Đang tải... (xem toàn văn)
Dạng 1 : Phương trình A B 0( 0) A B A B ≥ ≥ = ⇔ = Dạng 2: Phương trình 2 B 0 A B A B ≥ = ⇔ = Tổng quát: 2 2 0 k k B A B A B ≥ = ⇔ = Dạng 3: Phương trình 0 ) 0 2 A A B C B A B AB C ≥ + + = ⇔ ≥ + + = (chuyển về dạng 2 +) 3 3 A B C A B A B A B C + = ⇔ + + + = 3 3 3 . ( 3 3 ) (1 và ta sử dụng phép thế : 3 3 A B C + = ta ñược phương trình : A B A B C C + + = 3 . . 3 Dạng 4: 3 2 1 A B A B A B A B = ⇔ = = ⇔ = 3 ; k + 2 1 k + Chú ý: Phương trình (2) là phương trình hệ quả của ph tr (1). Phép bình phương 2 vế của một phương trình mà không có ñiều kiện ch ñổi hệ quả. Sau khi tìm ñược nghiệm ta phải thử lại.
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Năm học 2010- 2011 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Sinh viên : Phan Sỹ Tân Lớp : k16kkt3 GOOD LUCKD PHƯONG TRÌNH PHÁP LUỸ THỪA Dạng : Phương trình A ≥ 0( B ≥ 0) A= B ⇔ A = B Dạng 2: Phương trình B ≥ Tổng qt: A=B⇔ A = B 2k B ≥ A=B⇔ 2k A = B Dạng 3: Phương trình +) A + B = A ≥ (chuyển dạng 2) C ⇔ B ≥ A + B + AB = C +) A + B = C ⇔ A + B + 3 A.B ( ) A + B = C (1) ta sử dụng phép : A + B = C ta phương trình : A + B + 3 A.B.C = C (2) Dạng 4: A = B ⇔ A = B3 ; k +1 A = B ⇔ A = B k +1 Chú ý: - Phương trình (2) phương trình hệ ph tr (1) - Phép bình phương vế phương trình mà khơng có điều kiện cho vế khơng âm phép biến đổi hệ Sau tìm nghiệm ta phải thử lại Giải phương trình sau: 1) x2 − 4x + = x + 2) x − 2x + = − x 3) (x − 3) x − = x − 4) 3x − x + = x − 5) x − 3x + − − x = 6) 8) − 1− x = − x 9) 7) 3x − 3x − = 10) 13) x + + x + = x + 11 11) x + − − x = 2x − 14) 3x − x + = x − x + + x − = 5x x +1 + x + + x + = 12) x −1 − x − = x − 5x − − 3x − − x − = 15) x + − − x = − 2x Cách học tốt mơn Tốn phải làm Sytan1992@gmail.com Bài tập nhiều , bên cạnh ( hehe ☺ Trang1/19-LTðH-2010 ) LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 16) y − 14 − 12 − y = 18) x + 3x + + x + x + = x + x + (20) 17) Năm học 2010- 2011 3x + 6x + 16 + x + 2x = x + 2x + 19) x +1 = x + − 20) x2 + − x2 − = x + + 3x + = x + x + Nhận xét : Nếu phương trình : phương trình dạng f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) Mà có : f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + k ( x ) , ta biến đổi f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau bình phương ,giải phương trình hệ x3 + (21) + x + = x2 − x + + x + x+3 Nhận xét : Nếu phương trình : f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) Mà có : f ( x ) h ( x ) = k ( x ) g ( x ) ta biến đổi f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau bình phương ,giải phương trình hệ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶT ẨN PHỤ Dạng 1: Các phương trình có dạng : ∗ α A.B + β A.B + γ = , đặt t = A.B ⇒ A.B = t ∗ α f ( x) + β f ( x) + γ = , đặt t = f ( x) ⇒ f ( x) = t ∗ α ( x − a)( x − b) + β ( x − a) x −b x −b + γ = đặt t = ( x − a ) ⇒ ( x − a )( x − b) = t x−a x−a Chú ý: ∗ Nếu khơng có điều kiện cho t, sau tìm