Đang tải... (xem toàn văn)
1. C¸c bµi to¸n vÒ vÞ trÝ t¬ng ®èi : Bµi to¸n 1a : Cho tam gi¸c ABC . O lµ mét ®iÓm thuéc miÒn trong cña tam gi¸c . Gäi D,E,F lÇn lît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB,BC,CA vµ L,M,N lÇn lîc lµ trung ®iÓm cña OA,OB,OC . Chøng minh EL, FM, DN ®ång quy . Gi¶i : Dùa vµo tÝnh chÊt cña ®êng trung b×nh chøng minh c¸c tø gi¸c LFEM , NEDL lµ h×nh b×nh hµnh . ®pcm
II Hình bình hành : Các toán vị trí tơng đối : Bài toán 1a : Cho tam giác ABC O điểm thuộc miền tam giác Gọi D,E,F lần lợt trung điểm cạnh AB,BC,CA L,M,N lần lợc trung điểm OA,OB,OC Chứng minh EL, FM, DN đồng quy Giải : A Dựa vào tính chất đờng trung bình chứng minh tứ giác LFEM , NEDL hình bình hành đpcm L D F O M B N C E Các toán chứng minh : Bài toán 2a: Cho tứ giác ABCD E,F lần lợt trung điểm AB, CD M,N,P,Q lần lợt trung điểm AF, CE, BF, DE Chứng minh MN = PQ HD : C B N E M P F Q D A Chứng minh tứ giác MNPQ có hai đờng chéo giao trung điểm đờng ( Chính trung điểm EF ) (gi I l trung im ca Thỡ I cng l trung im ca NQ Chng minh PIM thng hang) Bài toán 2b : Cho tứ giác ABCD Gọi E trung điểm AD, F trung điểm BC ; G đỉnh thứ t hình bình hành CADG ; H đỉnh thứ t hình bình hành CABH a Chứng minh BD // GH G b Chứng minh HD = 2EF C I D E J H F A B HD : a BDGH hình bình hành BH DG song song AC =>đpcm b Gọi I,J lần lợt trung điểm CD CH Chứng minh EIJF hình bình hành => đpcm Các tập tính toán : Bài toán 3a : Cho hình bình hành ABCD có ADC = 75 O giao đIểm hai đờng chéo Từ D hạ DE DF lần lợt vuông góc với AB BC (E thuộc AB, F thuộc BC ) Tính góc EOF E A B O C D F Có O trung điểm DB Từ có đợc OE =OD=OB=OF (Quan hệ trung tuyến ,cạnh huyền ) EOD = 2EBO ( Vì EOB cân O ) DOF = 2FBO ( Vì FOB cân O ) Cộng hai đẳng thức để đợc : EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF Do EBF = ADC nên EOF = 2ADC = 2.750 = 1500 Bài toán 3b : Cho tam giác ABC Một đờng thẳng song song với BC cắt AB,AC lần lợt D E Gọi G trọng tâm tam giác ADE, I trung điểm CD Tính số đo góc tam giác GIB A G D K E I B C HD : Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng cắt DE K - Tứ giác DBCK hình bình hành nên BK cắt DC trung điểm I DC - Chứng minh hai tam giác DBG EKG - Từ có đợc GIB =900 BGI = BGK/2 = DGE/2 - Có DGE = 1200 ( Do ADE ) nên BGI = 600 GBI = 300 Các toán quỹ tích, dựng hình Bài toán 4a : Cho tam giác cân ABC (AB=AC) Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho DA=CE Tìm quỹ tích trung điểm I DE D di động cạnh AB A E I D B C Bài toán 4b : Cho góc nhọn xAy O điểm thuộc miền góc Dựng Ax điểm M Ay điểm N để : a O trung điểm MN b OM =2ON x Giải : M O O A N y a C1 :( Dựa vào kiến thức hình bình hành ) Phân tích : Gọi O điểm đối xứng A qua O Khi O trung điểm MN tứ giác AMON hình bình hành Cách dựng : - Dựng O đối xứng với A qua O - Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax M - Dựng đờng thẳng qua O song song với Ax cắt Ay N C2 :( Dựa vào kiến thức đờng trung bình ) Phân tích : Khi O trung điểm MN đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax trung điểm AN Cách dựng : - Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax O Trên tia Ax dựng M cho O1 trung điểm AM - Tơng tự cách dựng N b M (x) D O A N N1 (y) HD : Xem O trọng tâm tam giác => xác định đợc D chân đờng trung tuyến xuất phát từ A => Quy toán 3a để giải Các toán cực trị : Bài toán 5a : Cho tam giác ABC có AM đờng