PT vô tỉ có lời giải

35 147 0
PT vô tỉ có lời giải

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Giải phương trình sau: √x + 3 + √3x + 1 = 2√x + √2x + 2 Lời giải: Điều kiện: x ≥ 0 Ta có: √3x + 1 − √2x + 2 = 2√x − √x + 3 ⇐⇒ 3x + 1 + 2x + 2 − 2√6x2 + 8x + 2 = 4x + x + 3 − 4√x2 + 3x ⇐⇒ √6x2 + 8x + 2 = 2√x2 + 3x ⇐⇒ 6x2 + 8x + 2 = 4 (x2 + 3x) ⇐⇒ 2x2 − 4x + 2 = 0 ⇐⇒ x = 1 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1 Bài 2. Giải phương trình sau: x √ 3 35 − x3 x + √ 3 35 − x3 = 30 Lời giải: Đặt √ 3 35 − x3 = y ⇐⇒ x3 + y3 = 35 Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ: ( x xy 3 + (xy+ 3 = y)35 = 30 ⇐⇒ ( ( xy x + (xy+ )3y− ) = 3xy 30(x + y) = 35 ⇐⇒ ( xy (x(+ x y + )3y= ) = 125 30 ⇐⇒ ( xxy + y== 65 ⇐⇒ x x = = 3 2

Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia Phương trình-Hệ phương trình-Bất phương trình dành cho lớp 10 Tác giả: Nguyễn Văn Quốc Tuấn - Lớp B – K112 - Đại Học Y Hà Nội Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan De Các toán tài liệu Tuấn tổng hợp số diễn đàn, số tài liệu, phần lời giải đa số Tuấn giải lại số câu nhác :3 nên chép i nguyên lời giải Vì nên tài liệu có sai sót mong bạn ghóp ý để chỉnh sửa lại Tài liệu Tuấn viết tặng bạn ( Đừng hỏi :v ) Bên cạnh hi vọng bạn có tài liệu để tham khảo thêm Chúc bạn học tốt DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày! Bài Giải phương trình sau: Th √ √ √ √ x + + 3x + = x + 2x + Lời giải: Điều kiện: x ≥ Ta có: iTh √ √ √ √ 3x + − 2x + = x − x + √ √ ⇐⇒ 3x + + 2x + − 6x2 + 8x + = 4x + x + − x2 + 3x √ √ ⇐⇒ 6x2 + 8x + = x2 + 3x ⇐⇒ 6x2 + 8x + = (x2 + 3x) ⇐⇒ 2x2 − 4x + = ⇐⇒ x = Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan Vậy nghiệm phương trình cho là: x = Giải phương trình sau: et u.N Bài √ √ 3 x 35 − x3 x + 35 − x3 = 30 Lời giải: √ Đặt 35 − x3 = y ⇐⇒ x3 + y = 35 Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ: x3 + y = 35 xy (x + y) = 30 ⇐⇒ www.Dethithu.Net (x + y)3 − 3xy (x + y) = 35 xy (x + y) = 30 ⇐⇒ (x + y)3 = 125 xy (x + y) = 30 ⇐⇒ x+y =5 xy = ⇐⇒ x=3 x=2 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày! Vậy nghiệm phương trình là: Bài x=3 x=2 Giải phương trình sau: De √ 16x4 + = 4x3 + x Lời giải: Ta có V T > nên điều kiện để phương trình cho có nghiệm V P > ⇐⇒ x > Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương ta có: Th √ 4x3 + x = 2.3 (4x3 + x) 1.1 ≤ 4x3 + x + + Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan Mặt khác ta có: 16x4 + ≥ 4x3 + x + + ⇐⇒ 16x4 − 8x3 − 2x + ≥ ⇐⇒ (2x − 1)2 4x2 + 2x + ≥ iTh Do đó: V T ≥ V P √ 16x4 + = 4x3 + x ⇐⇒ 4x3 + x = 2x − = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Giải phương trình sau: 2 et u.N Bài ⇐⇒ x = √ x2 − + 4x = 4x 4x − Lời giải: Điều kiện: x ≥ Ta có: √ √ x2 − + 4x = 4x 4x − ⇐⇒ 3x2 + 4x − = 4x 4x − √ ⇐⇒ 3x2 − 4x 