TỔNG HỢP DẠNG TOÁN VỀ PHẦN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH CHỨA SIN COS Dạng 1: Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu Phương pháp: ta sử dụng điều kiện sau:  Nếu 0\end{array} \right." /> hàm số đạt cực tiểu  Nếu hàm số đạt cực đại Ví dụ 1: Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = -2 Giải Để hàm số đạt cực tiểu x = -2 điều kiện cần Với 0" /> nên hàm số đạt cực tiểu : Vậy thỏa yêu cầu Với trị nên Sử dụng bảng biến thiên ta thấy hàm số khơng có cực khơng thỏa u cầu Vậy với m = hàm số đạt cực tiểu x = -2 Lưu ý: Với thiên Dạng 2: Tìm m để hàm số nên ta kết luận mà phải sử dụng đến bảng biến có cực trị khơng có cực trị Đối với dạng toán này, ta thường ý đến dạng hàm số chính: Hàm số bậc 3:   Hàm số khơng có cực trị phương trình Hàm số có hai cực trị phương trình vơ nghiệm nghiệm kép có hai nghiệm phân biệt Hàm số bậc trùng phương:  Hàm số có cực trị phương trình có nghiệm  Hàm số có cực trị phương trình có ba nghiệm Ví dụ 2: Cho hàm số hàm số cho có hai cực trị a.b>0 a.b ∀t ∈ ⎡⎣1, ⎤⎦ ( t + 1) ⇔m= Vaä y y tă n g trê n ⎡⎣1, ⎤⎦ ⎡ π⎤ Vậ y (*) có nghiệ m trê n ⎢1, ⎥ ⇔ y (1) ≤ m ≤ y ⎣ 2⎦ ⇔ ≤ m ≤ 2 −1 ( ) ( 2) Bà i 115 : Cho phương trình cos3 x + sin x = m sin x cos x ( *) a/ Giả i phương trình m = b/ Tìm m để (*) có nghiệ m Ta coù : (*) ⇔ ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) = m sin x cos x π⎞ ⎛ Đặ t t = sin x + cos x = cos x ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ ( ) Thì t = + sin x cos x ⎛ t2 − ⎞ ⎛ t2 − ⎞ = m Vậ y (*) n h t ⎜ − ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⇔ t ( − t ) = m ( t − 1) a/ Khi m = ta có phương trình t ( − t ) = ( t − 1) ( ) ⇔ t + 2t − 3t − = ( )( ) ⇔ t − t + 2t + = ⇔ t = hay t = − + hay t = − − 1( loaïi ) π⎞ π π ⎛ Vậ y • cos x ⎜ x − ⎟ = ⇔ x − = k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = + k2 π, k ∈ ¢ 4⎠ 4 ⎝ π ⎞ 1− ⎛ • cos ⎜ x − ⎟ = = cos α 4⎠ ⎝ π π ⇔ x − = ±α + k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = ± α + k2π, k ∈ ¢ 4 2 b/ Xé t phương trình t ( − t ) = k ( t − 1) ( **) Do t = ±1 khô n g nghiệ m củ a (**) neâ n 3t − t * * ⇔ m = ( ) t2 − 3t − t Xé t y = ( C ) ⎡⎣− 2, ⎤⎦ \ {±1} t −1 −t − < 0∀t = ±1 Ta coù y ' = 2 t − ( ) suy y giảm ( −1,1 ) lim y = + ∞ , lim− y = − ∞ x → − 1+ x→ Do ( − 1,1 ) ⊂ ⎡⎣ − 2, ⎤⎦ \ {±1} ta có 3t − t với ∀m ∈ R (d) y = m caét (C) y = t −1 Vậ y (*) có nghiệ m ∀m ∈ R Bà i 116 : Cho phương trình 1⎛ 1 ⎞ m ( sin x + cos x ) + + ⎜ tgx + cot gx + + = ( *) 2⎝ sin x cos x ⎟⎠ a/ Giả i phương trình m = ⎛ π⎞ b/ Tìm m để (*) có nghiệ m trê n ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠ Với đ iều kiện sin 2x ≠ ta coù ⎛ sin x cos x 1 ⎞ (*) ⇔ m ( sin x + cos x ) + + ⎜ + + + =0 ⎝ cos x sin x sin x cos x ⎟⎠ ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + (1 + cos x + sin x ) = ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + + cos x + sin x = ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x ) + sin x + cos x = ⎡sin x + cos x = (1) ⇔⎢ ⎢⎣ m