trung tuyến Chứng minh : AB + AC 2AM Giải : Lấy A1 điểm đối xứng A qua M ta có : A ABA1C hình bình hành BA1 = AC AA1 = 2AM AB +AC = AB + BA1 B C Lại có : AB + BA1 > AA1 M AB + AC > AA1 =2AM => đpcm A1 Bài toán 5b : Chứng minh rằng, tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ lớn A M N B I H C D Kẻ ND //MC (DBC) ; NI //AB (IBC) Dễ dàng chứng minh đợc : MC = ND MN = BI =CD Giả sử AB NI HI HB < HD NB < ND => NB < MC Bài toán 5c : Một kênh có hai bờ song song P,Q hai điểm cố định nằm hai phía kênh Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng từ P đến Q nhỏ Q N P M P HD : Dựng hình bình hành NMPP ta đợc : PM + MN + NQ = PP + PN + NQ Do PP = const Để PM + MN + NQ nhỏ PN +NQ nhỏ P,N,Q thẳng hàng Dễ dàng suy cách dựng II Hình chữ nhật, hình thoi , hình vuông : Bài tập vị trí tơng đối điểm, đờng thẳng Bài toán 1a : Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC Gọi M trung điểm AH, K trung điểm CD Chứng minh BM vuông góc với MK B C I K H A M D HD : - Kẻ MI // AB ( I thuộc BH ) - Chứng minh ICKM hình bình hành => IC//MK - Chứng minh I trực tâm tam giác CBM => CI vuông góc với BM MK vuông góc với BM Bài toán 1b : Cho tam giác ABC có AD đờng cao Về phía tam giác dựng hình vuông ABEF ACGH Chứng minh AD,BG,CE đồng quy I H F A G E B D C HD: Dựng hình bình hành FAHI Chứng minh hai tam giác ABC HIA để đợc : IAH = BCA IA = BC Từ IAH = BCA chứng minh IAD thẳng hàng Hay ID đờng cao tam giác IBC Từ IA = BC với IAH = BCA chứng minh hai tam giác IAC BCG Đợc CBG = AIC với IA vuông góc với BC đợc BG vuông góc với IC Tơng tự chứng minh đợc CE vuông góc với IB đpcm ( Tính chất ba đờng cao tam giác ) Bài tập chứng minh Bài toán 2a : Cho hình vuông ABCD Gọi M,N lần lợt trung điểm AB,AD BN, CM cắt P Chứng minh DP =AB M A B P N I D C HD : Gọi I giao điểm hai đờng thẳng BN CD Dễ dàng chứng minh đợc IC = 2AB Hai tam giác MCB NBA đồng thời AB vuông góc với BC nên CM vuông góc với NB Tam giác vuông PIC có PD trung tuyến nên PD = IC/2 = AB ( đpcm ) Bài toán 2b: Cho hình vuông ABCD Về phía hình vuông dựng tam giác cân FAB (FA=FB) cho FAB = 150 Chứng minh tam giác FDC tam giác D HD : C1 : C I Dựng phía tam giác F tam giác ABF Các tam giác FAF FBF từ chứng minh đợc J tam giác FAF cân F (Hai góc đáy A B 750 ) => FF = FA = AB Tứ giác ADFF có DA song song FF nên hình bình hành DF = FA = AB Tơng tự có CF = FB = AB F Tam giác FDC C2 : Dựng I phía tam giác cho IBC =ICB =150 CI cắt FB J Có : BI = BF (Do cách dựng ) FBI = 90 -(150 +150 ) = 600 nên tam giác FBI IJB = 150 + 150 = 300 nên CJ trung trực FB => CF = CB Tơng tự ta có DF = DA =>đpcm Bài tập tính toán Bài toán 3a : Cho hình vuông ABCD E điểm AB Phân giác góc CDE cắt BC K Chứng minh CK + EA = DE Giải : B K C E E D A HD : Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE = AE Chứng minh đợc hai tam giác ADE CDE để đợc : - DE = DE (1) - EDA = EDC (2) Có DK phân giác góc EDC (2) Chứng minh đợc KDE = KDA Lại có : KDA = EKD Tam giác EDK cân E ED = EK DE = EK = AE + KC đpcm ) Bài toán 3b : Cho hình vuông ABCD Lấy điểm E,F thứ tự thuộc cạnh AD,AB cho AE=AF Gọi H hình chiếu vuông góc A lên BE Tính góc CHF F B A E D O H K C HD : Gọi K giao điểm AH với DC O giao điểm BK FC - Chứng minh đợc FBCK hình chữ nhật - Tam giác vuông BHK có HO trung tuyến nên HO = BK/2 = FC/2 - Tam giác FHC có trung tuyến HO nửa FC nên vuông H Hay góc FHC = 900 Bài tập quỹ tích , dựng hình Bài tập 4a : Dựng hình vuông ABCD biết tâm O hình vuông, điểm M thuộc cạnh AD điểm N thuộc cạnh BC A M E - B N O N M D F - C HD : Phân tích : Giả sử hình dựng đợc ta có : - Điểm đối xứng M qua O thuộc cạnh BC (M) - Điểm đối xứng N qua O thuộc cạnh AD (N) - Đờng thẳng qua O vuông góc với MM cắt AB E DC F Dễ dàng chứng minh đợc OE =OF =OM Cách dựng : - Dựng M đối xứng với M qua O - Dựng N đối xứng với N qua O - Dựng đờng thẳng d vuông góc với MM Trên d lấy E,F cho OE=OF= OM - Dựng đờng thẳng MN, NM - Qua E dựng đờng thẳng vuông góc với MN cắt MN A NM B - Qua F dựng đờng thẳng vuông góc với MN cắt MN D, NM C - ABCD hình vuông cần dựng TIP : Thay đổi việc cho điểm M,N ta có nhiều tập xung quanh tập Bài toán 4b : Cho đoạn thẳng AB điểm C đoạn thẳng Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình vuông ACDE CBGH Các hình vuông có tâm lần lợt O1,O2 Tìm quỹ tích trung điểm I O1O2 C chạy AB E D HD : Hạ O1M,IJ,O2N vuông G góc với AB I H C O1 O1MNO2 hình thang có IJ đờng O2 trung bình nên IJ = (O 1M +O2N)/2 = (AC + CB)/ =const A M J NB I di chuyển phần đờng thẳng song song với AB cách AB đoạn AB/4 Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a : Cho hình vuông ABCD Tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông (có bốn đỉnh nằm bốn cạnh hình vuông) Tìm điều kiện tứ giác MNPQ để có chu vi nhỏ Giải : B N C Gọi E,F,G lần lợt trung điểm MN; NQ; PQ ta có : MN = 2BE E F NP = 2GF G P QM = 2EF M QP = 2GD A Q D MN + NP +PQ+QM = 2(BE +EF+FG+GD) 2BD Dấu = xảy lúc E,F,G BD E BD => MN//AC => MBN vuông cân B G BD => PQ//AC => PDQ vuông cân D Từ (1) F BD => NM =PQ Tứ giác MNPQ thoả ba điều kiện có chu vi nhỏ Bài toán 5b : Cho tam giác vuông A M điểm thuộc BC D,E lần lợt hình chiếu vuông góc M lên AB, AC Xác định M để DE nhỏ nhất, lớn A Giải : Tứ giác ADME hình chữ nhật DE = AM D E B a Để DE nhỏ AM vuông góc với BC b Để DE lớn Nếu AB >AC M B Nếu AC >AB M C Nếu AB =AC M B M C Bài toán 5c : 10 M C b Có zOM2 = zOM1 = xOy zoy + yOM2 = zOy + yOM = xOy zOy + zOy + xOM = xOy zOy = Mox M2 MOt = tOz ( Do xOt = tOy ) Ot tia phân giác góc MOz Bài tập quỹ tích , dựng hình Bài toán 4a : Một kênh có hai bờ song song P,Q hai điểm cố định nằm hai phía kênh Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng từ P đến N đoạn đờng từ Q đến M (N nằm bờ kênh phía P M nằm bờ kênh phía Q) Q d M N P P HD : PT : - Giả sử dựng đợc P Gọi P đỉnh thứ t hình bình hành PNMP Lúc PN = PM => PM=MQ => M thuộc trung trực PQ CD : -Dựng P cho PP vuông góc với bờ kênh chiều dài PP chiều rộng bờ kênh - Dựng trung trực (d) PQ d cắt bờ kênh phía Q M Từ dựng N Bài toán 4b : Dựng tứ giác ABCD biết DA=AB=BC biết ba trung điểm E,F,G DA,AB, BC (d1) (d2) A E HD : D F B G C A nằm đờng trung trực EF B nằm đờng trung trực FG Cần xác định AB lần lợt hai đờng để AB nhận F làm trung điểm Bài toán đợc quy toán 3a Bài toán 4c : Cho tam giác ABC , P điểm nằm tam giác Dựng M AB, N AC để tam giác MPN cân P MN // BC HD : Giả sử hình dựng đợc , lúc 14 A M N M đối xứng với N qua trục đờng thẳng (d) qua P vuông góc với MN Do MN//BC nên (d) vuông góc với BC P Đờng thẳng đối xứng với đờng B C thẳng AB qua trục (d) cắt đờng thẳng AC N Nên có cách dựng : - Dựng (d) qua P vuông góc với BC - Dựng đờng thẳng đối xứng với đờng thẳng AB qua trục (d) ,đờng thẳng cát đờng thẳng AC N - Dựng M đối xứng với N qua (d) - Tam giác PMN tam giác cần dựng Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a : ( Bài toán chim ) Trong mặt phẳng P cho đờng thẳng d hai điểm A,B nằm nửa mặt phẳng bờ Xác định d điểm M cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Giải : a Trờng hợp A,B nằm nửa mặt phẳng : B Gọi A1 điểm đối xứng A qua trục (d) A MA +MB = MA1 + MB A1B Dấu = xảy lúc M[A1B] (d) M giao điểm A1B d M TIP : Thay đổi vị trí tơng đối A,B so với d A1 ta đợc số toán khác cần giải Bài toán 5b : Cho hai điểm cố định A,B nằm mặt phẳng bờ d Tìm d hai điểm M,N cho : - MN = l cho trớc - Tứ giác BNMA có chu vi nhỏ B B A d M N A Bài toán 5c : Cho góc nhọn xOy điểm M thuộc miền góc Xác định Ox điểm A Oy điểm B cho tam giác MAB có chu vi nhỏ Giải : M1 Gọi M1, M2 lần lợt hình chiếu 15 M qua trục Ox; Oy MA + AB +BM = M1A +AB +BM2 M1M2 Dấu = xãy A,B M1M2 O A giao điểm M1M2 với Ox B giao điểm M1M2 với Oy A M B M2 TIP: Bằng cách ràng buộc thêm điều kiện điểm M : M chạy đoạn thẳng; chạy đờng tròn nằm góc xOy ;Tổng OA + OB không đổi; Thay đổi góc xOy; Thay đổi đại lợng cần tính cực trị đợc hàng loạt toán khác Bài toán 5d : Cho góc nhọn xOy hai điểm AB thuộc miền góc Tìm điểm C,D lần lợc thuộc Ox Oy cho đờng gấp khúc ACDBA có độ dài nhỏ Giải : Lấy A1 đối xứng với A qua Ox; B đối xứng với B qua Oy Do AB cố định nên đờng gấp khúc ACBD có độ dài nhỏ lúc AC + CD + DB nhỏ Có AC +CD +DB = A1C + CD +DB1 A1A2 Dấu = xảy lúc C,D [A1B1] C giao điểm A1B1 với Ox D giao điểm A1B1 với Oy B1 D B O A C A1 Bài toán 5e : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn M điểm thuộc cạnh BC I,J lần lợt hình chiếu M xuống hai cạnh AB, AC M 1, M2 lần lợt điểm đối xứng M qua AB,AC E,F lần lợt giao điểm M1M2 với AB,AC Xác định M a Để IJ nhỏ nhất; lớn b Để tam giác MEF có chu vi nhỏ A M2 Giải : F M1 J I B M C 16 E a 2IJ = M1M2 AM1 =AM=AM2 M1AM2 =2BAC = CONST IJ (max) M1M2 (max) AM1 (max) AM (max) AM nhỏ AM BC AM lớn AM = Max(AB,AC ) b Chu vi tam giác MEF = MF + ME +EF = M1M2 Để chu vi tam giác MEF nhỏ M chân đờng cao từ A xuống BC theo toán 1a E,F chân hai đờng cao lại V Định lý Thalet Bài tập vị trí tơng đối điểm, đờng thẳng Bài toán 1a : Cho tứ giác lồi ABCD Kẻ hai đờng thẳng song song với AC Đờng thẳng thứ cắt cạnh BA,BC lần lợt G H Đờng thẳng thứ hai lần lợt cắt cạnh DA,DC lần lợt E F Chứng minh GE,HF,BD đồng quy I Giải : Gọi O giao điểm AC BD D M,N lần lợt giao điểm GH EF E với BD A ) F N Ta có : EN = FN ( Do EF// AC AO OC O EN OA G = FN OC M C H Tơng tự ta có : B GM = OA GH OC EN GM = FN HM Đpcm ( Do EF // GH ) theo định lý đảo Bài toán 1b : ( Tổng quát toán 1a/ II) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H chân đờng vuông góc từ A xuống BD M,N theo thứ tự điểm BH CD cho : BM = CN CD Chứng minh AM vuông góc với MN BH A HD : - Chứng minh hai tam giác vuông ABH ACD đồng dạng BM = CN -Sử dụng gt : BH CD 17 D M B H N C để chứng minh hai tam giác ABM ACN đồng dạng để đợc : AM = AN AB AC Và BAM = CAN => MAN = BAC Hai tam giác MAN BAC đồng dạng AMN = ABC = 900 ( đpcm ) Bài tập chứng minh Bài toán 2a : Cho hình thang ABCD (AB // CD ) Hai đờng chéo AC BD cắt I Qua I kẻ đờng thẳng song song với hai đáy cắt AD E cắt BC F a Chứng minh : = + IF AB CD b Chứng minh I trung điểm EF A Giải : IF = FC Có : AB BC IF = BF CD BC B E I F D Cộng hai đẳng thức ta đợc : IF + IF = BF + FC = AB CD BC Đpcm C = 1 + IE AB CD b Hoàn toàn tơng tự ta có : IF = EF Đpcm Bài