4x − + 4x − = ⇐⇒ ⇐⇒ www.Dethithu.Net √ x = 4x − √ 3x = 4x − x− √ 4x − x2 = 4x − 9x2 = 4x − ⇐⇒ 3x − ⇐⇒ √ 4x − = x=3 x=1 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày! Vậy nghiệm phương trình cho là: Bài x=3 x=1 Giải hệ phương trình sau: De √ √ x + + 3y x + (3y + 1) x + − 51y − 27 = 7y + 36y x2 + y + 3x + 5y + 10 = Lời giải: Điều kiện: x ≥ −1 Đặt: √ x + = a (a ≥ 0) Th Thay a2 − = x vào phương trình thứ ta iTh (a + 3y) (a2 − 1) + (3y + 1) a − 51y − 27 = 7y + 36y ⇐⇒ a3 + 3a2 y + 3ay = 7y + 36y + 54y + 27 ⇐⇒ a3 + 3a2 y + 3ay + y = 8y + 36y + 54y + 27 √ ⇐⇒ (a + y)3 = (2y + 3)3 ⇐⇒ a = y + ⇐⇒ y = a − ⇒ y = x + − Thế xuống phương trình thứ ta được: x2 + 4x + = Đặt √ x+1 √ x + = y + (y ≥ −2) Khi ta có hệ phương trình: ⇐⇒ et u.N x2 + 4x + = y y + 4y + = x x2 − y + (x − y) = x2 + 4x + = y ⇐⇒ (x − y) (x + y + 5) = x2 + 4x + = y ⇐⇒ x=y x2 + 3x + = (V N ) Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan Vậy hệ phương trình cho vô nghiệm Bài Giải phương trình sau: 2x − + √ √ 3x − = 8x2 − 2x − Lời giải: Điều kiện: x ≥ www.Dethithu.Net Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia Biến đổi phương trình đầu trở thành: √ 2x − + 3x − = 2(2x − 1)2 + (3x − 2) DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày! De   2x − = a a≥ Đặt:  √ 3x − = b (b ≥ 0) Khi phương trình cho trở thành: √ a + b = 2a2 + 2b2 ⇐⇒ a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 ⇐⇒ (a − b)2 = ⇐⇒ a = b Từ ta có: x=1 √ 3x − ⇐⇒ 4x2 − 4x + = 3x − ⇐⇒ 4x2 − 7x + = ⇐⇒  x= Th 2x − =   Vậy nghiệm phương trình cho là:  Giải hệ phương trình sau:  √ 6x  − = 3x − y + 3y (1) y √  3x + 3x − y = 6x + 3y − (2) iTh Bài x=1 x= Lời giải: Điều kiện: 3x ≥ y = √ 3x + 3x − y ≥ et u.N Ta có: √ √ (1) ⇐⇒ (3x − y) = y 3x − y + 3y ⇐⇒ (3x − y) − y 3x − y − 3y = √ √ √ 3x − y = 3y ⇐⇒ 3x − y − 3y 3x − y + y = ⇐⇒ √ 3x − y = −y Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan √ Trường hợp 1: 3x − y = 3y  √  3x − y = 3y ⇐⇒  3x + 3y = 6x + 3y − Trường hợp 2: √ 3x − y = −y      √ 3x − y = 3y 6x + 3y ≥ (6x + 3y) = 6x + 3y − √ 3x − y = −y √ 3x + 3x − y = 6x + 3y − www.Dethithu.Net ⇐⇒ ⇐⇒ √ 3x − y = 3y 6x + 3y = √ 3x − y = −y √ 3x − y = 6x + 3y − Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày! √ 3x − y = −y −2y = 6x + 3y − ⇐⇒ ⇐⇒ √ 3x − y = −y 6x + 5y = De Từ bạn tự tìm nghiệm Bài Giải phương trình sau: √ √ 2x2 + x + + 2x2 − x + = x + Lời giải: Th Xét x = −4 nghiệm phương trình ta biến đổi phương trình sau: √ √ 2x2 + x + + 2x2 − x + = x + 2x + √ ⇐⇒ √ =x+4 2+x+9− 2−x+1 2x 2x √ √ ⇐⇒ 2x2 + x + − 2x2 − x + = iTh Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ: √ √ 2x2 + x + − 2x2 − x + = √ √ 2x2 + x + + 2x2 − x + = x + √ ⇒ 2x2 + x + = x + ⇐⇒ (2x2 + x + 9) = x2 + 12x + 36 ⇐⇒ 7x2 − 8x = ⇐⇒ et u.N Thử lại ta thấy thỏa mãn  Vậy nghiệm phương trình cho  