TRNG THPT ễNG SN Kè THI KSCL HC THấM LP 11 - LN NM HC 2015 - 2016 Mụn Thi: TON Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian giao ) x + y = Cõu 1(1,0 im) Gii h phng trỡnh: 2( x + 1) 3( y 2) = Cõu 2(1,0 im) Gii bt phng trỡnh: 2x2 4x + x+3 Cõu (1,0 im) a) Gii phng trỡnh: sin x sin x cos x + cos x = b) Cho sin = < < Tớnh giỏ tr ca biu thc M = sin + cos , n Cõu (1,0 im) Tìm hệ số x khai triển x (x > 0) biết n số x tự nhiên thỏa mãn An2 + Cnn + Cnn = 92 Cõu (1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC vi A(2 ; -1), B(3 ; 2), C(-3 ; 1) Vit phng trỡnh ng cao i qua A v phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Cõu (1,0 im) a) Cú bao nhiờu s t nhiờn cú ch s khỏc nhau, ú cú mt ch s 1? b) chun b cho l k nim 50 nm thnh lp trng, nh trng cn chn 20 hc sinh n tip ún i biu n tham d S hc sinh ny c ly ngu nhiờn theo danh sỏch t 15 hc sinh n ca lp 11A v 22 hc sinh n ca lp 11B Tớnh xỏc sut mi lp cú ớt nht hc sinh c chn (ly gn ỳng n ch s sau du phy) Cõu (1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh bỡnh hnh tõm O, M l im di ng trờn SC v (P) l mt phng qua AM v song song vi BD Tỡm cỏc giao im H v K SB SD SC + ca (P) vi SB v SD Chng minh l mt hng s SH SK SM Cõu (1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh A(1;3) , trc tõm H(1; - 1) v tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc I(2; - 2) Tỡm ta cỏc nh B, C ca tam giỏc x3 3x = y + Cõu (1,0 im) Gii h phng trỡnh y xy + y = x + Cõu 10 (1,0 im) Cho a, b, c l cỏc s thc dng tho a + b +c = Chng minh rng : ab + bc + ca Ht H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: TRNG THPT ễNG SN I Cõu Kè THI KSCL NM HC 2015 2016, LN HNG DN CHM MễN TON 11 Ni dung 1,0 1,0 2x 4x + x 5x + (*) x+3 x+3 +) Ta cú x x + = x = 2, x = / x + = x = Bng xột du v trỏi ca (*) x 1/2 + | + x 5x + x+3 + | VT || + 3a 3b im 1,0 Gii h phng trỡnh x + y = x = HPT x y = 13 y = Gii bt phng trỡnh 0,25 | + - + + + + Theo bng xột du thỡ bt phng trỡnh cú nghim S = 3; [2;+) Gii phng trỡnh lng giỏc Nhn thy cos x = x = + k (k Z ) khụng phi l nghim ca phng trỡnh Chia hai v ca phng trỡnh cho cos x ta c tan x tan x + = tan x tan x + = 2(1 + tan x) cos x tan x tan x + = tan x = 1, tan x = x = + k , x = arctan + k (k Z ) Tớnh giỏ tr biu thc 40 10 2 Do < < nờn cos < cos = cos = sin = = 49 7 10 40 62 12 10 M = sin cos + 2(2 cos 1) = + 2 = 7 49 49 Tỡm h s n = n(n 1) An2 + Cnn1 + Cnn2 = 92 n(n 1) + n + = 92 3n n 184 = n = 23 / 3(loai ) 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 1,0 0,5 k Số hạng tổng quát khai triển: Tk +1 = C ( x ) 22 = C8k (2) k x 245 k x Số hạng chứa x ứng với k thỏa mãn 24 5k = k = 0,25 Vậy hệ số x4 khai triển cho C84 (2) = 1120 0,25 Vit phng trỡnh ng thng, ng trũn ng cao i qua A cú vect phỏp tuyn l BC = (6;1) nờn cú phng trỡnh 6( x 2) ( y + 1) = x + y 11 = 1,0 0,25 k 8 k +) Gi x + y + 2ax + 2by + c = Do A, B, C thuc ng trũn nờn ta cú 2 0,25 + + 4a 2b + c = 4a 2b + c = a = / 