Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Hà Huy Khoái, định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp, trường Đại học Thăng Long giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Lê Thị Thọ Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn GS.TSKH Hà Huy Khoái, luận văn chuyên ngành Toán Đại số với đề tài:”Phương pháp quy nạp toán tổ hợp” hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Lê Thị Thọ Thang Long University Libraty Mục lục Mở đầu PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 1.1 Phương pháp quy nạp toán học 1.2 So sánh đánh giá 12 1.3 Chứng minh đồng thức bất đẳng thức nhờ quy nạp toán học 14 1.4 Bài toán Fibonacci 16 1.5 Một số đồng thức 19 QUY NẠP VÀ CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP 22 2.1 Số tập 22 2.2 Dãy số 23 2.3 Số tập có thứ tự 2.4 Số tập có kích thước cho trước 26 2.5 Bao hàm - Loại trừ 29 2.6 Một số toán tổ hợp 32 2.7 25 2.6.1 Nguyên lý chuồng chim bồ câu 32 2.6.2 Nghịch lý anh em sinh đôi hàm Logarit 35 2.6.3 Cách chia quà 40 2.6.4 Giải số toán tổ hợp 41 Hệ số nhị thức tam giác Pascal 48 2.7.1 Tam giác Pascal 50 2.7.2 Công thức tam giác Pascal 51 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 Thang Long University Libraty MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Học sinh trường THPT chưa học tổ hợp Không quan trọng kỳ thi học sinh giỏi, mà tổ hợp phần thiếu cho muốn tiếp tục học tập, nghiên cứu làm việc có hiệu ngành Toán học, Tin học, Kỹ thuật, hay đơn giản để trau dồi tư logic, điều mà cần sống Trong cố gắng nâng cao trình độ tổ hợp cho học sinh, việc làm quan trọng cung cấp cho giáo viên học sinh tài liệu tốt môn Yêu cầu đặt tài liệu phải trình bầy kiến thức theo cách tự nhiên, chất dễ hiểu nhất, để học sinh cảm thấy tổ hợp không khó Khi có kiến thức chắn, học sinh tiếp cận toán khó cách dễ dàng Trong tư khoa học, phân tích phương pháp Ngay toán học tính toán, chứng minh chặt chẽ trình tính toán hội tụ, mà việc áp dụng dựa kiện chúng thường cho kết phù hợp với thực tế Những kết từ quan sát kinh nghiệm sử dụng rộng rãi ngành khoa học Vật lý, Hóa học, Sinh học Trong ngành đó, bên cạnh phân tích, người ta sử dụng cách rộng rãi lập luận quy nạp Chữ quy nạp có nghĩa kết luận rút sở quan sát, kinh nghiệm, tức nhận thức đường từ riêng rẽ đến tổng quát Vai trò kết luận quy nạp lớn Nó cho xuất phát điểm để từ đó, đường phân tích người ta rút lý thuyết sâu Vì lý chọn đề tài: Phương pháp quy nạp toán tổ hợp Khi nghiên cứu thực đề tài thân hiểu rõ quy nạp toán học toán tổ hợp Từ có thêm kiến thức để hướng dẫn học sinh học tập tốt môn học Chúng ý định sưu tầm toán khó, mà gần ngược lại, phân tích ý tưởng quy nạp dựa toán tương đối dễ Mục tiêu giúp học sinh hiểu rằng, quy nạp phương pháp phát mệnh đề toán học chưa biết, không đơn quan điểm rộng rãi quy nạp dùng để chứng minh mệnh đề cho