Bài Giải phương trình sau: x+ Lời giải: x=0 x = 87 x=0 x= 5+ √ x−1=6 Điều kiện: x ≥ www.Dethithu.Net Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia Biến đổi phương trình cho sau: x+ 5+ √ x−1=a √ 5+ x−1=b De Đặt: √ x − = ⇐⇒ x − + 5+ √ x−1=5 (a ≥ 0, b ≥ 5) Khi ta có: a2 + b = b2 = a + ⇐⇒ Th    a2 + b = a2 − b2 + a + b = ⇐⇒   a2 + b = a+b=0 a−b+1=0 ⇐⇒         a + b =√5  ± 21 ⇐⇒  a= 2√   −1 ± 17  a= a2 + b = (a + b) (a − b + 1) = ⇐⇒ a2 + b = a2 − a − = a2 + a + = iTh √  −1 + 17   a= 2√ ⇐⇒   b = + 17 √ 11 − 17 Từ ta tính x = √ 11 − 17 Vậy x = nghiệm phương trình cho Giải phương trình sau: √ Lời giải: et u.N Bài 10 √ − x − x2 = − x2 ≥ ⇐⇒ ≤ x ≤ x≥0  √  a= x Đặt: a ≥ 0, b ≤ √  b= − x 3 Điều kiện: Khi ta có hệ www.Dethithu.Net Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia   Th De   a+b= a+b= ⇐⇒ 3  √ − a4 = b2  a4 + b4 =   2   a+b= a+b= ⇐⇒ ⇐⇒  (a2 + b2 )2 − 2a2 b2 =  (a + b)2 − 2ab − 2a2 b2 =   2   a+b=   a + b = 3 ⇐⇒ ⇐⇒ 16 65   2 2   2a b − ab − =0 − 2ab − 2a b = 81     a+b= √3 − 194   ab = 18  ⇐⇒    a+b= √3  + 194   ab = 18 √ − 194 y − y+ =0  √ 18 a, b nghiệm phương trình  + 194 y2 − y + = (V N ) 18 Từ ta tìm nghiệm phương trình cho là: x = −2 +  iTh Bài 11 2 √ 194 − + Giải hệ phương trình sau:   x + = (3y − x) (y + 1) (1) √  3y − − x + = xy − 2y − (2)   y≥2  Điều kiện: x ≥ −5   (3y − x) (y + 1) ≥ Ta có: et u.N Lời giải:   y≥2  ⇐⇒ x ≥ −5   3x − y ≥ √ √ (1) ⇐⇒ (y + 1) − (3y − x) = 3y − x y + √ √ √ √ √ 2 ⇐⇒ y + − 3y − x y + + y+1 − 3y − x =0 √ √ √ √ √ √ √ ⇐⇒ y + y + − 3y − x + y + − 3y − x y + + 3y − x = √ √ √ √ ⇐⇒ y + − 3y − x y + + 3y − x = √ √ √ √ y + − 3y − x = ⇐⇒ ⇐⇒ y + = 3y − x ⇐⇒ x = 2y − (3) √ √ = y + + 3y − x > (L) www.Dethithu.Net Nguyễn Văn Quốc Tuấn 97 Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia Thay (3) vào (2) ta √ De Và (2) ⇐⇒ − (2y + 1) √ 3y − + Th Do √ y + = 2y − 3y − 2 (y − 2) √ = (y − 2) (2y + 1) ⇐⇒ √ 3y − + y + 2 √ ⇐⇒ (y − 2) √ − (2y + 1) = 3y − + y+2  y=2⇒x=3  ⇐⇒ √ √ − (2y + 1) = (4) 3y − + y + 3y − − √ y + = (5) √ √ 2 ⇒ (2y + 1) 3y − + y + ≥ + 3 √ √ ⇐⇒ − (2y + 1) 3y − + y − ≤ − 3 y≥ Mà − (2y + 1) √ 3y − + √ y−2 ≤2− < nên (5) vô nghiệm iTh +2 So với điều kiện hệ phương trình có nghiệm nhất: (x; y) = (3; 2) Bài 12 Giải hệ phương trình sau: √ x + x2 + = y + x2 + y − xy = Điều kiện: y≥1 y ≤ −1 et u.N Lời giải: y2 − Biến đổi phương trình đầu sau: √ √ x + x2 + = y + y − ⇐⇒ x − y = y − − x2 + √ ⇒ x2 − 2xy + y = x2 + y − x2 + y − √ ⇐⇒ xy = x2 + y − ⇒ x2 y = (x2 + 1) (y − 1) ⇐⇒ y − x2 = Khi ta hệ mới: www.Dethithu.Net Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia y − x2 = x2 + y − xy = 2x2 − xy = y − x2 = ⇐⇒ De x2 + y − xy = y − x2 y − x2 =  x=0  y = ±1    x=0  ±1 ⇐⇒ ⇐⇒ 2x = y   x= √    y − x2 =  ±2   y=√ ⇐⇒ Thử lại hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (0; 