BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ———————o0o——————– VŨ THỊ TƯƠI TRẠNG THÁI NGƯNG TỤ KHÍ BOSE - EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Thụ HÀ NỘI, 06 - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước tiên xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Văn Thụ, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ bảo suốt trình thực luận văn Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô giảng dạy suốt thời gian qua, đặc biệt các thầy cô khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội trang bị cho kiến thức Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến người thân gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Học viên Vũ Thị Tươi i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài riêng tôi, thực hướng dẫn T.S Nguyễn Văn Thụ sở nghiên cứu tài liệu tham khảo Nó không trùng kết với tác giả công bố Nếu sai xin chịu trách nhiệm trước hội đồng Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Học viên Vũ Thị Tươi ii MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Chương Tổng quan nghiên cứu ngưng tụ Bose - Einstein 1.1 Thống kê Bose - Einstein 1.2 Tình hình nghiên cứu ngưng tụ Bose - Einstein 11 1.3 Thực nghiệm ngưng tụ Bose - Einstein 13 Chương Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh 18 2.1 Lý thuyết Gross - Pitaevskii 18 2.2 Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh 21 2.3 Trường hợp minh họa 26 Chương Sóng mao dẫn bề mặt 28 3.1 Hệ phương trình Bogolibov de Gennes 28 3.2 Hệ thức tán sắc 29 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nói đến vật lý đại nghĩ tới Albert Einstein (1897 - 1995) nhà vật lý lý thuyết Ông coi nhà khoa học có ảnh hưởng kỉ 20 ông coi cha đẻ vật lý đại Nói tới ông nhớ tới hàng loạt công trình nghiên cứu ông số ngưng tụ Bose - Einstein (Bose - Einstein condensate - BEC) tạo giới từ nguyên tử lạnh năm 1995 Ngưng tụ Bose - Einstein chế tạo từ kim loại kiềm từ nguyên tử Hidro cách làm lạnh sau giam khối khí loãng nguyên tử bẫy từ mạnh Đây tập thể nguyên tử đồng nhất, chúng trạng thái lượng tử, mô tả hàm sóng, chúng có tính chất đồng photon chùm laser Chính Gross - Pitaevskii chủ yếu nghiên cứu trạng thái dừng, dựa giả thuyết tất nguyên tử nằm trạng thái Thực tế có số lượng nguyên tử không nằm mức mà nằm mức kích thích Nên để tính ảnh hưởng nguyên tử mức kích thích người ta phải tính tới dao động bề mặt Và Bogoliubov nghiên cứu dao động bề mặt ngưng tụ Bose - Einstein sở phương pháp hóa lượng tử lần hai Với việc tạo trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein, có ý nghĩa lớn vật lý giải thích nhiều tượng vật lý siêu dẫn, siêu chảy , ứng dụng vào nghiên cứu ngưng tụ Bose - Einstein thấp chiều, ngưng tụ Bose - Einstein thành phần, ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein chọn đề tài "Trạng thái ngưng tụ khí Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh" Mục đích nghiên cứu