BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI DƯƠNG CÔNG HUÂN PHƯƠNG PHÁP SPLINE COLLOCATION VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Tuấn HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Tuấn, thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giảng giải để hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu toàn thể thầy cô giáo trường THPT Tam Đảo, Vĩnh Phúc giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp hoàn thành luận văn Qua xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội trang bị kiến thức, giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Tác giả Dương Công Huân Lời cam đoan Tôi xin cam đoan hướng dẫn TS Nguyễn Văn Tuấn luận văn: Phương pháp spline collocation giải phương trình tích phân công trình nghiên cứu tác giả Trong trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn, thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Tác giả Dương Công Huân Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tuyến tính 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Xấp xỉ không gian hữu hạn chiều 10 Chương Giải xấp xỉ nghiệm phương trình vi tích phân phương pháp spline collocation 13 2.1 Phương pháp spline collocation cho phương trình tích phân Volterra cấp hai 13 2.1.1 Hàm spline 13 2.1.2 Phương pháp spline collocation 19 2.1.3 Nghiệm xấp xỉ phương trình vi tích phân Volterra tuyến tính cấp hai 31 2.1.4 Sự siêu hội tụ nghiệm xấp xỉ 35 2.1.5 Nghiệm xấp xỉ phương trình Volterra phi tuyến cấp hai 44 2.2 Phương pháp spline collocation cho phương trình vi tích phân Fredholm-Volterra cấp cao 50 Chương Ứng dụng tìm nghiệm xấp xỉ số phương trình Volterra cấp hai 63 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong toán học, phương pháp spline collocation phương pháp giải xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân thường, phương tình đạo hàm riêng, phương trình vi tích phân Ý tưởng phương pháp chọn không gian hữu hạn chiều chứa nghiệm có toán, không gian thường dùng không gian đa thức đặc biệt gồm đa thức đoạn (piecewise polynomial)-gọi spline có bậc hữu hạn biết chọn điểm miền xác định nằm không gian đa thức hữu hạn chiều đó, điểm gọi điểm collocation chọn nghiệm mà thỏa mãn phương trình cho điểm collocation Như vậy, nghiệm xấp xỉ phương trình nhờ thu phương pháp spline collocation Với mong muốn tìm hiểu phương pháp spline collocation giải xấp xỉ phương trình vi tích phân nói chung nâng cao tốc độ hội tụ phương pháp (siêu hội tụ) mà luận văn Thạc sỹ học viên trước chưa đề cập, đồng thời nâng cao kiến thức học chương trình đại học cao học, chọn đề tài Phương pháp spline collocation giải phương trình vi tích phân làm luận văn cao học Mục đích