Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ CHÂN ĐƯỜNG CAO H ĐẾN MẶT PHẲNG Ví dụ [Video]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông, tâm O, cạnh a Biết SA = 2a SA ⊥ (ABCD) Tính khoảng cách a) từ A đến (SBC) b) từ A đến (SCD) c) từ A đến (SBD) d) Gọi M trung điểm BC, tính khoảng cách từ A đến (SCM); từ A đến (SDM) e) Gọi I trung điểm SB, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DMI) Ví dụ [Video]: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC với AB = a; AC = 2a; BAC = 600 Gọi I trung điểm BC, H trung điểm AI, tam giác SAI cân S nằm mặt phẳng vuông góc với (ABC) Biết góc mặt phẳng (SAB) (ABC) α với cos α = Tính khoảng cách 19 a) từ H đến (SBC) b) từ H đến (ABJ), với J trung điểm SC Hướng dẫn: Tính d H = d K ; với K trung điểm HC Ta tính CH = a; CL = 4a , với L giao điểm kéo dài HK AB Ví dụ [Video]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B với AB = BC = 2a; AD = 3a Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AC Biết góc mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (ABCD) 600 Tính khoảng cách a) từ H đến mặt phẳng (SAB) b) từ H đến mặt phẳng (SCD) c) từ H đến mặt phẳng (SBD) Ví dụ [ĐVH]: Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B có AB = a; BC = a Hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AC Biết SB = a Tính khoảng cách sau: a) d ( H ; ( SAB ) ) b) d ( H ; ( SBC ) ) Lời giải: Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 a) Ta có: AC = AB + BC = 2a ⇒ BH = a ( tam giác vuông trung tuyến BH = AC ) Lại có: SH = SB − HB = a Dựng HE ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SHE ) , dựng HF ⊥ SE Mặt khác AB ⊥ ( SHE ) ⇒ AB ⊥ HF ⇒ HF ⊥ ( SAB ) Do d ( H ; ( SAB ) ) = HF a BC = ( đường trung bình tam giác ) 2 1 a 21 Suy = + ⇒ HF = 2 HF SH HE b) Tương tự ta dựng HM ⊥ BC HN ⊥ SM d ( H ; ( SBC ) ) = HN Ta có: HE = Trong HM = a 1 a AB = ⇒ = + ⇒ HN = 2 2 HN HM SH a 21 a ; b) d = Ví dụ [ĐVH]: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC cạnh 2a , hình chiếu vuông góc điểm A’ mặt đáy trùng với trung điểm cạnh AB, tam giác A’AB tam giác vuông A’ Tính khoảng cách sau: a) d ( H ; ( A ' ACC ') ) Đáp số: a) d = b) Gọi I điểm thuộc đường thẳng AB cho B trung điểm AI Tính d ( H ; ( A ' CI ) ) Lời giải: a) Tam giác A’AB tam giác vuông A’ nên A ' H = AB = a ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông ) Dựng HE ⊥ AC ⇒ AC ⊥ ( A ' HE ) , dựng HF ⊥ A ' E Mặt khác AC ⊥ ( A ' HE ) ⇒ AC ⊥ HF ⇒ HF ⊥ ( A ' HE ) Do d ( H ; ( A ' ACC ') ) = HF Tam giác AHE vuông E ta có: HE = HA sin HAE a = HA sin 600 = a = 2 1 a 21 Mặt khác = + ⇒ d = HF = 2 HF HE A' H b) Ta có: ∆ACI vuông C có CB = AI Dựng HM ⊥ CI ⇒ CI ⊥ ( A ' HM ) , dựng HN ⊥ A ' EM Mặt khác CI ⊥ ( A ' HM ) ⇒ CI ⊥ HN ⇒ HN ⊥ ( A ' CI ) Do d ( H ; ( A ' CI ) ) = HN Mặt khác HN IH IM = = = ( định lý Talet) AC IA IC 3a 1 3a Lại có: = + ⇒ d = HN = Suy HM = AC = 2 HN HM A' H 13 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 a 21 3a ; b) d = 13 Ví dụ [ĐVH]: Cho tứ diện O ABC có OA, OB, OC đôi vuông góc OA = OB = OC = a Gọi M , N trung điểm BC , OB Đáp số: a) d = a) Chứng minh BC ⊥ ( OAM ) b) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ABC ) , khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( AMN ) Lời giải: OA ⊥ OB ⇒ OA ⊥ ( OBC ) ⇒ OA ⊥ BC a) Ta có  OA ⊥ OC Ta lại có BC ⊥ OM ⇒ BC ⊥ ( OAM ) b) Kẻ OH ⊥ AM Vì BC ⊥ ( OAM ) ⇒ BC ⊥ OH Mà OH ⊥ AM ⇒ OH ⊥ ( ABC ) ⇒ OH = d ( O, ( ABC ) ) 1 = + 2 OM OB OC 1 1 1 Xét ∆OAM : = + = + + 2 2 OH OA OM OA OB OC 1 a = + + = ⇒ OH = = d ( O, ( ABC ) ) a a a a Xét ∆OBC : Kẻ OK ⊥ AN  MN ⊥ OB Ta có  ⇒ MN ⊥ ( OAB ) ⇒ MN ⊥ OK mà OK ⊥ AN ⇒ OK ⊥ ( AMN )  MN ⊥ OA ⇒ OK = d ( O, ( AMN ) ) Xét ∆OAN : 1 1 a = + = + = ⇒ OK = = d ( O, ( AMN ) ) 2 OK OA ON a a a Ví dụ [ĐVH]: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) vuông góc với đáy, SA = a a) Chứng minh BD ⊥ ( SAC ) , BC ⊥ ( SAB ) b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) , ( SBD ) c) Gọi H hình chiếu A lên SD Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( AHC ) Lời giải: Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  BD ⊥ AC a) Ta có  ⇒ BD ⊥ ( SAC )  BD ⊥ SA  BC ⊥ AB Ta có  ⇒ BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ SA b) Kẻ AI ⊥ SB Vì BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AI mà AI ⊥ SB ⇒ AI ⊥ ( SBC ) ⇒ AI = d ( A, ( SBC ) ) Xét ∆SAB : 1 1 = + = + = 2 2 AI AS AB 3a a 3a a = d ( A, ( SBC ) ) Gọi O = AC ∩ BD , kẻ AJ ⊥ SO Vì BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ AJ mà AJ ⊥ SO ⇒ AJ ⊥ ( SBD ) ⇒ AJ = d ( A, ( SBD ) ) ⇒ AI = 1 1 a = + = + = ⇒ AJ = = d ( A, ( SBD ) ) 2 AJ AS AO 3a a 3a c) Kẻ HK ⊥ AD ( K ∈ AD ) ⇒ HK ⊥ ( ABCD ) Xét ∆SAO : SH SA2 KA Ta có = =3⇒ =3 DH DA KD Ta có d ( B, ( AHC ) ) = d ( D, ( AHC ) ) = d ( K , ( AHC ) ) Kẻ KE ⊥ AC , KF ⊥ HE  AC ⊥ KE Ta có  ⇒ AC ⊥ ( HKE ) ⇒ AC ⊥ KF mà KF ⊥ HE ⇒ KF ⊥ ( AHC )  AC ⊥ HK ⇒ KF = d ( K , ( AHC ) ) 3a a , HK = SA = 4 1 32 16 80 3a a Xét ∆HKE : = + = + = ⇒ KF = ⇒ d ( B, ( AHC ) ) = 2 KF KH KE 9a 3a 9a 5 Ví dụ [ĐVH]: Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC , AA′ = 3a Ta có KE = a) Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( ABB′A′ ) b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A′BC ) c) Gọi M trung điểm B′C ′ Tính khoảng cách từ C ′ đến mặt phẳng ( A′BM ) Lời giải Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 a) Gọi I , J trung điễm AB, BC Kẻ GE ⊥ A ' I  AB ⊥ IG Ta có  ⇒ AB ⊥ ( A ' GI ) ⇒ AB ⊥ GE  AB ⊥ A ' G Mà GE ⊥ A ' I ⇒ GE ⊥ ( ABB ' A ') ⇒ GE = d ( G, ( ABB ' A ') ) a a Ta có GI = CI = , GA = AJ = 3 a 26 A ' G = AA '2 − AG = 1 315 Xét ∆A ' IG : = + = 2 GE GI GA ' 26a a 26 = d ( G, ABB ' A ' ) 35 b) Ta có d ( A, ( A ' BC ) ) = 3d ( G, ( A ' BC ) ) ⇒ GE = Kẻ GF ⊥ A ' J  BC ⊥ GJ Ta có  ⇒ BC ⊥ ( A ' GJ ) ⇒ BC ⊥ GF mà GF ⊥ A ' J ⇒ GF ⊥ ( A ' BC )  BC ⊥ A ' G ⇒ GF = d ( G, ( A ' BC ) ) 1 315 a 26 a 26 = + = ⇒ GF = =⇒ d ( A, ( A ' BC ) ) = 2 2 GF GJ GA ' 26a 35 35 c) Ta có d ( C ', ( A ' BM ) ) = d ( B ', ( A ' BM ) ) = d ( A, ( A ' BM ) ) = d ( G, ( A ' BM ) ) Xét ∆A ' GJ : Kẻ Bx / / A ' M ⇒ ( A ' BM ) ≡ ( MA ' Bx ) Kẻ GH ⊥ Bx, GK ⊥ A ' H  B ' x ⊥ GH ⇒ B ' x ⊥ ( A ' BH ) ⇒ B ' x ⊥ GK mà GK ⊥ A ' H ⇒ GK ⊥ ( MA ' Bx ) Ta có  B ' x ⊥ A 'G ⇒ GK = d ( G, ( MA ' Bx ) ) 1 107 a 26 = + = ⇒ GK = = d ( C ' ( A ' BM ) ) 2 2 GK GH GA ' 26a 107 Ví dụ [ĐVH]: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh 2a, cạnh bên 3a Xét ∆A ' GH : Gọi O tâm đáy Tính khoảng cách a) từ O đến (SAB) b) Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính khoảng cách từ O đến (SMN) Lời giải: Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 a) Ta có SO đường cao hình chóp, O tâm tam giác 2a a 23 = Các tam giác SOA, SOB, SOC vuông O nên OA = ⇒ SO = h = SA2 − h = a 3  AB ⊥ SO M trung điểm AB  ⇒ AB ⊥ ( SOM ) ⇒ ( SAB ) ⊥ ( SOM )  AB ⊥ OM Kẻ OH ⊥ SM ⇒ OH ⊥ ( SAB ) ⇒ OH = d ( O; ( SAB ) ) 1 3 72 72 1 2a a Từ OM = CM = = suy = 2+ = + = ⇒ OH = a 2 2 3 23a a 23a 23 OH h OM b) MN trung bình tam giác nên MN vuông góc với đường cao OB P  MN ⊥ SO Ta có  ⇒ MN ⊥ ( SOP ) ⇒ ( SMN ) ⊥ ( SOP )  MN ⊥ OB Kẻ OK ⊥ ( SP ) ⇒ OK ⊥ ( SMN ) 2a a 2a a a ; BP = ⇒ OP = BO − BP = BO = = = 2 2 1 12 279 23 = + = + = ⇒ OH = d ( O; ( SMN ) ) = a 2 2 OK OP h 23a a 23a 279 Ví dụ 10 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a; AD = a Biết tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy a) từ A đến (SBC) b) từ A đến (SCD) c) từ A đến (SBD) d) Gọi M trung điểm AB, tính khoảng cách từ A đến (SCM); từ A đến (SDM) Lời giải: Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 a) Gọi M trung điểm AB SM ⊥ AB; ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SM ⊥ ( ABCD ) ⇒ SM ⊥ BC Mà BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB ) Kẻ AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A; ( SBC ) ) = AH = 2a =a b) AB song song với (SCD) nên d ( A; ( SCD ) ) = d ( M ; ( CD ) ) CD ⊥ S Gọi N trung điểm DC, kẻ MK vuông góc SN  ⇒ ( SMN ) ⊥ ( SCD ) ⇒ MK ⊥ ( SCD ) CD ⊥ MN 1 1 a = + = + = ⇒ MK = a = 2 MK MN SM 3a 3a 3a 2  BD ⊥ MI c) Kẻ MI vuông góc BD  ⇒ BD ⊥ ( SMI ) ⇒ ( SBD ) ⊥ ( SMI )  BD ⊥ SM Khi Kẻ MG vuông góc SI MG ⊥ ( SBD ) ⇒ d ( A; ( SBD ) ) = ( M ; ( SBD ) ) Kẻ AT ⊥ BD; BD = a ⇒ AT = Ta có AB AD a.a a 3 = =a ⇒ MI = AT = BD 2 a 1 28 29 3 = + = + = ⇒ MG = a ⇒ d ( A; ( SBD ) ) = 2a 2 MG MI SM 3a 3a 3a 29 29 ( SCM ) ⊥ ( ABCD ) d) Ta có SM ⊥ ( ABCD ) ⇒  ( SDM ) ⊥ ( ABCD ) Từ A kẻ AZ vuông góc với giao tuyến CM AR vuông với DM Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Dễ thấy d ( A; ( SCM ) ) = AZ Hai tam giác AMZ BMC đồng dạng nên AZ AM a.a a = ; MC = 2a ⇒ AZ = = BC MC 2a Dễ thấy d ( S ; ( SDM ) ) = RA ⇒ RA.MD = AM AD ⇒ RA = a.a a = 2a Ví dụ 11 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy SA = SB = b Tính khoảng cách a) từ S đến (ABCD) b) từ trung điểm I CD đến (SHC), H trung điểm AB c) từ D đến (SHC) d) từ AD đến (SBC) Lời giải: a) Từ S đến (ABCD) Nhận xét: Tam giác SAB cân S Nên với H trung điểm AB Suy SH ⊥ AB Lại có: ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) nên ( SH ) ⊥ ( ABCD ) , d ( S ; ( ABCD ) ) = SH Ta dễ có SH = SA2 − AH = b − a2   ;  AH = AB    b) Từ trung điểm I CD đến (SHC), H trung điểm AB I trung điểm CD, H trung điểm AB Suy AI / / CH → AI / / ( SHC ) → d ( I , ( SHC ) ) = d ( A, ( SHC ) ) = d ( B, ( SHC ) )  BK ⊥ HC ⇒ BK ⊥ ( SHC ) → d ( B, ( SHC ) ) = BK Kẻ BK ⊥ HC , ta có:   BK ⊥ SH Trong tam giác vuông HBC có: BK = BH + BC ⇒ BK = a Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Vậy khoảng cách từ I đến (SHC) Facebook: Lyhung95 a c) Từ D đến (SHC) Lấy E trung điểm BC Kẻ DE cắt HC M ⇒ DE ⊥ HC = {M }  DM ⊥ HC 2a Ta có:  ⇒ DM ⊥ ( SHC ) → d ( D, ( SHC ) ) = DM = DN = BK =  SH ⊥ ( ABCD ) → SH ⊥ DM d) Từ AD đến (SBC) Vì AD / / BC → AD / / ( SBC ) → d ( AD, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) )  SH ⊥ BC Ta có:  → BC ⊥ ( SAB ) → BC ⊥ SB → ∆SAB ⊥ { B}  AB ⊥ BC Từ A kẻ AJ ⊥ SB  AJ ⊥ SB Vì:  → AJ ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = AJ  AJ ⊥ BC ( BC ⊥ SAB )  AJ ⊥ SB Kẻ HP ⊥ SB →  → AJ = HP (theo tính chất đường trung bình)  HP ⊥ SB Trong tam giác vuông SHB có HP đường cao: HP = BH + SH ⇒ HP = a 4b − a 2a + 8b → AJ = a 8b − 2a a + 4b Ví dụ 12 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = 2a; AD = a Gọi M trung điểm AB Hai mặt phẳng (SAC) (SDM) vuông góc với đáy Biết SH = a , với H giao điểm AC DM Tính khoảng cách từ H đến (SAD) Lời giải: Theo bài, hai mặt phẳng (SAC) (SDM) vuông góc với (ABCD) nên SH vuông góc (ABCD) (H trọng tâm tam giác ABD) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Gọi F hình chiếu H AD, I hình chiếu H SF  SH ⊥ AD Khi đó:  → AD ⊥ ( SHF ) → AD ⊥ HI  HF ⊥ AD  AD ⊥ HI → HI ⊥ ( SAD ) ⇒ d ( H , ( SAD ) ) = HI Suy   HI ⊥ SF Xét tam giác vuông SHF ta có HI = HF SH HF + SH = 6a 58 2a    HF = AB = ; SH = a  3   Thầy Đặng Việt Hùng Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!