BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————————— TRỊNH THỊ HỒNG HẠNH PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CẢI BIÊN CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————————— TRỊNH THỊ HỒNG HẠNH PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CẢI BIÊN CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên nghành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Hà Nội - 2015 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Hội Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người thầy trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến thầy, cô giáo Khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học , bạn học viên lớp Cao học K17 Toán giải tích đợt trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân khuyến khích, động viên tác giả suốt trình học tập làm luận văn Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 8, năm 2015 Tác giả Trịnh Thị Hồng Hạnh ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn H Nội, tháng 8, năm 2015 Tác giả Trịnh Thị Hồng Hạnh iii Các kí hiệu chữ viết tắt Tập hợp Hàm N tập số tự nhiên R ∈, ∈ / tập số thực thuộc, không thuộc φ ∀x ∃x A⊂B A∪B A∩B A×B Không gian H n R Rm×n phần tử tập hợp tập rỗng với tồn A tập thực B A hợp với B A giao với B tích Đề-các A B không gian Hilbert thực không gian dãy bình phương khả tổng không gian Euclide n-chiều không gian ma trận cấp m × n iv Vec tơ xk dãy véc tơ x1 , x2 , x3 , x, y x := y x, x x = xk → x F :U →V arg min{f (u) |u ∈ K } PK (u) FKnat B (u, r) B (u, r) I NK (u) Lớp toán V I (K, F ) tích vô hướng hai véc tơ x, y x gán y CP (K, F ) LCP (M, q) toán bù xác định nón K ánh xạ F toán bù tuyến tính chuẩn véc tơ x dãy xk hội tụ tới x ánh xạ từ U vào V tập điểm cực tiểu hàm f vào K hình chiếu u lên tập K ánh xạ giá tự nhiên F K hình cầu mở tâm u bán kính r hình cầu đóng tâm u bán kính r ánh xạ đồng nón pháp tuyến điểm u K bất đẳng thức biến phân xác định tập K ánh xạ F xác định ma trận M véc tơ q DV I (K, F ) toán đối ngẫu toán bất đẳng thức biến phân V I (K, F ) Sol (K, F ) tập nghiệm toán V I (K, F ) CP (K, F ) Sol (M, q) Sol(K, F )∗ tập nghiệm toán LCP (M, q) tập nghiệm toán DV I (K, F ) Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Các kí hiệu chữ viết tắt iii Mục lục v Mở đầu Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.1 Không gian Hilbert số tính chất 1.2 Bất đẳng thức biến phân toán bù 10 1.3 Toán tử đơn điệu đơn điệu suy rộng 13 1.4 Phép chiếu metric, tồn nghiệm toán VI (K, F) 16 1.5 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 21 1.6 Phương pháp gradient kéo dài 23 1.7 Kết luận 24 Chương Phương pháp chiếu cải biên 26 2.1 Một số tính chất toán tử chiếu 26 2.2 Thuật toán chiếu cải biên 34 2.3 Phương pháp chiếu cải biên với hệ số ưu tiên 36 v vi 2.4 Phương pháp chiếu cải biên hệ số ưu tiên 41 2.5 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 47 Mở đầu Lý chọn đề tài Ngày nay, bất đẳng thức biến phân toán tối ưu đóng vai trò quan trọng việc ứng dụng toán học vào sống Bài toán cân bao gồm hai loại toán nêu