nghiên cứu - Trình bày số khái niệm phương pháp spline collocation, phương trình tích phân Volterra cấp hai, áp dụng phương pháp spline collocation cho phương trình tích phân Volterra - Nghiên cứu siêu hội tụ phương pháp spline collocation với phương trình vi tích phân - Xây dựng nghiệm spline collocation cho lớp phương trình vi tích phân Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm phương trình vi tích phân, cụ thể lớp phương trình tích phân Volterra, siêu hội tụ nghiệm xấp xỉ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm phương trình vi tích phân phương pháp spline collocation Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước nước liên quan đến giải xấp xỉ nghiệm phương trình vi tích phân phương pháp spline collocation Phương pháp nghiên cứu - Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất; - Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Những đóng góp đề tài Xây dựng luận văn thành tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên học viên cao học phương pháp spline collocation Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tuyến tính Trong mục này, ta nhớ lại khái niệm không gian tuyến tính, không gian con, chuẩn sở Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp gồm phần tử x, y, z, mà ta gọi vectơ, cho P trường số thực phức Trên X ta trang bị hai phép toán cộng nhân sau: Phép cộng, kí hiệu là: + : X × X −→ X (x, y) −→ x + y Phép nhân với vô hướng, kí hiệu · : P × X −→ X (λ, x) −→ λx thỏa mãn tiên đề sau đây: (x + y) + z = x + (y + z), x + y = y + x, ∀x, y, z ∈ X; ∀x, y ∈ X; ∃θ ∈ X, ∀x ∈ X : x + θ = x; ∀x ∈ X, ∃ − x ∈ X : x + (−x) = θ; ∀λ, µ ∈ P, ∀x, ∈ X; (λ + µ)x = λx + µx, λ(µx) = (λµ)x, ∀λ, µ ∈ P, ∀x, ∈ X; λ(x + y) = λx + λy, ∀x, y, z ∈ X; ∀x ∈ X : · x = x; phần tử −x gọi phần tử đối phần tử x, phần tử θ gọi phần tử không, ta nói (X, +, ·) (hoặc đơn giản X) không gian tuyến tính trường P Tùy theo trường P thực phức ta gọi X tương ứng không gian tuyến tính thực phức Ví dụ 1.1.1 Không gian tuyến tính thực C[a, b] Xét tập hợp tất hàm số giá trị thực xác định liên tục đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞) Các phép toán cộng nhân với vô hướng C[a, b] xác định sau: Phép cộng: + : C[a, b] × C[a, b] −→ C[a, b] −→ x + y (x, y) xác định (x + y)(t) = x(t) + y(t), ∀ t ∈ [a, b] Phép nhân với vô hướng: · : R × C[a, b] −→ C[a, b] −→ λx (λ, x) xác định (λx)(t) = λx(t), ∀ t ∈ [a, b] Dễ dàng thấy tập hợp C[a, b] với hai phép toán cộng nhân với vô hướng lập thành không gian vector trường số thực R Ví dụ 1.1.2 Đặt Pn [a, b] tập hợp tất đa thức bậc không vượt n xác định đoạn [a, b] Tức Pn [a, b] = {an tn + · · · + a1 t + a0 : ∈ R, i = 1, 2, , n, a ≤ t ≤ b} Tương