Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG Phương pháp: + Tìm tập xác định hàm số + Tính y’ giải phương trình y’ = để tìm nghiệm + Lập bảng biến thiên dựa vào bảng biến thiên để kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có) hàm số sau: a) y = x3 − 3x b) y = x + x − x −1 c) y = x + x − d) y = x − 2x + Hướng dẫn giải: a) y = x − 3x Tập xác định: D = R x = Đạo hàm: y′ = 12 x − 12 x3 = 12 x (1 − x )  → y′ = ⇔  x =1 Dấu y’ phụ thuộc vào dấu biểu thức (1 − x) nên ta có bảng biến thiên: −∞ x y’ + +∞ + − y −∞ +∞ Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn điểm x = Hàm số giá trị nhỏ b) y = x + x − Tập xác định: D = R Đạo hàm: y′ = x3 + x = x x +  → y ′ = ⇔ x = ( ) Bảng biến thiên: x −∞ − y’ +∞ + +∞ +∞ y −2 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ −2 điểm x = Hàm số giá trị lớn ( ) Cách khác: Ta có y = x + x − = x2 + − ≥ − = −1  → ymin = −1 ⇔ x = c) y = x + x − x ≥1 Hàm số xác định x + x − ≥ ⇔   → D = ( −∞; −2] ∪ [1; +∞ )  x ≤ −2 2x + 1 Đạo hàm: y′ =  → y′ = ⇔ x + = ⇔ x = − 2 x +x−2 Bảng biến thiên: Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x −∞ −2 − y’ − − || Facebook: LyHung95 +∞ + || + +∞ +∞ y 0 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ hai điểm x = −2 x = x −1 d) y = x − 2x + Do x − x + = ( x − 1) + > 0, ∀x ∈ R  → D = R Đạo hàm: y′ = x − x + − ( x − )( x − 1) Giới hạn đặc biệt: (x − 2x + ) = (x − x2 + x − 2x + ) x =  → y′ = ⇔ − x + x = ⇔  x = x −1 =0 x  → ±∞ x − x + lim Bảng biến thiên: −∞ x − y’ + +∞ − y − Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn 1/2 x = 2, giá trị nhỏ −1/2 x = BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: x2 − x + 1) y = x + 2) y = x x + x +1 2 x2 + x + 4) y = x + 5) y = x x2 + 1 3) y = x + , ( x > ) x DẠNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN Phương pháp: +) Tìm tập xác định hàm số +) Tính y’ giải phương trình y’ = để tìm nghiệm Giả sử nghiệm x1; x2; x3… +) Chọn nghiệm thuộc đoạn [a; b] Tính giá trị hàm số nghiệm hai biên a, b +) Giá trị lớn giá trị tìm GTLN hàm số, giá trị nhỏ GTNN hàm s ố Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số sau: a) y = x3 – 3x2 – 9x [–3; 0] b) y = x + − x [–1; 0] x +1 c) y = [–1; 2] d) y = ( x + ) − x x +1 Hướng dẫn giải: a) y = x3 – 3x2 – 9x [–3; 0] Tập xác định: D = R  x = −1 Đạo hàm: y′ = x − x − = x − x −  → y′ = ⇔ x2 − x − = ⇔  x = ( ) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Do tìm giá trị lớn nhất, nhỏ [–3; 0] nên ta loại nghiệm x = y ( −1) = Ta có y ( −3) = −27  → hàm số đạt giá trị lớn x = −1 giá trị nhỏ −27 x = −3 y (0) = b) y = x + − x [–1; 0] Tập xác định: D = ( −∞;1] Đạo hàm: y′ = − 1− x y ( −1) = − Ta có y ( 0) = 1− x −1 1− x  → y′ = ⇔ − x − = ⇔ − x =  → x = ∈ [ −1; 0] 4   ymax = ⇔ x = 4  →  y = − ⇔ x = −1  3 y  = 4 x +1 c) y = [–1; 2] x2 + x2 + − Đạo hàm: y′ = = x ( x + 1) 2 1− x x2 + = x + − x − x =  → y′ = ⇔ − x = ⇔ x = 1∈ [ −1; 2] x +1 x2 + x2 + x2 + x2 + ( ) ( ) y ( −1) = Ta có  y = ⇔ x = y (1) =  →  max  ymin = ⇔ x = −1 y ( 2) = d) y = ( x + ) − x Hàm số xác định − x ≥ ⇔ −2 ≤ x ≤  → D = [ −2; 2] Đạo hàm: y′ = − x − y ( −2 ) = Ta có x ( x + 2) 4− x = − x2 − x2 − 2x 4− x = −2 x − x + 4− x x =1  → y ′ = ⇔ −2 x − x + = ⇔   x = −2  y = 3 ⇔ x = y (1) = 3  →  max  ymin = ⇔ x = ± y ( 2) = Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số sau:  π a) y = x + cos x 0;   2  π b) y = cos x + 4sin x 0;   2 Hướng dẫn giải:  π a) y = x + cos x 0;   2 π   x = + k 2π Đạo hàm : y′ = − sin x  → y′ = ⇔ sin x = ⇔  x = 3π + k 2π  Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 y ( 0) = π  π Do x ∈ 0;   → x = Ta có  2 π π  π  ymax = + ⇔ x = π 4 y   = +  → 4 y = ⇔ x =  π π y  = 2  π b) y = cos x + 4sin x 0;   2 Cách 1: cos x =  →x =  y′ = −2 sin x + 4cos x  → y′ = ⇔ sin x = 2cos x ⇔ sin x = cos x ⇔  π sin x =  →x =  y ( 0) = Ta có π   ymax = 2 ⇔ x = π y   = 2  → 4 y = ⇔ x =  π y  = − 2 Cách 2: y = cos x + 4sin x = − 2sin x + 4sin x = −2 sin x + 4sin x + = −2 t + 4t + 2; t = sin x ( )  π Do x ∈  0;   → t ∈ [ 0;1] Khi y = −2 t + 4t +  → y′ = −4 2t + = ⇔ t = ∈ [ 0;1]  2 y (0) = Ta có π  ⇔x=    ymax = 2 ⇔ t = y →  = 2   2 y = ⇔ t = ⇔ x =  y (1) = − Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!