x phải thử lại Bài Giải phương trình sau: 1) ( x + 1)( x + 4) = x + x + 28 7) 2) x + 10 x + = − x − x (x − 3)2 + 3x − 22 = x − 3x + 3) x( x + 5) = 23 x + x − − 5) − ( − x)( + x ) = x − x − 12 6) ( + x )(6 − x) = x − x − 12 Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm? a) (1 + x)(3 − x) = x − x + + m b) − x + x + (3 − x )(x + 1) = m − 4) x − x + = x − x + Bài Cho phương trình: − x + x + (3 − x)( x + 1) = m − a Giải phương trình m = 12 b Tìm m để phương trình có nghiệm? Bài Cho phương trình: (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3) x + = m (ð3) x−3 a Giải phương trình với m = -3 b Tìm m để phương trình có nghiệm? Dạng 2: Các phương trình có dạng: A± B± ( A± B Bài Giải phương trình sau: a) (QGHN-HVNH’00) + x − x2 = x + 1− x Cách học tốt mơn Tốn phải làm Sytan1992@gmail.com ) b) Bài tập +C = ðặt t= A± B x + + x + = 3x + 2 x + x + - nhiều , bên cạnh ( hehe ☺ Trang2/19-LTðH-2010 ) LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN c) (AN’01) x + + x − + 49 x + x − 42 = 181 − 14 x e) x + h) x = 2x + +4 2x z − + z + + ( z − 1)( z + 3) = − z i) x+4 + x−4 = x + x − 16 − d) g) (TN- KA, B ‘01) x + (ð36) Năm học 2010- 2011 x = 2x + −7 2x x − + x − = x − + x − x + (KTQS‘01) Bài Cho phương trình: + x + − x − (1 + x )(8 − x ) = a (ðHKTQD - 1998) a Giải phương trình a = b Tìm a để phương trình cho có nghiệm.? Bài Cho phương trình: + x + − x − (3 + x )(6 − x ) = m (ð59) a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình có nghiệm? Bài Cho phương trình: x + + − x − ( x + 1)(3 − x) = m (m-tham số) (ðHSP Vinh 2000) a Giải phương trình m = b Tìm để phương trình cho có nghiệm Bài Tìm a để PT sau có nghiệm: + x + − x − (2 + x )(2 − x ) = a Tất tập 2, 3, 4, ta sáng tạo thêm câu hỏi tập sau: a) Tìm a để phương trình cho có nghiệm nhất? (ðK cần đủ) b) Tìm a để phương trình cho vơ nghiệm? Dạng 3: ðặt ẩn phụ ẩn ban đầu (Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn ) Từ phương trình tích ( )( x +1 −1 ) x +1 − x + = , ( 2x + − x )( ) 2x + − x + = Khai triển rút gọn ta phương trình vơ tỉ khơng tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể qua ví dụ sau Bài ) ( Giải phương trình : x + − x + x = + x + Giải: ðặt t = t = x + , ta có : t − ( + x ) t − + x = ⇔ t = x − Bài Giải phương trình : ( x + 1) x − x + = x + Giải: ðặt : t = x − x + 3, t ≥ Khi phương trình trở thnh : ( x + 1) t = x + ⇔ x + − ( x + 1) t = Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có ∆ chẵn t = t = x − : x − x + − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ Từ phương trình đơn giản : ( 1− x − 1+ x )( ) − x − + + x = , khai triển ta pt sau Bài Giải phương trình sau : x + − = 3x + − x + − x Giải: Nhận xét : đặt t = − x , pttt: + x = x + 2t + t + x (1) ( ) Ta rút x = − t thay vào pt: 3t − + + x t + Cách học tốt mơn Tốn phải làm Sytan1992@gmail.com Bài tập ( ) + x −1 = nhiều , bên cạnh ( hehe ☺ Trang3/19-LTðH-2010 ) LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Năm