Sở GD&ĐT Nghệ An. Trờng THPT Diẽn Châu 2. Bài kiểm tra bồi d ỡng th ờng xuyên chu kì 2004- 2007 . Họ và tên giáo viên: Ngô trí thụ Câu 1. Cho cặp số x, y thoả mãn: x y+ =3 4 12 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x y= + 2 2 . Đồng chí hãy hớng dẫn học sinh giải bài toán trên bằng 3 phơng pháp khác nhau. (4 điểm). Bài giải: I. Giải bài toán trên bằng ba phơng pháp khác nhau. Phơng pháp 1. ( Phơng pháp chuyển về một biến số). Từ giả thiết x y+ =3 4 12 ta có: , .y x x R= - ẻ 3 3 4 Thay y x= - 3 3 4 , vào biểu thức M ta đợc: ( )M x x= + - 2 2 3 3 4 M x x x= + - + 2 2 9 9 9 2 16 Hay ( )M x x x= - + = - + 2 2 25 9 5 9 144 9 16 2 4 5 25 , do ( ) ,x x R- " ẻ 2 5 9 0 4 5 ị , .M x R " ẻ 144 25 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 36 25 , khi đó y = 48 25 . Vậy min , và M khi x y= = = 144 36 48 25 25 25 . Phơng pháp 2.( sử dụng bất đẳng thức). áp dụng bất đảng thức Bunhiacôpxki cho 4 số 3, 4 và x, y ta có: ( ) ( )( )x y x y+ Ê + + 2 2 2 2 2 3 4 3 4 ( ) ,( , ).x y x y x y RÊ + + " ẻ 2 2 2 2 144 144 25 25 Hay , , .M x y R " ẻ 144 25 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: x x y y x y ỡ ù ù = ù ỡ + = ù ù ù ù ớ ớ ù ù - = ù ợ ù = ù ù ù ợ 36 3 4 12 25 3 4 0 48 25 . Vậy min 36 48 , khi x= và y= . 25 25 M = 144 25 Phơng pháp 3. (Phơng pháp hình học). Cách 1. Trong mặt phẳng toạ độ (oxy), phơng trình: x y+ =3 4 12 là phơng trình của đờng thẳng (d). Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x y= + 2 2 , với ,x y thoả mãn x y+ =3 4 12 tơng đ- ơng với bài toán: Tìm A( ,x y ) trên đờng thẳng (d) sao cho đoạn OA có độ dài nhỏ nhất. OA nhỏ nhất A H, H là hình chiếu vuông góc của O lên (d). Tìm H: H = ( ) ( )d dầ 1 , trong đó (d 1 ) là đờng thẳng qua O(0; 0) và vuông góc với (d). Phơng trình đờng thẳng (d 1 ) là: x y- =4 3 0 . Toạ độ H là nghiệm của hệ phơng trình: x y x y ỡ + = ù ù ớ ù - = ù ợ 3 4 12 4 3 0 x y ỡ ù ù = ù ù ù ớ ù ù = ù ù ù ợ 36 25 48 25 . 1 3 4 O H() A(x,y) x y (d) Khi đó OA = OH = d(O, (d)) = . .+ - = + 2 2 3 0 4 0 12 12 5 3 4 . Vậy min 48 , khi và y= . 25 M OA x= = = 2 144 36 25 25 Cách 2. Trong mp(oxy) phơng trình x y+ =3 4 12 là phơng trình của đờng thẳng (d). Xem (C)x y M+ = 2 2 là phơng trình của đờng tròn tâm O(0; 0) bán kính M . Gọi M 0 là một giá trị của M, thế thì hệ phơng trình ( ) x y x y M ỡ + = ù ù ớ ù + = ù ợ 2 2 0 3 4 12 1 có nghiệm. Hệ (1) có nghiệm đờng thẳng (d) và đờng tròn (C) có điểm chung. Hệ (1) có nghiệm d(O, (d)) Ê M 0 M 0 12 5 M 0 144 25 . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi (d) là tiếp tuyến của (C). Khi đó nghiệm của hệ chính là toạ độ tiếp điểm H. Vậy min , khi và M x y= = = 144 36 48 25 25 25 . II. Hớng dẫn học sinh giải. Trợ giúp của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng H1: Bài toán yêu cầu chúng ta làm gì? H2: Ta có thể biến đổi biểu thức M phụ thuộc hai biến thành biểu thức chỉ phụ thuộc vào một biến hay không? Nếu đợc hãy làm điều đó? Nếu học sinh không làm đợc thì Gv tiếp tục gợi ý: +, Từ giả thiết x y+ =3 4 12 hãy biểu thị theo (hoặc theo )x y y x Thay vào biu thức M ri bin đổi. H3: Em có nhận xét gì về giá trị của biểu thức M? Từ đó hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M? Gv: Lu ý cho Hs biết có thể xem M là một tam thức bậc hai ẩn x và giải theo kiến thức tam Hs: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x y= + 2 2 , với ,x y thoả mãn điều kiện x y+ =3 4 12 . Hs: Từ gi thit x y+ =3 4 12 ta có y x= - 3 3 4 thay vào biểu thức M ta đ- ợc: ( )M x x= + - 2 2 3 3 4 . Rút gọn M ta đợc: ( )M x x x= - + = - + 2 2 25 9 5 9 144 9 16 2 4 5 25 Hs: M 144 25 . Bài giải: Từ giả thiết x y+ =3 4 12 ta có: , .y x x R= - ẻ 3 3 4 Thay y x= - 3 3 4 , vào biểu thức M ta đợc: ( )M x x= + - 2 2 3 3 4 M x x x= + - + 2 2 9 9 9 2 16 Hay ( )M x x x= - + = - + 2 2 25 9 5 9 144 9 16 2 4 5 25 , do ( ) ,x x R- " ẻ 2 5 9 0 4 5 ị , .M x R " ẻ 144 25 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 36 25 , khi đó y = 48 25 . Vậy min , và M khi x y= = = 144 36 48 25 25 25 . 