Lý thuyết bất đẳng thức biến phân, đời từ đầu năm 1960, công cụ mạnh để nghiên cứu toán thực tế Năm 1972, Ky Fan năm 1978 Browder – Minty phát biểu toán bất đẳng thức biến phân cách tổng quát chứng minh tồn nghiệm với giả thiết khác Kết Ky Fan nặng tính nửa liên tục trên, kết Browder – Minty nặng tính đơn điệu hàm số Đầu tiên người ta nghiên cứu bất đẳng thức biến phân liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều vào Sau mở rộng sang không gian có số chiều vô hạn với nón, tạo quan hệ phần không gian Khái niệm ánh xạ đa trị xây dựng phát triển nhu cầu phát triển toán học lĩnh vực khác Từ người ta tìm cách phát biểu toán liên quan đến ánh xạ đa trị chứng minh kết quen biết từ đơn trị sang đa trị Khái niệm toán tử giả đơn điệu giới thiệu S Karamardian [11], tổng quát quan trọng toán tử đơn điệu Trong báo này, tác giả hàm giả lồi ánh xạ gradient giả đơn điệu Từ đó, S Karamardian S Schaible [12] đưa số khái niệm đơn điệu tổng quát giả đơn điệu chặt, giả đơn điệu mạnh tựa đơn điệu Tác giả thiết lập mối quan hệ đơn điệu tổng quát toán tử với khái niệm hàm lồi tổng quát Nó cho thấy toán tử giả đơn điệu trường hợp đặc biệt toán tử tựa đơn điệu Bất đẳng thức biến phân đơn điệu sử dụng để nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng eliptic parapolic, nghiên cứu toán tối ưu toán cân Chúng cho phép xây dựng thuật toán hội tụ tới lời giải toán Cho tới bất đẳng thức biến phân đơn điệu chủ đề quan tâm nhiều nhà nghiên cứu toán học Phương pháp tìm nghiệm khác đề xuất cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu: phương pháp chiếu metric, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề, phương pháp gradient kéo dài Trong năm gần đây, tồn nghiệm phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu tựa đơn điệu nghiên cứu nhiều tài liệu Người ta tìm thuật toán để giải toán nhiều trường hợp đặc biệt Phương pháp chiếu cải biên phương pháp nghiên cứu để giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Sự hội tụ mạnh 35 Thuật toán 1.2 đưa cho điểm ban đầu u0 ∈ K dãy lặp uk Mệnh đề sử dụng thường xuyên phần Mệnh đề 2.1 Giả sử F giả đơn điệu mạnh K với hệ số γ liên tục Lipschitz K với hệ số L Cho uk dãy sinh Thuật toán 2.1 Nếu u∗ nghiệm V I(K, F ), + λk 2γ − λk L2 uk+1 − u∗ ≤ uk+1 − u∗ ∀k ∈ N (2.4) Chứng minh Từ uk+1 = PK uk − λk F uk , theo Định lý 1.7 ta có uk − λk F uk − uk+1 , u − uk+1 ≤ ∀u ∈ K Thay u = u∗ ∈ K vào ta thu bất đẳng thức sau uk − λk F uk − uk+1 , u∗ − uk+1 ≤ 0, uk − uk+1 , u∗ − uk+1 ≤ 2λk F uk , u∗ − uk+1 (2.5) Từ u∗ ∈ Sol (K, F ), với u ∈ K có F (u∗ ) , u − u∗ ≥ Do từ tính chất giả đơn điệu mạnh F ta có F (u) , u − u∗ ≥ γ u − u∗ , với u ∈ K Từ đó, theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz tính liên tục Lipschitz F, 2λk F uk , u∗ − uk+1 = 2λk F uk − F uk+1 , u∗ − uk+1 − 2λk F uk+1 , uk+1 − u∗ ≤ 2λk F uk − F uk+1 ≤ 2λk L uk − uk+1 uk+1 − u∗ − 2λk γ uk+1 − u∗ uk+1 − u∗ − 2λk γ uk+1 − u∗ 36 Kết hợp với bất đẳng thức 2λk L uk − uk+1 uk+1 − u∗ ≤ uk − uk+1 2 + (λk L)2 uk+1 − u∗ , ta thu 2λk F uk , u∗ − uk+1 ≤ −2λk γ uk+1 − u∗ + uk − uk+1 2 + (λk L)2 uk+1 − u∗ (2.6) Trong phép cộng, dễ có uk − uk+1 , u∗ − uk+1 = uk − uk+1 + uk+1 − u∗ 2 − uk − u∗ (2.7) Kết hợp (2.5) với (2.6) (2.7) ta có uk − uk+1 + uk+1 − u∗ − uk − u∗ ≤ −2λk γ uk+1 − u∗ 2 + uk − uk+1 2 + (λk L)2 uk+1 − u∗ Từ ta có (2.4) 2.3 Phương pháp chiếu cải biên với hệ số ưu tiên Ta chứng minh dãy lặp sinh Thuật toán 2.1 cho toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu hội tụ tuyến tính, với điều kiện toán cho có nghiệm Định lý 2.2 Cho F giả đơn điệu mạnh K với hệ số γ liên tục Lipschitz K với hệ số L Giả sử 37 < a ≤ λk ≤ b < 2γ L2 ∀k ∈ N, (2.8) a, b số dương Cho uk dãy sinh Thuật toán 2.1 Nếu u∗ nghiệm V I (K, F ), dãy uk tuyến tính hội tụ tới u∗ Hơn nữa, ưu tiên đánh giá sai số sau uk+1 − u∗ ≤ µk+1 1−µ u1 − u0 , (2.9) uk+1 − u∗ ≤ µ 1−µ uk+1 − uk (2.10) cố định với k ∈ N Ở µ := √ 1+a(2γ−bL2 ) ∈ (0, 1) (2.11) Chứng minh Theo (2.8) + λk 2γ − λk L2 ≥ + a 2γ − bL2 > với k ∈ N Từ (2.4) từ bất đẳng thức + a 2γ − bL2 uk+1 − u∗ ≤ uk − u∗ ∀k ∈ N Do uk+1 − u∗ ≤ µ uk − u∗ ∀k ∈ N, (2.12) với µ xác định (2.11) Ta có µ ∈ (0, 1) Tính chất (2.12) chứng tỏ uk tuyến tính hội tụ tới u∗ Ta chứng minh (2.9) (2.10) Từ (2.12) ta có uk+1 − u∗ ≤ µ uk − u∗ ≤ µ2 uk−1 − u∗ ≤ ≤ µk+1 u0 − u∗ Từ 38 uk − u∗ ≤ uk − uk+1 + uk+1 − u∗ ≤ uk − uk+1 + µ uk − u∗ , Ta có uk − u∗ ≤ 1−µ uk − uk+1 với k ∈ N Vì uk+1 − u∗ ≤ µk+1 u0 − u∗ ≤ uk+1 − u∗ ≤ µ uk − u∗ ≤ µk+1 1−µ µ 1−µ u0 − u1 , uk − uk+1 Chú ý 2.1 Khi a = b = λ , độ dài bước không đổi, phương pháp chiếu cải biên biến thành phương pháp chiếu sở µ (2.11) trở thành µ=√ 1+λ(2γ−λL2 ) (2.13) Để thỏa mãn (2.8), ta có λ ∈ 0, L2γ2 Đánh giá (2.9) (2.10) chặt chẽ µ cực tiểu Xét µ (2.13) hàm λ ∈ 0, L2γ2 , ta tìm giá trị cực tiểu µ∗ = √ L L2 +γ µ đạt λ = λ∗ := γ L2 Chú ý 2.2 Giá trị µ (2.11) coi hàm µ = µ (a, b) biến (a, b) thuộc miền (a, b) ∈ R2 : < a ≤ b < 2γ L2 Đặt b = ta với t ∈ [1, +∞) không đổi, dễ dàng nhận thấy hàm µ (a, b) = µ (a, ta) đạt giá trị cực tiểu γ2 1+ tL a = Từ ta kết luận γ2 1+ tL : ≤ t < +∞ =√ L , L2 +γ γ tL2 39 2γ L2 µ (a, b) : < a ≤ b < =√ L L2 +γ Bởi vậy, giá trị tốt cho µ (2.11) µ∗ := √ đạt cặp (a∗ , b∗ ) (a∗ , b∗ ) := γ γ L2 , L2 L L2 +γ Hơn nữa, Chú ý 2.3 Sự đánh giá sai số Định lý 2.2 có ích việc áp dụng Thuật toán 2.1 vào bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Ví dụ, (2.9) cho phép ta đánh giá số bước lặp cần để đạt cách xác Cụ thể là, cho ε > 0, µk+1 1−µ u1 − u0 ≤ ε từ (2.9) ta có uk+1 − u∗ ≤ ε Hệ 2.1 Trong cách ký hiệu Định lý 2.2, F đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz K, dãy uk sinh Thuật toán 2.1 tuyến tính hội tụ tới nghiệm V I (K, F ) đánh giá sai số (2.9) (2.10) thỏa mãn Chứng minh Ta thấy với giả thiết V I (K, F ) có nghiệm (xem [10] phần chứng minh) áp dụng Định lý 2.2 Như minh họa, ta áp dụng Định lý 2.2 cho lớp toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh vô hạn chiều ví dụ 2.1 Ví dụ 2.1 Cho H = không gian Hilbert bao gồm phần tử dãy bình phương khả tổng, tức ∞ H= u = (u1 , u2 , , ui , ) : |ui |2 < +∞ i=1 Tích chuẩn H cho ∞ u, v = ui vi u = i=1 