Trên sở lý thuyết ngưng tụ Bose - Einstein nghiên cứu trạng thái khí ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh Tìm hệ thức tán sắc cho sóng mao dẫn bề mặt BEC Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu "Trạng thái ngưng tụ khí Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh" xuất phát từ thống kê Bose - Einstein boson hạt có spin nguyên, phương trình Gross - Pitaevskii không phụ thuộc thời gian lý thuyết Bogoliubov de Gennes Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các phương trình Gross - Pitaevskii Nghiên cứu "Trạng thái ngưng tụ khí Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh" Dự kiến đóng góp Nghiên cứu trạng thái ngưng tụ khí Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh có đóng góp quan trọng Vật lý thống kê học lượng tử nói riêng, Vật lý lý thuyết nói chung Phương pháp nghiên cứu Đọc sách tra cứu tài liệu Sử dụng thống kê, lượng tử phép tính giải tích toán học Phương pháp nghiên cứu lí luận CHƯƠNG TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN 1.1 1.1.1 Thống kê Bose - Einstein Hệ hạt đồng Nếu hạt có đặc trưng điện tích, khối lượng, spin, không phân biệt với có hệ N hạt đồng Tính không phân biệt hạt đồng theo trạng thái học lượng tử dẫn tới nguyên lý tính đồng nhất: "Trong hệ hạt đồng tồn trạng thái không thay đổi đổi chỗ hạt đồng cho nhau"[1] 1.1.2 Thống kê Bose - Einstein Đối với hệ hạt đồng nhất, không cần biết cụ thể hạt trạng thái mà cần biết trạng thái đơn hạt có hạt Xuất phát từ công thức tắc lượng tử Wk = ψ − Ek θ exp N! gk , (1.1) gk độ suy biến, Ek lượng trạng thái k , N số hạt đồng nhất, θ ψ thông số phân bố Nếu hệ gồm hạt không tương tác ta có ∞ Ek = n l εl , (1.2) l=0 εl lượng hạt riêng lẻ hệ, nl số chứa đầy tức số hạt có lượng εl Để tổng quát ta giả thiết số l có trị số từ đến ∞ , độ suy biến gk công thức (1.1) tìm cách tìm số trạng thái khác phương diện vật lý ứng với giá trị lượng Ek , số hoán vị hạt tương ứng với trạng thái Vì số hạt hệ bất biến tương tự trường hợp thống kê cổ điển thay cho phân bố tắc lớn lượng tử Phân bố tắc lớn lượng tử có dạng   ∞     Ω + µN − nl εl   l=0 Wk = exp gk , (1.3) N! θ       ∞ N = nl , Ω nhiệt động, µ hóa học l=0 Sở dĩ thừa số xuất công thức (1.3) có kể đến tính đồng N! hạt tính không phân biệt trạng thái mà ta thu hoán vị hạt Ta kí hiệu gk = G (n0 , n1 , ) , (1.4) N! (1.3) viết lại sau   ∞      Ω + nl (µ − εl )  l=0 Wk = exp θ    G (n0 , n1 , ) (1.5)    Từ ta có hai nhận xét công thức(1.5) sau: Một vế phải (1.5) coi hàm nl nên ta đoán nhận công thức xác suất có n0 hạt nằm mức ε0 , nl hạt nằm mức εl , nghĩa là, xác suất hạt lấp đầy Do đó, nhờ công thức ta tìm số hạt trung bình nằm mức lượng n ¯k = .nk W (n0 , n1 ) n0 n1 = .nk exp n0 n1    Ω + ∞ l=0   nl (µ − εl )   θ    (1.6) G (n0 , n1 , )    Hai đại lượng G (n0 , n1 ) xuất ta kể đến khả xuất trạng thái vật lý hoán vị hạt Đối với hệ boson hệ fermion, tức hệ mô tả hàm sóng đối