1) , √ ;√ 3 Th Lưu ý: Bài toán giải hoàn chỉnh lại phải thử lại nghiệm Ở biến đổi phương trình thứ không đặt điều kiện nên sau giải nghiệm phải thử lại Mặt khác không đặt điều kiện mà bình phương dùng dấu ⇒ Bài 13 Giải phương trình sau: √ x2 + x + = + 5x + 4x2 − 2x3 − x4 (1) iTh Lời giải: Ta có: (x2 + x + 1) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + Khi √ (1) ⇐⇒ x2 + x + = − x2 + x + √ x2 + x + (a > 0) Khi phương trình cho trở thành: + x2 + x + − et u.N Đặt: a = √ 1+  a= 2√ a2 + a − = ⇐⇒  −1 + 21 a=  a4 − 7a2 + 4a + = ⇐⇒ √ 1+ Với a = √ a2 − a − √ √ √ + + −1 ± + x2 + x + = ⇐⇒ x2 + x − = ⇐⇒ x = 2 www.Dethithu.Net Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia √ Với a = −1 + 21 √ √ √ −1 + 21 −9 + 21 −1 ± 2 x +x+1= ⇐⇒ x + x + = ⇐⇒ x = 2 De  x= Vậy nghiệm phương trình cho là:   Bài 14 x= −1 ± −1 ± √ 19 − 21 √ 3+2 √ 19 − 21 Giải phương trình sau: 16x2 − 23x + 10 = (x + 2) √ 4x2 + 4x − Th Lời giải: √ −1 + 2  x≥ √ Điều kiện:  −1 − 2 x≤  iTh Ta có: et u.N √ 16x2 − 23x + 10 = (x + 2) 4x2 + 4x − √ √ ⇐⇒ 4x2 + 4x − − (4x − 3) 4x2 + 4x − + (5x + 1) 4x2 + 4x − − (5x + 1) (4x − 3) = √ √ ⇐⇒ 4x2 + 4x − + 5x − 4x2 + 4x − − (4x − 3) = √ √ 4x2 + 4x − + 5x − = 4x2 + 4x − = − 5x √ √ ⇐⇒ ⇐⇒ 4x2 + 4x − − (4x − 3) = 4x2 + 4x − = 4x −     1   x≤ x≤  5     2 4x + 4x − = 25x − 10x + 21x − 14x + = x =   ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒    x≥   x≥ x=1   4  4x2 + 4x − = 16x2 − 24x +  12x2 − 28x + 16 =  x=  Vậy nghiệm phương trình cho là: x=1 Bài 15 Giải phương trình sau: √ √ 3 12x2 + 46x − 15 − x3 − 5x + = 2x + Lời giải: Đặt: a = √ √ 12x2 + 46x − 15, b = 2x + 1, c = x3 − 5x + www.Dethithu.Net 10 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia De Ta biến đổi sau: √ √ √ P T ⇐⇒ 5x2 + 14x + = x2 − x − 20 + x + √ √ ⇐⇒ 5x2 + 14x + = x2 − x − 20 + 25 (x + 1) + 10 x2 − x − 20 x + √ ⇐⇒ 4x2 − 10x + − 10 (x − 5) (x + 1) x + = √ ⇐⇒ (x2 − 4x − 5) − (x2 − 4x − 5) x + + (x + 4) = √ √ ⇐⇒ (x2 − 4x − 5) − x + 4 (x2 − 4x − 5) − x + =  √ x=8 (x2 − 4x − 5) = x + 4x − 25x − 56 = √  √ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ + 61 2 (x − 4x − 5) = x + 4x − 20x − 36 = x=  Vậy nghiệm phương trình cho là:  Th Bài 32 x=8 √ + 61 x= Giải hệ phương trình sau:  √   x− y+2= √   y + (x − 2) x + = − iTh Lời giải: Điều kiện: x ≥ −2; y ≥ −2    u2 − v = (1) √ √ Đặt: u = x + 2; v = y + với u, v ≥ hệ trở thành  2  v + (u − 4) u = (2) Thế (1) vào (2) ta được: et u.N + 2u3 − 8u = 4 ⇐⇒ u + 2u − 7u − 8u + 12 = ⇐⇒ (u − 1) (u − 2) (u2 + 5u + 6) = ⇐⇒ u = ∨ u = u2 − Vì u2 + 5u + > 0, ∀u ≥ −5 không thỏa mãn   x=2 Với u = ⇒ v = ta tìm  y=−   x=2 Vậy nghiệm hệ phương trình là:  y=− Với u = ⇒ v = www.Dethithu.Net 21 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia Bài 33 Giải hệ phương trình sau: x2 y − 2x + y = 2x2 − 