1/2 ∞ ui i=1 , 40 với u = (u1 , u2 , , ui , ) v = (v1 , v2 , , vi , ) H Cho α, β ∈ R thỏa mãn β > α > β > định nghĩa Kα = {u ∈ H : u ≤ α} , Fβ (u) = (β − u ) u, α β vai trò tham số Ta thấy Sol (Kα , Fβ ) = {0} Toán tử Fβ vừa liên tục Lipschitz vừa giả đơn điệu Kα Thật vậy, với u, v ∈ Kα , ta có Fβ (u) − Fβ (v) = (β − u ) u − (β − v ) v = β (u − v) − u (u − v) − ( u − v ) v ≤β u−v + u u−v +| u − v | v ≤ β u − v + α u − v + u − v α = (β + 2α) u − v Điều có nghĩa Fβ liên tục Lipschitz Kα với hệ số L := β + 2α Giả sử u, v ∈ Kα cho Fβ (u) , v − u ≥ Từ u ≤ α < β, ta có u, v − u ≥ Nhận thấy Fβ (v) , v − u = (β − v ) v, v − u ≥ (β − v ) ( v, v − u − u, v − u ) ≥ (β − α) u − v Do đó, Fβ giả đơn điệu mạnh Kα với hệ số γ := β − α Chọn u0 ∈ Kα đặt λk = λ với k ∈ N, 2(β−α) λ ∈ 0, L2γ2 = 0, (β+2α) , xem lấy cách tùy ý Từ Định lý 2.2 suy dãy uk sinh Thuật toán 2.1 tuyến tính hội tụ tới 0, với nghiệm toán V I (Kα , Fβ ) Hơn nữa, nhìn vào (2.9) (2.10), 41 uk+1 − ≤ µk+1 1−µ u1 − u0 uk+1 − ≤ µ 1−µ uk+1 − uk với k ∈ N, µ= 1+λ[2(β−α)−λ(β+2α) ] Theo Chú ý 2.1, giá trị cực tiểu µ tính µ∗ = √ đạt λ = λ∗ = β+2α 2 (β+2α) +(β−α) β−α (β+2α) 2.4 Phương pháp chiếu cải biên hệ số ưu tiên Định lý 2.3 Cho F giả đơn điệu mạnh K với hệ số γ liên tục Lipschitz K với hệ số L Giả sử {λk } dãy vô hướng dương với ∞ λk = +∞, lim λk = (2.14) k→∞ k=0 Cho uk dãy sinh Thuật toán 2.1 Nếu V I (K, F ) có nghiệm u∗ , dãy uk hội tụ chuẩn tới u∗ Hơn nữa, có tồn số k0 ∈ N cho với k ≥ k0 , có λk 2γ − λk L2 > uk+1 − u∗ ≤ k i=k0 [1+λi (2γ−λi L2 )] uk0 − u∗ (2.15) Chứng minh Từ λk → 0, tồn k0 ∈ N cho λk L2 < λ với k ≥ k0 Do λk 2γ − λk L2 > λk (2γ − γ) = γλk > 0, với k ≥ k0 Vì vậy, từ (2.4) suy , 42 uk+1 − u∗ ≤ ≤ ≤ uk − u∗ 1+λk (2γ−λk L2 ) 1 [1+λk (2γ−λk L2 )] [1+λk−1 (2γ−λk−1 L2 )] k i=k0 uk−1 − u∗ 2 uk0 − u∗ [1+λi (2γ−λi L2 )] Từ ta thu (2.15) Tiếp theo, ta phải chứng minh uk hội tụ chuẩn tới u∗ Với k0 ∈ N, đặt αk = λk 2γ − λk L2 , viết lại (2.15) sau uk+1 − u∗ ≤ k i=k0 [1+αi ] uk0 − u∗ (2.16) Từ αk = λk 2γ − λk L2 > γλk với k ≥ k0 , từ (2.14) ∞ αk = +∞ k=k0 Do k (1+αi ) i=k0 ≤ → 0, k 1+ αi i=k0 k → ∞ Do đó, (2.16) đưa đến uk hội tụ chuẩn tới u∗ Chú ý 2.4 Mặc dù giả thiết Định lý 2.3 giống giả thiết dùng Định lý 2.2, kiến thức hệ số Lipschitz L mô đun đơn điệu mạnh γ F yêu cầu Hệ 2.2 Với {λk } cho Định lý 2.3 Cho F đơn điệu mạnh K với hệ số liên tục Lipschitz K với hệ số L Thì dãy uk sinh Thuật toán 2.1 hội tụ chuẩn tới nghiệm 43 V I (K, F ) tồn số k0 ∈ N cho (2.15) thỏa mãn với k ≥ k0 Chứng minh Với giả thiết ta có, V I (K, F ) có nghiệm Do khẳng định suy từ việc ứng dụng Định lý 2.3 Ví dụ 2.2 Với H, Kα , Fβ , u0 cho Ví dụ 2.1 cho λk = k+1 ∀k ∈ N Thì (2.14) thỏa mãn, với uk dãy lặp sinh Thuật toán 2.1 Từ Định lý 2.3, uk hội tụ chuẩn tới 0, với nghiệm V I (Kα , Fβ ) Đặt k0 = (β+2α) 2(β−α) , λk 2γ − λk L2 > với k ≥ k0 Từ (2.16) ta có uk+1 − ≤ k i=k0 1+ 2(β−α) (β+2α)2 i+1 − (i+1)2 uk0 − ; ∀k ≥ k0 Ta phân tích điều kiện (2.8) (2.14) dùng để tách Định lý 2.2 Định lý 2.3 Ví dụ 2.3 Đặt K = R F (u) = u Dễ dàng thấy F liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnh K, Sol (K, F ) = {0} Chọn u0 = ∈ K λk = (k+2) ; ∀k ∈ N (2.17) ∞ Từ lim λk = k→∞ λk = +∞, hai điều kiện (2.8) (2.14) bị k=0 vi phạm Dãy lặp uk sinh Thuật toán 2.1 với u0 = cho uk+1 = PK uk − λk F uk = uk − λk uk = (1 − λk ) uk 44 Do đó, từ (2.17), uk+1 = k k (1 − λi ) = i=0 1− i=0 Điều chứng tỏ dãy uk (i+2) ; ∀k ∈ N dãy giảm bị chặn Vì uk hội tụ Chú ý uk+1 = k 1− i=0 (i+2) k = i=0 (i+1)(i+3) (i+2) = k+3 2(k+2) Cho k → ∞, ta thu lim uk = 12 Điều có nghĩa uk không k→∞ hội tụ tới nghiệm V I (K, F ) ta xét Ta thấy rằng, Định lý 2.2 Định lý 2.3, điều kiện (2.8) (2.14) không bỏ qua Cuối cùng, ta phải chứng minh dãy uk xét Định lý 2.3 không hội tụ tuyến tính tới nghiệm V I (K, F ) Mặt khác, so sánh với trình lặp với điều kiện Định lý 2.2, tính lặp đưa Định lý 2.3 có tốc độ hội tụ chậm Bên cạnh thuận lợi nói trên, phương pháp xét Định lý 2.3 có số hạn chế tốc độ hội tụ Ví dụ 2.4 Với H, K cho giống Ví dụ 2.3 u0 ∈ R\ {0} Cho {λk } ⊂ (0, +∞) thỏa mãn (2.14) λk = với k ∈ R Công thức lặp Thuật toán 2.1 trở thành uk+1 = PK uk − λk F uk = uk − λk uk = (1 − λk ) uk Từ lim λk = uk = với k ∈ N, ta có k→∞ lim k→∞ uk+1 −0 uk −0 = lim |1 − λk | = k→∞ Do tìm µ ∈ (0, 1) cho bất đẳng thức 45 uk+1 − ≤ µ uk − , không đổi với k ∈ N Điều có nghĩa uk không hội tụ tuyến tính tới nghiệm V I (K, F ) 2.5 Kết luận Chúng ta vừa trình bày phương pháp chiếu cải biên để giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh hai trường hợp: phương pháp chiếu cải biên có hệ số ưu tiên phương pháp chiếu cải biên hệ số ưu tiên Trong trường hợp đầu tiên, độ dài bước chọn cách tùy ý từ khoảng đóng cố định Trong trường hợp thứ hai, độ dài bước hình thành dãy không khả tổng số thực dương Thuận lợi hạn chế trường hợp đưa 46 Kết luận chung Bài toán bất đẳng thức biến phân toán tổng quát tiếp cận nhiều hướng khác Luận văn trình bày phương pháp chiếu cải biên để giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Nội dung trình bày luận văn bao gồm Nhắc lại số kiến thức không gian Hilbert như: tính trực giao, toán tử compact, toán tử bị chặn, Phát biểu toán bất đẳng thức biến phân, toán bù mối liên hệ mật thiết hai toán Trình bày định nghĩa tính đơn điệu đơn điệu suy rộng ánh xạ F, phát biểu chứng minh số định lí, mệnh đề điều kiện tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Phát biểu định nghĩa phép chiếu metric, trình bày số tính chất phép chiếu Trình bày phương pháp chiếu cải biên để giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh, chứng minh hội tụ, đánh giá sai số so sánh tốc độ hội tụ trình lặp hai trường hợp chiếu cụ thể: phương pháp chiếu cải biên với hệ số ưu tiên phương pháp chiếu cải biên hệ số ưu tiên 47 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Đỗ Hồng Tân Nguyễn Thị Thanh Hà (2002), Các định lý điểm bất động, NXB Đại học Sư Phạm Hà Nội [2] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2005), Một số vấn đề lý thuyết tối ưu đa trị, NXB Giáo dục [3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Đông Yên (2007), Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ [B] Tài liệu Tiếng Anh [5] M Bianchi, N Hadjisavvas, and S Schaible (2003), On pseudomono-tone maps T for which – T is also pseudomonotone, Convex Anal 10 , 149-168 [6] Y Censor, A Gibali, and S Reich (2011), The subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert space J Optim Theory Appl 148 , 318-335 48 [7] R.W Cottle, J.