sin 2x + sin x + cos x + = ( ) π⎞ ⎛ Xeù t (2) đặ t t = sin x + cos x = cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Thì t = + sin x Do sin 2x ≠ nên t ≤ t = ±1 ⎡t = Vậ y (*) n h : ⎢ ⎢⎣ m ( t − 1) + t + = ⎡ t = ( nhận so điều kiện ) ⇔⎢ ( t ≠ −1) ⎢⎣ m ( t − 1) + = a/ Khi m = ta đượ c : ⎡t = ⎢ ⎢⎣ t = − ( loại điều kiện ) Vậ y sinx + cosx = ⇔ tgx = −1 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ ¢ π π π π b/ Ta coù : < x < ⇔ − < x − < 4 Lú c π⎞ ⎛ < cos ⎜ x − ⎟ ≤ ⇒ < t ≤ 2 4⎠ ⎝ Do t = ∉ 1, ⎤⎦ ( Nê n ta xé t phươn g trình : m ( t − 1) + = ( **) (**) ⇔ mt = m − 1 (do m = (**) vô nghiệ m ) m Do : yê u cầ u bà i toán ⇔ < − ≤ m ⎧ ⎧m < ⎪⎪− m > ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪1 − ≤ ⎪m ≤ − = − − ⎩ ⎪⎩ m ⇔ t = 1− ⇔ m ≤ − −1 Baø i 117 : Cho f ( x ) = cos2 2x + ( sin x + cos x ) − 3sin 2x + m a/ Giả i phương trình f(x) = m = -3 b/ Tính theo m giá trị lớ n nhấ t giá trị nhỏ f(x) Tìm m cho ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ ≤ 36 ∀x ∈ R ( π⎞ ⎛ Đặ t t = sin x + cos x = cos ⎜ x − ⎟ điều kiện t ≤ 4⎠ ⎝ Thì t = + sin x Và cos2 2x = − sin 2x = − ( t − 1) = −t + 2t 2 Vậ y f ( x ) thành g ( t ) = − t + 2t + 2t − ( t − 1) + m a/ Khi m = -3 g(t) = ⇔ −t t − 2t + = ( ) ⇔ t = 0∨ t =1 m = -3 f( x) = π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = hay cos ⎜ x − ⎟ = 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ π π π π ⇔ x − = ( 2k + 1) hay x − = ± + k2π, k ∈ ¢ 4 3π π ⇔x= + kπ hay x = + k2 π ∨ x = k2 π, k ∈ ¢ b/ Ta coù g ' ( t ) = −4t + 6t − 2t = −2t ( 2t − 3t + 1) ⎧g ' ( t ) = ⎪ Vaä y ⎨ ⇔ t = ∨ t = 1∨ t = ⎪⎩t ∈ ⎡⎣ − 2, ⎤⎦ ⎛ ⎞ 47 Ta coù : g ( ) = + m = g (1) , g⎜ ⎟ = +m ⎝ ⎠ 16 g ( 2) = − + m, g ( 2) = m −3−4 ) Vaä y : Maxf ( x ) = Max g ( t ) = m + t∈ ⎡⎣ − , ⎤⎦ x∈ ¡ Minf ( x ) = x∈ R Min g ( t ) = m − − t ∈ ⎡⎣ − , ⎤⎦ Do : ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ ≤ 36, ∀x ∈ R ⇔ −6 ≤ f ( x ) ≤ 6, ∀x ∈ R ⎧Max f ( x ) ≤ ⎪ ⇔⎨ R f (x) ≥ − ⎪⎩Min R ⎧⎪m + ≤ ⇔⎨ ⎪⎩m − − ≥ −6 ⇔ −3 ≤ m ≤ ( ) Caù c h khaù c : Ta coù g ( t ) = −t t − 2t + + + m = − ⎡⎣ t ( t − 1) ⎤⎦ + + m Đặ t u = t − t ⎡ ⎤ Khi t ∈ ⎡ − 2, ⎤ u ∈ ⎢ − ,2 + ⎥ = D ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Vaä y g ( t ) = h ( u ) = − u + + m Max f ( x ) = R Min f ( x ) = R Max g ( t ) = Max h ( u ) = m + u∈D t ∈ ⎡⎣ − , ⎤⎦ Min t ∈ ⎣⎡ − , ⎦⎤ g ( t ) = Min h ( u ) = m − − u∈D Chú ý : Phương trình giả đố i xứ n g a ( sin x − cos x ) + b ( sin x cos x ) = đặ t t = sinx – cosx π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ t = sin ⎜ x − ⎟ = − cos ⎜ x + ⎟ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ vớ i điề u kiệ n t ≤ t = − sin x cos x Bà i 118 : Giả i phương trình 2sin x + cot gx = 2sin 2x + ( *) Điề u kiệ n : sin x ≠ ⇔ cos x = ±1 cos x Luù c (*) ⇔ sin x + = sin x cos x + sin x ⇔ sin2 x + cos x = sin2 x cos x + sin x ( ) ⇔ sin2 x − sin x − cos x sin2 x − = ⇔ sin x ( sin x − 1) − cos x ( sin x − 1) ( sin x + 1) = ⇔ sin x − = hay sin x − cos x ( sin x + 1) = ⎡2 sin x − = ⇔⎢ ⎢⎣sin x − cos x − sin 2x = (1 ) ( 2) • Ta có (1) ⇔ sin x = ⇔x= ( nhaän sin x ≠ 0) π 5π + k2π ∨ x = + k2π, k ∈ 6 • Xét ( ) Ñaët t = sin x − cos x = π⎞ ⎛ sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ t ≠ ± Thì t2 = − sin 2x Vậ y (2) n h : t − − t = ( ) ⇔ t2 + t − = −1 + −1 − ⇔t= ∨t= ( loaïi ) 2 π ⎞ −1 + ⎛ Do : sin ⎜ x − ⎟ = nhận t ≤ t ≠ ±1 4⎠ ⎝ π⎞ −1 ⎛ ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin ϕ 4⎠ 2 ⎝ π ⎡ ⎢ x − = ϕ + k2π, k ∈ ⇔⎢ ⎢ x − π = π − ϕ + k2π, k ∈ ⎢⎣ π ⎡ ⎢ x = ϕ + + k2π, k ∈ ⇔⎢ ⎢ x = 5π − ϕ + k2π, k ∈ ⎢⎣ ( ) Bà i 119 : Giả i phương trình cos 2x + = ( − cos x )( sin x − cos x )( *) ( ) Ta coù : ( *) ⇔ cos2 x − sin2 x + = ( − cos x )( sin x − cos x ) ⇔ ( sin x − cos x ) ⎡⎣ ( − cos x ) + ( sin x + cos x ) ⎤⎦ − = ⇔ ( sin x − cos x ) [sin x − cos x + 4] − = π⎞ ⎛ Đặ t t = sin x − cos x = sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ (*) thàn h : t ( t + ) − = ⇔ t + 4t − = ⇔ t = ∨ t = −5 ( loaïi ) π⎞ π ⎛ Vaä y ( *) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin 4⎠ ⎝ π π π 3π = + k2π ∨ x − = + k2π, k ∈ 4 4 π ⇔ x = + k2π ∨ x = π + k2π, k ∈ ⇔ x− Baø i 120 : Giả i phương trình cos3 x + sin x = cos 2x ( *) Ta coù (*) ⇔ ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) = cos2 x − sin2 x ⇔ cos x + sin x = hay − sin x cos x = cosx − sin x ⎡sin x + cos x = ⇔⎢ ⎢⎣sin x − cos x − sin x cos x + = Ta coù : (1) ⇔ tgx = −1 ⇔x=− (1 ) ( 2) π + kπ, k ∈ π⎞ ⎛ Xé t (2) đặ t t = sin x − cos x = sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ Thì t2 = − 2sin x cos x − t2 (2) thaøn h t − + = ⇔ t + 2t + = ⇔ t = −1 π⎞ ⎛ ⎛ π⎞ vaä y (2) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = − = sin ⎜ − ⎟ 4⎠ ⎝ ⎝ 4⎠ π π ⎡ x − = − + k2π, k ∈ ⎡ x = k2π, k ∈ ⎢ 4 ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢ x = 3π + k2π, k ∈ π π ⎢x − = + k2π, k ∈ ⎣ ⎢⎣ 4 Bà i 121 : Cho phương trình cos3 x − sin x = m (1 ) a/ Giả i phương trình (1) m = bằ n g cá c h đặ t ẩ n phuï t = cos x − sin x ⎡ π π⎤ b/ Tìm m cho (1) có đú n g hai nghieä m x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4⎦ Ta coù (1) ⇔ ( cos x − sin x )(1 + sin x cos x ) = m π⎞ ⎛ Đặ t t = cos x − sin x = cos ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ Thì t2 = − 2sin x cos x ⎛ − t2 ⎞ Vậ y (1) n h : t ⎜⎜ + ⎟=m ⎟⎠ ⎝ ( ) ⇔ t − t = 2m ( 2) a/ Khi m = (2) thaø nh t3 − 3t + = ⇔ ( t − 1) t + t − = ( ) ⇔ t = ∨ t = −2 ( loaïi ) π⎞ π π ⎛ Vaä y cos ⎜ x + ⎟ = ⇔ x + = ± + k2π, k ∈ 4⎠ 4 ⎝ π ⇔ x = k2π ∨ x = − + k2π, k ∈ π π π π ⎡ ⎤ b/ Neá u x ∈ ⎢ − , ⎥ ≤ x + ≤ ⎣ 4⎦ π⎞ ⎛ neâ n ≤ cos ⎜ x + ⎟ ≤ 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ ⇔ ≤ t = cos ⎜ x + ⎟ ≤ 4⎠ ⎝ nhậ n xé t rằ n g vớ i t tìm đượ c trê n ⎡⎣0, ⎤⎦ ⎡ π π⎤ ta tìm nhấ t mộ t x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4⎦ xeù t f ( t ) = −t + 3t treân ⎡⎣0, ⎤⎦ ⇒ f ' ( t ) = −3t + ⎡ π π⎤ vậ y (1) có đú n g hai nghieä m x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4⎦ ⇔ ( d ) y = 2m caét ( C ) y = −t + 3t treân ⎡⎣0, ⎤⎦ tạ i điể m phâ n bieä t ⇔ ≤ 2m < 2 ⇔ ≤ m