trước, cách chứng minh "đã đến k đến k + 1” Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu phương pháp chứng minh quy nạp toán học toán tổ hợp Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu toán tổ hợp chương trình THPT số toán nâng cao Đối tượng phạm vi nghiên cứu Một số toán chứng minh quy nạp toán học, toán tổ hợp Thang Long University Libraty Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức toán Đại số Tổng hợp, phân tích Dự kiến đóng góp Trình bầy cách khoa học dễ hiểu nội dung liên quan đến đề tài để đồng nghiệp học sinh tham khảo Chương PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 1.1 Phương pháp quy nạp toán học Bây ta tìm hiểu công cụ quan trọng toán rời rạc Ta bắt đầu câu hỏi: Cộng n số lẻ lại ta thu số bao nhiêu? Có lẽ cách tốt ta thử tìm câu trả lời thực nghiệm Thử với giá trị n nhỏ, thứ ta tìm là: 1=1 1+3=4 1+3+5=9 + + + = 16 + + + + = 25 + + + + + 11 = 36 + + + + + 11 + 13 = 49 Thang Long University Libraty + + + + + 11 + 13 + 15 = 64 + + + + + 11 + 13 + 15 + 17 = 81 + + + + + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100 Dễ dàng nhận thấy ta thu số phương; thật ra, dường từ ví dụ ta có tổng n số lẻ n2 Ta thấy điều với 10 giá trị n đầu tiên; liệu ta có chắn điều với giá trị? Vâng, muốn nói chắn, toán học tin "chắc chắn đúng" chưa đủ Làm chứng minh khẳng định trên? Xét tổng với số n tổng quát Số lẻ thứ n 2n − 1, nên ta thử chứng minh + + · · · + (2n − 3) + (2n − 1) = n2 (1.1) Nếu ta tách số hạng cuối cùng, ta lại tổng (n − 1) số lẻ + + · · · + (2n − 3) + (2n − 1) = + + · · · + (2n − 3) + (2n − 1) Bây giờ, tổng dấu ngặc lớn (n − 1)2 , tổng (n − 1) số lẻ Do toàn tổng (n − 1)2 + (2n − 1) = (n2 − 2n + 1) + (2n − 1) = n2 , (1.2) điều ta cần chứng Điều mà ta dùng khẳng định tổng n − số lẻ đầu tiên; ta biện luận (trong (1.2)) điều chứng minh khẳng định tổng n số lẻ Nói cách khác, điều mà thực làm ra: khẳng định với giá trị định (n − 1), với giá trị (n) Điều đủ để kết luận khẳng với n Ta thấy với n = 1; nên theo trên, với n = (ta thấy điều tích toán trực tiếp, việc không thực cần thiết: suy trừ trường hợp n = 1) Theo cách tương tự, tính đắn khẳng định với n = kéo theo với n = 3, đến lượt lại kéo theo tính đắn với n = 4, v.v Nếu ta lặp lại điều đủ nhiều, ta thu tính đắn với giá trị n Do khẳng định với giá trị n Kỹ thuật chứng minh gọi quy nạp (hoặc gọi quy nạp toán học, để phân biệt với khái niệm triết học) Nó tóm tắt lại sau Giả sử ta muốn chứng minh tính chất số nguyên dương Giả sử thêm ta chứng minh hai điều: (a) số có tính chất đó, (b) n − có tính chất n có tính chất (n > 1) Nguyên lý quy nạp nói (a) (b) đúng, số tự nhiên có tính chất Điều ta làm Ta “tổng” số lẻ 12 , ta tổng n − số lẻ (n − 1)2 , tổng n số lẻ n2 , với số nguyên n > Do đó, theo Nguyên lý quy nạp ta kết luận với số nguyên dương n, tổng n số lẻ n2 Thông thường, cách tốt để thử tiến hành chứng minh phương pháp quy nạp sau Đầu tiên ta chứng minh phát biểu với n = (Việc gọi trường hợp sở.) Tiếp theo ta thử chứng Thang Long University Libraty toán xét, cách xét xem toán có đả động đến việc lập tập hợp xâu hay không, có chấp nhận lặp hay không Ta đưa số ví dụ giải toán tổ hợp Bài toán Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố B đến thành phố C có đường Hỏi có đường từ A đến B qua C? Lời giải: Mỗi đường toán đòi hỏi cho cặp (a, b), a đường nối A với B, b đường nối B với C Vì theo giả thiết, a chọn cách khác nhau, b cách, nên cặp (a, b) , theo quy tắc tích, chọn 5.3=15 cách Bài toán Có cặp găng tay cỡ khác Có cách để chọn từ chúng găng bên trái găng bên phải cho hai khác cỡ nhau? Lời giải: Bài toán giải theo quy tắc tích Chiếc găng bên trái chọn cách Sau chọn, găng bên phải chọn cách (vì chọn phải có cỡ khác nhau) Vì có thảy 6.5 = 30 cách chọn Một phương pháp khác giải toán dựa công thức chỉnh hợp không lặp Mỗi cách chọn cho cặp số khác (a, b), ≤ a ≤ 6, ≤ b ≤ Số cặp A26 = 6.5 = 30 Bài toán Có cách để tạo cờ gồm giải nằm ngang có màu khác nhau, ta có vật liệu màu khác nhau? Lời giải: Ký hiệu màu mà ta có chữ a, b, c, d, e Khi cờ tùy ý “số hóa” xâu từ chữ khác Vì 42 số cờ số chỉnh hợp không lặp chập phần tử, tức A35 = 5.4.3 = 60 Bài toán Có cách để tạo cờ màu gồm giải nằm ngang có màu khác nhau? Lời giải: Trong trường hợp cờ khác sai khác thứ tự màu Số cờ số hoán vị phần tử, tức P4 = 4! = 24 Bài toán Từ gồm 52 quân ta lấy 10 quân Có cách khác để làm việc đó? Có trường hợp số quân có quân át? Có trường hợp có quân át? Có trường hợp có quân át? Lời giải: Mỗi cách chọn 10 quân từ cách chọn 10-tập từ 52-tập Số cách chọn cho bởi: 52 10 = 52! 10!.42! Bài toán tìm số cách chọn mà quân chọn có quân át nhìn phức tạp hơn: cần phân tích trường hợp có quân át, có quân át, quân át, quân át Nhưng đơn giản ta xét xem có trường hợp mà quân chọn quân át nào, trường hợp lại có quân át Nếu quân chọn quân át việc chọn tiến hành với 52 quân bài, mà với 48 quân (tất quân bài, trừ át), mà số cách chọn 48 10 43 Thang Long University Libraty Do số cách chọn có quân át là: 52 48 − 10 10 Để tìm trường hợp có quân át, ta tách việc chọn quân hai bước: trước hết từ quân át chọn quân, để làm việc có cách Sau 48 quân lại chọn quân, điều làm với 48 48 cách Theo quy tắc tích ta thấy có tất cách chọn Cuối cùng, cách chọn có quân át tiến hành với 48 cách (cần lấy quân át sau chọn quân 48 quân lại) Bài toán Trong nước hai người dân có với vị trí Hỏi dân số tối đa nước bao nhiêu” (số nhiều 32)? Lời giải: Mỗi người dân nước tương ứng với tập hợp tập hợp X lập nên từ 32 răng, tùy thuộc người dân có vị trí Số tập hợp 32-tập 232 Nghĩa nước có 232 người dân Bài toán Giả sử P1 , P2 , , Pm số nguyên tố khác Có ước số số a = P1 n1 P2 n2 Pm nm Trong n1 , n2 , , nm số tự nhiên (kể ước a) Lời giải: Mỗi ước số a có dạng b = P1 k1 P2 k2 Pm km Trong ≤ ki ≤ ni , ≤ i ≤ m Nghĩa số mũ ki nhận ni + giá trị Theo quy tắc tích, số xâu (k1 , k2 , , km ) (n1 + 1).(n2 + 1) (nm + 1) số ước số a 44 Bài toán Có cách đặt quân trắng (2 mã, tượng, xe, Hậu Vua) lên hàng bàn cờ ? Lời giải: Trong bai toán cần tìm số xâu độ dài có cấu tạo (2,2,2,1,1) Số xâu (tức số hoán vị có lặp) bằng: P (2, 2, 2, 1, 1) = 8! 2!.2!.2!.1!.1! Bài toán Có cách xếp 15 bi-a có đánh số vào hàng ? Lời giải: Với số từ đến 15, bi-a mang số xếp vào hàng ta đặt tương ứng số xét với số thứ tự hàng Như ta nhận xâu độ dài 15 lập nên từ số 1, 2, 3, 4, 5, (số thứ tự hàng) Số xâu 615 Bài toán 10 Trên mặt phẳng vẽ n đường thẳng, đồng thời hai đường song song ba đường đồng quy Tính số giao điểm đường thẳng Lời giải: Mỗi giao điểm xác định cách cặp đường thẳng qua Đồng thời thứ tự đường thẳng không đóng vai trò Vì số giao điểm cần tìm số tổ hợp chập n, tức n Bài toán 11 Trên hai đường thẳng song song ta đánh dấu 10 điểm, đường thẳng lại đánh dấu điểm Mỗi điểm đường thẳng nối với điểm đường thẳng Tìm số giao điểm đoạn thẳng nhận được, ba đoạn thẳng có điểm chung (không kể điểm chung đầu mút đoạn thẳng) 45 Thang Long University Libraty Lời giải: Bằng cách vẽ hình ta nhận thấy giao điểm tùy ý xác định cho cặp điểm đường thẳng cặp điểm đường thẳng lại Đồng thời thứ tự điểm đường thẳng không đóng vai trò Như hai trường hợp ta cần tính đến việc chọn tập hợp Nhưng từ 10-tập chọn 10 2-tập từ 7-tập chọn 2-tập Theo quy tắc tích ta thấy số giao điểm cần tìm là: 10 2 = 495 Bài toán 12 Có cách để chia n kẹo giống cho m đứa trẻ? (Chấp nhận trường hợp có đứa trẻ không nhận kẹo) Lời giải: Gọi x1 , x2 , , xm số kẹo mà đứa trẻ thứ 1, thứ 2, , thứ m nhận Ta có x1 + x2 + + xm = n (trong x1 , x2 , , xm nguyên, không âm) Đặt = xi + 1, ≤ i ≤ m, ta có phương trình a1 + a2 + + am = n + m (12) Bài toán trở thành tìm số nghiệm nguyên dương phương trình (12) Kết n+m−1 m−1 Bài toán 13 Có cách chọn bánh ngọt, có loại bánh khác nhau? (mỗi loại có bánh) 46 Lời giải: Vì toán thứ tự bánh vai trò gì, nên xâu độ dài từ phần tử (là tên loại bánh), đồng thời thứ tự thành phần xâu vai trò Bài toán trở thành: Đếm số nghiệm nguyên không âm phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = Trong xi số bánh loại i Đặt = xi + 1, ≤ i ≤ 4, ta có phương trình a1 + a2 + a3 + a4 = + (13) Từ cách đếm số nghiệm nguyên dương phương trình (13) Tìm số cách chọn bánh 11 = 165 Bài toán 14 Có người tham gia dã ngoại, biết rằng, 16 người họ mang theo bánh mỳ kẹp giăm bông, 24 người mang bánh mỳ kẹp giò, 15 người mang bánh mỳ kẹp mát, 11 người vừa mang bánh mỳ kẹp giăm bông, vừa mang bánh mỳ kẹp giò, người vừa mang bánh mỳ kẹp giăm bông, vừa mang bánh mỳ kẹp mát, 12 người vừa mang bánh mỳ kẹp giò vừa mang bánh mỳ kẹp mát, người mang ba loại bánh mỳ kẹp, người không mang bánh mỳ kẹp mà mang bánh ngọt? Lời giải: Ký hiệu A tập hợp người tham gia có mang theo bánh mỳ kẹp giăm bông, B tập người mang bánh mỳ kẹp giò, C tập người mang bánh mỳ kẹp mát, D tập người không 47 Thang Long University Libraty mang bánh mì mà mang bánh Khi giả thiết toán viết sau: n(A) = 1, n(B) = 24, n(C) = 15 n(A ∩ B) = 11, n(A ∩ C) = 8, n(B ∩ C) = 12 n((A ∩ B ∩ C) = 6, n(D) = Ta tìm n(A ∪ B ∪ C) tức số người tham gia dã ngoại mà mang theo ba loại bánh mỳ kẹp Từ công thức (4) ta nhận được: n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+ n(C)−n(A∩B)−n(B∩C)−n(C∩A)+n(A∩B∩C) = 16+24+15-11-8-12+6=30 Như có 30 người mang theo bánh mỳ kẹp, tổng số người tham gia dã ngoại 30+5=35 2.7 Hệ số nhị thức tam giác Pascal Issai Schur nghiên cứu nhiều toán hệ thức hàm phân bố không điểm độ lớn hệ số đa thức Zn Công trình ông khai sinh hướng quan trọng giải tích lý thuyết số Chúng ta ôn lại phát triển số kết gần toán Schur Trong mục 2.4 ta giới thiệu số n k gọi chúng hệ số nhị thức Bây ta giải thích tên này: có nguồn gốc từ công thức tiếng đại số liên quan đến chúng, mà ta thảo luận sau Vấn đề tính lũy thừa biểu thức đại số đơn giản (x + y) Ta bắt đầu với ví dụ: (x + y)2 =x2 + 2xy + y , (x + y)3 = (x + y) · (x + y)2 = (x + y) · (x2 + 2xy + y ) = x3 + 3x2 y + 3xy + y , 48 tiếp tục vậy, (x + y)4 = (x + y) · (x + y)3 = x4 + 4x3 y + 6x2 y + 4xy + y Các hệ số gặp Trong tập trước ta nhìn thấy chúng số n k Chúng ta minh họa cho lập luận giá trị n tiếp theo, cụ thể n = 5, tổng quát Ta muốn khai triển (x + y)5 = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)(x + y) cho ta xóa hết dấu ngoặc Ta thu số hạng khai triển cách chọn hai số nhân tử, nhân chúng lại Nếu ta chọn x, ví dụ lần, ta phải chọn y lần, nên ta x2 y Có lần ta số hạng vậy? Rõ ràng, nhiều số cách chọn nhân tử cung cấp y (phân lại cung cấp x) Do ta phải chọn 5, làm theo cách Cho nên khai triển (x + y)5 sau: (x + y)5 = 5 5 5 5 x + x y+ xy + xy + xy + y Ta áp dụng lập luận để thu Định lý nhị thức: Định lý 2.7.1 (Định lý nhị thức) Hệ số xn−k y k khai triển (x + y)n (x+y)n = n k Nói cách khác, ta có đẳng thức n n n n−1 n n−2 n n n x + x y+ x y +· · ·+ xy n−1 + y n−1 n Đẳng thức quan trọng khám phá nhà thơ, nhà toán học tiếng người Ba Tư Omar Khayyam Tên xuất phát từ tiếng Hy Lạp binome để biểu diễn thứ có hai số hạng, trường hợp 49 Thang Long University Libraty x + y Sự xuất số n k định lý nguồn gốc tên chúng: hệ số nhị thức Định lý nhị thức áp dụng theo nhiều cách khác để thu đẳng thức liên quan đến hệ số nhị thức Ví dụ, ta thay x = y = Khi đó, ta đẳng thức (2.5): 2n = n n n n n + + + ··· + + n−1 n (2.13) Sau này, ta xét ứng dụng tinh xảo ý tưởng Tạm thời, bước ngoặt trình bày tập 2.7.2 Bài toán 2.7.1 Dựạ vào (2.4), chứng minh định lý nhị thức phương pháp quy nạp Bài toán 2.7.2 (a) Chứng minh công thức n n n n − + − + · · · = 0 (b) Công thức có n lẻ Tại sao? 2.7.1 Tam giác Pascal