Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275 VẤN ĐỀ 5: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Biên soạn: CAO VĂN TUẤN SĐT: 0975306275 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Phương pháp Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  Tiệm cận đứng Đường thẳng x  x0 tiệm cận đứng đồ thị  C  điều kiện sau thỏa mãn: lim f  x    lim f  x    lim f  x    lim f  x    x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 Tiệm cận ngang Đường thẳng y  y0 tiệm cận ngang đồ thị  C  lim f  x   y0 lim f  x   y0 x  x  Tiệm cận xiên Đường thẳng y  ax  b ,  a   tiệm cận xiên đồ thị  C  lim  f  x    ax  b   x  lim  f  x    ax  b   Chú ý: Cách xác định hệ số a, b phương trình tiệm cận xiên: f  x f  x   a  xlim a  xlim   x x   b  lim  f  x   ax  b  lim  f  x   ax    x   x     Khi a = tiệm cận xiên suy biến thành tiệm cận ngang x  Bài tập ví dụ Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: 2x 1  4x a) y  b) y  x 1 1 x Giải: a) TXĐ: D = \ 1 c) y  x   x2 d) y  x2 1 x 2x 1 2x 1  2, lim 2 x  x  x  x  Suy đường thẳng y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số (khi x   x   ) 2x 1 2x 1 lim    , lim     x  1 x  x  1 x   lim Suy đường thẳng x  1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số (khi x   1  x   1 )  b) TXĐ: D =  lim x  \ 1  4x  4, 1 x https://www.facebook.com/ThayCaoTuan lim x   4x  1 x Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275 Suy đường thẳng y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số (khi x   x   )  4x  4x  lim lim   ,   x 1  x x 1  x Suy đường thẳng x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số (khi x  1 x  1 ) c) TXĐ: D = \ 2    lim   x      , x  2   x2   lim   x      x  2   x2 Suy đường thẳng x  2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số (khi x   2   x   2  )   lim  y   x  1  lim 0, x  x  x  lim  y   x  1  lim 0 x  x  x  Suy đường thẳng y  x  tiệm cận xiên đồ thị hàm số (khi x   x   ) d) TXĐ: D = \ 1 x2 Ta có: y   x 1 1 x 1 x      lim   x   lim   x      ,    x 1  x  1 x  1 x   Suy đường thẳng x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số (khi x  1 x  1 ) 1  lim  y    x  1   lim  , lim  y    x  1   lim 0 x  x  x   x x   x Suy đường thẳng y   x  tiệm cận xiên đồ thị hàm số (khi x   x   ) 4x 1 Ví dụ 2: Gọi  C  đồ thị hàm số y  3 x a) Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M tùy ý  C  đến đường tiệm cận số b) Tìm điểm thuộc  C  cho tổng khoảng cách từ điểm đến đường tiệm cận  C  nhỏ Giải:  4x 1  Lấy M   C   M  x0 ;   x0   a)  Đường thẳng 1 : x   tiệm cận đứng đồ thị hàm số (khi x  3 x  3 )  khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là: d M,1   x0   Đường thẳng  :  tiệm cận ngang đồ thị hàm số (khi x   x   )  khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là: d M,2   Suy ra: d M,1  d M,2   x0  x0  13 4   x0  x0 13  13  (đpcm)  x0  4x 1  b) Tổng khoảng cách từ điểm M  x0 ;    C  đến đường tiệm cận  C  là:  x0   13 Cauchy 13 S  d M,1   d M,2   x0    x0   13  x0  x0 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275 Vậy tổng khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận  C  đạt GTNN 13 , xảy x0    x0   13  x0   13 13   x0  3  13     x0  x0    13  x0   13   Với x   13 M   13; 13   Vậy điểm cần tìm là: M   13;  13   ; M   Với