bài 3: Các phương pháp tính tích phân

22 7.2K 27
bài 3: Các phương pháp tính tích phân

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 Ngày: 10/01/2006 Đ3 phơng pháp tính tích phân (Tiết 1: Phơng pháp đổi biến số) Tiết PPCT: 62 A Mục tiêu Sau tiết Học sinh hiểu đợc định lí dạng đổi biến số, nắm vững qui tắc đổi biến Từ biết cách sử dụng phơng pháp đổi biến số để tích phân ã Trọng tâm: Học sinh nắm vững quy tắc đổi biến công thức B hớng đích gợi động HĐ 1: Trong thực tế giải toán tích phân, có nhiều trờng hợp sử dụng định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm với phép phân tích khó khăn Để tính đợc tích phân loại phải sử dụng số kỹ thuật khác Đó vấn đề tìm hiểu C Làm việc với nội dung Phân bậc hoạt ®éng H§ 2: VD: TÝnh I1 = ∫ 1 − x dx ? − H·y chøng minh (1)? Nội dung Phơng pháp đổi biến số a) Đổi biến số dạng Định lí Nếu 1) Hàm số x = u(t) có đạo hàm liên tục đoạn [; ] 2) Hàm số hợp f(u(t)) đợc xác định đoạn [; ] 3) u() = a; u() = b th× ta cã: ∫ b a β f(x)dx = ∫ f [ u(t)] u '(t)dt α (1) Chøng minh Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a; b] Khi đó: b a f(x)dx = F(b) F(a) (2) Mặt khác, F(x) nguyên hàm f(x), nên theo tính chất nguyên hàm, F[u(t)] nguyên hàm hàm số f[u(t)]u(t) f [ u(t)] u '(t)dt = F [ u(β)] − F [ u(α)] = F(b) − F(a) α (3) Tõ (2) vµ (3) suy ta có (1) Qui tắc đổi biến số dạng 1) Đặt x = u(t) cho u(t) hàm số có đạo hàm liên tục Phát biểu bớc thực [; ], f(u(t)) xác định [; ] u() = a; u() =b trình trên? 2) Biến đổi f(x)dx = f(u(t).u(t)dt = g(t)dt 3) Tìm nguyên hàm G(t) g(t) HĐ 3: 4) KÕt luËn ∫ b a f(x)dx = G(t) ∫ β α H§ 4: VÝ dơ TÝnh I1 = Xác định cận theo biến t? Đặt x = sint  t ∈  − ;  ÷ Khi x=0 ⇒ t=0; x =1⇒ t=1/2 2 − x dx  − BiÕn đổi hàm số dới dấu tích phân theo t Ta đặt x = sint víi t ∈  0;  Ta cã:  2  π − x = − sin t = cos2 t = cos t v× t ∈  0;   2 Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn TrÃi 123 Giáo án giảng dạy Môn Giải tÝch − Líp 12 − TÝnh dt? vµ dx = cost.dt Do ®ã: I1 = ∫ ⇒ BT tổng quát hơn? Đa dạng a2+x2? HĐ 5: ∫ b a f(x)dx = ? ⇒ Qui t¾c? π 0 + cos2t dt 1 π π =  t + sin 2t ÷ = 2  dx VÝ dô TÝnh I = ∫ (HD: Đặt x + = tgt ) x + x +1 b) Đổi biến số dạng Lấy t = v(x) làm biến số mới, ta biến đổi đợc f(x) thành biểu thức dạng g(v(t)).v(t) Đặt t = v(x) dt= v(x)dx ta có: ∫ b a f(x)dx = ∫ g ( v(x) ) v '(x)dx = ∫ b v(b) a v(a) g(t)dt Qui tắc đổi biến số dạng 1) Đặt t = v(x), v(x) hàm số có đạo hàm liên tục 2) Biểu thị f(x)dx theo t dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt 3) Tính