Để nghiên cứu nhiều tính chất khác hệ số nhị thức, ảnh có ích Ta xếp tất hệ số nhị thức thành sơ đồ tam giác: hàng thứ "không" ta đặt hàng thứ hai, số n , n , , n n , , 2 n ; hàng đầu tiên, ta đặt 1 ; ; v.v Tổng quát, hàng thứ n chứa Ta dịch chuyển hàng cho trung điểm hàng thẳng nhau, cách ta thu mô hình giống kim tự tháp, gọi tam giác Pascal (đặt tên theo nhà toán học vật lý Pháp Blaise Pascal, 1632 - 1662) Hình bên phần nhỏ 50 tam giác Pascal 4 0 1 2 4 3 4 Ta thay hệ số nhị thức giá trị số để dạng tam giác Pascal khác (viết thêm số hàng) 2.7.2 1 15 10 20 10 15 1 Công thức tam giác Pascal Cùng nhìn vào tam giác Pascal, không khó để thấy tính chất quan trọng nó: Mọi số (trừ số biên) tổng hai số Thật ra, tính chất hệ số nhị thức mà ta gặp, cụ thể phương trình (2.4) Mục 2.4: n k = n−1 n−1 + k−1 k (2.14) tính chất tam giác cho phép ta xây dựng tam giác cách nhanh chóng theo hàng Nó cho ta công cụ để chứng minh nhiều tính chất hệ số nhị thức Một ứng dụng đầu tiên, ta đưa lời giải cho tập 2.7.2 Nhiệm vụ chứng minh n n n n − + − + · · · = 0 (2.15) 51 Thang Long University Libraty định lý nhị thức Bây ta chứng minh dựa vào (2.14): ta thay n n−1 + n−1 (đều 1), n−1 n n−1 + n−1 , thay n , v.v Do ta tổng n−1 − n−1 n−1 + n−1 n−1 + + n−1 n−1 + n−2 n−1 + · · · + (−1)n−1 + (−1)n n−1 , n−1 rõ ràng 0, số hạng thứ hai cặp ngoặc vuông số hạng cặp ngoặc vuông Phương pháp đưa nhiều chứng minh công thức Ta có ta bắt đầu cách tương tự, cộng trừ hệ số nhị thức thay phiên, dừng lại sớm hơn? Viết lại công thức ta có n n n n n − + − + · · · + (−1)k k Nếu ta làm tương tự trên, ta n−1 n−1 + n−1 − n−1 n−1 + k−1 k + · · · + (−1)k n−1 n−1 + + Ở lần số hạng khử lẫn nhau, ngoại trừ số hạng cuối cùng, nên kết (−1)k n−1 k Có nhiều hệ thức đáng ngạc nhiên khác thỏa mãn tam giác Pascal Ví dụ, ta thử tìm tổng bình phương số hạng hàng bao nhiêu? 52 Ta thử với hàng đầu tiên: 12 = 1, 12 + 12 = 2, 12 + 22 + 12 = 6, 12 + 32 + 32 + 12 = 20, 12 + 42 + 62 + 42 + 12 = 70 Ta nhận thấy kết thu trùng với số hạng cột tam giác Pascal Tất nhiên, hàng chẵn chứa phần tử cột giữa, nên giá trị cuối trên, tổng bình phương hàng thứ phần tử hàng thứ Nên ví dụ bên gợi ý công thức sau: n n + n + 2 n + ··· + n−1 n + n = 2n n (2.16) Hiển nhiên vài ví dụ chứng minh công thức đúng, nên ta cần phải chứng minh Ta đưa minh họa cho hai vế công thức toán đếm; kết chúng đếm thứ, chúng Hiển nhiên vế phải đếm: số tập có kích thướng n tập có kích thước 2n Để cho tiện, chọn tập S = {1, 2, , 2n} tập có 2n phần tử ta Minh họa tổ hợp cho vế trái không dễ dàng Xét số hạng thông thường, ví dụ n k Ta khẳng định số tập n phần tử tập {1, 2, , 2n} mà chứa k phần tử từ {1, 2, , n} (nửa đầu tập S ) Thật ra, làm ta chọn tập có n phần tử vậy? Ta cọn k phần tử từ {1, 2, , n} sau chọn n − k phần tử từ {n + 1, n + 2, , 2n} Việc có tử {1, 2, , n} chọn, ta có n k n n−k cách, không