toán 2b : Cho hình thang cân ABCD (AD//BC ) Gọi M,N trung điểm BC AD Trên tia đối tia AB lấy điểm P PN cắt BD Q Chứng minh MN tia phân giác góc PMQ P HD : A I N K D Q B M P 18 C Gọi I,K,P lần lợt giao điểm AD với PM , AD với MQ, PQ với BC - Dễ dàng chứng minh đợc MN vuông góc với AD - Có : IN/MP = IA/BM = AN/BP NK/MP = KD/BM = ND/BP Do AN =ND nên đợc : IN/MP = NK/MP => IN=NK Tam giác IMK có MN vừa trung tuyến vừa đờng cao nên phân giác ( đpcm ) Bài tập tính toán Bài toán 3a : Cho hình thang ABCD (AB//CD ) I giao điểm AC với BD Gọi S 1, S2 lần lợt diện tích tam giác IAB IAD Tính diện tích hình thang theo S 1, S2 Giải : SIBC = S2 A B Gọi S3 diện tích tam giác S1 IDC Ta có : S S3 = ID2 I S1 IB2 S3 S2 = ID D C S1 IB S3 = S2 S1 S1 S3 = S2 S1 SABCD = S1 + 2S2 + S2 S1 = (S1+S2) S1 Bài toán 3b : Cho tam giác ABC có Â = B Cho AB = c ,AC =b Tính BC theo b,c A B I Gọi AI phân giác tam giác Ta có : IC/IB = AC/AB IC = IB AC/AB (1) Lại có hai tam giác ABC IAC đồng dạng nên : 19 C IC/AC = AC/BC IC = AC2/BC (2) Từ (1) (2) ta đợc IB = AC.AB/BC Có BC = IB +IC = (AC2 + AC.AB ) /BC BC2 = AC( AC + AB ) BC2 = b(b+c ) Bài tập quỹ tích , dựng hình Bài toán 4b : Cho tam giác ABC I điểm nằm tam giác M điểm thay đổi cạnh BC Các đờng thẳng qua M song song với BI CI theo thứ tự cắt AC AB N P Dựng hình bình hành MNQP Tìm tập hợp điểm Q Giải : Gọi K giao điểm CI với AB ; H giao điểm BI AC Qua N kẻ đờng thẳng song song với KC cắt KH Q Qua P kẻ đờng thẳng song song với HB A cắt KH Q QH NM MB Ta có : = = QK NC MC H Q QH = PB MB = MC QK PK K N QH = QH QK QK P B M C Q Q Theo cách vẽ kết ta đợc QMNP hình bình hành Q KH Hay tập hợp điểm Q đoạn KH Đảo : Tơng tự phần thuận với điểm xuất phát Q KH Chứng minh M thuộc BC Bài toán 4b : Cho góc xOy đờng thẳng d cắt hai cạnh góc Tìm đoạn thẳng AB (A Oy; B Ox ) cho AB vuông góc với d có trung điểm I nằm d Giải : Giả sử dựng đợc AB F Gọi E giao điểm d với Ox 20 I I (d) A Từ E kẻ đờng thẳng song song M M với AB cắt OI M, cắt Oy F Ta có : EF vuông góc với d E ME = MF B Cách dựng : Qua E dựng d vuông góc với d cắt Oy F Dựng trung điểm M EF Dựng I giao điểm OM với d Qua I dựng đờng thẳng vuông góc với d cắt Ox B cắt Oy A AB đoạn thẳng cần dựng Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a : Cho góc nhọn xOy điểm M thuộc miền góc Hãy dựng qua M cát tuyến cắt hai cạnh góc xOy A B cho + MA MB Giải : đạt giá trị lớn N Vẽ : MN // Oy ON // AB MN cắt Ox P Kẻ PQ //AB (Q OM) + 1 + O = = MA MB MA ON PQ 1 Để MA + MB lớn PQ nhỏ A P Q M B Do OM, P cố định nên PQ nhỏ PQ OM Lúc AB OM Bài toán 5b : Cho góc nhọn xOy M điểm thuộc miền góc Đờng thẳng d quay xung quanh M cắt Ox, Oy theo thứ tự A,B Tìm vị trí d cho OA+OB đạt giá trị nhỏ A X O M Y HD : B 21 OA + OB = OX +OY + XA + YB Do OX + OY không đổi nên OA +OB nhỏ XA + YB nhỏ Lại có : hai tam giác AXM YMB đồng dạng nên : XA = XM YM YB XA.YB = YM XM = const XA + YB nhỏ XA = YB hai tam giác AXM YMB M trung điểm AB Dựng A,B nh 4b/II Bài toán tổng hợp Bài toán 6a : Cho tam giác ABC có G trọng tâm M điểm tam giác Gọi A1, B1, C1 lần lợt giao điểm AM với BC; BM với AC; CM với AB Đờng thẳng GM cắt AB,AC,BC lần lợt C2 , B2 , A2 MA1 + AA1 MA1 + b Chứng minh : GA1 c Chứng minh : + GA2 a Chứng minh : MB1 MC1 =1 + BB1 CC1 MB1 MC1 =3 + GB1 GC1 1 = GB2 GC2 Giải : A C2 G M B2 B D M1 A1 C A2 a MA1/AA1 = MM1/AD = SMBC /SABC Tơng tự có MB1/BB1 = SMAC/SABC MC1/CC1 = SMAB/SABC Cộng đẳng thức ta đợc : MA1/AA1 + MB1/BB1 +MC1/CC1 = (SMBC +SMAC +SMAB)/SABC = (đpcm ) b Qua G kẻ đờng thẳng song song với AA1 cắt BC M2 Có GM2/ AA1 = 1/3 => AA1 =3GM2 MA2/GA2 = MA1/GM2 = 3MA1/AA1 Tơng tự ta có MB2/GB2 = 3MB1/BB1 MC2/GC2 = 3MC1/CC1 Cộng đẳng thức ta đợc : MA2/GA2 +MB2/GB2 +MC2/GC2 = 3( MA1/AA1 + MB1/BB1 +MC1/CC1) = 22 ( Theo câu a ) A c Qua G kẻ đờng thẳng song song với BC,AC Các đờng thẳng G2 cắt AB lần lợt G1,G2 Dễ dàng có AG2 = G1B = AB/3 C2 G B2 AG2 =G2G1 = G1B = AB/3 G1 GC2/GA2 = C2G1/G1B = 3C2G1/AB C B GC2/GB2 =C2G2/G2A = 3G2C2/AB Cộng hai đẳng thức ta đợc : GC2/GA2 + GC2/GB2 = 3(C2G1 + G2C2)/AB = G1G2/AB = Chia hai vế cho GC2 ta đợc : 1/GC2 = 1/GA2 + 1/GB2 ( đpcm) A2 Bài toán 6b : Cho tam giác ABC I điểm tam giác IA, IB, IC theo thứ tự cắt BC, CA , AB M, N, P NP cắt BC R a Chứng minh : IA = NA + PA IM NC PB MB NC PA b Chứng minh : MC NA PB =1 ( Định lý Cê va ) RB NC PA c Chứng minh : RC NA PB =1 ( Định lý Mê nê lauyut ) MB RB d Chứng minh : MC = RC A E Giải : P F N Q I Qua A kẻ đởng thẳng song song với BC cắt BN E cắt CP F NA = AE Có : NC BC b Có : PA = AF PB BC AE + AF NA + PA = = BC BC NC BC R EF = IA BC IM MB = AE NC = BC ; ; MC AF NA AF Nhân bất đẳng thức vế theo vế ta đợc : 23 B M C PA = AE PB BC MB NC PA AE BC AF = MC NA PB AF AE BC = c Kẻ BQ//AC (Q thuộc RN ) Có : RB = BQ PA = AN NC = NA ; ; RC CN PB BQ NA NA Nhân bất đẳng thức vế theo vế ta đợc : RB PA NC BQ AN NC = RC PB NA CN BQ NA = d Từ b c dễ dàng suy đpcm VI hệ thức lợng tam giác - định lý pitago Hệ thức lợng tam giác thờng Bài toán 1a : Chứng minh tam giác bình phơng cạnh đối diện góc nhọn tổng bình phơng hai cạnh trừ hai lần tích hai cạnh với hình chiếu cạnh lại Chứng minh : Giả sử A góc nhọn Gọi AH hình chiếu cạnh AC cạnh AB Cần chứng minh : BC2 = AB2 + AC2 - 2AB.AH - Tam giác vuông CHB có : BC2 = CH2 + HB2 (1) - Tam giác vuông CHA có : CH2 = AC2 - HA2 (2) - Do góc A nhọn nên H nằm AB , có : HB = AB-HA HB2 = AB2 + HA2 - 2AB.HA (3) Thay (2) (3) vào (1) đợc đpcm A H B C Bài toán 1b : Chứng minh tam giác bình phơng cạnh đối diện góc tù tổng bình phơng hai cạnh cộng hai lần tích hai cạnh với hình chiếu cạnh lại Chứng minh : Hoàn toàn giống toán 1a với ý : H Do góc A tù nên A nằm BH Có A HB = AB + HA 24 B C HB2 = AB2 + HA2 + 2AB.HA Bài toán 1c (Định lý đờng trung tuyến ) : Cho tam giác ABC có AM trung tuyến , AH đờng cao Chứng minh hệ thức : A AB2 + AC2 = 2AM2 + BC2/2 Chứng minh : Giả sử : AMB < 900 => AMC > 900 Tam giác MAB có : AB2 = MB2 +MA2 -2BM.MH (1) Tam giác MAC có : B H M C AC2 = MC2 + MA2 - 2MC.MH (2) Cộng (1) (2) với ý MB =MC =BC/2 ta đợc đpcm Bài tập chứng minh đồng quy, vuông góc : Bài toán 2a : a Chứng minh tổng bình phơng khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến hai đỉnh đối diện hình chữ nhật b Trên cạnh tam giác ABC phía ngời ta dựng hình chữ nhật ABB1A1 ; BCC1B2; CAA2C2 Chứng minh đờng trung trực đoạn A1A2; B1B2; C1C2 đồng quy Chứng minh : a Cần chứng minh hệ thức : PA2 + PC2 = PB2 + PD2 A Gọi O giao điểm AC BD ,có : PO trung tuyến tam giác PAC, PDB - Tam giác PDB có : PD2 + PB = 2OP2 + BD2/2 - Tam giác PAC có : PA2 + PC2 = 2OP2 + AC2/2 D P B O C - Do AC = BD nên PA + PC2 = PB + PD2 b Chứng minh : Gọi P giao điểm hai trung trực đoạn B1B2 A1A2 PB2= PB1 ; PA1 = PA2 B2 B1 B A1 C1 P A 25 A2 C2 C - Xét điểm P hình chữ nhật BCC1B2 có : PC12 = PC2 + PB 22 -PB2 = PC2 + PB12 -PB2 (1) - Xét điểm P hình chữ nhật ACC2A2 có : PC22 = PC2 + PA22 -PA2 = PC2 + PA12 -PA2 (2) Trừ (1) cho (2) đợc : PC12 - PC22 = PB12 + PA2 - PB2 - PA12 = ( Do quan hệ điểm P với HCN ABB1A1 ) PC1 = PC2 => P thuộc trung trực C1C2 => đpcm Bài tập tính toán : Bài toán 3a : Cho hình vuông có cạnh a Qua tâm hình vuông vẽ đờng thẳng (d) tuỳ ý Chứng minh tổng bình phơng khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến đờng thẳng (d) không đổi A B C1 A1 D1 O B1 C D Dễ dàng chứng minh đợc tam giác AA1O, CC1O, OB1B, OD1D nhau, tam giác OAD vuông cân O Từ có : DD12 + BB12 = 2OA12 AA12 + CC12 = 2AA12 DD12 + BB12 +AA12 + CC12 = 2(OA12 +AA12) = 2AO2 = AD2 = a2 =const Bài tập 3b : Chứng minh rằng: Trong hình thang ,tổng bình phơng hai đờng chéo tổng bình phơng hai cạnh bên cộng hai lần tích hai cạnh đáy A D B 26 C E F Hạ AE, BF vuông góc với DC (E,F thuộc DC ) áp dụng định lý Pitago cho - Tam giác vuông EAC có : AC2 = AE2 + EC2 =AE2 +EF2 +FC2 +2EF.FC - Tam giác vuông AED có AE2 = AD2 - DE2 Đợc : AC2 = AD2 - DE2 + EF2 +FC2 -2EF.FC (1) - Tam giác vuông BFD có :BD2 = BF2 + FD2 =BF2 +EF2 +DE2 +2EF.DE - Tam giác vuông AED có BF2 = BC2 - FC2 Đợc : BD2 = BC2 - FC2 + EF2 +DE2 -2EF.DE (2) Cộng (1) ( 2) đợc : AC2 + BD2 = AD2 +BC2 +2EF2 + 2EF.FC+2EF.DE = AD2 +BC2 +2EF(EF +FC+DE ) =AD2 +BC2 +2EF.DC =AD2 +BC2 +2AB.DC ( đpcm) Bài toán cực trị hình học Bài toán 2a : Cho hai đờng thẳng a,b song song với cách khoảng 2k cho trớc I điểm cách hai đờng thẳng ; Hai cạnh góc vuông có đỉnh I lần lợt cắt a A cắt b B Xác định góc vuông ( vị trí tia IA; IB) để tam giác IAB có diện tích nhỏ D x A Giải : Có : ID = IC = k Đặt: AD = x CB = y I Có : C y B SIAB = SABCD -(SIAD+ SICB) = (x +y)k - (x+y)k/2 = (x + y)k/2 Xét hai tam giác đồng dạng : IAD BIC đợc : AD/IC = ID/BC => AD.BC = ID.IC = k2 = const x.y = const Để SIAB nhỏ => x + y nhỏ => x = y => ABCD hình chữ nhật Tính x,y : Có x2 +k2 + y2 + k2 = 2x2 + 2k2 = IA2 +IB2 = AB2 = 4k2 x2 = k2 => x = k (do x>0) Bài toán 2b : Cho tam giác ABC vuông A Xác định điểm M tam giác cho tổng bình phơng khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác đat giá trị nhỏ 27 A E F I B M H G C ME2 + MF2 +MG2 = AM2 + MG2 (AEMF hình chữ nhật ) = AI2 +IM2 + MG2 (AIM vuông I ) AI2 + IH2 ( Dấu = xảy M thuộc AH ) (1) 2 Lại có : AI + IH = AH2 - 2AI.IH Do AH không đổi nên ME2 + MF2 +MG2 nhỏ AI.IH lớn Và có AI +IH = AH =const nên AI.IH lớn lúc AI=IH=AH/2 (2) Kết hợp (1) (2) đợc M trung điểm AH tổng bình phơng khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác nhỏ 28 [...]... điểm P và hình chữ nhật BCC1B2 có : PC12 = PC2 + PB 22 -PB2 = PC2 + PB12 -PB2 (1) - Xét điểm P và hình chữ nhật ACC2A2 có : PC22 = PC2 + PA22 -PA2 = PC2 + PA12 -PA2 (2) Trừ (1) cho (2) đợc : PC12 - PC22 = PB12 + PA2 - PB2 - PA12 = 0 ( Do quan hệ điểm P với HCN ABB1A1 ) PC1 = PC2 => P thuộc trung trực của C1C2 => đpcm 3 Bài tập tính toán : Bài toán 3a : Cho hình vuông có cạnh a Qua tâm hình vuông... điểm bất kỳ trên AB Vẽ các hình vuông ACDE; CBFG Xác định vị trí của điểm C để tổng diện tích hai hình vuông trên đạt giá trị nhỏ nhất G F Giải : Đặt AC = x => CB = a-x SACDE + SCBFG = x2 + (a-x) 2 = 2(x -a/2)2 + a2/2 a2/2 Dấu = xảy ra lúc x =a/2 E D A C là trung điểm của AB C B 6 Các bài toán tổng hợp Bài toán 1b : Cho tam giác ABC Về phía ngoài của tam giác dựng các hình vuông ABGH , ACEF và... lợt là trung điểm của AB,AC,BC Gọi A,B,C lần lợt là điểm đối xứng của P qua Q,N,M Chứng minh AA,BB,CC đồng quy Giải : A C B P C B Chứng minh ABAB là hình bình hành : A Các đoạn thẳng AB và BA cùng song song và bằng PC Tơng tự chứng minh đợc CACA là hình bình hành đpcm 2 Bài tập về chứng minh bằng nhau Bài toán 2a : Cho góc nhọn xOy có Ot là tia phân giác M là điểm thuộc miền trong của góc M1,... phân giác của góc MOz 4 Bài tập về quỹ tích , dựng hình Bài toán 4a : Một con kênh có hai bờ song song P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía con kênh Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng đi từ P đến N bằng đoạn đờng từ Q đến M (N nằm bờ kênh phía P và M nằm bờ kênh phía Q) Q d M N P P HD : PT : - Giả sử dựng đợc P Gọi P là đỉnh thứ t của hình bình hành PNMP Lúc đó PN = PM => PM=MQ => M... góc với BC - Dựng đờng thẳng đối xứng với đờng thẳng AB qua trục (d) ,đờng thẳng này cát đờng thẳng AC tại N - Dựng M đối xứng với N qua (d) - Tam giác PMN là tam giác cần dựng 5 Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a : ( Bài toán con chim ) Trong mặt phẳng P cho đờng thẳng d hai điểm A,B nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ Xác định trên d điểm M sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất Giải : a Trờng hợp... AB CD BC Đpcm C 1 = 1 1 + IE AB CD b Hoàn toàn tơng tự ta cũng có : IF = EF Đpcm Bài toán 2b : Cho hình thang cân ABCD (AD//BC ) Gọi M,N là trung điểm của BC và AD Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kỳ PN cắt BD tại Q Chứng minh MN là tia phân giác của góc PMQ P HD : A I N K D Q B M P 18 C Gọi I,K,P lần lợt là giao điểm của AD với PM , AD với MQ, PQ với BC - Dễ dàng chứng minh đợc MN vuông... NK/MP => IN=NK Tam giác IMK có MN vừa là trung tuyến vừa là đờng cao nên nó là phân giác ( đpcm ) 3 Bài tập tính toán Bài toán 3a : Cho hình thang ABCD (AB//CD ) I là giao điểm của AC với BD Gọi S 1, S2 lần lợt là diện tích các tam giác IAB và IAD Tính diện tích hình thang theo S 1, S2 Giải : SIBC = S2 A B Gọi S3 là diện tích tam giác S1 IDC Ta có : S 2 S3 = ID2 I S1 IB2 S3 S2 = ID D C S1 IB 2... AC.AB/BC Có BC = IB +IC = (AC2 + AC.AB ) /BC BC2 = AC( AC + AB ) BC2 = b(b+c ) 4 Bài tập về quỹ tích , dựng hình Bài toán 4b : Cho tam giác ABC I là điểm nằm trong tam giác M là điểm thay đổi trên cạnh BC Các đờng thẳng qua M song song với BI và CI theo thứ tự cắt AC và AB tại N và P Dựng hình bình hành MNQP Tìm tập hợp điểm Q Giải : Gọi K là giao điểm CI với AB ; H là giao điểm của BI và AC Qua... vuông góc với d cắt Oy tại F Dựng trung điểm M của EF Dựng I là giao điểm của OM với d Qua I dựng đờng thẳng vuông góc với d cắt Ox tại B và cắt Oy tại A AB là đoạn thẳng cần dựng 5 Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a : Cho góc nhọn xOy và điểm M thuộc miền trong của góc Hãy dựng qua M một cát tuyến cắt hai cạnh của góc xOy tại A và B sao cho 1 + 1 MA MB Giải : đạt giá trị lớn nhất N Vẽ : MN //... toán 1a : Chứng minh rằng trong một tam giác bình phơng cạnh đối diện góc nhọn bằng tổng bình phơng hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của một trong hai cạnh ấy với hình chiếu của cạnh còn lại trên nó Chứng minh : Giả sử A là góc nhọn Gọi AH là hình chiếu của cạnh AC trên cạnh AB Cần chứng minh : BC2 = AB2 + AC2 - 2AB.AH - Tam giác vuông CHB có : BC2 = CH2 + HB2 (1) - Tam giác vuông CHA có : CH2 = AC2