-S Pang, and R.E Stone (1992), The Linear Complementarity Problem, Academic Press, New York [8] J.P Crouzeix, S Schaible (1996), Generalized monotone affine maps, SIAM J.Matrix Anal Appl 17, 992-992 90C26 (26B25) [9] L Delnath, P Mikusinski (2005), Hilbert Space with Applica-tion, Elsevier Academic Press Publications [10] F Facchinei and J.-S Pang (2003), Finite-Dimensional Variational In-equalities and Complementarity Problems, Vols.I and II, Springer-Verlag, New York [11] S Karamardian (1976), Complementarity problems over cones with mono-tone and pseudomonotone maps, J Optim Theory Appl 18, 445-454 [12] S Karamardian, S Schaible (1990), ), Seven kind of monotone maps, J Optim Theory Appl 66 , 37-46 [13] P D Khanh and P T Vuong (2014), Modified projection method for strongly pseudomonotone variational inequalities J Global Optim 58, 341-350 [14] D Kinderlehrer and G Stampacchia (1980), An Introduction to varia-tional inequalities and their applications, Academic Press, New York [15] I Konnov (2001), Combined relaxation methods for variational inequalities, Springer 49 [16] N N Tam, J.-C Yao, and N D Yen (2008), Solution methods for pseu-domonotone variational inequalities, J Optim Theory Apply 138, 253-273 [17] N Thanh Hao (2006), Tikhonov regularization algorithm for pseudomonotone variational inequalities, Acta Math Vietnam 31, 283289 [...]... không gian Hilbert, 25 bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, phép chiếu metric, một số điều kiện về sự tồn tại nghiệm và hai phương pháp giải bất đẳng thức biến phân: phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp Gradient kéo dài sẽ được áp dụng ở chương sau 26 Chương 2 Phương pháp chiếu cải biên Phương pháp chiếu là phương pháp giải cơ bản cho bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh... bài toán bất đẳng thức biến phân V I (K, F ) Sol (K, F ) là ký hiệu tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I (K, F ) Thông qua các giả thiết đơn điệu của hàm giá F , việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân V I (K, F ) rất gần với việc giải bài toán sau (ký hiệu DV I (K, F )): Tìm u∗ ∈ K sao cho F (u) , u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ K Bài toán này thường được gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán bất. .. nghiệm Sau đó trình bày phương pháp giải bằng thuật toán chiếu cải biên, vận dụng thuật toán hiệu quả để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Phát biểu bài toán dựa trên những dữ kiện đã cho Sau đó tìm điều kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm và nghiên cứu thuật toán để giải ra 6 nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân bằng phương pháp chiếu cải biên Để làm điều này,... xn → T x với bất kì xn , x ∈ H 1.2 Bất đẳng thức biến phân và bài toán bù Ở mục này, ta sẽ trình bày khái niệm về bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, cũng như mối liên hệ mật thiết giữa hai bài toán này với nhau Định nghĩa 1.4 Cho K là tập con khác rỗng của không gian Hilbert (H, , ) và cho F : K → H là ánh xạ đơn trị Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân được định nghĩa bởi K và F ,... dụng của phương pháp chiếu cải biên và tìm hiểu các ứng dụng trong từng trường hợp cụ thể là thuật toán chiếu cải biên với hệ số ưu tiên và thuật toán chiếu cải biên không có hệ số ưu tiên 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân Sự tồn tại nghiệm Sau đó, tìm các mối liên hệ giữa bài toán này với các bài toán khác trong lý thuyết tối ưu đa trị 5 Phương pháp nghiên... về bất đẳng thức biến phân đã công bố trên các tạp chí và sách giáo khoa sách chuyên khảo Tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các kết quả liên quan tới phương pháp chiếu cải biên trong luận văn của mình 6 Dự kiến kết quả nghiên cứu Luận văn là một tổng quan về những ki thức cơ bản và một số phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trong đó đi sâu về phương pháp chiếu cải biên trong việc giải bài. .. của bài toán ban đầu bởi một dãy các bài toán dễ giải hơn Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (viết tắt là TRM) là một trong những cách thể hiện đơn giản nhất của ý tưởng này Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov được định nghĩa cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu Động lực là một bài toán đơn điệu không có tính chất ổn định như bài toán đơn điệu mạnh Lịch sử đã xem xét việc mở rộng bằng việc nghiên cứu bất đẳng. .. giải bài toán bất đẳng thức biến phân 7 Chương 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân Trong chương này, ta nhắc lại các khái niệm cũng như kết quả bổ trợ cần thiết được sử dụng ở chương sau Chương này gồm hai phần Phần thứ nhất trình này một số khái niệm cơ bản và các kết quả cần thiết về giải tích hàm, đặc biệt về không gian Hilbert Phần thứ hai dành để giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân, tiếp... Minty cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Đây là một tổng quát của bổ đề Minty cổ điển 1.4 Phép chiếu metric, sự tồn tại nghiệm của bài toán VI (K, F) Khái niệm về phép chiếu metric, hay còn gọi là phép chiếu trực giao, sẽ được trình bày ở mục này Tiếp theo, ta trình bày tóm tắt một số điều kiện về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân Mệnh đề 1.3 (Xem [14, Chương 1, Bổ đề 2.1]) Cho. .. chương bao gồm: một số tính chất cơ bản của toán tử chiếu, tiếp theo là trình bày phương pháp chiếu cải biên cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh và một số ví dụ minh họa Sự hội tụ mạnh và đánh giá sai số cho dãy lặp được nghiên cứu trong hai phiên bản của phương pháp: độ dài bước được chọn một cách tùy ý từ một khoảng đóng không đổi đã cho và độ dài bước hình thành một dãy không