4x + + y = Lời giải: De Ta có: 2   2x + x2 ⇐⇒  2(x − 1)2 + + y = x y − 2x + y = 2x2 − 4x + + y = Vì y2 = Khi Th 2x ≤ (∀x ∈ R) nên −1 ≤ y ≤ 1 + x2 y ≥ −1 ⇐⇒ + y ≥ ⇐⇒ 2(x − 1)2 + + y ≥ ⇐⇒ x−1=0 + y3 = x=1 y = −1 ⇐⇒ iTh Thử lại vào hệ phương trình cho thỏa mãn Vậy nghiệm hệ phương trình là: (x; y) = (1; −1) Bài 34 Giải phương trình sau:   12xy + 12 (x2 + y ) + Lời giải: Điều kiện x + y = Viết lại hệ phương trình thành:    x+y+ et u.N = 85 (x + y)2  6x (x + y) + = 13 (x + y) x+y   x+y+ x+y   a=x+y+ (|a| ≥ 2) x+y Đặt  b=x−y www.Dethithu.Net + 3(x − y)2 = 103 + (x − y) = 13 ta có: 22 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia  9a2 + 3b2 = 103 3a + 3b = 13 2b2 − 13b + 11 = 3a = 13 − 3b ⇐⇒ De Khi   x + y + = 10 x+y  x−y =1 −1 ; 3 Th Bài 35 −1 ; 3 (loai) , (2; 1) , (2; 1) Giải phương trình sau: √ x2 − Điều kiện: ≤ x ≤ √ √ √ 15 − x2 + x = 15 − 15x − x3 − x iTh Lời giải: Đặt:  ⇐⇒    a = −7  11   b= ⇐⇒ (x; y) = Vậy nghiệm hệ phương trình là: (x; y) =   a = 10  b=1 15 √ a = 15 − x2 √ b= x (a, b ≥ 0) phương trình cho trở thành: et u.N a2 − 3ab − 4b + (a + b2 ) = ⇐⇒ a2 + 2b2 − 3ab + (a − 2b) = ⇐⇒ (a − 2b) (a − b) + (a − 2b) = a = 2b a=b−2 ⇐⇒ Với: a = 2b √ √ 15 − x2 = x ⇐⇒ 15 − x2 = 4x ⇐⇒ Với a = b − √ 15 − x2 = Mặt khác: 0≤x≤ www.Dethithu.Net √ √ x−2 15 ⇒ √ √ x = −2 + 19 √ x = −2 − 19 (loai) √ 15 − < x−2≤ 23 √ 16 − = Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia nên phương trình vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = −2 + De Bài 36 √ 19 Giải hệ phương trình:   √ √ 7x + y − 2x + y = √ 7√  2x + y − 5x + 10y = 10 Lời giải: Ta có: Th Đặt: √ 7x + y = a √ 2x + y = b (a, b ≥ 0) 5x + 10y = −3 (7x + y) + 13 (2x + y) √ √ = −3a2 + 13b2 ⇒ 5x + 10y = −3a2 + 13b2 iTh Khi ta có hệ phương trình mới:   et u.N a−b=4 √  2b − −3a2 + 13b2 = 10  a=b+4 ⇐⇒ 7√  2b − 10b − 24b − 48 = 10 a=b+4 √ ⇐⇒ 20b − 20 = 10b2 − 24b − 48   a=b+4  ⇐⇒ b≥1   90b − 376b − 2752 = ⇐⇒ a = 12 ⇒ b=8 ⇐⇒ x = 16 y = 32 Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: Bài 37 Giải phương trình sau: x+2 www.Dethithu.Net 7x + y = 144 2x + y = 64 x = 16 y = 32 3x − x + =4 20 24 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia Lời giải: Điều kiện: x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: De x+2 3x − 3x − 8x + ≤x+ +1= 5 Mặt khác: x4 + 8x + 2x + x + ≥ ⇐⇒ ≥ 20 20 125 (x4 + 4) ⇐⇒ ≥ 16x + 32x + 24x + 8x + ⇐⇒ 61x4 − 128x3 − 96x2 − 32x + 496 ≥ ⇐⇒ (x − 2)2 (61x2 + 116x + 124) ≥ (∀x ∈ R) Th Do đó: 4 3x − iTh x4 + ≥x+2 20 Dấu xảy khi: x = Vậy nghiệm phương trình là: x = Bài 38 Giải bất phương trình sau: et u.N x (x + 2) √ ≥1 (x + 1)3 − x Lời giải: Điều kiện: x ≥ Với x ≥ (x + 1)3 − www.Dethithu.Net √ x > 25 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia Khi ta có bất phương trình cho tương đương: BP T ⇐⇒ (x + 1)3 − x (x + 2) ≥ √ x √ x2 + x De ⇐⇒ x2 + 2x ≥ x3 + 3x2 + 4x + − (x + 1) √ ⇐⇒ (x + 1) x2 + x + − x2 + x ≤ √ ⇐⇒ x2 + x + − x2 + x ≤ √ ⇐⇒ x2 + x − ≤ √ √ −1 ± ⇐⇒ x + x = ⇐⇒ x = −1 + Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: x = Bài 39 √ Th Giải hệ phương trình sau: (x2 + y ) (x + y + 1) = 25 (y + 1) x2 + xy + 2y + x − 8y = Lời giải: (x2 + y ) (x + y + 1) = 25 (y + 1) x2 + y + x (y + 1) + (y + 1)2 − 10 (y + 1) = iTh Hệ phương trình cho tương đương: Dễ thấy y = −1 nghiệm hệ phương trình Đặt a = et u.N Chia vế phương trình hai cho y + ta hệ mới:  (x + y ) (x + y + 1)   = 25 y+1  x2 + y + x + y + = 10  y+1 x2 + y , b = x + y + hệ phương trình cho trở thành: y+1 ab = 25 ⇐⇒ a = b = ⇐⇒ + b = 10  x=3  y=1 ⇐⇒   x = −3   11   y= x2 + y = (y + 1) x + y + = 10 Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: (x; y) = (3; 1) , www.Dethithu.Net 26 −3 11 ; 2 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia Bài 40 Giải hệ phương trình sau: √ (x + y) x − y + = x + 3y + √ √ (x − y) x − y + = (x + y + 1) x + y − Lời giải: De x − y ≥ −2 x+y ≥2 Điều kiện: a = x + y (a ≥ 2) √ b = x − y + (b ≥ 0) Đặt a=x+y b −2=x−y ⇐⇒ Hệ phương trình cho trở thành Th ab = 2a − b2 + √ (b2 − 2) b = (a + 1) a −    a (2 − b) + (2 + b) (2 − b) = √ (b2 − 2) b = (a + 1) a − ⇐⇒ b=2 √ (a + 1) a − = 2 iTh b=2 a + b + = (V N )  √  (b − 2) b = (a + 1) a −   b =     x= ⇐⇒ a=3 ⇒     y= a=2 ⇐⇒ Vậy nghiệm hệ phương trình cho (x; y) = Bài 41 ; 2 Giải hệ phương trình sau: Lời giải: Điều kiện: x≥y x≥1 et u.N √ x − y + x − = y − (1) √ − (y − 1)2 x − = (y − x) (y − 1) (2) √ Ta biến đổi phương trình trước Nhẩm nhẩm thấy liên hợp xuất nhân tử nên ta làm sau: Trường hợp 1: Với Trường hợp 2: Với www.Dethithu.Net √ √ x − y = x − ⇐⇒ y = thay xuống phương trình (2) không thỏa mãn √ x−y = √ x − ⇐⇒ y = ta có: 27 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia √ √ 1−y √ (1) ⇐⇒ √ = y − ⇐⇒ x − y − x − = −1 x−y− x−1   y≥2 √ √ √ ⇐⇒ x − y + = x − ⇐⇒ y − = x − y ⇐⇒  x= y +4 De Thay xuốn phương trình (2) ta được: y2 y2 + = y− (y − 1) 4 (4y − y − 4) (y − 1) y ⇐⇒ − (y − 1) =  y=0  ⇐⇒ y + y − 6y = ⇐⇒  y = y = −3 ⇐⇒ y = ⇒ x = − (y − 1)2 Th Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: (x; y) = (2; 2) iTh Bài 42 Giải bất phương trình sau: √ √ √ 2+ x 2− x √ √ +√ √ = 2+ 2+ x 2− 2− x Lời giải: Đặt: 2+ Ta có: ab = √ x = a, √ − x, a2 + b2 = Phương trình cho trở thành: et u.N Điều kiện: < x ≤ 2− √ x=b a, b ≥ 0; b = √ √ a2 b2 +√ = 2+a √ 2−b √ √ √ √ ⇐⇒ a2 − a2 b + b2 + ab2 = 2 − b + a − ab √ ⇐⇒ (a2 + b2 + ab − 2) − ab (a − b) = (a − b) √ ⇐⇒ (ab + 2) = (a − b) (ab + 2) √ ⇐⇒ a − b = ⇐⇒ a2 + b2 − 2ab = √ ⇐⇒ ab = ⇐⇒ − x = ⇐⇒ x = √ www.Dethithu.Net 28 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia Vậy nghiệm phương trình cho là: x = Bài 43 Giải hệ phương trình sau: De √ x − x2 + y − 4y = √ − x2 + − 4y = − x − 2y Lời giải:  √ √  − 5≤x≤ √ √ Điều kiện:  − ≤y≤ 2 HP T ⇐⇒ Đặt: √ x − x2 + y − 4y = √ x + − x2 + 2y + − 4y = Th Ta có: et u.N Khi ta có hệ mới: iTh √ x + − x2 = a 2y + − 4y = b √ a2 = + 2x − x2 ⇐⇒ b2 = + 4y − 4y  √   x − x2 = a − ⇐⇒   y − 4y = b −   a − b2 − + =3  a+b=6 ⇐⇒ ⇐⇒ 3a2 − 12a + = a+b=6 ⇐⇒ 2a2 + b2 = 27 a+b=6  a=3  b=3  a=1 b=5 Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan Với:    x=2 x=1 a=3  ⇒ y=1 b=3    y= www.Dethithu.Net ⇐⇒ (x; y) = (2; 1) , 2; 29 , (1; 1) , 1; Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia Với: a=1 hệ phương trình vô nghiệm b=5 Vậy nghiệm hệ phương trình là: (x; y) = (2; 1) , 2; De Bài 44 , (1; 1) , 1; Giải phương trình sau: √ √ 12x − 2x + − 2 − x = √ 9x2 + 16 Lời giải: Th Điều kiện −2 ≤ x ≤ Biến đổi phương trình đầu thành √ iTh √ 12x − 2x + − 2 − x = √ 9x2 + 16 6x − 12x − √ ⇐⇒ √ =√ 9x2 + 16  2x + + 2 − x x=  ⇐⇒ √ √ √ 2x + + 2 − x = 9x2 + 16 Mặt khác: √ √ √ 2x + + 2 − x = 9x2 + 16 ⇐⇒ 9x2 + 8x − 32 = 16 (4 − x2 ) et u.N ⇐⇒ 9x2 − 32 = 2 (4 − x2 ) − x ⇐⇒ (9x2 − 32) 2 (4 − x2 ) + x = (32 − 9x2 ) ⇐⇒ (9x2 − 32) 2 (4 − x2 ) + x + = ⇐⇒ 9x2 = 32 2 (4 − x2 ) + x + = (V N )   Thử lại ta có nghiệm phương trình cho là:  Bài 45 Giải hệ phương trình sau:    (x − 2)   y2 www.Dethithu.Net 1+ 1+ √ ±4 ⇐⇒ x = 3√ x= x= 3x = 2x − y y 3x = 2x2 + y − 4x y 30 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia Lời giải:   + 3x ≥ y Điều kiện:  y=0 Trường hợp 1: De   + 3x = 3x y 1+ =0⇒  2x − y = y Trường hợp 2: 1+ y = −3x 2x − y = ⇐⇒ ⇐⇒ x = y = (loai) 3x =0 y Thay vào ta có: iTh Th Chi vế phương trình cho ta x−2 2x − y = 2 y 2x + y − 4x ⇐⇒ 2x3 − 8x2 − xy − 2y + 8x + y = ⇐⇒ (x + y − 2) (2x2 − 2xy + y ) =  x = −y +  ⇐⇒ y2 y2 x2 − xy + + =0  x = −y + ⇐⇒  y y2 x− + = (V N ) 2 ⇐⇒ x = −y + −y 1+ et u.N ⇐⇒ y   ⇐⇒     ⇐⇒   (−y + 2) = −3y + y −2y + = 3y − y ≤y≤3 9y − 24y + 16 = −2y + 6y ≤y≤3 4 ⇐⇒ y = ⇒ x = y=2  y= 11 Vậy nghiệm hệ phương trình là: (x; y) = (0; 2) Bài 46 Giải hệ phương trình sau: √ √ √ x + 3y + − y = x + (1) √ √ − x + y − = x2 − 3y + (2) www.Dethithu.Net 31 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia Lời giải:    x + 3y + ≥ Điều kiện: y≥1   −2 ≤ x ≤ Ta có: De √ √ √ √ √ (1) ⇐⇒ x + 3y + = x + + y ⇐⇒ (x + 3y + 2) = x + + 9y + x + y √ √ √ √ ⇐⇒ (x + 2) − x + y + 3y = ⇐⇒ x + − y = ⇐⇒ x + = y Thay xuống phương trình (2) ta √ √ √ − x + x + = x2 − (x + 2) + ⇐⇒ − x + x + = x2 − 3x + √ √ −x x ⇐⇒ 4−x− +2 + x+1− + = x2 − 3x 3 −x x 4−x− +2 x + − + 3 ⇐⇒ +√ = x2 − 3x x √ −x x+1+ +1 4−x+ +2 3 −x2 x −x2 x + + 9 ⇐⇒ +√ = x2 − 3x x √ −x x+1+ +1 4−x+ +2 3  x2 − 3x = −1 −1 x=0 + ⇐⇒  = ⇐⇒ √ x  √ −x x=3 x+1+ +1 4−x+ +2 3 √ iTh Th Bài 47 Giải phương trình sau: et u.N Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y) = (0; 2) , (3; 5) √ √ √ (13 − 4x) 2x − + (4x − 3) − 2x = + 16x − 4x2 − 15 Lời giải: Điều kiện: ≤x≤ 2 Đặt: √ a = 2x − √ b = − 2x Mặt khác: a2 + b2 = 2; ab = www.Dethithu.Net √ (a, b ≥ 0) ⇒ 2a2 + = 4x − 2b2 + = 13 − 4x 16x − 4x2 − 15 32 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia Do phương trình cho trở thành: De (2b2 + 3) a + (2a2 + 3) b = + 8ab ⇐⇒ (2b2 + 3) a + (2a2 + 3) b = a2 + b2 + 8ab ⇐⇒ 2ab (a + b) + (a + b) = (a + b)2 + 6ab ⇐⇒ (a + b − 3) (2ab − a −b) = √ − 15 = a+b=3 16x − 4x (V N ) ⇐⇒ ⇐⇒  √ a + b = 2ab 16x − 4x2 − 15 = ⇐⇒ x = (T M ) Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan Vậy nghiệm phương trình cho là: x = Th Bài 48 Giải phương trình sau: √ x2 + 5x + = x3 + Lời giải: Điều kiện: x ≥ −1 iTh Biến đổi tương đương phương trình đầu ta có: et u.N √ x2 + 5x + = x3 + ⇐⇒ x2 + 5x + = (x + 1) (x2 − x + 1) ⇐⇒ (x2 − x + 1) − (x + 1) (x2 − x + 1) + (x + 1) = √ √ x2 − x + = x + x2 − x + = 36 (x + 1) √ √ ⇐⇒ ⇐⇒ x2 − x + = x + x2 − x + = x + √  37 ± 1509 x= x2 − 37x − 35 =  ⇐⇒ ⇐⇒  x = x − 2x = x=0 √ 1509 x= Vậy nghiệm phương trình cho là:   x=2 x=0 37 ±  Bài 49 Giải hệ phương trình sau: (x + y)(x + 4y + y) + 3y = (x, y ∈ R) x + 2y + − y + y + = Lời giải: www.Dethithu.Net 33 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia Điều kiện: x + 2y + ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với: (x + y)2 + 4(x + y)y + 3y = ⇐⇒ (x + y + y )(x + y + 3y ) = De DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày! TH 1: x = −y − y thay vào phương trình thứ hệ ta y2 − y + − y2 + y + = y − y + = −1 (loai) y − y + = ⇐⇒ Th ⇐⇒ y − y − = √ ± 13 ⇐⇒ y = Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan Với y = 1− √ √ √ √ 13 + 13 x = −4 + 13 với y = x = −4 − 13 2 TH 2: x = −y − 3y thay vào phương trình hệ ta iTh −y − y + − y + y + = ⇐⇒ −y − y + = y − y − ⇐⇒ y2 − y − ≥ −y − y + = (y − y − 1) y2 − y − ≥ y(y + 1)(y − 3y + 3) = ⇐⇒ y = −1 ⇐⇒ Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (x; y) = Bài 50 √ 1− −4 + 13; √ 13 Giải bất phương trình sau: x− et u.N Suy x = −2 , √ 1+ −4 − 13; + x 1− √ 13 , (−2; − 1) ≥x x Lời giải: www.Dethithu.Net 34 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DETHITHU.NET - Đ Thi Th THPT Qu c Gia x≥1 −1 ≤ x < Điều kiện: TH 1: Nếu −1 ≤ x < thỏa mãn bất phương trình TH 2: Nếu x ≥ bất phương trình cho tương đương với De x− + x 1− √ √ √ ≥ x ⇐⇒ x2 − ≥ x x − x − x Nhận thấy vế không âm nên bình phương vế bất phương trình ta có: √ √ 1+ x=  √2 ≤ ⇐⇒ x2 − x − = ⇐⇒  1− x= (loai)  Th x2 − x − √ 1+ Vậy nghiệm bất phương trình là: −1 ≤ x < x = iTh DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày! Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan et u.N www.Dethithu.Net 35 Nguyễn Văn Quốc Tuấn

Ngày đăng: 13/08/2016, 08:11

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan