Đang tải... (xem toàn văn)
Tóm tắt luận văn thạc sĩ toán học: Bài toán biên hỗn hợp thứ nhất đối với phương trình vi phân nhằm tìm hiểu lý thuyết và bản chất cách giải bài toán biên hỗn hợp thứ nhất của lý thuyết toán tử khả nghịch phải thông qua bài toán nội suy Newton.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ————————– NGUYỄN THỊ HẢI YẾN BÀI TOÁN BIÊN HỖN HỢP THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Phản biện 1: TS Lê Hải Trung Phản biện 2: PGS TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Toán học họp Đà Nẵng ngày 23 tháng 10 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng kĩ thuật, vật lý, kinh tế số ngành khác Có nhiều phương pháp để giải phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện (ban đầu biên) số phương pháp sử dụng lý thuyết toán tử khả nghịch phải mà năm 1972 công trình nhà toán học nữ người Ba lan Danuta Przeworska-Rolewicz sau phát triển nhiều nhà toán học khác Mục đích nghiên cứu Mục tiêu luận văn tìm hiểu lý thuyết chất cách giải toán biên hỗn hợp thứ lý thuyết toán tử khả nghịch phải thông qua toán nội suy Newton Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Toán tử khả nghịch phải, toán tử ban đầu phương trình vi phân với điều kiện biên hỗn hợp thứ Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu toán nội suy Newton toán biên hỗn hợp thứ phương trình vi phân trừu tượng Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu, phân tích, giải thích, đánh giá, tổng hợp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài chuyên đề tốt vấn đề nội suy toán biên phương trình vi phân trừu tượng Đề tài mang tính chất túy toán học Nó quan tâm đến việc tìm điều kiện tồn nghiệm toán biên hỗn hợp thứ cách áp dụng toán tử, đưa công thức nghiệm trường hợp nghiệm tồn Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương: Chương kiến thức Đại số đại cương Đại số tuyến tính Trong chương trình bày kết toán tử tuyến tính không gian tuyến tính Nội dung phần viết chủ yếu theo Nguyễn Hữu Việt Hưng [1], Nguyễn Duy Thuận [4], có tham khảo thêm D Przeworska-Rolewicz [8], [7] Chương hai chương luận văn Phần đầu chương trình bày tính chất toán tử khả nghịch phải, toán tử ban đầu Sau phần dành riêng cho công thức TaylorGontcharov trường hợp riêng công thức Taylor Nội dung chương viết theo D Przeworska-Rolewicz [6] Chương áp dụng công thức Taylor-Gontcharov vào việc giải toán: Tìm điều kiện tồn nghiệm toán biên hỗn hợp thứ Nội dung phần viết theo Nguyễn Văn Mậu [5] 3 Chương TÍNH CHẤT CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH 1.1 Nhóm vành Giả sử G tập hợp Mỗi ánh xạ ◦ : G × G → G gọi luật hợp thành (hay phép toán hai ngôi) G Ảnh cặp phần tử (x, y) ∈ G × G ánh xạ ◦ kí hiệu x ◦ y gọi tích hay hợp thành x y Định nghĩa 1.1 ([1]) Một nhóm cặp (G, ◦), G tập hợp không rỗng ◦ luật hợp thành G, thỏa mãn ba điều kiện sau đây: (G1) Luật hợp thành kết hợp; (G2) Có phần tử e ∈ G, gọi phần tử trung lập, có tính chất x ◦ e = e ◦ x = x, với x ∈ G; (G3)Với x ∈ G, có phần tử x′ ∈ G, gọi nghịch đảo x, cho x ◦ x′ = x′ ◦ x = e Định nghĩa 1.2 ([1]) Ta gọi vành tập hợp R ̸= ∅ với hai phép toán hai ngôi, gồm phép cộng + : R × R → R xác định (x, y) → x + y, phép nhân · : R × R → R xác định (x, y) → x · y, thỏa mãn ba điều kiện sau đây: (R1) R nhóm abel phép cộng, tức x + y = y + x, ∀x, y ∈ R; (R2) Phép nhân có tính kết hợp; (R3) Phép nhân phân phối hai phía phép cộng Định nghĩa 1.3 ([1]) Vành R gọi giao hoán phép nhân giao hoán Vành R gọi có đơn vị phép nhân có đơn vị, tức có phần tử ∈ R cho 1x = x1 = x, ∀x ∈ R Định nghĩa 1.4 ([6], [1]) Vành giao hoán R có đơn vị ̸= gọi trường, phần tử khác không R khả nghịch 1.2 Không gian tuyến tính Định nghĩa 1.5 ([7], [4]) Không gian tuyến tính trường F vô hướng nhóm cộng giao hoán X cho phép nhân phần tử 17 KẾT LUẬN Kết Trong thời gian vừa qua, cố gắng nổ lực thân, hoàn thành luận văn với vấn đề giải sau: - Tìm hiểu khai thác phép tính toán tử khả nghịch phải làm sở cho việc tự nghiên cứu sau lĩnh vực giải toán biên không gian tuyến tính Qua thấy toán tử đạo hàm, toán tử sai phân, toán tử đạo hàm riêng, giải tích toán tử khả nghịch phải - Ứng dụng lý thuyết toán tử khả nghịch phải công thức TaylorGontcharov việc giải toán biên hỗn hợp thứ phương trình vi phân trường hợp riêng toán giá trị ban đầu Hướng phát triển đề tài: Đề tài nghiên cứu cách chi tiết mặt lý thuyết bước đầu thu kết sử dụng tính chất toán tử khả nghịch phải, công thức Taylor-Gontcharov để tìm điều kiện tồn nghiệm toán biên hỗn hợp thứ phương trình vi phân Đề tài có khả ứng dụng nữa, cụ thể tiếp tục hoàn chỉnh để thành chuyên đề chuyên sâu lĩnh vực phương trình vi phân 18 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXBGD [2] Nguyễn Văn Mậu (2006), Các toán nội suy áp dụng, NXBGD [3] Nguyễn Văn Mậu (2007), Đa thức đại số phân thức hữu tỉ, NXBGD [4] Nguyễn Duy Thuận (2003), Đại số tuyến tính, NXB Đại học sư phạm Tiếng nước [5] Nguyen Van Mau (2005), Algebraic Elements and Boundary Value Problems in Linear Spaces, Vietnam National University Publishers, Hanoi [6] Przeworska-Rolewicz D (1988), Algebraic Analysis, PWN-Polish Scientific Publishers, Warszawa, D Reidel Publishing Company [7] Przeworska-Rolewicz D (1973), Equations With Transformed Argument An algebraic approach, Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam, PWN-Polish Scientific Publishers, Warszawa [8] Przeworska-Rolewicz D (1968), Equations in Linear Spaces, PWNPolish Scientific Publishers, Warszawa [9] Fikhtengol’ts G.M (2003), Courses in Differential and Integral Calculus, Tom I, (in Russian), Moscow