BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Hương VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MODULE TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Hương VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MODULE TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Để thực tốt luận văn này, cố gắng nỗ lực thân, nhận quan tâm, giúp đỡ từ thầy cô, bạn bè gia đình Nhân đây, xin gởi lời cảm ơn Trước hết, xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Toán - Tin trường Đại Học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh truyền thụ kiến thức bổ ích, làm tảng cho trình nghiên cứu luận văn Và hết, xin gởi lời tri ân sâu sắc đến PGS.TS Bùi Tường Trí, người tận tình hướng dẫn, dạy bảo phương pháp nghiên cứu khoa học, tạo điều kiện để hoàn thành luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian xem xét, chỉnh sửa đưa nhận xét quý báu để luận văn hoàn thiện Bên cạnh dạy thầy cô, nhận quan tâm gia đình bạn bè Xin chân thành cảm ơn người Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng 01 năm 2014 Trần Thị Thanh Hương MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU .1 DANH MỤC HÌNH VẼ DANH MỤC BIỂU ĐỒ LỜI NÓI ĐẦU Chương - KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các định nghĩa, tính chất vành 1.2 Các định nghĩa, tính chất môđun 1.3 Radical vành 14 Chương - VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MÔĐUN TỰ DO 20 HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 20 2.1 Sự tồn hạng môđun tự vô hạn sinh vành không giao hoán 20 2.2 Điều kiện tồn hạng môđun tự hữu hạn sinh vành không giao hoán 21 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 BẢNG KÝ HIỆU MR R - môđun phải M J ( R ) rad R Căn Jacobson HomR ( M , N ) Nhóm R - đồng cấu từ M đến N End R ( M ) Vành R - tự đồng cấu M U ( R) Nhóm phần tử khả nghịch vành R diag A Chéo ma trận A A Lực lượng tập hợp A a.c.c Điều kiện dây chuyền tăng d.c.c Điều kiện dây chuyền giảm det A Định thức ma trận A L(M ) Độ dài dãy hợp thành lR ( M ) Độ dài môđun M DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1 : Sơ đồ giao hoán 14 Hình 2.1: Sơ đồ giao hoán 31 DANH MỤC BIỂU ĐỒ BIỂU ĐỒ TÓM TẮT MỐI LIÊN HỆ CỦA LỚP CÁC VÀNH CÓ IBN 44 LỜI NÓI ĐẦU Cấu trúc module (môđun) xuất hầu hết hết lý thuyết toán học đại, có khả thống cách chất cấu trúc vành, iđêan, nhóm Abel, không gian vectơ Tính linh hoạt phổ quát cấu trúc môđun mang lại ứng dụng to lớn Thông qua lý thuyết môđun, có dịp soi sáng, củng cố lý thuyết không gian vectơ nhiều lý thuyết toán học khác Một lớp môđun có cấu trúc gần giống với cấu trúc không gian vectơ lớp môđun tự Trước hết, ta nhớ lại R - môđun M gọi tự M có sở Các cách mô tả môđun tự thú vị có nhiều tính chất quan trọng Một tính chất quan trọng khái niệm hạng tồn hạng Ta biết hai sở R - môđun tự hữu hạn sinh M vành giao hoán có đơn vị có số phần tử số phần tử ta gọi hạng M Như vậy, vành giao hoán khái niệm hạng cho lớp môđun tự hữu hạn sinh tồn Nhưng vành không giao hoán khái niệm hạng cho lớp môđun tự hữu hạn sinh có tồn không? Câu trả lời không? Vậy với điều kiện môđun tự hữu hạn sinh vành không giao hoán có khái niệm hạng Đây lý chọn đề tài “ Về tồn hạng Module tự hữu hạn sinh vành không giao hoán” để nghiên cứu tìm hiểu 5 Chương - KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương nêu số định nghĩa tính chất đại số không giao hoán Quy ước chương: không nói thêm môđun M R - môđun phải, R vành không giao hoán 1.1 Các định nghĩa, tính chất vành Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp R khác rỗng, R ta trang bị hai phép toán thường ký hiệu “ +” (đọc phép cộng) “.” (đọc phép nhân) Ta nói R, +, vành điều kiện sau thỏa mãn: (1) R, + ( ) R, ( 3) nhóm giao hoán nửa nhóm Phép nhân phân phối với phép cộng tức với phần tử tùy ý x, y, z ∈ R ta có x ( y + z ) = xy + xz ( y + z ) x =yx + zx Nếu phép nhân giao hoán ta gọi R vành giao hoán, phép nhân có phần tử đơn vị ta gọi R vành có đơn vị Định nghĩa 1.1.2 Một phận A khác rỗng vành R với hai phép toán vành R cảm sinh A thành vành ta nói A vành vành R Định nghĩa 1.1.3 Cho R vành, vành A R gọi iđêan trái (iđêan phải) vành R thỏa mãn điều kiện: ∈ A ( ar ∈ A ) ; ∀a ∈ A, ∀r ∈ R Vành A R gọi iđêan vành R A vừa iđêan trái vừa iđêan phải vành R Định nghĩa 1.1.4 Một ánh xạ từ vành R đến vành R′ gọi đồng cấu (vành) f bảo toàn phép toán Tức là, với x, y ∈ R ta có f ( x + y= ) f ( x) + f ( y) f ( x y ) = f ( x ) f ( y ) Một đồng cấu f từ vành R đến vành R gọi tự đồng cấu vành R Một đồng cấu đơn ánh đơn cấu, toàn ánh toàn cấu, song ánh đẳng cấu Một tự đồng cấu song ánh gọi tự đẳng cấu Nếu tồn đẳng cấu f từ vành R đến vành R′ ta viết R ≅ R′ ta nói R R′ đẳng cấu Định nghĩa 1.1.5 Cho R vành có đơn vị Nếu phần tử khác R khả nghịch R gọi thể hay vành chia 1.2 Các định nghĩa, tính chất môđun Định nghĩa 1.2.1 Cho R vành tùy ý M nhóm cộng aben M gọi R môđun phải có ánh xạ f : M × R → M ( m, r )  f ( m, r ) = mr cho ∀m, m1 , m2 ∈ M ∀a, b ∈ R thì: (1) m ( a + b ) = ma + mb ( ) ( m1 + m2 ) a =m1a + m2 a ( 3) ( ma ) b = m ( ab ) Chú ý: Ta dùng kí hiệu M R để M R - môđun phải, tương tự ta kí hiệu R M để M R - môđun trái, M vừa R - môđun phải vừa R - môđun trái gọi song môđun kí hiệu R MR