Đại học Huế Tr-ờng Đại Học S- Phạm Phan Hồng Tín Một số lớp mở rộng môđun nội xạ, xạ ảnh ứng dụng Chuyên Ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học Huế - Năm 2016 Công trình đ-ợc hoàn thành tại: Tr-ờng Đại học S- phạm - Đại học Huế Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS TS Lê Văn Thuyết Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án đ-ợc bảo vệ Hội đồng chấm luận án cấp Đại học Huế, họp tại: vào hồi ngày tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu Luận án tại: Trung tâm Học liệu - Đại học Huế; Th- viện Tr-ờng Đại học S- phạm - Đại học Huế Mở đầu Nh- biết, vành tựa Frobenius (th-ờng đ-ợc viết tắt vành QF) vành tự nội xạ hai phía Artin hai phía Khái niệm vành tựa Frobenius đ-ợc T Nakayama giới thiệu vào năm 1939 Sau đó, năm 1951, M Ikeda đặc tr-ng vành điều kiện tự nội xạ Artin nh- nêu Đặc tr-ng tự nội xạ hai phía Artin hai phía mạnh, nhiều tác giả tìm cách giảm nhẹ điều kiện để đặc tr-ng cho vành QF Chẳng hạn, M Ikeda (1951); Y Utumi (1965); C Faith; B Osofsky (1966); W K Nicholson M F Yousif; J Clark D V Huynh (1994), Tuy nhiên, giả thuyết C Faith, vành tự nội xạ phải hoàn chỉnh trái phải vành QF, ch-a có câu trả lời Giả thuyết mở vành nửa nguyên sơ Việc nghiên cứu mở rộng đặc tr-ng vành QF chủ yếu tập trung theo hai h-ớng, giảm nhẹ điều kiện tự nội xạ hai giảm nhẹ điều kiện Artin Trong đề tài này, lấy đặc tr-ng vành QF làm Định lý Faith-Walker đặc tr-ng quan trọng vành QF là, vành R QF R-môđun phải (hoặc trái) nội xạ xạ ảnh, R-môđun phải (hoặc trái) xạ ảnh nội xạ Chính vậy, tr-ờng hợp mở rộng môđun nội xạ xạ ảnh đ-ợc xem xét đến Cụ thể, Ch-ơng 2, nghiên cứu lớp mở rộng môđun nội xạ Ch-ơng lớp mở rộng môđun xạ ảnh Đồng thời, việc nghiên cứu đặc tr-ng vành QF thông qua lớp vành mở rộng vành tự nội xạ vành Artin nh- nêu h-ớng nghiên cứu đ-ợc nhiều tác giả quan tâm nhằm tìm câu trả lời cho giả thuyết C Faith Từ việc nghiên cứu lớp mở rộng môđun nội xạ, tìm đặc tr-ng vành QF thông qua lớp vành đó, đồng thời, từ việc nghiên cứu lớp mở rộng môđun xạ ảnh, tìm đặc tr-ng vành QF thông qua đặc tr-ng vành Artin, vành hoàn chỉnh, vành nửa hoàn chỉnh, Khái niệm môđun nội xạ đ-ợc R Baer nghiên cứu vào năm 1940 Những năm sau đó, khái niệm khái niệm mở rộng nhận đ-ợc quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Toán học giới Năm 1961, R E Jonhson E T Wong giới thiệu khái niệm môđun tựa nội xạ Khái niệm môđun giả nội xạ đ-ợc S Singh S K Jain đ-a vào năm 1967 Sau đó, tác giả M Harada, C S Clara P F Smith lần l-ợt đ-a khái niệm môđun GQ-nội xạ c-nội xạ vào năm 1982 2000 Ngoài ra, lớp mở rộng khác nh- môđun liên tục, tựa liên tục, CS, đ-ợc nhiều tác giả nghiên cứu, chẳng hạn, Y Utumi; S K Jain; S H Mohamed; B J Muller; K Oshiro; M Harada; L V Thuyet; T C Quynh; Theo h-ớng mở rộng trên, đ-a khái niệm mở rộng môđun nội xạ, môđun giả c-nội xạ giả c+ -nội xạ Các kết liên quan đ-ợc trình bày Ch-ơng Luận án Chúng chứng minh đ-ợc rằng, lớp môđun giả c+ -nội xạ lớp môđun mở rộng thực lớp môđun giả nội xạ lớp môđun liên tục Hơn nữa, lớp môđun giả c+ -nội xạ lớp thực lớp môđun giả c-nội xạ lớp môđun thỏa mãn điều kiện C2 Bên cạnh tính chất nội lớp môđun giả c+ -nội xạ, điều kiện đủ để môđun giả c+ -nội xạ môđun liên tục, tựa nội xạ Các tính chất quan trọng môđun giả c+ -nội xạ M tính nội xạ t-ơng hỗ hạng tử trực tiếp tính quy vành th-ơng End(M)/J (End(M)) Nh- nêu trên, đặc tr-ng quan trọng vành QF môđun nội xạ xạ ảnh môđun xạ ảnh nội xạ Vì vậy, ta xét đến khái niệm đối ngẫu môđun nội xạ, môđun xạ ảnh Khái niệm đ-ợc H Cartan S Eilenberg đ-a vào năm 1956 Sau đó, khái niệm mở rộng đ-ợc tác giả khác nghiên cứu, chẳng hạn, môđun tựa xạ ảnh, môđun rời rạc, môđun tựa rời rạc, môđun thỏa mãn điều kiện D1, D2, D3, Ta biết môđun có phủ xạ ảnh, vậy, H Bass gọi vành R hoàn chỉnh phải R-môđun phải có phủ xạ ảnh Nếu R-môđun phải hữu hạn sinh có phủ xạ ảnh vành R đ-ợc gọi vành nửa hoàn chỉnh Năm 1966, F Kasch E A Mares chuyển khái niệm sang môđun đặc tr-ng vành hoàn chỉnh, nửa hoàn chỉnh thông qua lớp môđun có phần phụ (supplemented) Các đặc tr-ng môđun vành Artin thông qua môđun có phần phụ điều kiện dây chuyền môđun bé đ-ợc I Al-Khazzi P F Smith chứng minh Mở rộng khái niệm môđun bé, Y Zhou giới thiệu khái niệm môđun -bé Từ tác giả đ-a tr-ờng hợp mở rộng vành hoàn chỉnh (t.- nửa hoàn chỉnh) vành -hoàn chỉnh (t.