ]B,C (B → B ) Hệ Cho B B hai sở không gian hữu hạn chiều V Khi toán tử tuyến tính f ∈ L(V ) ta có i) ∀u ∈ V, [f (u)]B = [f ]B [u]B ii) [f ]B = (B → B )−1 [f ]B (B → B ) Ví dụ Trong không gian R3 cho sở B = (u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)) ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 định bởi: f (x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y − z, 2x − y + 3z) Tìm [f ]B Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 23 / 31 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Giải Gọi B0 sở tắc R3 , ta có   Simpo PDF Merge and2Split1 Unregistered Version - http://w −1   −1 [f ]B0 = −1 Áp dụng hệ quả, ta có [f ]B = (B0 → B)−1 [f ]B0 (B0 → B),   (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) = 1 3, 1  (B0 → B)−1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)  −1 −4 −1 = −1 −1 Chương Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 24 / 31 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Suy     −1 Merge −4and 2Split1Unregistered −1 Version Simpo PDF - http://w −11 [f ]B = −1 −1 2   −8 −13 −31 = −3 −3 −1 −1   −1 3 = −1 1 2  1  −8 −3 Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 , biết ma trận biểu diễn f cặp sở B = (u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 0, 1); u3 = (1, 1, 0)) C = (v1 = (1, 1); v2 = (2, 1)) [f ]B,C = −3 Tìm công thức f Giải Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 25 / 31 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Cách Do [f ]B,C = Ta có −3 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://w • [f (u1 )]C = Suy f (u1 ) = 2v1 + 0v2 = (2, 2) • [f (u2 )]C = Suy f (u2 ) = v1 + 3v2 = (7, 4) • [f (u3 )]C = −3 Suy f (u3 ) = −3v1 + 4v2 = (5, 1) Cho u = (x, y, z) ∈ R3 Tìm [u]B    1 x 0 x−y−z Lập (u1 u2 u3 |u ) =  1 y  →  2x + y − z  1 z 0 −x + z   −x + y + z  x−y Vậy [u]B =  x−z Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 26 / 31 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Suy u = (−x + y + z)u1 + (x − y)u2 + (x − z)u3 Vậy, ta có Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://w f (u) = (−x + y + z)f (u1 ) + (x − y)f (u2 ) + (x − z)f (u3 ) = (−x + y + z)(2, 2) + (x − y)(7, 4) + (x − z)(5, 1) = (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z) Cách Gọi B0 C0 sở tắc R3 R2 Áp dụng công thức ta có [f ]B0 ,C0 = (C → C0 )−1 [f ]B,C (B → B0 ) Ta có • (C → C0 )−1 = (C0 → C) = (v1 v2 ) =  1  1 • (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) =  1  1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 27 / 31 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính   −1 1  Suy (B → B0 ) = (B0 → B)−1 =  −1 Simpo PDF Merge and Split1Unregistered Version - http://w −1 Vậy [f ]B0 ,C0 = (C → C0 )−1 [f ]B,C (B → B0 )   −1 1 2 −3  −1  = 1 −1   −1 1  −1  = 1 −1 = 10 −5 −3 −2 Suy f (x, y, z) = (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 28 / 31 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Mệnh đề Cho V, W hai không gian vectơ n chiều f ∈ L(V, W ) andkhiSplit - http://w Khi fSimpo songPDF ánh Merge tồn Unregistered sở A,Version B V W cho [f ]A,B khả nghịch Hơn nữa, f −1 : W → V ánh xạ tuyến tính [f −1 ]B,A = [f ]−1 A,B Đặc biệt, V = W A = B [f −1 ]B = [f ]−1 B Ví dụ Cho B = (u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 2), u3 = (1, 2, 1)) sở R3 Với f toán tử tuyến tính R3 có   −1 2  [f ]B =  1 Chứng minh f song ánh tìm f −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 29 / 31 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính −1 2 = −1 Suy [f ]B khả nghịch Vậy f Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://w song ánh Giải Ta có |[f ]B | = Gọi B0 sở tắc ta có [f ]B0 = (B → B0 )−1 [f ]B (B → B0 ) = (B0 → B)[f ]B (B0  Ta có (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) =  1  −1 −1 −1  −1 Suy (B0 → B) = −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) → B)−1  1    Chương Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 30 / 31 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Vậy Simpo PDF Version Merge 1 and1Split −1 Unregistered −1 −1 - http://w  [f ]B0 =  1   =  =       −2 −1  −3    −1 −1  −1 −1 −1  −1 1  1   Suy [f −1 ]B0 = [f ]−1 B0  −2  =  −5 −1 Vậy f −1 (x, y, z) = (3x − 2z, −5x + y + 3z, −x + y) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 31 / 31