xứng phản đối xứng phép hoán vị không đưa đến trạng thái vật lý cả, hàm sóng hệ không đổi dấu, đổi dấu nghĩa diễn tả trạng thái lượng tử Do đó, hạt boson hạt fermion ta có G (n0 , n1 , ) = Nhưng thống kê Maxwell - Boltzmann, mà hạt khác biệt phương diện hoán vị tọa độ (tức hạt hoán vị xuất trạng thái mới), ta có G (n0 , n1 ) = n0 !n1 ! (1.7) Thực ta tìm gk với lập luận sau Trong thống kê Maxwell - Boltzmann tất phép hoán vị tọa độ hạt cho trạng thái mới, trừ phép hoán vị tọa độ hạt có lượng ε1 Do đó, số tổng cộng trạng thái khác phương diện vật lý số hoán vị tổng cộng N ! chia cho số hoán vị nhóm có lượng tức chia cho n0 !n1 ! Khi gk = N! n0 !n1 ! (1.8) thay giá trị gk vào (1.4) ta thu (1.7) Để tính giá trị trung bình số chứa đầy (số hạt trung bình nằm mức lượng khác nhau) ta gắn cho đại lượng µ công thức (1.5) số l, nghĩa ta coi hệ ta xét hóa học µ mà ta có tập hợp hóa học µ Và cuối phép tính cho ta µl = µ Tiến hành phép thay ta viết điều kiện chuẩn hóa sau W (n0 , n1 , ) = exp n0 n1 với Z= exp n0 n1     ∞ l=0 Ω θ Z = (1.9) G (n0 , n1 ) (1.10)   nl (µl − εl )   θ       nghĩa Ω = −θ ln Z (1.11) Khi đạo hàm Ω theo µk dựa vào (1.7) (1.10) ∂Ω ∂Z = −θ ∂µk Z ∂µk =− .nk exp n0    Ω + ∞ l=0 θ    n1   µ l − εl   (1.12) G (n0 n1 )    Nếu biểu thức (1.5) ta đặt µk = µ theo (1.5) vế phải công thức (1.10) có nghĩa giá trị trung bình số chứa đầy nk tức ta thu ∂Ω = µ ∂µk n ¯k = − (1.13) Đối với hệ hạt boson, số hạt mức có trị số (từ đến ∞ G (n0 n1 ) = theo (1.9) ta có ∞      nl (µl − εl )   l=0 exp Z= n0 n1 ∞ ∞ = l=0 n=0 ∞ µ l − εl θ − exp ∞ ln − exp Ω=θ (1.14) − l=0    µ l − εl n θ exp = θ    l=0 µ l − εl θ (1.15) Theo (1.7) ta tìm phân bố số chứa đầy trung bình n ¯k = εl − µ exp θ , (1.16) −1 ta có (1.16) công thức thống kê Bose - Einstein Thế hóa học µ công thức (1.16) xác định từ điều kiện ∞ n ¯l = N l=0 (1.17) |Ψ tích tenxơ N hàm sóng hạt hệ; xét toán điều kiện chuẩn hóa Ψ | Ψ = Gần thỏa mãn ngưng tụ không thực đặc; nói cách khác tương tác hạt lân cận gần mạnh tương tác hạt xa biên ˆ |Ψ − Bài toán quy tìm cực tiểu F (Ψ) = Ψ| H µ Ψ | Ψ Ta tính số hạng biểu thức Đối với thành phần động có N p2 |Ψ = 2m Ψ| i=1 N i=1 2 =N ∇ψ ∗ (ri ) ∇ψ (ri ) dri 2m = −N (2.3) |∇ψ (r)|2 dr 2m ψ ∗ (r) ∇2 ψ (r) dr 2m Ở xác định |Ψ tích tenxơ N hàm sóng hạt ψ (r) hàm sóng hạt, sử dụng tính chất hàm Green để thu kết cuối công thức (2.3) Thành phần dễ dàng viết lại sau N ψ ∗ (r) Vext ψ (r) dr Vext (ri ) |Ψ = N Ψ| (2.4) i=1 Đối với số hạng mô tả tương tác hạt hệ có Ψ| N V (|ri − rj |) |Ψ i=1 j=i = = N N N dri ψ ∗ (ri ) ψ ∗ (rj ) V (|ri − rj |) ψ (ri ) ψ (rj ) drj i=1 j=i N (N − 1) dr ψ ∗ (r) ψ r V r−r ψ (r) ψ r dr (2.5) Đối với số hạng cuối công thức lượng tự N µ Ψ|Ψ =µ ∗ ψ (r) ψ (r) dr (2.6) viết biểu thức để thuận tiện cho việc tính toán Cho biểu thức trên, phải tìm cực tiểu chúng Nói 19 cách khác, xét biến thiên nhỏ hàm sóng ψ (r), phải xét biến thiên thành phần thực ảo hàm sóng coi ψ ψ ∗ độc lập với biến số Theo cách này, ta dễ dàng thu δ cho biều thức (2.3) (2.4) Trong trường hợp công thức δψ ∗ (2.5), có đạo hàm hai lần hàm sóng ψ ∗ , r thay đổi vị đạo hàm trí nên ta có công thức sau δ δψ ∗ Ψ N N V (|ri − rj |) Ψ i=1 j=i |ψ (r)|2 V δψ ∗ (r) = N (N − 1) r−r ψ (r) dr (2.7) Tương tự, hóa có N −1 δ Ψ|Ψ =N δψ ∗ ψ (r) ψ (r) dr =N δψ ∗ (r) ψ (r)dr ∗ δψ ∗ (r) ψ (r) dr (2.8) Thay đồng thời biểu thức vào biểu thức lấy biến phân lượng tự F δF =0= N δψ ∗ − 2m ∇2 ψ(r) + Vext (r)ψ(r) +(N − 1)[|ψ(r)|2 V (|r − r )|)dr ]ψ(r) − µψ(r) δψ ∗ (2.9) đại lượng dấu ngoặc nhọn (2.9) bị triệt tiêu Hầu hết người ta chọn tương tác có dạng V r−r = 4π aδ r − r , m a chiều dài tán xạ sóng s, sử dụng gần N − ta có − 2m ∇2 ψ (r) + Vext (r) ψ (r) + N N cuối chúng 4π a|ψ (r)|2 ψ (r) = µψ (r) m (2.10) Công thức (2.10) phương trình Gross - Pitaevskii không phụ thuộc thời gian Chiều dài tán xạ a đo cường độ cường độ tương tác boson Dấu trừ công thức (2.10) thể tương tác hút (a < 0) tương tác đẩy (a > 0) Như cực tiểu hóa lượng E tương ứng với cực tiểu hóa lương tự F = E − µN , biểu thức quan trọng vật lý thống kê 20 2.2 Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh Trong ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu toán tử Hamilton mô tả hệ viết dạng sau [8] drΨ+ j − H= j=1,2 ∇2 2mj + Vj (r) + gjj + Ψ Ψj Ψj + g12 j + drΨ+ Ψ2 Ψ1 Ψ2 , (2.11) gj = 4π aj mj > mô tả tương tác hạt thành phần ngưng tụ, g12 = 2π a12 (m1 + m2 ) (m1 m2 ) > mô tả tương tác hạt hai thành phần ngưng tụ, mj khối lượng hạt; aj ,a12 chiều dài tán xạ, Vj (r) tương tác Từ Hamilton (2.11) có hệ phương trình Gross - Pitaevskii cho hàm sóng ngưng tụ [4], i ∂Ψ1 = ∂t − ∇2 2m1 + V1 (r) + g11 |Ψ1 |2 + g12 |Ψ2 |2 Ψ1 , (2.12) i ∂Ψ2 = ∂t − ∇2 2m2 + V2 (r) + g22 |Ψ2 |2 + g12 |Ψ1 |2 Ψ2 Chúng ta quan tâm đến nghiệm dừng hệ phương trình (2.12) Giả sử Ψj ∝ exp (−iµj t), µj hóa học, thu hệ phương trình phi tuyến cho mật độ khí ni (r) = |Ψ1 (r)|2 [10] √ ∇2 n1 µ1 = − + V1 (r) + g11 n1 + g12 n2 , √ 2m1 n1 2 µ2 = − 2m2 √ ∇2 n √ n2 (2.13) + V2 (r) + g22 n2 + g12 n1 Để tìm nghiệm (2.13) cần phải làm vài biến đổi Giả sử V1 (r) = V2 (r) xét trường hợp độ lớn biên ngưng tụ nhỏ nhiều độ dài đặc trưng bẫy Trong trường hợp bẫy có dạng parabol, điều có nghĩa d RT F , d độ lớn biên RT F bán kính Thomas - Fermi đám mây điện tử Về phương diện vật lý, giúp ta loại bỏ ảnh hưởng tới hình dạng biên Để việc tính toán đơn giản nữa, giả sử 21 phân tách diễn theo chiều, z Như (2.13) viết dạng sau µ1 = − 2m1 √ d2 √ n1 + g11 n1 + g12 n2 , n1 dz (2.14) µ2 = − √ d2 2m2 n2 √ dz n2 + g22 n2 + g12 n1 Mặc dù, tương tác không xuất (2.14) phải xét đến điều kiện lên nghiệm hệ, phép biến đổi tính đến yếu tố Ở giả sử phân tách diễn dọc theo trục z gọi ngưng tụ bên phải biên "1", ngưng tụ bên trái biên "2" Như điều kiện tiệm cận [10], n1 (z → +∞) → n10 , n1 (z → −∞) → 0, (2.15) n2 (z → −∞) → n20 , n2 (z → +∞) → n10 , n20 mật độ cân xa