-., -nửa hoàn chỉnh) Sau đó, năm 2007, M T Kosan đ-a khái niệm môđun -nâng (-lifting) môđun có -phần phụ (-supplemented), đồng thời đặc tr-ng vành -hoàn chỉnh, -nửa hoàn chỉnh thông qua lớp môđun Một lớp lớp môđun có -phần phụ đ-ợc tác giả E Buyukasik, C Lomp R Tribak khảo sát, lớp môđun -địa ph-ơng Các đặc tr-ng vành nửa hoàn chỉnh vành -nửa hoàn chỉnh thông qua môđun -địa ph-ơng đ-ợc chứng minh Năm 2011, D X Zhou X R Zhang đ-a khái niệm môđun bé cốt yếu (essentially small) Theo đó, Ch-ơng 3, đ-a khái niệm môđun có phần phụ cốt yếu môđun nâng cốt yếu Đây lớp môđun mở rộng môđun có -phần phụ -nâng (t-ơng ứng) Một lớp lớp môđun có phần phụ cốt yếu môđun địa ph-ơng cốt yếu đ-ợc khảo sát Ngoài tính chất đồng điều lớp môđun mối liên hệ với lớp môđun -nâng, môđun có -phần phụ, môđun -địa ph-ơng môđun địa ph-ơng, chứng minh đ-ợc đặc tr-ng quan trọng môđun địa ph-ơng cốt yếu Từ việc khảo sát lớp môđun trên, Ch-ơng 2, đ-a đặc tr-ng vành Artin nửa đơn, vành tựa Fronenius thông qua môđun giả c+ -nội xạ, kết mở rộng B Osofsky đặc tr-ng vành Artin nửa đơn, kết C Faith, W K Nicholson M F Yousif đặc tr-ng vành QF Đồng thời Ch-ơng đặc tr-ng môđun vành Artin thông qua môđun có phần phụ cốt yếu điều kiện dây chuyền môđun bé cốt yếu Ch-ơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các ký hiệu khái niệm Trong luận án này, R đ-ợc dùng để ký hiệu cho vành kết hợp có đơn vị = R-môđun môđun unita Với vành R cho, ta viết MR (t.-., R M) để M R-môđun phải (t.-., trái), không sợ nhầm lẫn phía môđun, ta viết gọn môđun M thay cho MR Cho N môđun M Môđun N đ-ợc gọi cốt yếu (hay môđun lớn) M, ký hiệu N e M, N A = với môđun A khác không M Môđun K M đ-ợc gọi đóng M K mở rộng cốt yếu thực sự, nghĩa là, L môđun M cho K e L K = L Môđun N M đ-ợc gọi bé (hay đối cốt yếu) M với L M, N + L = M L = M Môđun M khác không đ-ợc gọi (uniform) hai môđun khác không M có giao khác không, nghĩa môđun khác không cốt yếu M Môđun M đ-ợc gọi có chiều (hay chiều Goldie) n, ký hiệu u dim M = n, tồn môđun V cốt yếu M cho V tổng trực tiếp n môđun Ng-ợc lại, ta viết u.dim M = Môđun M đ-ợc gọi không phân tích đ-ợc M môđun khác không M không tổng trực tiếp môđun khác không Môđun M khác không đ-ợc gọi đơn M có hai môđun tầm th-ờng M Môđun M đ-ợc gọi nửa đơn M tổng trực tiếp môđun đơn Định nghĩa 1.1.1 Cho L tập môđun môđun M i) Tập L đ-ợc gọi thoả mãn điều kiện dãy tăng (ACC) với dãy L1 L2 ã ã ã Ln L, tồn n N cho Ln+i = Ln (i = 1, 2, ) ii) Tập L đ-ợc gọi thoả mãn điều kiện dãy giảm (DCC) với dãy L1 L2 ã ã ã Ln L, tồn n N cho Ln+i = Ln (i = 1, 2, ) Cho I iđêan vành R Nếu với lũy đẳng f vành th-ơng R/I tồn luỹ đẳng e vành R cho e f I ta gọi lũy đẳng nâng đ-ợc modulo I Định nghĩa 1.1.2 Phần tử a vành R đ-ợc gọi quy tồn phần tử x R cho axa = a Vành R đ-ợc gọi quy Von Neumann phần tử R quy Vành R đ-ợc gọi nửa quy R/J (R) vành quy luỹ đẳng nâng đ-ợc modulo J (R) Tập I R đ-ợc gọi T -lũy linh trái (t.-., phải) dãy a1 , a2, I, tồn n cho a1.a2 an = (t -, an .a2 a1 = 0) I đ-ợc gọi lũy linh tồn n N cho I n = Định nghĩa 1.1.3 Vành R đ-ợc gọi nửa nguyên sơ R/J (R) nửa đơn J (R) lũy linh Vành R đ-ợc gọi nửa hoàn chỉnh R/J (R) nửa đơn lũy đẳng nâng đ-ợc modulo J (R) Vành R đ-ợc gọi hoàn chỉnh trái (t.-., phải) R/J (R) nửa đơn J (R) T -lũy linh trái (t.-., phải) 1.2 Môđun nội xạ số lớp môđun mở rộng Định nghĩa 1.2.1 Cho M, N R-môđun M đ-ợc gọi N -nội xạ với môđun A N , với đồng cấu từ f : A M, tồn mở rộng f từ N vào M Môđun M đ-ợc gọi nội xạ M N nội xạ với môđun N Môđun M đ-ợc gọi tựa nội xạ M M-nội xạ Vành R đ-ợc gọi tự nội xạ phải (t.-., trái) RR (t.-., R R) môđun tựa nội xạ Theo định nghĩa, môđun M nội xạ M N -nội xạ với môđun N Tiêu chuẩn Baer rằng, R-môđun M nội xạ M R-nội xạ Hơn nữa, khái niệm vành nội xạ vành tự nội xạ trùng Sau số khái niệm mở rộng môđun nội xạ: Định nghĩa 1.2.2 Cho M N hai R-môđun M đ-ợc gọi giả N -nội xạ với môđun A N , với đơn cấu từ A vào M, mở rộng đ-ợc đến đồng cấu từ N vào M Môđun M đ-ợc gọi giả nội xạ M giả M-nội xạ Định nghĩa 1.2.3 Cho M R-môđun i) M đ-ợc gọi thoả mãn điều kiện C1 (hay M môđun CS) môđun N M, N cốt yếu hạng tử trực tiếp M ii) M đ-ợc gọi thoả mãn điều kiện C2 môđun đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M iii) M đ-ợc gọi thoả mãn điều kiện C3 với A, B hai hạng tử trực tiếp M, A B = A B hạng tử trực tiếp M iv) M đ-ợc gọi liên tục (t.-., tựa liên tục) M CS thoả điều kiện C2 (t.-., C3) Định nghĩa 1.2.4 Cho M, N R-môđun i) Môđun M đ-ợc gọi N -nội xạ đơn với môđun A N , với đồng cấu f : A M cho f (A) môđun đơn, tồn đồng cấu từ N vào M mở rộng f Vành R đ-ợc gọi nội xạ đơn phải (t.-., trái) RR (t.