nguyên hàm G(t) g(t) 4) TÝnh TÝnh I3 vµ I4? π − x dx = ∫ cos2 t.dt = ∫ ∫ v(b) v(a ) v(b) g(t)dt = G(t) v(a ) VÝ dô TÝnh I = VÝ dô TÝnh I = ∫ ( 5x + 3) dx ∫ 2π π 3 2π   cos  3x − ÷dx   D Cđng cố hớng dẫn công việc nhà: HĐ 6: Nắm vững qui tắc đổi biến? Với tích phân loại dùng đổi biến dạng 1, dạng Bài tập nhà: Làm tập 1, − SGK E Rót kinh nghiƯm vµ Bỉ sung: Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn TrÃi 124 Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 Ngày: 10/01/2006 Đ3 phơng pháp tính tích phân (Tiết 2: Phơng pháp tích phân phần) Tiết PPCT: 63 A Mục tiêu Sau tiết Học sinh nắm đợc phơng pháp tính tích phân phần, từ biết cách vận dụng để giải toán tích phân Rèn luyện đợc kỹ tính tích phân thông qua ví dụ ã Trọng tâm: Học sinh nắm đợc phơng pháp tích phân phần B kiểm tra đánh giá HĐ 1: Tính tích phân sau: a) I1 = − x dx; b) I = ∫ π dx + cos x C Lµm việc với nội dung Phân bậc hoạt động HĐ 2: − H·y chøng minh (1)? Néi dung Ph¬ng pháp tích phân phần Định lí Nếu u(x) v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục [a; b] thì: b a u(x).v '(x)dx = [ u(x).v(x)] a − ∫ v(x).u '(x)dx Hay [ u(x).v(x)] ' = ? ⇒ ∫ b a a ∫ b a u(x)dv = [ u(x).v(x)] a − ∫ v(x)du a ∫ [ u(x).v(x)] ' dx = ∫ u '(x)v(x)dx + ∫ v '(x).u(x)dx ⇒ ∫ u(x).v '(x)dx = [ u(x).v(x)] − ∫ v(x).u '(x)dx b b a b a TÝnh du, v? ⇒ I1 = ? b a b a a b a V× du = u’.dx; dv = v’.dx nên ta có: udv = ? HĐ 3: b b Chøng minh Ta cã: [ u(x).v(x)] ' = u '(x).v(x) + u(x).v '(x) ⇒ TÝnh du, dv theo x dx? b b b a áp dụng b udv = uv a − ∫ vdu b a ln x dx x3 dx  u = ln x du = x Đặt dx dv = x v = −   2x  VÝ dô TÝnh I1 = Do ®ã: I1 = ∫ 1 ∫ ln x dx  ln x  dx =  − ÷ + ∫ 3 x  2x x HĐ 4: Đặt u =?, dv = ? TÝnh du, v? ln   ln 1 1 ln =− + − ÷ = − − + = −  2x  8 2 16 VÝ dô TÝnh I = ∫ π x.cos xdx u = x du = dx Đặt   dv = cos xdx  v = sin x Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn TrÃi 125 Giáo án giảng dạy Môn Gi¶i tÝch − Líp 12 ⇒ I2 = ? ⇒ I = ( x.sin x ) T¬ng tù h·y xÐt c¸c vÝ dơ 3, 4? π π − ∫ sin xdx = π π π + cos x = − 2 VÝ dô TÝnh I = ∫ xe x dx u = x  du = dx Đặt x x dv = e dx  v = e ( x ⇒ I = xe ) ( − ∫ e x dx = x.e x Đặt u = ?, dv = ? ) 1 − e x = e − (e − 1) = VÝ dô TÝnh I = ∫ xe dx −x u = x du = dx Đặt  −x −x  dv = e dx  v = −e 1 1 −x −x −x −x ⇒ I = (−xe ) + ∫0 e dx = (−xe ) + (−e ) = − e e H§ 5: VÝ dơ TÝnh I = ∫ ln xdx X¸c định du v theo x, dx? u = ln x du = dx Đặt  x  dv = dx  v = x e Đặt u =?, dv = ? e I = (x ln x) − ∫1 dx = (x ln x) − x = e − (e − 1) = e e π VÝ dô TÝnh I = ∫ (2x − 1) cos xdx  