biên Hệ phương trình (2.14) viết dạng d2 Ψj + gjj |Ψj |2 + gjj |Ψj |2 Ψj 2mj dz µj Ψj = − (2.16) Trong gần Thomas - Fermi ta có µj Ψj = gjj |Ψj |2 + gjj |Ψj |2 Ψj (2.17) Nhân trái hai vế phương trình (2.17) với Ψ∗j thực lấy tích phân toàn miền r Ψ∗j gjj |Ψj |2 + gjj |Ψj |2 Ψj dr Ψ∗j µj Ψj dr = cuối (2.18) µj = gjj nj + gjj nj Khi xa biên nj = nj0 ; nj = (2.19) µ1 = g11 n10 ; µ2 = g22 n20 Áp suất thành phần ngưng tụ cho công thức Pj = i ∂Ψj Ψ∗j ∂t − 2mj |∇Ψj |2 − Vj |Ψj | − 22 gjj |Ψj |4 (2.20) Hàm sóng Ψj viết[7], Ψj = √ iφj nj e tách nj = nj0 + δnj , gjj nj0 t + δφj φj = − Do hàm sóng viết lại Ψj = i − gjj nj0 nj0 + δnj e t+δφj (2.21) |Ψj |2 = nj0 + δnj Từ (2.21) ta có i ∂Ψj gjj nj0 = −i + δφj e ∂t − gjj nj0 t+δφj (2.22) Ngoài đạo hàm bậc δφj thỏa mãn ∂δφj + gjj δnj = ∂t (2.23) Thay (2.21) vào (2.20) ý (2.23) Pj = gjj n2j0 + gjj nj0 δnj (2.24) Khi xa biên δnj = nên (2.24) viết Pj = gjj n2j0 (2.25) 1 P1 = g11 n210 ; P2 = g22 n220 2 (2.26) Từ phương trình Laplace - Young P1 − P2 = α 1 + R1 R2 Chú ý trường hợp R1 = R2 = ∞, P = P2 23 Để làm giảm tham số công thức (2.14) bỏ qua khác khối lượng cách thay đổi ∗ =g g11 11 m1 ∗ m2 ; g22 = g22 , m2 m1 m2 ∗ ; n = n2 m1 n∗1 = n1 m1 , m2 ∗ n∗ = g µ∗1 = g11 11 10 m1 n1 m2 m2 = µ1 m1 m1 , m2 ∗ n∗ = g µ∗2 = g22 22 20 m2 n2 m1 m1 = µ2 m2 m2 , m1 m∗ = √ (2.27) m1 m2 Từ (2.27) ta có biểu thức sau ∗ g11 = g11 m2 ∗ m1 , ; g22 = g22 m1 m2 n1 = n∗1 m1 ; n2 = n∗2 m2 m2 , m1 µ1 = µ∗1 m2 ; µ2 = µ∗2 m1 m1 m2 (2.28) Thay (2.28) vào (2.14) hệ phương trình tương tự với điều kiện (2.15), (2.19) (2.26) cho đại lượng có dấu ∗ với khối lượng m∗ Để toán sau đơn giản, bỏ dấu ∗ µ∗1 =− 2m∗ d2 n∗1 ∗ n∗ + g n∗ , + g11 12 2 ∗ n1 dz (2.29) µ∗2 = − d2 2m∗ n∗2 n∗2 dz ∗ n∗ + g n∗ + g22 12 Chúng ta giải hệ phương trình (2.14) phương pháp giải tích hai trường hợp giới hạn cho phân tách yếu phân tách mạnh Trong luận văn √ xét trường hợp phân tách mạnh ∆ = g12 g11 g22 − 1 Đối với trường hợp phương trình mật độ (2.14) 24 Trong trường hợp lấy mật độ biên gần không tương tác hạt làm cho gần bị triệt tiêu với ngưng tụ để xuyên qua vào bên hạt khác Để ước tính mật độ biên lấy đạo hàm bậc hai hàm sóng gần không tức ∂ Ψj ∂z z=z0 Khi (2.14) trở thành µ1 = g11 n1 + g12 n2 = g11 n10 , (2.30) µ2 = g22 n2 + g12 n1 = g22 n20 Chia hai vế (2.30) cho √ g11 g22 ta g11 n1 + ∆n2 = g22 g11 n10 , g22 (2.31) g22 n2 + ∆n1 = g11 g22 n20 g11 Từ ta suy g11 n1 + ∆ g22 ⇔ g22 − ∆n1 g11 g22 g11 = g11 n1 + ∆ n20 − ∆ g22 g11 n10 g22 g11 n1 g22 = g11 n10 g22 (2.32) ⇔ g11 n1 + ∆n20 − ∆2 g22 ⇒ n1 = − g11 n10 − ∆n20 g22 g11 (∆2 − 1) g22 25 g11 n1 = g22 g11 n10 g22 Chú ý P1 = P2 nên n20 = n1 = g11 g22 1/2 có n10 n10 ≈ ∆+1 ∆ n10 , (2.33) n20 n20 ≈ n2 = ∆+1 ∆ n20 Điều cho phép gần không sử dụng điều kiện cho mật độ n1 (z1 ≤ 0) = n2 (z ≥ 0) = Do phương trình (2.14) viết lại sau d2 √ n1 + g11 n1 , z ≥ 0, √ 2m1 n1 dz 2 µ1 = − (2.34) µ2 = − √ 2m2 n2 d2 √ dz n2 + g22 n2 , z ≤ Nghiệm tìm n1 (z ≥ 0) = n10 tanh2 z , ξ1 (2.35) n2 (z ≤ 0) = n20 tanh2 z ξ2 Ở n10 n20 liên hệ điều kiện phương trình áp suất (2.26) chọn vị trí z = 2.3 Trường hợp minh họa Từ phương trình (2.35) biểu diễn phụ thuộc mật độ vào khoảng cách đến biên hình (2.3), có dạng giếng trường hợp phân tách mạnh hẹp sâu so với trường hợp phân tách yếu Như ta thấy hình (2.3), mặt phân cách mật độ tìm hạt hai thành phần Đây dấu hiệu điển hình cho trường hợp phân tách mạnh 26 1.0 0.8 n1 , n2 0.6 0.4 0.2 0.0 -4 -2 z/ξ Hình 2.3: Phân bố mật độ trường hợp phân tách mạnh Đường nét liền ứng với n1 , đường nét đứt ứng với n2 27 CHƯƠNG SÓNG MAO DẪN TRÊN BỀ MẶT 3.1 Hệ phương trình Bogoliubov de Gennes Xét hệ BEC hai thành phần mô tả hệ phương trình Gross Pitaevskii phụ thuộc thời gian [8], i ∂ψj =− ∇2 ψj − µj ψj + gjj |ψj |2 ψj + gjj |ψj |2 ψj ∂t 2m (3.1) Khi từ trường gọi nj0 mật độ khối µj = gjj nj0 Khi xảy tương tác mạnh, tức gjj → ∞ số hạng gjj |ψj |2 ψj → Lúc phương trình (3.1) có dạng: i ∂ψj =− ∇2 ψj + gjj nj0 |ψj |2 − ψj ∂t 2m (3.2) Gọi φj hàm sóng trạng thái ta viết[4], ψj = [Ψj + δψj ] e−iµj t/ (3.3) Giả thiết hệ phân bố theo trục z , theo phương x y hệ có đối xứng tịnh tiến Để đơn giản ta bỏ số j đại lượng tương ứng xét cho thành phần với z > mặt phân cách hai thành phần nằm z = Thay (3.3) vào (3.2) giữ đến số hạng bậc δψ ta được: i ∂ψ = ∂t − d2 − µ + 2gΨ2 2m dz δψ + gΨ2 δψ (3.4) Khai triển theo kích thích dạng δψ = uk (z) ei(ka−ωt) + vk (z) e−i(ka−ωt) , (3.5) a = (x, y) Thay (3.5) vào (3.4) ta được[9], − 2m d2 − k2 dz − µ + 2gΨ2 uk + gΨ2 vk = ωuk , (3.6) − 2m d2 dz − k2 − µ + 2gΨ2 vk + gΨ2 uk = − ωvk 28 z ξ Đưa vào biến số không thứ nguyên ρj = , ξ = √ kξ ω ,k = √ ,ε = ta mgn0 gn0 thu dạng không thứ nguyên (3.6) sau − d2 + k − + 2φ2 dρ2 uk + φ2 vk = εuk , (3.7) − d2 + k − + 2φ2 dρ2 vk + φ2 uk = −εvk Định nghĩa hàm k = uk + vk , (3.8) ∆k = uk − vk (3.7) tương đương với − 1d k + 3φ2 − + k 2 dρ2 k = ε∆k , (3.9) − d∆k + φ2 − + k ∆k = ε dρ2 k √ sử dụng Ψj = n0 φ (3.9) hệ phương trình Bogoliubov de Gennnes 3.2 Hệ thức tán sắc Chúng ta tìm nghiệm phương trình (3.9) Với hệ phân tách mạnh φ = ρ giới hạn k → nghiệm (3.9) tìm dạng: k k +ε k , (3.10) ∆k ∆0k + ε∆1k Ở gần bậc không ta có k = Ae(−α1 ρ) α12 − + α1 φ + φ ∆0k = Be(−α2 ρ) (α2 + φ) 29 , (3.11) với α1 = √ √ √ 2 + k ; α2 = 2k Thay (3.10),(3.11) vào (3.9) ta − d dρ2 k + 3φ2 − 1 k = Bφ, (3.12) d − ∆ + φ2 − ∆1k = A − φ2 dρ2 k Nghiệm (3.12) dễ dàng tìm k =B φ + − φ2 ρ , (3.13) ∆1k = −A Với ripplon mode điều kiện biên thỏa mãn k (0) = 0, (3.14) ∆k (0) = Thay (3.10)(3.11) (3.13) vào (3.14) ta α1 (2 − α1 ) (2 + α1 ) A + εB = 0, (3.15) −εA + α2 B = Để (3.15) có nghiệm không tầm thường A B ta phải có α1 (2 − α1 ) (2 + α1 ) ε, −ε α2 =0 (3.16) Khi k → α1 = + k Thay vào (16) ta √ ε = k (3.17) Với phonon mode điều kiện biên tương ứng k (0) = 0, (3.18) ∆k (0) = 30 Thay (3.10),(3.11) (3.13) vào (3.18) ta ε= √ 2k (3.19) Phương trình (3.17) hệ thức tán