-., R R) R-nội xạ đơn ii) Môđun M đ-ợc gọi GQ-nội xạ với môđun A đẳng cấu với môđun đóng M, với đồng cấu từ A vào M mở rộng đ-ợc đến đồng cấu từ M vào M iii) Môđun N đ-ợc gọi M-c-nội xạ với môđun đóng A M đồng cấu từ A vào N mở rộng đến đồng cấu từ M vào N Môđun M đ-ợc gọi c-nội xạ M N -c-nội xạ với môđun N Môđun M đ-ợc gọi tựa c-nội xạ M M-c-nội xạ 1.3 Môđun xạ ảnh số lớp môđun mở rộng Định nghĩa 1.3.1 Cho M, P R-môđun Môđun P đ-ợc gọi M-xạ ảnh với môđun N toàn cấu : M N , với đồng cấu : P N , tồn đồng cấu f : P M cho = f Môđun P đ-ợc gọi xạ ảnh P M-xạ ảnh với môđun M Môđun P đ-ợc gọi tựa xạ ảnh P P -xạ ảnh Một khái niệm mở rộng khái niệm môđun bé đ-ợc Y Zhou đ-a vào năm 2011, khái niệm môđun -bé Môđun N M đ-ợc gọi -bé M, ký hiệu N M, N + L = M với M/L suy biến L = M Sau đó, T M Kosan giới thiệu khái niệm môđun -nâng môđun có -phần phụ: Định nghĩa 1.3.3 Cho M R-môđun N M i) Môđun L đ-ợc gọi -phần phụ N M M = N +L N L L ii) M đ-ợc gọi môđun -nâng (-lifting) với môđun N M, tồn phân tích M = A B cho A N B N M iii) Môđun M có tính chất môđun có -phần phụ, đ-ợc gọi tắt môđun có -phần phụ (-supplemented), môđun N M tồn L M cho M = N + L N L L Các lớp môđun môđun có -phần phụ đ-ợc E Buyukasik, C Lomp R.Tribak khảo sát: Định nghĩa 1.3.4 i) M đ-ợc gọi môđun có -phần phụ nhiều (amply -supplemented) môđun A, B M cho A + B = M, tồn -phần phụ P A cho P B ii) Môđun M đ-ợc gọi -địa ph-ơng (M) = M} môđun cực đại M (M) {N M|N M Các lớp môđun -nâng môđun có -phần phụ lớp mở rộng thực môđun nâng môđun có phần phụ (t-ơng ứng) Tuy nhiên, tác giả E Buyukasik C Lomp ví dụ chứng tỏ hai lớp môđun địa ph-ơng môđun -địa ph-ơng không chứa 1.4 Môđun vành Artin, Nơte Định nghĩa 1.4.1 i) Môđun M đ-ợc gọi Nơte tập khác rỗng môđun M có phần tử cực đại ii) Môđun M đ-ợc gọi Artin tập khác rỗng môđun M có phần tử cực tiểu iii) Vành R đ-ợc gọi Nơte phải (t.-., trái) môđun RR (t.-., R R) Nơte iv) Vành R đ-ợc gọi Artin phải (t.-., trái) môđun RR (t.-., R R) Artin Vành R đ-ợc gọi J -nửa đơn J (R) = Vành R đ-ợc gọi nửa đơn RR môđun nửa đơn Tác giả T Y Lam chứng minh rằng, vành R nửa đơn R vành Artin phải (hoặc trái) J (R) = Để phân biệt với vành J -nửa đơn, vành nửa đơn th-ờng đ-ợc gọi vành Artin nửa đơn Định lý 1.4.4 Các điều kiện sau t-ơng đ-ơng vành R cho: (1) R Artin nửa đơn; (2) Mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh nội xạ; (3) Mỗi R-môđun phải cyclic nội xạ 10 Chapter Pseudo C+ -injective modules and rings The content of this chapter are results about pseudo c-injective and pseudo c+ -injective module Some properties and the relation between pseudo c-injetive, pseudo c+ -injective and other generalizations of injective have been proved The importain results of this chapter are some characterizations of injective, quasi injective and continuous modules and rings; some characterizations of semisimple Artinian rings via pseudo c-injectivity and pseudo c+ -injectivity; the regularity of factor of endormorphism of pseudo c+ -injective modules and some characterizations of quasi Frobenius rings via pseudo c+ -injective rings 2.1 Pseudo c-injective modules In this section, we show a concept and some properties of pseudo c-injective modules The main results of this section is a characterization of semisimple Arrtinian rings via pseudo c-injective modules Definition 2.1.1 Let M and N be two modules Module N is said to be pseudo M-c-injective if for any closed submodule A of M and every monomorphism from A to N , can be extended to a homomorphism from M to N A module M is called pseudo c-injective if M is pseudo Mc-injective A ring R is called right (resp., left) pseudo c-injective if RR (resp., R R) is pseudo c-injective Remark 2.1.2 From definition, we have: (1) Every quasi c-injective module or pseudo injective is pseudo cinjective (2) Every CS module is pseudo c-injective Proposition 2.1.3 Module M is CS if and only if every R-module is pseudo M-c-injective 12 The direct sum of two pseudo c-injective modules not be a pseudo cinjective module in general The following example: Example 2.1.3 Let p be a prime number, M = Z/pZ and N = Z/p3 Z Then M, N are pseudo c-injective module but M N is not pseudo cinjective The following theorem is a characterization of semisimple Artinian ring, that is a ring which every pseudo c-injective is injective module Theorem 2.1.6 The following conditions are equivalent for ring R: (1) R is semisimple Artinian; (2) The direct sum of two pseudo c-injective modules is pseudo c-injective; (3) Every pseudo c-injective modules is injective; (4) The direct sum of any family of pseudo c-injective modules is pseudo c-injective 2.2 Pseudo c+ -injective modules In this section, we show some results about pseudo c+ -injective Some properties and the relationship between this class module and other extension class of injective module have been proved In addition, we give some characterizations of class of injective, quasi injective and continuous module via pseudo c+ -injective modules The main results of this section is some characterizations of semisimple Artinian and quasi Frobenius rings Definition 2.2.1 Let M and N be two modules Module N is said to be pseudo M-c+ -injective if for any submodule A of M which is isomorphic to a closed submodule of M, every monomorphism from A to N can be extended to a homomorphism from M to N A module M is called pseudo c+ -injective if M is pseudo M-c+ -injective A ring R is called right (resp., left) pseudo c+ -injective if RR (resp., R R) is pseudo c+ -injective Remark 2.2.2 By definition, we have: 13 (1) If M is a pseudo injective module then M is pseudo c+ -injective (2) If M is a pseudo module c+ -injective then M is pseudo c-injective (3) If M is a GQ-injective module then M is pseudo c+ -injective Example 2.2.3 (1) Let M = Z Z is Z-module Then, M is CS module and pseudo c-injective but it is not pseudo c+ -injective (2) Let R = Z Then R is right pseudo c-injective but is not right pseudo c+ -injective ring (3) Let F be a field and R = F F Then R is two-sided CS ring F but doesn't satisfy C2 condition Thus, R is right pseudo c-injective but it is not right pseudo c+ -injective Corollary 2.2.3 Let M be a pseudo c+ -injective module Then: (1) Every direct summand of M is also pseudo c+ -injective (2) If N = M then N is pseudo c+ -injective H Q Dinh proved that every pseudo module satisfies C2 condition The result is still true for the class of pseudo c+ -injective module: Theorem 2.2.5 If M is pseudo c+ -injective then M satisfies C2 condition The converse of Theorem 2.2.5 is not true in general a v Example 2.2.4 Let R = { |a F, v V }, where F is a field and a V is a two dimension vector space over F Then R is comunication, local, Artinian ring and satisfies C2 condition but it is not pseudo c+ -injective The following theorem is a characterizations of continuous module and ring via pseudo c+ -injective module: Theorem 2.2.6 A module M is continuous if and only if any module is pseudo M-c+ -injective 14 Corollary 2.2.7 A module M is continuous if and only if M is a pseudo c+ -injective CS module We have the implications: injective pseudo injective quasi injective GQ-injective pseudo c+ -injective C2 continuous quasi c-injective pseudo c-injective Remark 2.2.5 By Q H Dinh, class of pseudo injective module and class of contiuous module don't contain in together So, the class of pseudo c+ -injective modules is a proper extension of class of pseudo injective and contiuous module More than that, by Example 2.2.3 and Example 2.2.4, the class of pseudo c+ -injective module is a proper subclass of module which satisfy C2 condition and class of pseudo c-injective module Remark 2.2.6 A submodule isomorphism to a closed submodule is not closed in general For a pseudo c+ -injective, this statement is true Example 2.2.7 (1) Let M = Z is Z-module and A = nZ, n > Then A = M but A is not closed submodule of M (2) Let R = J= F F F F be a ring, where F is a field Then right ideal isomorphism to a right closed ideal I = 0 R Clearly, J is not right closed ideal of R F F 0 of Lemma 2.2.9 If M is a pseudo c+ -injective module, then every submodules of M isomorphic to a closed submodules of M are again closed submodules of M For a continuous module M N , S H Mohamed and B J Muller proved that M is N -injective The author H Q Dinh also proved a similar 15 statement for pseudo injective modules Now, we obtain the result for pseudo c+ -injective module The proof technical of S H Mohamed, B J Muller and H Q Dinh is not use to prove in this case Theorem 2.2.11 If M N is pseudo c+ -injective then M is N -injective The consequense is some characterizations of quasi injective modules, sefl-injective and semisimple Artinian rings: Corollary 2.2.12 For any integer n 2, M is quasi-injective if and only if M n is pseudo c+ -injective Corollary 2.2.13 The following conditions are equivalent for ring R: (1) R is semisimple Artinian; (2) Every right countably generated R-module is pseudo c+ -injective Theorem 2.2.16 Assume that M = iI Mi, where each Mi, is uniform Then M is continuous if and only if M is pseudo c+-injective Module M is called CS (reps., finite, countable) if sum of (reps., finite, countable) copies M is CS R is called right countable) if module RR is CS (reps., finite, CS (reps., finite, countable) Theorem 2.2.20 The following conditions are equivalent for ring R: (1) R is quasi Frobenius; (2) Every right R-module projective is pseudo c+ -injective; (N) (3) RR is pseudo c+ -injective; (4) R is right countable CS with finite Goldie dimension and right pseudo c+ -injective The following is an extension of Y, Utumi's result on regularity of endormorphism factor of modules: Theorem 2.2.21 Let M be a pseudo c+ -injective module and S = End(M) Then S/J (S) is Von Neumann regular and J (S) = (S) = {s S| Ker s e M} 16 It gives some sufficient conditions for a endormorphism of c+ -injective modules will be perfect, semiprimary ring: Corollary 2.2.25 Let M be a pseudo c+ -injective and S = End(M) Then the following conditions are equivalent (1) S is right perfect; (2) For any infinite sequence s1, s2 , S, the chain Ker s1 Ker s2 s1 ã ã ã is stationary Proposition 2.2.27 Let M be a pseudo c+ -injective module with S = End(M) If M satisfies ACC on M-annihilators, then S is semiprimary The following theorem is a sufficien condition for a factor of pseudo RR-c+ -injective is agian pseudo RR -c+-injective: Theorem 2.2.31 The following conditions are equivalent for a ring R: (1) Every right closed ideal of R is projective; (2) Every factor of a pseudo RR -c+ -injective module is pseudo RR-c+ injective; (3) Every factor of a pseudo RR-injective module is pseudo RR -c+ -injective; (4) Every factor of a injective module is pseudo RR-c+ -injective The authors W K Nicholson and M F Yousif proved that R is quasi Frobenius if and only if R is right continuous, left min-CS and satisfies ACC on right anihilatos The following result is a extension of that result: Theorem 2.2.33 The following conditions are equivalent for a ring R: (1) R is quasi Frobenius; (2) R is right pseudo-c+ -injective, two-sided min-CS and satisfies ACC on right annihilators 17 Chaper Some Generalizations of projective modules The content of this chapter are some results on module via e-small submodule concept They are e-lifting, e-supplemented and e-local modules Some properties of the class of these modules and the relation between them and class of -lifting, -supplemented, -local and local modules have been showed The main results in chapter are some characterizations of elocal and Artinian characterizations via e-supplemented module and chain conditions on e-small submodules 3.1 e-lifting and e-supplemented modules In this section, we investigate e-lifting and e-supplemented module These are generalizations classes of -lifting and -supplemented (respectively), which were studied by the authors T Kosan and Y Wang Some homological properties of these classes of module are studied Further, we study the class of amply e-supplemented and give some sufficient conditions for an ability module to be amply e-supplemented module A submodule N of M is called e-small in M, denote N e M, if every submodule L e M, N + L = M then L = M Definition 3.1.1 Module M is called e-lifting if any submodule N of M, there exists a decomposition M = AB such that A N N B e M Proposition 3.1.3 Every direct summand of an e-lifting module is also an e-lifting module Module M is called distributive if A (B + C) = (A B) + (A C) for any submodules A, B, C of M Next, we give sufficient conditions for a factor module of an e-lifting module to be e-lifting Proposition 3.1.4 Let M be an e-lifting module and X M Then M/X is e-lifting in each of the following cases: 18 (1) For every direct summand K of M, (K + X)/X is a direct summand of M/X (2) M is a distributive module (3) For any e2 = e End(M), eX X In particular, X is a fully invariant submodule of M then M/X is e-lifting Theorem 3.1.6 If M1 is a semisimple module and M2 is an e-lifting module, and they are relatively projective with M1, then M = M1 M2 is an e-lifting module Definition 3.1.2 Let N, L be submodules of M L is called an e-supplement of N in M if M = N + L and N L e L A module M is called e- supplemented if every submodule of M has an e-supplement in M By definition, every small submodule is -small and every -small submodule is e-small In addition, every e-lifting module is module esupplemented We have the implications: lifting -lifting e-lifting supplemented -supplemented e-supplemented Remark 3.1.3 If M is a projective module then for any N M, N is esmall in M if and only if N is -small in M Hence, if M is e-lifting (resp., e-supplemented) and projective then M is -lifting (resp., -supplemented) Example 3.1.4 Let R = Z8 , we have M = (2Z8 /4Z8 ) RR is e-lifting by Theorem 3.1.6 However, M is not -lifting Denote Rade (M) = = {N | N e {N e M|N is maximal in M} Then Rade (M) M} Lemma 3.1.9 Let M be an e-supplemented module Then 19 (1) M/ Rade (M) is a semisimple module (2) If L a submodule of M with L Rade (M) = 0, L is semisimple Proposition 3.1.10 Let M be an e-supplemented module Then M = M1 M2, where M1 is a semisimple module and M2 is a module with Rade (M2) e M2 Proposition 3.1.12 Let M1 and M2 be e-supplemented modules If M = M1 + M2, then M is an e-supplemented module k Corollary 3.1.13 Let M = Mi If M1, M2 , , Mk are e-supplemented i=1 modules, then M is an e-supplemented module By definition, a direct summand of an e-supplemented module is also e-supplemented It follows: k Corollary 3.1.14 Let M = Mi Then M is module e-supplemented if i=1 and only if M1, M2 , , Mk is module e-supplemented Proposition 3.1.15 The factor of an e-supplemented module is also esupplemented Module M is called amply e-supplemented if for all submodule A, B of M and M = A + B, there exists supplement P of A such that P B It is clear to see that, if M is an amply e-supplemented then M is esupplemented Following are properties of amply e-supplemented module: Proposition 3.1.16 Let M be an amply e-supplemented module Then epimorphic images are amply e-supplemented modules Proposition 3.1.17 Let M be a module If every submodule of M is an e-supplemented module, then M is an amply e-supplemented module Module M is called -projective if for all submodule U, V of M such that U + V = M, there exists f End(M) such that Im(f ) U and Im(1 f ) V 20 Theorem 3.1.19 Let M be a module If M is a -projective e-supplemented module, M is an amply e-supplemented module 3.2 e-local Modules The content of this section give some results about e-local module Some properties and characterizations of this class of e-local module are proved Detail, direct sum of an e-local and a semisimple is e-local; an e-local module is direct sum of a cyclic e-local and a semisimple In addition, Rade (M) is an unique maximal submodule of e-local module M Some sufficient conditions for a module will be amply e-supplemented are showed Definition 3.2.1 Module M is called e-local if Rade (M) is maximal submodule of M and Rade (M) e M Remark 3.2.2 Every simple module is local Futher, if M is semisimple then M e M, so Rade (M) = M Thus M is not e-local The following results show the relation between e-local and local, esupplemented modules: Lemma 3.2.4 Any e-local module is e-supplemented Proposition 3.2.5 Every local module is either simple or e-local Proposition 3.2.6 The following conditions are equivalent for an e-local module M: (1) M is local; (2) M is an indecomposable module Following are some characterizations of e-local modules: Theorem 3.2.7 Let M = N K be a module The following statements are equivalent: (1) M is e-local; 21 (2) Either (a) N is e-local and K is semisimple, or (b) K is e-local and N is semisimple Example 3.2.3 (1) Let M be a simple, singular module Then, M is local but it is not e-local For example, M = Z/pZ, which p is prime number Then Z-module M is simple, singular module (2) Let N be a projective, e-local module and K is semisimple, nonprojective Then, N K is e-local but is not -local (3) Let R = Z, M = Z24 Then, Rad(M) = (M) = 6Z24 , Rade (M) = 2Z24 Hence, M is e-local module but it is neither local nor -local (4) Let F be a field and R = F F Then R is -local but is not F local Since R is projective, R is e-local Corollary 3.2.8 A direct sum of two e-local modules is never e-local Proposition 3.2.9 Let M be a module The following statements are equivalent: (1) M is e-local; (2) M = L N such that L is cyclic e-local and N is semisimple Theorem 3.2.10 The following conditions are equivalent for a module M: (1) M is an e-local module; (2) Rade (M) is a maximal submodule of M and every proper essential submodule of M is contained in a maximal submodule; (3) M has a