u = 2x − du = 2dx ⇒ HD:   dv = cos xdx  v = sin x D Cñng cè – hớng dẫn công việc nhà: HĐ 6: Nắm vững qui tắc tích phân phần? Dấu hiệu? Cách đặt? Bài tập nhà: Làm tập 2, 3, 5, − SGK E Rót kinh nghiƯm vµ Bỉ sung: Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn TrÃi 126 Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 Ngày: 12/01/2006 Đ3 phơng pháp tính tích phân (Tiết 3: Lun tËp) TiÕt PPCT: 64 A Mơc tiªu Sau tiÕt Học sinh thành thạo kỹ vận dụng phơng pháp đổi biến số để giải toán tích phân Biết cách phân tích, biến đổi, tính tích phân hàm số hữu tỉ ã Trọng tâm: Học sinh nắm đợc phơng pháp tính tích phân nhờ đổi biến số tính đợc tích phân hàm hữu tỉ B kiểm tra đánh giá HĐ 1: Tính tích phân sau: a) I1 = ∫ dx + x2 π ; b) I = ∫ cos2 3x.sin 3xdx C Luyện tập Phân bậc hoạt động Nội dung Bài số Tính HĐ 2: a) I1 = ∫π cot gxdx; b) I = Hớng dẫn giải Đổi cận tích phân? I1 = ? Đổi biến nh nào? Đổi cận? Biểu thị dx theo t, dt? − Chun hs vỊ biÕn t? ⇒ I2 = ? HĐ 3: Đặt t = ? dt =? §æi cËn? π 4 a) Cã I1 = ∫π cot gxdx = Đặt t =? dx x2 cos x dx sin x Đặt sinx = t ⇒ dt = cosxdx x=π ⇒t= ;x=π ⇒t= 2 dt 1 ⇒ I = ∫1 = ( ln t ) = ln − ln = ln t 2 2  π b) Đặt x = sin t, t  − ;   2 π x = 0⇒ t = 0; x=1 ⇒ t = π Đặt x = 2sint với t ⇒ dx = cos tdt Cã − x = − sin t = cos t = cos t π (V× ≤ t ≤ ⇒ c os t > ) π cos tdt π π π = ∫ dt = t = ⇒ I = ∫0 cos t Bµi sè TÝnh x e + ln x e a) I1 = ∫ dx; b) I = ∫ dx 1 x x Híng dÉn gi¶i a) Đặt t = 1+lnx dt = dx ; x x = ⇒ t = 1;x=e⇒ t = Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn TrÃi 127 Giáo án giảng dạy Môn Gi¶i tÝch − Líp 12 ⇒ I1 = ? §Ỉt t =?, tÝnh dt? §ỉi cËn? ⇒ I2 = ? ( 2 1 + ln x ⇒ I1 = ∫ dx = ∫ tdt = ∫ t dt = t = 2 − 1 1 x 3 1 x e x dx;x = → t = e, x = → t = e b) §Ỉt t = e ⇒ dt = x e e2 ) e2 ⇒ I = ∫ 2dt = 2t e = 2e − 2e e Bµi sè Tính tích phân: 1 2xdx 3x + a) J1 = ∫ dx;b) J = ∫ x − 5x − x −4 Híng dÉn gi¶i − Chóng ta biÕt tÝnh tÝch phân hữu a) Giả sử: 3x + A B tỉ dạng nào? = + 3x + = (A + B)x + B − 6A dx x − 5x − x + x − HS: ∫ ? x+a A = A + B = Vậy hÃy đa dạng ®ã? ⇒ ⇔ B − 6A =  B = 20 Xác định A, B? HĐ 4: 20dx dx 20 1  +∫ =  ln x + + ln x −  7(x + 1) 7(x − 6) 7 0 20 10 = ln + ln − ln 7 2x 1 = + b) Tơng tự ta phân tích đợc: x −4 x+2 x−2 1 dx dx +∫ = ( ln x + ) + ( ln x − ) = ln Do ®ã: J = ∫0 0 x+2 x−2 ⇒ J1 = ∫ ⇒ J1 =? T¬ng tù tÝnh J2 ? \ 1 D Cđng cè – híng dÉn c«ng việc nhà: HĐ 5: Nắm vững phơng pháp ®ỉi biÕn sè? Rót dÊu hiƯu, trêng hỵp vËn dụng Ghi nhớ cách tính tích phân hàm số hữu tỉ Bài tập nhà: Làm tËp 3.25, 3.26, 3.27 Tr33, 