x0   13 M1  13;  13  2 13; 13   x2 có đồ thị  C  Tìm tất điểm M thuộc  C  cho: x 3 a) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang ĐS: a) M1  2;0  M 8;  Ví dụ 3: Cho hàm số y  b) M1  2; 4  M  4;6  3x  có đồ thị  C  x2 a) Tìm điểm nằm  C  cách hai trục tọa độ Ví dụ 4: Cho hàm số y  b) Tìm hai điểm A, B nằm hai nhánh  C  cho AB nhỏ c) Tìm điểm M thuộc  C  cho khoảng cách từ M đến đường thẳng  : 3x  y   12 Giải:  3x   Gọi M  x0 ;    C  điểm cần tìm x0    a) Điểm M cách hai trục tọa độ  3x0    21  x   x0  x0   x  x   3x0  0  xM  yM  x0      3x0  x0    x0  x0   1   x    x0  x0      21  21  3x   21  21  Với x0     M1  ;  2 x0  2     21  21  3x   21  21  Với x0     M  ;  x0  2 2    1  1   3x  1  1   Với x0     M3  ;  x0  2 2    1  1   3x  1  1   Với x0     M  ;  x0  2 2     21  21    21  21  Vậy có điểm M cần tìm là: M1  ; M  ;  ;  ; 2 2      1  1    1  1   M3  ; M  ;  ;  2 2     https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275 5  b) Tiệm cận đứng đồ thị đường thẳng x  Do đó, hai điểm A   a;3   a  5  B   b;3   (với a, b  ) hai điểm nằm hai nhánh đồ thị  C  b  25  2  5 Ta có: AB   a  b        a  b  1  2  a b  ab  Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:  a  b 2  4ab   25  25 10 1  2   2  ab ab  a b  25  10 2  AB2   a  b  1  2   4ab  40 ab  ab  a  b a  b  25   AB nhỏ  AB nhỏ  1  2  a 2b  25  a  b   ab a  0, b   a  0, b  2     Vậy hai điểm A  5;3  B  5;3  hai điểm cần tìm 3x0  c) d M,   3x0  1 x0  32   4   12  3x02  17 x0  x0   12 3x02  17 x0   12  x0    x  17 x0   12 x0    3x0  17 x0   12  x0     x0   x 3x02  29 x0  26      3x0  x0  22    x0    x0  1 26  2  11 7  26 15    11  Vậy có điểm M1 1; 2  ; M  ;  ; M3  2;  ; M  ;6  4  4  3   Ví dụ 5: Lấy điểm M   C  : y  tiệm cận  C  không đổi x  3x  Chứng minh tích khoảng cách từ M đến hai x2 Giải: x  3x   x 5 Ta có: y  x2 x2      lim  x     , lim  x       x 2  x 2  x2 x2 Suy đường thẳng x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số (khi x  2 x  2 ) 1 0, lim  y   x  5   lim 0  lim  y   x  5   lim x  x  x  x  x  x  Suy đường thẳng y  x  tiệm cận xiên đồ thị hàm số (khi x   x   ) https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 1: “Hàm số”   Lấy M  x0 ; x0      C  Khi đó: x0    Cao Văn Tuấn – 0975306275  Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng  C  là: d1  x0   Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên  C  là:   x0   x0   5 x0   x0  y0   d2    x0  2 Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận  C  là: d1.d  x0  9    đpcm  x0  2 có đồ thị  C  Gọi M điểm thuộc  C  , qua M vẽ x2 hai đường thẳng song song với hai đường tiệm cận  C  , hai đường thẳng tạo với hai đường tiệm cận hình bình hành, chứng minh hình bình hành có diện tích không đổi Giải: TXĐ: D = \ 2 Ví dụ 6: Cho hàm số y  x   Đồ thị  C  hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x  2 tiệm cận xiên đường thẳng y  x  Gọi MNIP hình bình hành tạo hai đường tiệm cận  C  hai đường thẳng vẽ từ M song song với hai tiệm cận (I giao điểm hai đường tiệm cận   M   C   M  x0 ; x0    x0     N  TCX  N  x0 ; x0  1  MN  yM  yN   x0  MN  Ox Đường thẳng MN qua M song song với đường tiệm cận đứng nên có phương trình là: x  x0  d  d I,MN  2  x0  x0  Diện tích hình bình hành MNIP là: SMNIP  MN  d I,MN   x0    (đpcm) x0  Ví dụ [ĐHQG – TpHCM – 1997]: Cho họ đồ thị  Cm  : y  x  mx  Tìm m để tiệm cận xiên x 1  Cm  tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Giải: TXĐ: D = \ 1 x  mx  m  x  m 1 x 1 x 1  Khi m  hàm số trở thành y  x  Hàm số có tiệm cận xiên đường thẳng y  x  , tam giác tạo có diện tích Do m  không thỏa mãn yêu cầu toán  Khi m  : m m lim  y   x  m  1  lim 0, lim  y   x  m  1  lim 0 x   x  x  x   x  x  Suy đường thẳng y  x  m  tiệm cận xiên đồ thị hàm số (khi x   x   ) Ta có: y  Khi đó, giao điểm tiệm cân xiên với hai trục Ox, Oy là: A  m  1;0  ; B  0; m  1 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 1: “Hàm số” Cao Văn Tuấn – 0975306275 Tiệm cận xiên  Cm  tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích m   m  1  SAOB  OA.OB  m  m     m  1  16    2  m   4  m  5 Vậy m  ; m  5 giá trị cần tìm mx    m  x  m2  Ví dụ 8: Gọi  C  đồ thị hàm số y  , m tham số Khi  C  có tiệm cận xiên, x 1 gọi đường tiệm cận xiên  d  Tìm m để: a) b) c)  d  qua điểm A 1;   d  tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến  d  Giải: TXĐ: D = \ 1 mx    m  x  m2  m2   mx   x 1 x 1 Suy  C  có tiệm cận xiên  m  Khi đó,  C  có tiệm cận xiên đường thẳng  d  : y  mx  Ta có: y  a)  d  qua điểm A 1;4   m.1   m  (thỏa mãn m  ) Vậy m  giá trị cần tìm OM   0;3    b) Giao điểm  d  với hai trục tọa độ M  0;3 N   ;0       m  ON    ;0   m   Vì tam giác OMN vuông O nên diện tích tam giác OMN là: 1 3 SOMN  OM.ON       m   m   (thỏa mãn m  ) 2 m 2m 4 giá trị cần tìm c) d O, d      m2   m 1  m2    m2   m  (thỏa mãn m  ) Vậy m  giá trị cần tìm Vậy m    x2 có đồ thị  C  Tìm tất điểm M thuộc  C  cho: Khoảng cách x từ M đến tiệm cận đứng lần khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên Giải: TXĐ: D = \ 0 Ví dụ 9: Cho hàm số y   x2  x  x x  1 Gọi M  x0 ;  x0     C  điểm cần tìm x0   Ta có: y  Đồ thị  C  hàm số cho có:  Tiệm cận đứng đường thẳng  1  : x   Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là: d M,1   x0 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 1: “Hàm số”  Tiệm cận xiên đường thẳng    : y   x  Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là: d M,2   Cao Văn Tuấn – 0975306275 x0 Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d M,1   2d M,2  lần khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên  x0  2  x0   x0   x0    x0  x0  1  Với x0  M1 1;0   Với x0  1 M1  1;0  Vậy M1 1;0  M2  1;0  điểm cần tìm mx   3m2   x  có đồ thị  Cm  với m x  3m a) [ĐH, khối A – 2008] Tìm m để góc hai tiệm cận đồ thị  Cm  450 Ví dụ 10: Cho hàm số y  b) Tìm m để đồ thị  Cm  có tiệm cận xiên cắt hai trục tọa độ A, B cho tam giác AOB có diện tích Giải: TXĐ: D = \ 3m Ta có: y  mx   3m2   x  x  3m  mx   6m  x  3m  6 m   m  Đồ thị  Cm  có hai tiệm cận (có tiệm cận xiên)    m  m  Khi đó, đồ thị  Cm  có:  *  Tiệm cận đứng là:  1  : x  3m  x  3m  có VTPT n1  1;0   Tiệm cận xiên là:  2  : y  mx   mx  y   có VTPT n2   m; 1 a) Góc hai tiệm cận đồ thị  Cm  450 cos 450  cos  n1 , n2   n1.n2 n1 n2  m 2   2 m 1  m2   m   m2  1  4m2  m2   m  1 (thỏa mãn * ) Vậy m  1 giá trị cần tìm OA   0; 2  2   b) Tiệm cận xiên  Cm  giao với trục tọa độ A  0; 2  B  ;0    2   m  OB   ;0  m   1 1 SAOB  OA.OB  2 4   m   m   (thỏa mãn * ) 2 m 2m 2 Vậy m   giá trị cần tìm https://www.facebook.com/ThayCaoTuan