34 + + 6a + 4b + c = 6a + 4b + c = 13 b = 45 / 34 + 6a + 2b + c = 6a + 2b + c = 10 c = 128 / 17 0,25 90 128 x y =0 34 34 17 Cú bao nhiờu s t nhiờn tha +) Nu s ó cho cú ch s thỡ: Cú cỏch chn v trớ cho 0, cỏch chn v trớ cho v A 83 cỏch chn ch s khỏc 0, v xp vo v trớ cũn li 2 Vy (C) cú phng trỡnh: x + y 6a 0,25 0,5 0,25 Do ú cú 4.4 A = 5376 s 6b +) Nu s ó cho khụng cú ch s thỡ: Cú cỏch chn v trớ cho v A cỏch chn ch s khỏc 0, v xp vo v trớ cũn li Do ú cú A8 = 8400 s Vy cú tt c 5376 + 8400 = 13776 s tha bi Tớnh xỏc sut 20 Tng s hc sinh n hai lp l 15 + 22 = 37 S phn t ca khụng gian mu l = C37 Gi A l bin c ó cho, ú cú ba trng hp: Mt lp cú hc sinh lp cũn li 11 hc 11 10 10 11 sinh, hoc c hai lp cựng cú 10 hc sinh Suy A = C15C22 + C15 C22 + C15 C22 11 10 C159 C22 + C1510C22 + C1511C22 P ( A ) = 0,38676 Xỏc sut cn tỡm l: C3720 Hỡnh hc khụng gian Gi I = SO AM Do (P) // BD v S HK = ( P ) ( SBD) nờn HK //BD M K I H J A D O B C Do ú t I ta k ng thng song song vi BD s ct SB ti H v ct SD ti K Gi J l trung im ca MC Ta cú HK // BD, OJ // AM ú SB SD SC SO SC + =2 SH SK SM SI SM SI + IO SM + MC =2 SI SM IO MJ IO IO =1+ 2 =1 SI SM SI SI Tỡm ta cỏc inh ca tam giỏc Gi BB l ng kớnh ca ng trũn (C) ngoi A tip tam giỏc ABC Ta cú AH BC , B ' C BC AH // B' C B Tng t: CH // AB' Do ú AHBC l hỡnh bỡnh hnh, suy AH = B' C H I Gi M l trung im ca BC, suy IM l ng trung bỡnh ca tam giỏc BCB nờn B ' C = IM B C = 2( xM 2) x = M M Suy AH = IM = 2( y M + 2) y M = = 2+2 ng thng BC i qua M (3;1) v cú vect phỏp tuyn IM = (1;1) nờn cú phng trỡnh x + y +1 = x + y = 0,25 0,5 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 +) ng trũn (C) cú tõm I v bỏn kớnh R = IA = 10 nờn cú phng trỡnh ( x 2) + ( y + 2) = 10 +) Do B, C l giao ca ng thng BC v ng trũn (C) nờn ta ca B, C l nghim ( x 2) + ( y + 2) = 10 (1) ca h phng trỡnh x + y = (2) (2) y = x th vo (1) ta c ( x 2) + (4 x) = 10 x x + = x = y = Vy B (1;1), C (5;3) hoc B (5;3), C (1;1) x = y = Gii h phng trỡnh K: y Kớ hiu hai phng trỡnh ln lt l (1) v (2) (2) y ( y x 1) + 3( y x 1) = ( y x 1)( y + 3) = y = x + (Do y + > 0) Thay vo phng trỡnh (1) ta cú x x = x + (3) k: x Nu x > thỡ x x = x + x ( x 4) > x > x = x + x > nghim Do ú gii (1) ch cn xột x , t x = 2cost ; t [ 0; ] Phng trỡnh (3) tr thnh: cos t cos t = cos t + cos 3t = cos 10 x + pt vụ 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 t t k t = 3t = + k 4 (k Z ) (k Z ) Do t [ 0; ] nờn t = 0; , t k 3t = + k t = 4 x = 2; x = cos ; x = cos 4 4 ;2 cos + 1, cos ;2 cos + Suy nghim ca h l (2;3); cos 7 5 Chng minh bt ng thc Theo gi thit thỡ a, b, c < ab > = > ((2 + ab )(4 ab ) > Mt khỏc (2 + ab )(4 ab ) ( ab 1) (luụn ỳng) 0,25 0,25 1,0 0,25 nờn < (2 + ab )(4 ab ) Do ú ab = Tng t ta cng cú ab ab ab + ab = = 9 ab + ab (4 ab ) ( ) 0,25 + bc + ca , 9 ca bc Cng BT trờn ta c 2 ab + bc + ca a + b b + c c + a + + + + + + 9 2 ab bc ca 0,25 1 a2 + b2 + c2 + + + = Suy ab bc ca Du = xy a = b = c = 0,25 = Ht