unique essential maximal submodule and every proper essential submodule of M is contained in a maximal submodule Following is a characterization of amply e-supplemented module: Proposition 3.2.15 Let M be a finite generated module The following conditions are equivalent: 22 (1) M is amply e-supplemented; (2) If L, N are submodule of M and M = L + N then M = N + L1 + + Ln , where n is positive interger number, either Li is e-local or Li is semisimple Corollary 3.2.18 Let M be a finitely generated module If every cyclic submodule of M is e-supplemented then M is amply e-supplemented 3.3 Modules satisfy chain condition on e-small submodules In this section, we study chain conditions on e-small submodule and prove that Rade (M) is Noetherian (reps., Artinian) if and only if M satisfies ACC (reps., DCC) on e-small submodules The important results are some characterizations of Artinian module via e-supplemented, amply esupplemented module and chain conditions on e-small submodules Proposition 3.3.1 The following conditions are equivalent for a module M: (1) Rade (M) is a Noetherian module; (2) M satisfies ACC on e-small submodules Theorem 3.3.4 The following statements are equivalent for a module M: (1) Rade (M) is Artinian; (2) Every e-small submodule of M is Artinian; (3) M satisfies DCC on e-small submodules Following is characterizations of Artinian module: Theorem 3.3.7 Let M be a module Then M is Artinian if and only if M is an amply e-supplemented module and satisfies DCC on e-supplement submodules and on e-small submodules 23 Corollary 3.3.8 Let M be finitely generated Then M is Artinian if and only if M is an esupplemented module satisfying DCC on e-small submodules Example 3.3.1 (1) Let M = Z is an Z-module, the only e-small submodule of M is zero Hence M satisfies DCC on e-small submodules However, M is not e-supplemented Thus, M is not Artinian (2) Let M = Q a an Z-module Then M is not e-supplemented Hence M is not Artinian (3) Let R = F F ,A = F F where F is a field Then, A is F 0 an e-supplemented R-module and Artinian By Corollary 3.3.8 and Corollary 3.2.18, we have: Corollary 3.3.9 Let M be finitely generated If every cyclic submodule of M is e-supplemented and M satisfies DCC on e-small submodule then M is Artinian 24 conclusions and recommendations The main results of the thesis: Properties of pseudo c+ -injective module (Theorem 2.2.11; Theorem 2.2.21); the relation between pseudo c+ -injective and other extension of injective module (Theorem 2.2.5; Corollary 2.2.7); Characterization of quasi injective modules and rings (Corollary 2.2.12), characterizations of continuous module and rings (Theorem 2.2.6; Theorem 2.2.16) via pseudo c+ -injectivity; Characterizations of semisimple Artinian via pseudo c-injective and pseudo c+ -injective module (Theorem 2.1.6; Corollary 2.2.13); characterizations of quasi Frobenius ring via pseudo c+ -injective ring (Theorem 2.2.20; Theorem 2.2.33); Characterizations of e-local modules (Theorem 3.2.7; Proposition 3.2.9 and Theorem 3.2.10) Artinian characterization of module Rade (M) (Theorem 3.3.4); characterizations of Artinian module via e-supplemented module and chain condition on e-small submodules (Theorem 3.3.7; Corollary 3.3.8) On besided above results were proved, we will continue to study and solve some relative problem: Semiregularity of endormorphism of pseudo c+ -injective modules; sufficient conditions for a pseudo c+ -injective will be pseudo injective, continuous, quasi injective, injective; Characterizations of perfect, semiperfect, -perfect, -semiperfect rings via e-lifting, e-supplemented and e-local modules 25 Author s works have been Published [1] Phan Hong Tin and Truong Cong Quynh, On pseudo c-injective modules, Science and Technology Journal, Da Nang Univ., (2011), 118126 (Vietnamese) [2] T C Quynh and P H Tin, Modules satisfying extension conditions under monomorphism of their closed submodules, Asian-European Journal of Mathematics, Vol 5, No (2012), 12 pages [3] T C Quynh and P H Tin, Some properties of e-lifting and esupplemented modules, Vietnam Journal of Mathemmatics, Vol 41, No (2013), 303 - 312 [4] P H Tin, Pseudo c-injective and co-Hopfian modules, Journal of Science Hue University, to appear [5] L V Thuyet and P H Tin, Some Characterizations of Modules via Essentially small, Kyungpook Mathematical Journal, to appear The results of thesis were reported and discussed in: The National Conference on Algebra - Geometry - Topology, Thai Nguyen, 2011 The 8th National Conference on Mathematics , Nha Trang, 2013 Mini workshop on Groups, Rings and Related Topics, VIASM, 2014 The National Conference on Algebra - Geometry-Topology, Ha Long, 2014 The first Vietnam's Central and Tay Nguyen Conference on Mathematics, Quy Nhon, 2015 26 [...]