tự C[a, b], ta dễ dàng thấy Pn [a, b] không gian tuyến tính thực Phần tử không không gian đa thức không (hàm không) Hơn nữa, đa thức liên tục nên, Pn [a, b] ⊂ [a, b] Ví dụ 1.1.3 Đặt L2 [a, b] tập hợp tất hàm xác định đo đoạn [a, b] b |f (t)|2 dt < ∞, a tích phân hiểu theo nghĩa Lebesgue Ta kiểm tra L2 [a, b] với phép toán cộng hai hàm số nhân vô hướng với hàm số, tức f, g ∈ L2 [a, b] ∀α ∈ R : f + g ∈ L2 [a, b] αf ∈ L2 [a, b] không gian vectơ thực Ta nhớ lại khái niệm không gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.2 Một tập M không gian tuyến tính X gọi không gian X i) M tập X; ii) Với x, y ∈ M ta có αx + βy ∈ M, ∀α, β ∈ R Dễ dàng thấy rằng, tập hợp Pn [a, b] không gian không gian C[a, b] Không gian C[a, b] không gian không gian L2 [a, b] Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X không gian tuyến tính Bn = {x1 , x2 , , xn } tập hợp n phần tử X Tập Bn gọi độc lập tuyến tính từ phương trình a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = θ kéo theo a1 = a2 = · · · = an = Nếu Bn không độc lập tuyến tính ta gọi Bn phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 1.1.4 Xét tập hợp Bn = {1, t, t2 , , tn } Mỗi hàm tk , ≤ k ≤ n, có bậc k Do đó, ta lấy t đoạn [a, b], ta thấy Bn tập Pn [a, b] Khi đó, Bn tập độc lập tuyến tính không gian Pn [a, b] đa thức có bậc không vượt n Thật vậy, giả sử p(t) = an tn + · · · + a1 t + a0 = θ Khi p(t) ≡ 0, ∀t ∈ [a, b] Do đó, p(t) đa thức có nhiều n nghiệm theo định lí đại số an = an−1 = · · · = a0 = Do đó, Bn độc lập tuyến tính Định nghĩa 1.1.4 Không gian tuyến tính X gọi có số chiều n không gian X chứa tập gồm n vectơ độc lập tuyến tính {x1 , x2 , , xn } tập hợp gồm n + vectơ phụ thuộc lập tuyến tính Ta có max |p∗ (t) − Pˆn f (t)| ≤ M2 gk (f, d), f ∈ C k [a, b], ti ≤t≤ti+1    6ω(f, h2dn ),     Gk (f, d) = 3hdn f ,    6k (k − 1)k−1 (k)   f , k > 1, d > k − ≥  (k − 1)!dk k = 0, k = 1, Như vậy, f − Pˆn f (t) = p∗ − Pˆn f + f − p∗ ≤ (M2 + 1)gk (f, d) (2.2.13) Với k = ta có hn f − Pˆn f ≤ 6(M2 + 1)ω(f, ), ∀f ∈ C[a, b] 2d Phép chiếu Pˆn có tính chất nêu Bổ đề 2.2.1 Do đó, ta thu kết sau: Định lý 2.2.2 Cho aj , f ∈ C[a, b], j = 0, , m−1, Ki (t, s) ∈ C(Ω), i = 1, 2, L > 0, |K2 (t1 , s) − K2 (t2 , s)| ≤ L|t1 − t2 |, ∀t1 , t2 ∈ [a, b] Giả sử Pˆn phép chiếu (2.2.12) tồn toán tử ngược (I + T )−1 phương trình (2.2.5) có nghiệm tầm thường Khi đó: (i) Với n đủ lớn (n ≥ N0 ) tồn nghiệm collocation xn toán (2.2.1)-(2.2.4) cho xn ∈ S p (πn , m + d, m) Sn ; 59 (ii) Tốc độ hội tụ nghiệm xấp xỉ xn tới nghiệm xác x đánh sau    O(ω(x(m) , hn )), x ∈ C m [a, b], x − xn =   O(hk ), x ∈ C m+k [a, b], ≤ k ≤ d + n Chứng minh Áp dụng Định lí 2.2.1, ta thu (i) Dể chứng minh (ii), ta có từ (2.2.11) (2.2.13) x − xn ≤ γ U x(m) − Pˆn x(m) ≤ γ U (M2 + 1)gk (x(m) , d) Do đó, x − xn =    O(ω(x(m) , hn )),   O(hk ), n x ∈ C m [a, b], x ∈ C m+k [a, b], ≤ k ≤ d + Điều hoàn thành chứng minh Định lí 2.2.2 Bây ta xét πn phân hoạch đoạn [a, b], πn : a = t0 < t1 · · · < tn = b, h= b−a n Với k ≥ số tự nhiên n ≥ 2k − 1, Sn = {t0 , , tn } Xét ánh xạ Pn : C[a, b] → Sp (πn , 2k − 1, 2k − 2) cho    (Pn f )(ti ) = f (ti ) i = 0, , n,    Dj (Pn f )(a) = Dj (L2k−1,0 f )(a) j = 1, , k − 1,     Dj (P f )(b) = Dj (L j = 1, , k − 1, n 2k−1,1 f )(b) 60 (2.2.14) L2k−1,0 f, (L2k−1,1 f ) tương ứng đa thức nội suy Lagrange hàm f điểm t0 , t1 , , t2k−1 , (tn−2k+1 , tn−2k , , tn ) Rõ ràng, Pn phép chiếu tuyến tính liên tục từ C[a, b] tới Sp (πn , 2k − 1, 2k − 2) f − Pn f ≤ θω(f, h), θ số không phụ thuộc vào n Hiển nhiên, Pn thỏa mãn điều kiện Bổ đề 2.2.1 Do đó, ta có kết sau: Định lý 2.2.3 Cho aj , f ∈ C[a, b], j = 0, , m−1, Ki (t, s) ∈ C(Ω), i = 1, 2, L > 0, |K2 (t1 , s) − K2 (t2 , s)| ≤ L|t1 − t2 |, ∀t1 , t2 ∈ [a, b] Giả sử Pˆn phép chiếu (2.2.14) tồn toán tử ngược (I + T )−1 phương trình (2.2.5) có nghiệm tầm thường Khi đó: (i) Với n đủ lớn (n ≥ N0 ) tồn nghiệm collocation xn toán (2.2.1)-(2.2.4) cho xn ∈ S p (πn , m + 2k − 1, m + 2k − 2); (ii) Tốc độ hội tụ nghiệm xấp xỉ xn tới nghiệm xác x đánh sau x − xn = O(hr ω(x(m+r) , h)), ≤ r ≤ 2k − 1, x ∈ C r+m [a, b], r ∈ N Chứng minh Phát biểu (i) rõ ràng Ta cần chứng minh (ii), từ 61 (2.2.11) ta có x − xn ≤ U γ x(m) − Pn x(m) ≤ U γ x(m) − v − (Pn x(m) − Pn v) , ∀v ∈ Sp (πn , 2k − 1, 2k − 2) ≤ U γ (I − Pn )(x(m) − v) , ∀v ∈ Sp (πn , 2k − 1, 2k − 2) ≤ U γ (I − Pn ) inf x(m) − v v∈Sp (πn ,2k−1,2k−2) Do đó, ta thu x(m) − v = O(hr ω(x(m+r) , h)) inf v∈Sp (πn ,2k−1,2k−2) x ∈ C m+r [a, b], ≤ r ≤ 2k − Như vậy, x − xn = O(hr ω(x(m+r) , h)) Định lí chứng minh 62 Chương Ứng dụng tìm nghiệm xấp xỉ số phương trình Volterra cấp hai Chúng ta tìm nghiệm xấp xỉ phương trình vi tích phân Volterra cấp hai phương pháp spline collocation đánh giá sai số Dựa vào phương trình (2.1.92) công thức (2.1.99) cho phương trình cụ thể sau đây: Ví dụ 3.0.1 Xét phương trình vi tích phân cấp sau:  t   y (t) = y(t) + y (t) + (− sin s − cos s − es )ds − sin t − cos t − et ,   y(0) t ∈ [0, 1] = 1; y (0) = 1, (3.0.1) Áp dụng phương pháp collocation giải số phần mềm Maple cho e1 = 0.4, c2 = 0.6, N = 4096 ta thu kết sau > restart; > with(linalg) : : m := : d := : N > c := array(1 d, 1) : > N := 4096 : h := > c[1, 1] := 0.4 : c[2, 1] := 0.6 : > t := t → k · h; t := t → k · h 63 > T := (n, j) → · (n − 1) + c[j, 1] · h; N n−1 T := (n, j) → + cj,1 h N > f := t → − sin(t)−cos(t)−exp(t); y := t → (sin(t) + cos(t) + exp(t)) ; f := t → − sin(t) − cos(t) − et 1 sin(t) + cos(t) + et 2 > evalf (f (T (2, 1)) − f (T (1, 2))) : > α[n] := array(1 m + d + 1, 1) : y := t → g[n] := array(1 m + d + 1, 1) : > α[n + 1] := array(1 m + d + 1, 1) : > α[1][1, 1] := : α[1][2, 1] := : α[1][3, 1] := −1.490334423 · 10−16 : N −16 α[1][4, 1] := 2.483708774 · 10 : > α[1] := array ([[α[1][1, 1]] , [α[1][2, 1]] , [α[1][3, 1]] , [α[1][4, 1]]]) : > V := array(1 m+d+1, m+d+1) : V := array(1 m+d+1, m+d+1) : V := array(1 m + d + 1, m + d + 1) : V := array(1 m + d + 1, m + d + 1) : V := array(1 m + d + 1, m + d + 1) : V := array(1 m + d + 1, m + d + 1) : > for i to d + 1do forj to m + d + V 1[i, j] := 0; V 2[i, j] := 0; V 3[i, j] := 0; V 4[i, j] := 0; ifi < jori > jthenV [i, j] = 0elseV [i, j] = 1; if; V 0[i, j] := binomial(j − 1, i − 1)od; od; > for i to d + a[i] := 0; od : > for j from d+2 to m+d+1 a[j] := evalf (f (T (2, j −(d+1)))− f (T (1, j) − (d + 1)), 15); od : > evalf (f (T (2, 1)) − f (T (1, 2)), 15) : > g[1] := array([[a[1]], [[a[2]], [[a[3]], [[a[4]]) : > for i from d+2 to m+d+1do forj to m+d+1 V 1[i, j] := (j− 64 j−2 1)·c[i−(d+1)] j−1 ; V 2[i, j] := c[i−(d+1)] (c[i − (d + 1)])j ; V 3[i, j] := ; j ; V [i, j] := (j − 1) · (j − 2) · (c[i − (d + 1)])j−3 ; V 0[i, j] := j (j − 1) · (j − 2) · (c[i − (d + 1)])j−3 ; od; od; V 4[i, j] := > for i from d + to m + d + for j to m + d + V 1[i, j] := (c[i − (d + 1)])j j−2 j−1 (j−1)·c[i−(d+1)] ; V 2[i, j] := c[i−(d+1)] ; V 3[i, j] := ; j V 4[i, j] := ; V [i, j] := (j − 1) · (j − 2) · (c[i − (d + 1)])j−3 ; V 0[i, j] := j (j − 1) · (j − 2) · (c[i − (d + 1)])j−3 ; od; od; > A := evalm(V − h · V − h2 · V − h3 · V 3) : > B := inverse(A) : > C := evalm((V − h · V − h2 · V − h3 · (V − V 4))) : > g[1] := array ([[α[1][1, 1]] , [α[1][2, 1]] , [α[1][3, 1]] , [α[1][4, 1]]]) : > G : multiply(C, α[1]) : > evalm(h2 · g[1]) : > H[1, 1] := evalm(G + h2 · g[1]) : > for i to N − L[i] := array([[g[i][1, 1]] , [g[i][2, 1]] , [g[i][3, 1]] , [g[i][4, 1]]]); od : > print(L[14]) : 0 −0.000488281 > for i to N −2 G[i, 1] := multiply(C, α[i]) : H[i, 1] := evalf (G[i, 1]+ h2 · L[i]) : α[i + 1] := multiply(B, H[i, 1]) : od : 65 > print(evalf (H[13, 1])) : 1.003173833 0.0002441406261 1.361360792 · 10−13 −1.0194098058 · 10−7 > print(evalf (α[3])) : 1.00488282 0.0002441406250 3.536079190 · 10−15 1.34 · 10−15 > for j to N − β[i] := array([[α[j][1, 1]] , [α[j][2, 1]] , [α[j][3, 1]] , [α[j][4, 1]]]); od : > print(evalf (β[2])) : 1.000244141 0.0002441406250 5.960791899 · 10−16 9.8 · 10−16 > for j to N −1 u := (t, j) → β[j][1, 1]+β[j][2, 1]·N · t − (j − 1) β[j][3, 1] · N · t − N > u(t, 3) : 2 (j − 1) + β[j][4, 1] · N · t − N > (u(t, 2)) : > u(0.075, 3); 1.075000039 66 (j − 1) + N ; od : > K := array(1 11, 5) : K[1, 1] := T T : h[1, 2] := BL : K[1, 3] := GT y : K[1, 4] := GT u1 : K[1, 5] := SS : for i from to 10 K[i+ 1, 1] := i; K[i+1, 2] := evalf : K[i + 1, 4] := evalf u := evalf abs y n N + N i N ·10 N + + i N ·10 −u > maximize(u(t, 1), t = i N ·10 ,2 n N + : K[i+1, 3] := evalf y N + i N ·10 : K[i + 1, 5] i N ·10 ,2 , 13 : od: print(K); ); N 1.000244141 > for k to N − z[k] := maximize(u(t, k), t = t(k − 1) k ); od : N > seq(z[k], k = N − 1) : > aList := [seq(z[k], k = N − 1)] : > M := op(1, aList) : for i to nops(aList) if op(i, aList) > M then M := op(i, aList) fi : od : M ; 67 > 7.952150910 · 10703 > P := array(1 11, 5) : P [1, 1] := T T : h[1, 2] := BL : P [1, 3] := GT y : P [1, 4] := GT u1 : P [1, 5] := SS : for i from to 10 P [i + 1, 1] := i; 29 N P [i + 1, 2] := evalf + : P [i + 1, 4] := evalf u := evalf abs y 29 N + i N ·10 : P [i + 1, 3] := evalf y i 29 : P [i + 1, 5] N + N ·10 , 30 i N ·10 −u 29 N + i N ·10 , 30 , 13 29 N + i N ·10 : od: print(P ); > restart; > with(linalg) : > D2 (y)(t) = y(t)+D(y)(t)+int(y(s), s = t)−sin(t)−cos(t)−exp(t) : (sin(t) + cos(t) + exp(t)) > y := t → ; y := t → 1 sin(t) + cos(t) + et 2 68 > f := t → − sin(t) − cos(t) − exp(t); f := t → − sin(t) − cos(t) − et : m := : d := : N > a := array(1 m + d + 1, 1) > a[1, 1] := : a[2, 1] := : N > c := array(1 d, 1) : > N := 4096 : h := > c[1, 1] := 0.4 : c[2, 1] := 0.6 : > N · · a[3, 1] + N · · a[4, 1] · c[1, 1] = a[1, 1] + a[2, 1] · c[1, 1] + a[3, 1] · (c[1, 1])2 + a[4, 1] · (c[1, 1])3 + N · (a[2, 1] + · c[1, 1] · a[3, 1] + · a[4, 1] · a[2, 1] · (c[1, 1])2 a[3, 1] · (c[1, 1])3 c[1, 1] · a[1, 1] + + + (c[1, 1])2 ) + N a[4, 1] · (c[1, 1])4 c[1, 1] + f( ): N > simplif y(%) 3.3554432 · 107 a3,1 + 4.026531840 · 107 a4,1 = 5.000000000 · 10−9 + 3276.960005a3,1 +1966.144002a4,1 > (3.3554432·107 −3276.960005)·a[3, 1]+(4.026531840·107 −1966.144002)· a[4, 1] = 5.000000000 · 10−9 3.355115504 · 107 a3,1 + 4.026335226 · 107 a4,1 = 5.000000000 · 10−9 > · N · a[3, 1] + N · · a[4, 1] · c[2, 1] = a[1, 1] + a[2, 1] · c[2, 1] + a[3, 1] · (c[2, 1])2 + a[4, 1] · (c[2, 1])3 + N · (a[2, 1] + · c[2, 1] · a[3, 1] + · a[4, 1] · a[2, 1] · (c[2, 1])2 a[3, 1] · (c[2, 1])3 (c[2, 1])2 ) + c[2, 1] · a[1, 1] + + + N a[4, 1] · (c[2, 1])4 + f ( c[2,1] N ) : 69 33554432a3,1 + 6.03979776 · 107 a4,1 = 1.0 · 10−8 + 4915.560018a3,1 + 4423.896008a4,1 > (33554432−4915.560018)a[3, 1]+(6.03979776·107 −4423.896008)a[4, 1] = 1.0 · 10−8 3.354951644 · 107 a3,1 + 6.039355370 · 107 a4,1 = 1.0 · 10−8 > solve({3.355115504·107 a3,1 +4.026335226·107 a4,1 = 5.000000000·10−9 , 3.354951644 · 107 a3,1 + 6.039355370 · 107 a4,1 = 1.0 · 10−8 }); {a3,1 = −1.490334423 · 10−16 , a4,1 = 2.483708774 · 10−16 } > a3,1 = −1.490334423 · 10−16 , a4,1 = 2.483708774 · 10−16 : > u1 := t → + N · a[2, 1] + N · a[3, 1] · t2 + N · a[4, 1] · t3 ; u1 := t → + N a2,1 + N a3,1 t2 + N a4,1 t3 > N · a[2, 1]; > b := array(1 11, 5) : b[1, 1] := T T : b[1, 2] := BL : b[1, 3] := GT y : b[1, 4] := GT u1 : b[1, 5] := SS : for i from to 10 b[i + 1, 1] := i; i N ·10 + 0.0001 : i u1 N ·10 + 0.0001 b[i+1, 2] := evalf b[i + 1, 4] := evalf : b[i+1, 5] := evalf abs y i N ·10 b[i+1, 3] := evalf y + 0.0001 −u1 od: print(b); 70 i N ·10 i N ·10 + 0.0001 + 0.0001 ,8 : : 71 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Phương pháp spline collocation giải xấp xỉ nghiệm phương trình vi tích phân Volterra tuyến tính cấp hai phương trình Fredholm-Volterra cấp cao; Tốc độ hội tụ bậc cao nghiệm xấp xỉ đề cập, xây dựng nghiệm xấp xỉ spline collocation cho lớp phương trình vi tích phân Volterra cấp hai phương pháp lặp; Trình bày số ví dụ áp dụng vào phương trình tích phân Volterra cấp hai Do lực nghiên cứu trình độ thân hạn chế nên luận văn chắn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong góp ý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện 72 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải Tích Số, Nhà xuất giáo dục [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [3] N M Chuong and N V Tuan (1997), Spline collocation methods for Fredholm-Volterra integro-differntial equations of high order, Vietnam Journal of Mathematics, 25 15-24 [4] E Rawashden, D Mcdowell and L Rakesh (2004), Polinomial spline collocation second-order Volterra integrodifferntial equations, IJMMS : 56, 3011-3022 [5] M Tarang (2004), Stability of the spline collocation method for second order Volterra integro-differntial equations, Mathematical modelling and analysis, Volume number 1, 79-90 73 [...]... duy nhất đối với các hệ số ci đó Vì ta phải xác định n hằng số chưa biết, nên ta phải áp đặt ít nhất n ràng buộc hoặc điều kiện lên f˜ để xác định các hằng số đó Hơn nữa, ta phải chọn các ràng buộc theo hướng mà làm cho f˜ − f là nhỏ 12 Chương 2 Giải xấp xỉ nghiệm của phương trình vi tích phân bằng phương pháp spline collocation 2.1 Phương pháp spline collocation cho phương trình tích phân Volterra... xuất bởi Brunner and Lambert Các phương trình thử được sử dụng rộng rãi để phân tích tính ổn định và các tính chất của nghiệm của các phương pháp khác nhau Ở đây, chúng tôi trình bày phương pháp số giải phương trình vi tích phân Volterra bậc 2 dạng (2.2.11) ở trên bằng cách sử dụng không gian các đa thức spline Để mô tả cách xấp xỉ nghiệm qua không gian các đa thức spline, ta đặt N : 0 = t0 < t1 0 với σ liên tục trên [0, 1], điều kiện biên là x(a) = x(b) = 