học 2010- 2011 ( Nhưng khơng có may mắn để giải phương trình theo t ∆ = + + x ) − 48 ( ) x + − khơng có dạng bình phương Muốn đạt mục đích ta phải tách 3x theo ( ) ( 1− x , 1+ x ) Cụ thể sau : 3x = − (1 − x ) + (1 + x ) thay vào pt (1) ta được: Bài Giải phương trình: 2 x + + − x = x + 16 Giải ( ) Bình phương vế phương trình: ( x + ) + 16 − x + 16 ( − x ) = x + 16 ( ) = α ( − x ) + ( + 2α ) x Ta đặt : t = − x ≥ Ta được: x − 16t − 32 + x = Ta phải tách x 2 − 8α cho ∆ t có dạng phương Nhận xét : Thơng thường ta cần nhóm cho hết hệ số tự đạt mục đích Bài tập đề nghị: Giải phương trình sau 1) (4 x − 1) x + = x + x + 2) 2(1 − x ) x + x − = x − x − 4) + x − 2x = x − − 2x + 7) x + x − − − − x − = x x x 12 12 (9) 12 − + x − = x x x 3) x + x + 12 x + = 36 5) + x − = x + − x + − x 6) sin x + sin x + sin x + cos x = x+ y 8) 43 x − x sin + cos(x + y ) = 13 + cos2 (x + y ) Một số dạng khác ( 1) 9(x + 1) = (3 x + ) − x + ( 4) 10 x + = x − x + 7) x + 10) x x −1 = ) 35 12 ) 2) x − x + = − 5) x4 + x2 +1 x − x2 −1 + x + x2 −1 = 3) 6) x − = x + 3x − 6x 12 x 12 x − − 24 =0 x−2 x−2 x−2 3x 1− x + x 3x 8) = −1 ⇔ = −1 2 1− x 1− x 1− x 1− x x x +1 −2 = (ð141) x +1 x 11) (1 − 4x + 2x ) = 2x + Dạng 4: ðặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến : Chúng ta biết cách giải phương trình: u + α uv + β v = (1) cách u u Xét v ≠ phương trình trở thành : + α + β = v v v = thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1) a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) Cách học tốt mơn Tốn phải làm Sytan1992@gmail.com Bài tập nhiều , bên cạnh ( hehe ☺ Trang4/19-LTðH-2010 ) LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Năm học 2010- 2011 α u + β v = mu + nv Chúng ta thay biểu thức A(x) , B(x) biểu thức vơ tỉ nhận phương trình vơ tỉ theo dạng a) Phương trình dạng : a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) P ( x ) = A ( x ) B ( x ) Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Như phương trình Q ( x ) = α P ( x ) giải phương pháp Xuất phát từ đẳng thức : x3 + = ( x + 1) ( x − x + 1) x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1)( x − x + 1) ( )( ) x4 + = x2 − x + x2 + x + x + = ( x − x + 1)( x + x + 1) Hãy tạo phương trình vơ tỉ dạng ví dụ như: x − 2 x + = x4 + ðể có phương trình đẹp , phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai at + bt − c = giải “ nghiệm đẹp” ( ) Bài Giải phương trình : x + = x3 + Giải: ðặt u = x + 1, v = x − x + u = 2v Phương trình trở thành : ( u + v ) = 5uv ⇔ u = v Bài Giải phương trình : x − x + = − x + x2 + 2 Tìm được: x = ± 37 Bài 3: giải phương trình sau : x + x − = x − Giải: ðk: x ≥ ( ) ( x − 1) ( x + x + 1) Nhận xt : Ta viết α ( x − 1) + β x + x + = ( ) ðồng thức ta được: ( x − 1) + x + x + = ( x − 1) ( x + x + 1) v = 9u ðặt u = x − ≥ , v = x + x + > , ta được: 3u + 2v = uv ⇔ v = u Ta : x = ± Bài Giải phương trình : x − x + ( x + 2) − 6x = Giải: Cách học tốt mơn