... Ch-ơng 2 môđun và vành giả C+ -nội xạ Nội dung của ch-ơng này là các kết quả liên quan đến môđun giả c -nội xạ và giả c+ -nội xạ Các tính chất và mối liên hệ giữa lớp môđun giả c -nội xạ, giả c+ -nội xạ và một số lớp môđun mở rộng khác của môđun nội xạ có liên quan đã đ-ợc chỉ ra Các kết quả quan trọng trong ch-ơng này đó là các đặc tr-ng của môđun nội xạ, môđun và vành tự nội xạ, môđun và vành liên... quả về lớp môđun giả c+ -nội xạ Các tính chất và mối liên hệ giữa lớp môđun này và các lớp môđun mở rộng khác của môđun nội xạ đã đ-ợc chỉ ra Đồng thời các đặc tr-ng của lớp môđun nội xạ, môđun và vành tự nội xạ, môđun và vành liên tục thông qua môđun và vành giả c+ -nội xạ cũng đã đ-ợc chứng minh Kết quả chính trong mục này đó là đặc tr-ng của vành Artin nửa đơn và vành tựa Frobenius thông qua vành... H Dinh, hai lớp môđun giả nội xạ và lớp môđun liên tục là không chứa nhau Do đó, lớp môđun giả c+ -nội xạ là mở rộng thực sự của lớp môđun giả nội xạ và lớp môđun liên tục Hơn nữa, theo Ví dụ 2.2.3 và Ví dụ 2.2.4, lớp môđun giả c+ -nội xạ là lớp con thực sự của lớp môđun thỏa mãn điều kiện C2 và lớp môđun giả c -nội xạ Nhận xét 2.2.6 Môđun con đẳng cấu với môđun con đóng của môđun M ch-a hẳn là đóng... nếu và chỉ nếu mọi môđun là giả M-c+ -nội xạ Hệ quả 2.2.7 Môđun M là liên tục nếu và chỉ nếu M là giả c+ -nội xạ và CS 14 Từ các kết quả ở trên, ta có sơ đồ thể hiện mối liên hệ giữa môđun giả c+ -nội xạ và các tr-ờng hợp mở rộng khác của môđun nội xạ: giả nội xạ Nội xạ tựa nội xạ GQ - nội xạ giả c+ - nội xạ C2 liên tục tựa c - nội xạ giả c - nội xạ Nhận xét 2.2.5 Theo Q H Dinh, hai lớp môđun. .. đặc tr-ng của vành Artin nửa đơn thông qua tính chất giả c -nội xạ và giả c+ -nội xạ; tính chính quy của vành th-ơng của vành tự đồng cấu của môđun giả c+ -nội xạ và các đặc tr-ng của vành tựa Frobenius thông qua vành giả c+ -nội xạ 2.1 Môđun giả c -nội xạ Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của môđun giả c -nội xạ Kết quả chính trong phần này đó là đặc tr-ng của vành Artin... sau là một điều kiện đủ để môđun th-ơng của R -môđun giả RR-c+ -nội xạ là giả RR-c+ -nội xạ: Định lý 2.2.31 Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R: (1) Mỗi iđêan phải đóng của R là xạ ảnh; (2) Mỗi môđun th-ơng của môđun giả RR -c+ -nội xạ là giả RR -c+ -nội xạ; (3) Mỗi môđun th-ơng của môđun giả RR -nội xạ là giả RR-c+ -nội xạ; (4) Mỗi môđun th-ơng của môđun nội xạ là giả RR-c+ -nội xạ Các tác... là môđun giả nội xạ thì M là giả c+ -nội xạ 13 (2) Nếu M là môđun giả c+ -nội xạ thì M là giả c -nội xạ (3) Nếu M là môđun GQ -nội xạ thì M là giả c+ -nội xạ Ví dụ 2.2.3 (1) Xét M = Z Z là Z -môđun Khi đó, M là môđun CS và giả c -nội xạ nh-ng không phải là môđun giả c+ -nội xạ (2) Xét R = Z Khi đó R là vành giả c -nội xạ phải nh-ng không là vành giả c+ -nội xạ phải F F (3) Cho F là một tr-ờng và R = là vành... một đặc tr-ng của vành Artin nửa đơn, đó là vành mà mọi môđun giả c -nội xạ (trên vành đó) là nội xạ: Định lý 2.1.6 Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R đã cho: (1) R là Artin nửa đơn; (2) Tổng trực tiếp của hai R -môđun giả c -nội xạ là giả c -nội xạ; (3) Mọi R -môđun giả c -nội xạ là nội xạ; (4) Tổng trực tiếp của các R -môđun giả c -nội xạ là giả c -nội xạ 2.2 Môđun giả c+ -nội xạ Trong mục này,... hợp mở rộng khác của môđun nội xạ (Định lý 2.2.5; Hệ quả 2.2.7); 2 Các đặc tr-ng mở rộng của môđun và vành tự nội xạ thông qua tính chất giả c+ -nội xạ (Hệ quả 2.2.12); Đặc tr-ng của môđun và vành liên tục thông qua môđun giả c+ -nội xạ (Định lý 2.2.6; Định lý 2.2.16); 3 Đặc tr-ng vành Artin nửa đơn thông qua môđun giả c -nội xạ và giả c+ -nội xạ (Định lý 2.1.6; Hệ quả 2.2.13); Đặc tr-ng vành tựa Frobenius... giả nội xạ là giả c -nội xạ (2) Mọi môđun CS là giả c -nội xạ Mệnh đề 2.1.3 Môđun M là CS nếu và chỉ nếu mọi R -môđun là giả M-c -nội xạ Tổng trực tiếp của hai môđun giả c -nội xạ ch-a hẳn là môđun giả c -nội xạ Ví dụ sau chỉ ra điều này: 12 Ví dụ 2.1.3 Cho p là số nguyên tố và M = Z/pZ và N = Z/p3 Z Khi đó M, N là các môđun đều nên là giả c -nội xạ nh-ng M N không là giả c -nội xạ Định lý sau đây là một