sắc cho ripplon mode Như cách chọn điều kiện biên thích hợp ta tìm hai hệ thức tán sắc cho mode kích thích bề mặt BEC hai thành phần phân tách mạnh 31 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày trạng thái ngưng tụ khí Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh sở lý thuyết thống kê Bose Einstein, phương trình Gross - Pitaevskii không phụ thuộc thời gian Đồng thời ta tìm hàm sóng mô tả kích thước bề mặt ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh Kết đạt là: • Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh • Tìm hệ thức tán sắc cho Nambu - Goldstone mode Cụ thể tìm hệ thức tán sắc ứng với phonon ripplon giống chất lỏng không chịu nén 32 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng(1998), Vật lý thống kê, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Vũ Thanh Khiết (1998), Vật lý thống kê, NXB Giáo Dục, Hà Nội [3] http://vi.wikipedia.org/wiki/Ngưng tụ Bose - Einstein Tiếng Anh [4] C J Pethick, H Smith (2008), Bose – Einstein condensate in dilute gases, Cambridge University Press, New York [5] D A Takahashi, M Kobayashi, M Nitta (2015), Nambu - Goldstone modes propagating along topological defects: Kelvih and ripplon modes from small to large systems, arxiv: 1501.01874 [6] H Takeuchi and K Kasamatsu (2013), Phys.Rev A 88,043612 [7] J Rogel - Salazar (2013), The Gross – Pitaevskii equation and Bose – Einstein condensates, Eur J Phys 34, 247–257 [8] L Pitaevskii and S Stringari (2003), Bose Einstein Condensation, Oxford Univ Pres, New York [9] Peter V.Pikhitsa(2014), Exact solutions for the dispersion relation of Bogoliubov modes localized near a topological defect - a hard wall - in Bose-Einstein condensate, arxiv:1405.5035 [10] R A Barankov (2002), Boundary of two mixed Bose – Einstein condensates, Phys Rev A 66, 013612 33 [...]... được hai hệ thức tán sắc cho mode kích thích bề mặt của BEC hai thành phần phân tách mạnh 31 KẾT LUẬN Nội dung chính của luận văn này là trình bày trạng thái ngưng tụ khí Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh trên cơ sở lý thuyết thống kê Bose Einstein, phương trình Gross - Pitaevskii không phụ thuộc thời gian Đồng thời ta tìm được hàm sóng mô tả kích thước bề mặt ngưng tụ Bose - Einstein hai thành. .. lý thống kê 20 2.2 Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh Trong ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu toán tử Hamilton mô tả hệ có thể viết dưới dạng sau [8] drΨ+ j − H= j=1,2 2 ∇2 2mj + Vj (r) + gjj + Ψ Ψj Ψj + g12 2 j + drΨ+ 1 Ψ2 Ψ1 Ψ2 , (2.11) trong đó gj = 4π 2 aj mj > 0 mô tả tương tác giữa các hạt trong mỗi thành phần ngưng tụ, g12 = 2π 2 a12... lượng tử hóa, cho phép xác định các hằng số cơ bản 17 CHƯƠNG 2 TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH 2.1 Lý thuyết Gross - Pitaevskii Ngưng tụ Bose - Einstein thu được từ một hệ các Bose ở trạng thái cơ bản tại nhiệt độ thấp Do đó, ta có thể tìm hiểu về năng