2 3 4 O (d) H() x y thức bậc hai. H4: Hãy xét xem bài toán còn có cách giải nào khác? H5: Hãy phát biểu bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 4 số? H6: Liệu có thể áp dụng bất đẳng thức nói trên để giải bài toán hay không? Nếu đợc hãy giải bài toán theo cách đó? H7:Hãy giải bài toán đã cho? H8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy em hãy nêu công thức tính khoảng cách từ điểm A(x; y) đến gốc tọa độ? H9: Vậy bài toán đã cho tơng đơng với bài toán nào? H10: Em hãy giải bài toán đã cho bằng phơng pháp hình học? Hs: với 4 số thực a,b,c,d tùy ý ta có: ( ) ( )( )ac bd a b c d+ Ê + + 2 2 2 2 2 . Dấu = khi và chỉ khi ad bc- = 0 . Hs: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có ( ) ( )( )x y x y+ Ê + + 2 2 2 2 2 3 4 3 4 Hs: .OA x y= + 2 2 2 Hs: bài toán đã cho tơng đơng với bài toán: Tìm điểm A(x; y) trên đờng thẳng x y+ =3 4 12 , sao cho khoảng cách OA ngán nhất. Bài giải: áp dụng bất đảng thức Bunhiacôpxki cho 4 số 3, 4 và x, y ta có: ( ) ( )( )x y x y+ Ê + + 2 2 2 2 2 3 4 3 4 ( ) , ( , ). x y x y x y R Ê + + " ẻ 2 2 2 2 144 144 25 25 Hay , , .M x y R " ẻ 144 25 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: x x y y x y ỡ ù ù = ù ỡ + = ù ù ù ù ớ ớ ù ù - = ù ợ ù = ù ù ù ợ 36 3 4 12 25 3 4 0 48 25 . Vậy min 36 48 , khi x= và y= . 25 25 M = 144 25 Bài giải: Trong mặt phẳng toạ độ (oxy), phơng trình: x y+ =3 4 12 là phơng trình của đờng thẳng (d). Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x y= + 2 2 , với ,x y thoả mãn x y+ =3 4 12 tơng đơng với bài toán: Tìm A( ,x y ) trên đờng thẳng (d) sao cho đoạn OA có độ dài nhỏ nhất. OA nhỏ nhất A H, H là hình chiếu vuông góc của O lên (d). Tìm H: H = ( ) ( )d dầ 1 , trong đó (d 1 ) là đờng thẳng qua O(0; 0) và vuông góc với (d). Phơng trình đờng thẳng (d 1 ) là: x y- =4 3 0 . Toạ độ H là nghiệm của hệ phơng trình: x y x y ỡ + = ù ù ớ ù - = ù ợ 3 4 12 4 3 0 x y ỡ ù ù = ù ù ù ớ ù ù = ù ù ù ợ 36 25 48 25 . Khi đó OA = OH = d(O, (d)) = . .+ - = + 2 2 3 0 4 0 12 12 5 3 4 . 3 3 4 O H() A(x,y) x y (d) Vậy min , 48 khi và y= . 25 M OA x = = = 2 144 25 36 25 Câu 2. Đồng chí hãy soạn 01 tiết giáo án. Tiết luyện tập bài: Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng. Sách giáo khoa hình học 11 chơng trình nâng cao. (6 điểm). Bài soạn tiết thứ 38. Tiết luyện tập bài: Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng. Sách giáo khoa hình học 11- chơng trình nâng cao. I. Mục tiêu: Về kiến thức: -Củng cố cho học sinh khái niệm đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, điều kiện để một đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng. - Củng cố cho học sinh nội dung định lí ba đờng vuông góc, khái niệm hình chiếu vuông góc của một điểm. Về kĩ năng: - Rèn luyện cho học sinh phơng pháp chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng. Về t duy và thái độ: - Phát triển cho học sinh t duy hình học không gian. - rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận, chính xác. II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: Gv: Chuẩn bị giáo án, phấn màu, thớc kẻ. Hs: Học bài và giải bài tập ở nhà. III. Phơng pháp: Gợi mở vấn đáp. IV. Tiến trình bài học và các nội dung. A. ổn định tổ chức. B. Kiểm tra bài cũ: 1, Em hãy nêu định nghĩa đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng? 2, Nêu điều kiện để một đờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng? 3, Phát biểu nội dung định lí ba đờng vuông góc? C. Bài mới. Trợ giúp của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng Gv: gọi học sinh đọc đề bài tập 18/ 103 (sgk). Ghi tóm tắt đề toán. Vẽ hình. Yêu cầu học sinh cùng vẽ hình. H1. Hãy chứng minh AH, SK, BC đồng quy? +, Gọi M là giao điểm của AH với BC thì ta có điều gì? vẽ hình. Hs: ( )BC mp SAM^ .Do đó , , đồng quy tại M BC SM K SM AH SK BC ^ ị ẻ ị Hs: (1) (vì K là trực tâm ABC) SC BK^ V Bài giải: 4 S A B M C N K I H H2: Hãy chứng minh ( )SC mp BHK^ ? +, Hãy chứng minh và SC BHSC BK^ ^ . +, có thể chứng minh SC BH^ nhờ định lí ba đờng vuông góc. H3: Hãy chứng minh ( ).HK mp SBC^ ? +, Hãy chứng minh và HK SC HK BC^ ^ Gv: Gọi học sinh đọc bài tập 17/103 sgk. Tóm tắt đề bài, vẽ hình, yêu cầu Hs cùng vẽ hình. H1. Hãy chứng minh ABCV có ba góc nhọn? +, Hãy chứng minh cho CosA, CosB, CosC là những số dơng. +, đặt OA= a, OB= b, OC= c, tính CosA, CosB, CosC theo a,b,c? H2. Hãy chứng minh H là trực tâm của ABCV ? +, Chứng minh rằng: và AB CHBC AH^ ^ . H3. CMR: OH OA OB OC = + + 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) và ( ) ( ). BH SA gt BH AC BH mpSAC BH SC ^ ^ ị ^ ị ^ 2 Hs: ( ) . ( ) BC mp SAM BC HK SC mp BHK SC HK ^ ị ^ ^ ị ^ a, Ta có: BC SA^ , vì ( )SA mp ABC^ . Gọi M là giao điểm của AH với BC ị BC AM^ ( )BC mp SAMị ^ ị BC SM^ ị K SMẻ ( do K là trực tâm của SBCV ). Vậy: BC,AH.SK đồng quy tại M. b, Ta có: ( )SC BK^ 1 , vì K là trực tâm của SBCV . ( SA mp(ABC)) và ( do H là trực tâm của ABC) ( ) ( ). BH SA gt BH AC BH mpSAC BH SC ^ ^ ^ ị ^ ị ^ 2 V Từ (1) và (2) ( )SC mp BHKị ^ . c, Ta có: ( )BC mp SAM BC HK^ ị ^ (3). ( )SC mp BHK SC HK^ ị ^ (4). Từ (3) và (4) ( )HK mp SBCị ^ . Bài giải: a, Đặt OA =a, OB= b, OC= c. Ta có: , ,AB a b AC c a BC b c = + = + = + 2 2 2 2 2 2 áp dụng định lí côsin trong ABCV ta có: . AC AB BC CosA AB AC + - = 2 2 2 2 ( )( ) a a b b c = > + + 2 2 2 2 2 2 0 2 . Tơng tự: và CosC >0.CosB > 0 (đpcm). b, Ta có: ,OA OB OA OC^ ^ ị ( )OA mp OBC^ OA BCị ^ (1). Mà (2) (vì H là hình chiếu vuông góc của O lên mp(ABC) BC OH^ Từ (1) và (2) ( ) ( )BC mp OAH BC AHị ^ ị ^ 3 Tơng tự ta cũng có: ( )OC mp OAB^ ( ) AB OCị ^ 4 . Mà ( ) AB OH^ 5 . Từ (4) và (5) ( ) ( )AB mp OHC AB CHị ^ ị ^ 6 . Từ (3) và (6) ị H là giao điểm của hai đ- ờng cao AH và CH của ABCV . Vậy H là trực tâm của ABCV . c, Trong á ô tam gi c vu ng AOI có OH là đ- 5 O A C I B K H ? +, CMR: 2 1 và OI OH OA OI OB OC = + = + 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . Gv: tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi mộy vuông góc còn đợc gọi là tứ diện vuông. Tứ diên mà có các cặp cạnh đối đôi một vuông góc gọi là tứ diện trực tâm. ờng cao ị OH OA OI = + 2 2 2 1 1 1 Trong tam giác vuông BOC có OI là đờng cao ị 2 1 OI OB OC = + 2 2 1 1 . Vậy: OH OA OB OC = + + 2 2 2 2 1 1 1 1 . D. Củng cố: Nêu phơng pháp chính để chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng. Phát biểu nội dung định lí ba đờng vuông góc? Bài tập về nhà: Các bài tập còn lại. 6 . Gv: Chuẩn bị giáo án, phấn màu, thớc kẻ. Hs: Học bài và giải bài tập ở nhà. III. Phơng pháp: Gợi mở vấn đáp. IV. Tiến trình bài học và các nội dung. A.