34− SBT E Rót kinh nghiƯm vµ Bỉ sung: Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn TrÃi 128 Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 Ngày: 12/01/2006 Đ3 phơng pháp tính tích phân (Tiết 4: Lun tËp) TiÕt PPCT: 65 A Mơc tiªu Sau tiết Học sinh củng cố đợc phơng pháp tích phân phần thành thạo kỹ vận dụng phơng pháp để giải toán tích phân, nh nắm đợc số dạng tích phân tính đợc phơng pháp tích phân phần ã Trọng tâm: Học sinh nắm đợc trờng hợp vận dụng phơng pháp tích phân phần B kiểm tra đánh giá HĐ 1: Tính tích phân sau: 0 a) I1 = ∫ x sin xdx; b) I = ∫ x cos2xdx C LuyÖn tập Phân bậc hoạt động HĐ 2: Nội dung Bài sè TÝnh π π 0 a) I1 = ∫ (x − 1) cos xdx; b) I = (2 x)sin 3xdx Đặt u =?, dv =? Xác định du v? Hớng dẫn giải u = x − du = dx ⇒ a) §Ỉt   dv = cos xdx  v = sin x ⇒I1 = ? ⇒ I1 = [ (x − 1)sin x ] − ∫ sin xdx π π π π −1+1 = 2  du = − dx u = − x b) Đặt cos3x dv = sin 3xdx  v = −  π π = [ (x − 1)sin x ] − cos x = Đặt u =? dv = ? TÝnh du vµ v? π 1  π ⇒ I =  (x − 3) cos 3x  − ∫ cos3xdx 3 0 π π 1 1 = [ (x − 2) cos3x ] − sin 3x = − = 9 ⇒ I2 = ? Bài số Tính HĐ 3: b) I = ∫ ( ln x ) dx e a) I1 = ∫ e x dx; c) I = ∫ 2x ln(x − 1)dx; d) I = ∫ x e x dx Đặt u =?, dv =? Xác định du v? Hớng dẫn giải u = e x du = e x dx ⇒ a) §Ỉt   dv = cos xdx  v = sin x ⇒I1 = ? ⇒ I1 = e x sin x TÝnh tiÕp ∫ π ( e x sin xdx ) π π − ∫ e x sin xdx = e π π − ∫ e x sin xdx  u1 = e  du = e dx  ⇒ §Ỉt   dv1 = sin xdx  v = cos x x x Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn TrÃi 129 Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 π ( ⇒ ∫ e x sin xdx = − e x cos x π ⇒ Ta cã: I1 = e ) π − ( + I ) ⇒ I1 = π + ∫ e x cos xdx = + I1 e Đặt u =?, dv =? Xác định du vµ v? ln xdx   u = ( ln x )  du = ⇒ b) §Ỉt  x  dv = dx v = x   ⇒I2 = ? ⇒ I = x ln x −1 2 ∫ e ( ) T¬ng tù tÝnh I3 ? e e e 1 − ∫ ln xdx = e − ln xdx Ta đà tính đợc ln xdx = ? e ln xdx = ⇒ I = e − dx   u = ln(x 1) du = c) Đặt  x −1  dv = 2xdx v = x  5 ⇒ I = (x − 1) ln(x − 1)  − ∫ (x + 1)dx  2  x2  27 = 48 ln −  + x ÷ = 48 ln 2 HĐ 4: Đặt u =?, dv =? Xác định du v? ( I = −x2 e− x ⇒I4 = ? TÝnh ∫ u = x  du = 2xdx d) Đặt x x dv = e dx  v = −e  −x xe dx ? ) 1 0 + ∫ xe − x dx = −e −1 + ∫ xe − x dx  u1 = x du1 = dx Đặt x x  dv1 = e dx  v1 = −e   ( ⇒ ∫ xe − x dx = − xe − x ⇒ I = − 5e ) 1 0 + ∫ e − x dx = − e −1 − e − x = − 2e −1 −1 D Củng cố hớng dẫn công việc nhà: HĐ 5: Chú ý trờng hợp vận dụng phơng pháp tích phân phần Các dạng toán liên quan Bài tập nhà: Làm tập 3.28, 3.29 Tr.34, 35− SBT E Rót kinh nghiƯm vµ Bæ sung: Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn TrÃi 130 Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 Ngày: 15/01/2006 Tiết PPCT: 66 Đ4 ứng dụng hình học vật lí tích phân (Tiết 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị) A Mục tiêu Sau tiết Học sinh nắm vững công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y =f(x), trục Ox đờng thẳng x =a; x=b; Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=f(x), y = g(x) đờng thẳng x =a; x=b ã Trọng tâm: Học sinh nắm vững công thức, vận dụng đợc để giải toán B Hớng đích gợi động HĐ 1: Nhắc lại phơng pháp tính diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) liªn tơc, f(x)≥0 trªn [a; b], trơc Ox đờng thẳng x = a, x=b? C làm việc với nội dung Phân bậc hoạt động Nội dung Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số HĐ 2: y=f(x), trục Ox đờng thẳng x = a, x = b Nếu hàm số y = f(x) liên tục không âm [a; b] Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị Công thức tính diện tích của f(x), trục Ox đờng thẳng x = a, x = b là: hình thang cong? b b S = ∫ f(x)dx = ∫ f(x) dx a a − NÕu hs y=f(x)≤0 trªn [a; b] (f(x))0 [a; b] diện tích hình thang cong aABb giới hạn đồ thị f(x), trục Ox đờng thẳng x = a, x = b diện tích hình thang aABb giới hạn đồ thị y=f(x), trục Ox, đờng thẳng x =a, x =b Khi ®ã ta cịng cã: SaABb =? b b b a a a S = ∫ −f(x)dx = ∫ −f(x) dx = ∫ f(x) dx ⇒ C«ng thøc tính S? Từ trờng hợp trên, cách tổng quát ta có: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox đờng thẳng x = a, x = b đợc tÝnh bëi c«ng thøc b S = ∫ f(x) dx a Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hs y = x 2, trục Ox đờng thẳng x =1, x= Hớng dẫn giải HĐ 3: Công thức? S=? S = ∫ x dx = ∫ H§4: 2 x3 x dx = = 3 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − 2x − , trôc Ox đờng thẳng x = ;x = 2 Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn TrÃi 131 Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 Xác định miền cần tính diện tích? Công thức? Hớng dẫn giải Ta có: S=∫ −1 =∫ − TÝnh tÝch ph©n ®ã? ( −x − 2x − 3)dx −1 x − 2x − dx =  x3  265 =  − − x − 3x ÷ = 24   Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = sin x đoạn [0; 2] (Xem sgk) HĐ 5: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đờng thẳng x=a, x=b đồ thị hai hàm số y = f1 (x);y = f2 (x) liên tục đoạn [a; b] Phân tích trờng hợp xảy Từ công thức tính diện tích hình thang cong, suy diện tích hình phẳng đợc xác định công thức: ra? b Cách tính S? S = ∫ f1 (x) − f2 (x) dx a §Ĩ tÝnh S ta thùc hiƯn theo c¸ch