lượng của trạng thái cơ bản để nghiên cứu một hệ khí bất kì Toán tử Hamilton tổng quát mô tả hệ được cho bởi... các hạt sẽ nằm trong cùng trạng thái lượng tử thấp nhất của hệ Hiện tượng đó gọi là ngưng tụ Bose - Einstein (BEC), xảy ra với các hạt bốn có tổng số spin nguyên Ngưng tụ Bose - Einstein và quá trình ngưng tụ đó được dự đoán có nhiều thuộc tính kì lạ và trong nhiều thí nghiệm đã cố gắng tạo ra ngưng tụ Bose Einstein trong phòng thí nghiệm Cuối cùng vào năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra... gần không độ tuyệt đối bằng laser Đó là ngưng tụ Bose - Einstein từ khí Bose Sau đó không lâu ngưng tụ từ khí Fermi cũng đã được thực nghiệm khẳng định Phát kiến về ngưng tụ Bose - Einstein đã mở ra một giai đoạn phát triển như vũ bão trong lĩnh vực lý thuyết cũng như thực nghiệm trong việc nghiên cứu các hiệu ứng lượng tử[3] Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein của các boson, trong trường hợp... cách làm lạnh các phân tử photon sang trạng thái đốm màu Ta vẫn biết mọi vật chất thường tồn tại ở ba trạng thái: rắn, lỏng và khí Khám phá mới thể hiện một trạng thái mới của vật chất: "trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein" Các nhà khoa học từng tạo được trạng thái này vào năm 1995 ở các nguyên tử siêu lạnh của một chất khí, nhưng quả thật, chưa ai từng nghĩ tới có thể đạt được trạng thái này ở các hạt... khi các hạt photon bị làm lạnh tới một trạng thái vật chất được gọi tên là " trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein" Ảnh: LiveScience Các hạt photon ở trạng thái Bose - Einstein được làm lạnh tới độ không tuyệt đối cho tới khi chúng hòa vào nhau, tạo thành một hạt khổng lồ Các chuyên gia từng cho rằng sẽ không thể đạt được trạng thái này vì việc vừa làm lạnh vừa ngưng tụ cùng một lúc đều bất khả thi Do photon... Rubidi Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo từng vị trí Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose - Einstein Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ Bên phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm... có dạng giếng thế nhưng trong trường hợp phân tách mạnh nó hẹp và sâu hơn so với trường hợp phân tách yếu Như ta thấy trên hình (2.3), tại mặt phân cách thì mật độ tìm hạt của cả hai thành phần đều bằng 0 Đây là dấu hiệu điển hình cho trường hợp phân tách mạnh 26 1.0 0.8 n1 , n2 0.6 0.4 0.2 0.0 -4 0 -2 2 4 z/ξ Hình 2.3: Phân bố mật độ trong trường hợp phân tách mạnh Đường nét liền ứng với n1 , đường... Bose Ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả các hạt của khí Bose sẽ nằm ở mức không 1.2 Tình hình nghiên cứu về ngưng tụ Bose - Einstein Ngưng tụ Bose - Einstein là một hiện tượng lượng tử kì lạ đã được quan sát thấy ở khí loãng lần đầu tiên vào năm 1995 Einstein đã tổng quát hóa lý thuyết của Bose thành khí lý tưởng của hệ hạt đồng nhất nguyên tử hay phân tử, mà số lượng được bảo toàn Cùng thời gian đó,