0 Để giải phương trình này bằng phương pháp collocation, ta đặt N N π n : a = tN 0 < t1 < · · · < tn = b N là phân hoặc đều của đoạn [a, b], tN i+1 − ti = h = 1 Ta tìm hàm n xN (t) =... xỉ collocation xN (t) trong không gian các spline bậc ba với các nút a = t0 < t1 < · · · < tn = b của nghiệm x(t) của bài toán biên ban đầu   −u (t) + σ(t)u(t) = f (t),  u(a) = u(b) a ≤ t ≤ b, =0 là tồn tại Hơn nữa, nếu f ∈ C 2 [a, b] thì ta có ước lượng sai số x − xN ≤ M h 2 , với h đủ nhỏ 30 2.1.3 Nghiệm xấp xỉ của phương trình vi tích phân Volterra tuyến tính cấp hai Trong mục này ta xét phương. .. phương trình vi tích phân tuyến tính có dạng: 1 (2) 1 1 (i) y (t) = q(t) + ki (t, s)y (i) (s)ds, t ∈ I := [0, T ], pi (t)y (t) + i=0 i=0 0 (2.1.33) với y(0) = y0 , y (1) (0) = y1 , (2.1.34) ở đây q : I → R, pi : I → R, và ki : D → R (i = 0, 1) (với D := {(t, s) : 0 ≤ s ≤ t ≤ T }) là các hàm hàm liên tục trong miền xác định tương ứng của chúng Các phương trình ở trên đã được biết đến như các phương trình. .. ma trận CN ta thay vào các phương trình collocation Đặc biệt, N cN ij = LBj (ti ), 0 ≤ i ≤ n, −1 ≤ j ≤ n + 1 Vì LBj (t) = Bj (t) − σ(t)Bj (t), nên N N N cN ij = Bj (ti ) − σ(ti )Bj (ti ), 0 ≤ i ≤ n, −1 ≤ j ≤ n + 1 Lấy đạo hàm Bj (t) và tính tại các nút trong phân hoạch của ta tìm trong bảng 2.2 Thay vào các phương trình collocation (2.1.6) và nhân với h2 , ta có n + 1 phương trình tuyến tính (h2 σi −... 0.0000 0000 0.0000 0000 0.0000 0000 Để xấp xỉ nghiệm x(t) bằng nghiệm collocation thông qua các hàm spline, ta xét phân hoạch đoạn [0, 1] π : 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 1, và đặt φi (t) = Bi (t) là các hàm spline với các nút tại π : 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 1 Đặt XN = span{B−1 , B0 , , Bn+1 } Sử dụng phương pháp collocation với các hàm φi đó, ta có xN (t) = a−1 B−1 (t) + a0 B0 (t) + · · · + an+1... kì hàm f (t) thu được bằng cách đó được gọi là một nghiệm xấp xỉ thu được bằng phương pháp collocation Trong mục này, ta nghiên cứu một vài lớp toán tử L và một số các không gian con XN sao cho nghiệm collocation tồn tại và duy nhất, và đánh giá nhiễu x − xN trong các trường hợp đó Trước khi trình bày nội dung phương pháp collocation ta xét một vài ví dụ sau: Ví dụ 2.1.2 Xét bài toán giá trị ban đầu... σi + 12)ai+1 = h2 f (ti ), 0 ≤ i ≤ n, (2.1.19) N N với n + 3 biến chưa biết (xN −1 , x0 , , xn+1 ) Khử a−1 từ phương trình thứ nhất của (2.1.19) ta có (σ0 h2 − 6)a−1 + (4h2 σ0 + 12)a0 + (4h2 σ0 + 12)a1 = h2 f (x0 ), và phương trình thứ nhất của (2.1.5): a−1 + 4a0 + a1 = 0, ta thu được 36a0 = h2 f (t0 ) 26 (2.1.20) Tương tự, khử aN +1 từ phương trình cuối của (2.1.19) và (2.1.5), ta thu được 36aN