quan trọng k phần cách chọn n − k phần tử lại Do số cách chọn tập có n phần tử S mà có k phần tử thuộc 53 Thang Long University Libraty {1, 2, , n} n n · k n−k = n k (do tính đối xứng tam giác Pascal) Bây giờ, ta tổng số tập n phần tử S , ta phải cộng số với k = 0, 1, , n Ta chứng minh đẳng thức (2.16) Bài toán 2.7.3 Chứng minh công thức (2.5) 2n = n n n n n + + + ··· + + , n−1 n dựa theo chứng minh (2.15) Bài toán 2.7.4 Theo định lý nhị thức, vế phải đẳng thức (2.16) hệ số xn y n khai triển (x + y)2n Viết (x + y)2n dạng (x + y)n (x + y)n , khai triển hai nhân tử (x + y)n định lý nhị thức, thử tính hệ số xn y n tích Chứng minh chứng minh khác (2.16) 54 KẾT LUẬN Luận văn gồm nội dung sau đây: 1/ Trình bày phương pháp quy nạp toán học Đặc biệt giới thiệu phương pháp quy nạp phương pháp để phát mệnh đề toán học, không đơn phương pháp chứng minh mệnh đề cho trước 2/ Giới thiệu số nguyên lý tổ hợp, với phương pháp dẫn dắt từ toán đơn giản, nhằm giúp người đọc nắm chất vấn đề 3/ Đưa hệ thống tập rèn luyện Luận văn làm tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi giáo viên nhập môn vào Tổ hợp quy nạp Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Lê Thị Thọ 55 Thang Long University Libraty Tài liệu tham khảo [1] D Djukic, V Jankovic, I Matic, N Petrovic, The IMO Compendium; A Collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olympiads: 1959–2004, Springer, 2006 [2] L Lovasz, J Pelikan, K Vesztergombi, Discrete Mathematics: Elementary and Beyond, Springer, 2003 [3] N Ia Vilenkin Tổ hợp quy nạp, Tủ sách Spunik, 2015 56 [...]... này và các giả thiết quy nạp một lần nữa để chứng minh (1.6) Thủ thuật này được gọi là quy nạp đồng thời, và nó là một phương pháp hữu ích để làm cho phép quy nạp mạnh hơn 21 Thang Long University Libraty Chương 2 QUY NẠP VÀ CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP 2.1 Số tập con Ta quay lại với bài toán: Có tất cả bao nhiêu tập con của một tập có n phần tử? Ta bắt đầu bằng cách thử với các số nhỏ Các phần tử của tập là... và 100 khả năng (một số tổ hợp của chúng sẽ không bao giờ xảy ra, ví dụ 04-31-76 hay 02-29-13, nhưng ta bỏ qua điều này) Trường cuối cùng có 13 khả năng Bây giờ ta xác định cách các trường này được kết hợp với nhau Ta có lặp lại lập luận như trên, theo thứ tự “3 cách chọn” được thay bằng “ 268 cách chọn”, “2 cách chọn”, “12 cách chọn”, “31 cách chọn”, “100 cách chọn”, và “13 cách chọn” Ta thu được kết... bằng quy nạp Bài toán 1.4.1 Tại sao ta phải chỉ rõ hai giá trị đầu tiên? Tại sao không phải là một hoặc ba? Trước khi thảo luận thêm về các số này, ta xét một bài toán đếm khác: Một cầu thang có n bậc Bạn đi lên theo từng bậc một hoặc 2 bậc Hỏi có bao nhiêu cách để bạn đi lên? Với n = 1, chỉ có một cách Với n = 2, bạn có 2 lựa chọn: đi hai lần bước đơn hoặc đi một lần bước kép Với n = 3, ta có ba cách:... mọi n bắt đầu từ trường hợp cơ sở n = 2 Tất nhiên, khẳng định là sai với n = 1 Bài toán 1.1.1 Chứng minh bằng quy nạp và không bằng quy nạp rằng n(n + 1) luôn là số chẵn với mọi số nguyên dương n Bài toán 1.1.2 Chứng minh bằng quy nạp rằng tổng của n số nguyên dương đầu tiên là n(n + 1)/2 Bài toán 1.1.3 Nhận xét rằng n(n + 1)/2 là số cái bắt tay giữa n + 1 người Giả sử rằng tất cả mọi người chỉ đếm số... thức nhờ quy nạp toán học Phương pháp quy nạp toán học cho phép chứng minh các đồng nhất thức và bất đẳng thức mà một hoặc hai vế của chúng phụ thuộc số tự nhiên n Chẳng hạn, trước tiên có thể kiểm tra rằng đồng nhất thức cần chứng minh đúng khi n = 1, sau đó viết đồng nhất thức khi n = k + 1 và n = k rồi trừ từng vế hai đồng nhất thức nhận được Nếu làm như vậy mà thấy hiệu các vế trái của các đồng... đếm số chuỗi có độ dài 2 từ các ký tự a, b và c và giải thích Làm tương tự với bài toán tổng quát hơn khi n = 3, k1 = 2, k2 = 3, k3 = 2 Bài toán 2.2.2 Trong cửa hàng thể thao có các áo cộc tay có 5 kiểu màu khác nhau, quần có 4 kiểu màu khác nhau và tất có 3 kiểu màu khác nhau Có tất cả bao nhiêu kiểu đồng phục mà bạn có thể chọn từ các bộ này? 2.3 Số tập con có thứ tự Trong cuộc thi có 100 vận động... vuông bị bắn trúng hai lần (đặt các lỗ đạn trong các chuồng chim bồ câu) Ta kết luận rằng có hai lỗ gần với nhau hơn 15 cm Cạnh các ô vuông hiển nhiên bằng 10 cm, các đường chéo của chúng √ bằng nhau và bằng 200 ≈ 14, 1 cm Ta sẽ chỉ ra rằng: Hai lỗ đạn không thể cách nhau lớn hơn độ dài đường chéo (*) Một cách trực quan hai điểm của ô vuông có khoảng cách lớn nhất là các đỉnh của đường chéo, nhưng trực... thêm vào này, ta lập luận cho tới khi mâu thuẫn Dạng chứng minh này được gọi là gián tiếp (phản chứng), và nó được sử dụng khá thường xuyên trong toán học (Các nhà toán học là các sinh vật kỳ lạ, ta thấy rằng: Họ đi vào tranh luận dài dựa trên những giả định họ biết là sai, và khoảnh khắc hạnh phúc của họ là khi họ tìm thấy một sự mâu thuẫn giữa các phát biểu họ đã chứng minh.) Bài toán 2.6.1 Chứng minh... phần tử của tập hợp, ta có 2n khả năng Do đó ta suy ra định lý sau Định lý 2.1.1 Một tập với n phần tử có 2n tập con 2.2 Dãy số Từ việc "mã hóa" các tập con là các chuỗi 0 và 1, chúng ta muốn xác định số lượng các chuỗi có độ dài n được xây dựng từ một tập các ký hiệu khác nhau, ví dụ, a, b và c Các lập luận mà chúng ta đưa ra cho trường hợp của chuỗi 0 và 1 có thể được chuyển sang trường hợp này mà không... bằng cách dùng ý nghĩa tổ hợp cho cả hai vế Ta có một tập n phần tử, đặt là S Vế trái đếm số tập con có k phần tử của S , trong khi vế phải đếm số tập con có (n − k) phần tử của S Để thấy các số này bằng nhau, ta chỉ cần chú ý rằng với mọi tập con k phần tử có tương ứng một tập (n − k) phần tử: phần bù của nó trong S , mà chứa đúng các phần tử của S không nằm trong tập con k phần tử Việc này ghép cặp các