Tốn phải làm Sytan1992@gmail.com Bài tập nhiều , bên cạnh ( hehe ☺ Trang5/19-LTðH-2010 ) LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Năm học 2010- 2011 Nhận xét : ðặt y = x + ta biến pt phương trình bậc x y : x = y x3 − x + y − x = ⇔ x3 − xy + y = ⇔ x = −2 y Pt có nghiệm : x = 2, x = 2−2 b).Phương trình dạng : α u + β v = mu + nv Phương trình cho dạng thường khó “phát “ dạng , nhưg ta bình phương hai vế đưa dạng Bài giải phương trình : x + x − = Giải: x4 − x2 + u = x Ta đặt : phương trình trở thành : u + 3v = u − v 2 v = x − Bài 2.Giải phương trình sau : Giải ðk x ≥ x2 + x + x − = 3x2 + x + 1 Bình phương vế ta có : (x + x ) ( x − 1) = x + ⇔ (x + x ) ( x − 1) = ( x + x ) − ( x − 1) 1− u= v u = x + x 2 Ta đặt : ta có hệ : uv = u − v ⇔ 1+ v = x − v u = 1+ 1+ Do u , v ≥ u = v ⇔ x2 + 2x = ( x − 1) 2 Bài giải phương trình : Giải: x − 14 x + − x − x − 20 = x + ðk x ≥ Chuyển vế bình phương ta được: x − x + = ( (x − x − 20 ) ( x + 1) ) Nhận xét : khơng tồn số α , β để : x − x + = α x − x − 20 + β ( x + 1) ta khơng thể đặt u = x − x − 20 v x = + ( ) ( ) Nhưng may mắn ta có : x − x − 20 ( x + 1) = ( x + )( x − )( x + 1) = ( x + ) x − x − Ta viết lại phương ( ) trình: x − x − + ( x + ) = ( x − x − 5)( x + 4) ðến tốn giải Dạng 5: ðặt nhiều ẩn phụ đưa tích Xuất phát từ số hệ “đại số “ đẹp tạo phương trình vơ tỉ mà giải lại đặt nhiều ẩn phụ tìm mối quan hệ ẩn phụ để đưa hệ Xuất phát từ đẳng thức ( a + b + c ) = a + b3 + c + ( a + b )( b + c )( c + a ) , Ta có Cách học tốt mơn Tốn phải làm Sytan1992@gmail.com Bài tập nhiều , bên cạnh ( hehe ☺ Trang6/19-LTðH-2010 ) LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Năm học 2010- 2011 a + b3 + c3 = ( a + b + c ) ⇔ ( a + b )( a + c )( b + c ) = Từ nhận xét ta tạo phương trình vơ tỉ có chứa bậc ba x + − x2 − x − + x2 − 8x + = 3x + + − x + x − − x − = Bài Giải phương trình : x = − x − x + − x − x + − x − x u = − x − u = uv + vw + wu ( u + v )( u + w ) = Giải : v = − x , ta có : 3 − v = uv + vw + wu ⇔ ( u + v )( v + w ) = , giải hệ ta được: 5 − w2 = uv + vw + wu ( v + w )( u + w ) = w = − x 30 239 u= ⇔x= 60 120 Bài Giải phương trình sau : x − + x − 3x − = x + x + + x − x + a = b = Giải Ta đặt : c = d = 2x2 −1 x2 − 3x − 2 2x + 2x + a + b = c + d , ta có : 2 2 a − b = c − d ⇔ x = −2 x2 − x + Bài Giải phương trình sau x2 + 5x + − x2 − x + = x − 1) x + x (1 − x ) + (1 − x ) = − x + x3 + x (1 − x ) 3 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TÍCH Sử dụng đẳng thức u + v = + uv ⇔ ( u − 1)( v − 1) = au + bv = ab + vu ⇔ ( u − b )( v − a ) = ax + b ± cx + d = (a - c) x + (b - d ) m A = B ⇔ ( A − B)( A + B ) = a3−b3 ⇔ (a−b)(a2+ab+b2)=0 ⇔ a=b Giải: pt ⇔ ( )( x +1 −1 x + + x + = + x + 3x + x = x + −1 = ⇔ x = −1 Bài Giải phương trình : Bi Giải phương trình : x + + Giải: + x = , khơng phải nghiệm ) x2 = x + x2 + x Cách học tốt mơn Tốn phải làm Sytan1992@gmail.com Bài tập nhiều , bên cạnh ( hehe ☺ Trang7/19-LTðH-2010 )