sau: − C¸c cách tính tích phân chứa Cách Chia khoảng, xét dÊu biĨu thøc f 1(x) − f2(x) råi khư GTT§? dấu GTTĐ tính S Cách Tìm nghiệm phơng trình f1(x) f2(x) = 0, giả sử , [a; b], thì: b a α β S = ∫ f1 (x) − f2 (x) dx + ∫ f1 (x) − f2 (x) dx + ∫ f1 (x) − f2 (x) dx = H§6: − XÐt c¸c vÝ dơ? α ∫ (f a (x) − f2 (x) ) dx + β ∫ (f α (x) − f2 (x) ) dx + ∫ (f b β (x) − f2 (x) ) dx (V× đoạn nhỏ f1(x) f2(x) giữ nguyên dấu) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng nằm đờng: y = x3 , y = 0, x = −1, x = VÝ dô TÝnh diện tích hình phẳng giới hạn đờng: y = x ;y = x + D Cñng cố hớng dẫn công việc nhà: HĐ 7: Nắm vững công thức, ttrờng hợp vận dụng? Cách lấy tích phân hàm chứa GTTĐ? Bài tập nhà: Làm tập 1, 2, − SGK E Rót kinh nghiƯm vµ Bỉ sung: Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn TrÃi 132 Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 Ngày: 16/01/2006 Đ4 ứng dụng hình học vật lí tích phân (Tiết 2: Diện tích hình tròn elíp Thể tích khối chóp khối nón) A Mục tiêu Sau tiết Học sinh nắm đợc công thức tính diện tích hình tròn elíp đợc xây dựng tích phân Công thức tÝnh thĨ tÝch cđa mét vËt thĨ, thĨ tÝch cđa khèi chãp, khèi nãn, khèi chãp cơt, nãn cơt • Trọng tâm: Học sinh ghi nhớ đợc công thức tÝnh diƯn tÝch vµ thĨ tÝch TiÕt PPCT: 67 B kiểm tra đánh giá HĐ 1: Phát biểu công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đờng thẳng x=a, x=b đồ thị hai hàm sè y = f1 (x);y = f2 (x) liªn tơc đoạn [a; b] áp dụng với f1 (x) = 2x + 1;f2 (x) = x + 2x + 3;a = 1;b = C lµm viƯc víi nội dung Phân bậc hoạt động HĐ 2: Phơng trình đờng tròn? Vậy dtích hình tròn là? Nội dung Diện tích hình tròn elíp a) Diện tích hình tròn Có thể xem hình tròn hình hợp đồ thị hai hàm số y1 = R − x vµ y = − R − x Do ®ã, diƯn tÝch cđa đợc xác định công thức: R R −R R − x dx = ? 2 2 2 Shtrßn = ∫− R R − x + R − x dx Chó ý HiĨn nhiªn, ta tính diện tích hình tròn theo công thức: S = 4∫ R H§ 3: TÝnh S1? H§4: R − x dx b DiƯn tÝch cđa elÝp x2 y2 Cho elÝp (E): + = Gäi a b S1 lµ diƯn tÝch cđa 1/4 elÝp øng víi x≥0; y≥0 th× ta cã: SelÝp = 4S1 NhËn xÐt r»ng S1 lµ diƯn tÝch cđa hình phẳng giới hạn đồ thị b a − x , (0 ≤ x ≤ 1) , trục Ox đờng thẳng x=0 hàm số y = a a b a − x dx = πab Do ®ã: S = 4S1 = ∫0 a Ví dụ Tính diện tích của: a) Hình tròn có phơng trình: x + y 2x − 4y − = x2 y2 b) ElÝp (E) có phơng trình: + = 16 Thể tích vật thể: a) Công thức tính thể tích Giả sử vật thể T giới hạn mp song song lµ (α) vµ (β) Chän hƯ trục toạ độ có Ox() (), gọi a, b giao điểm () () với Ox (a

Ngày đăng: 29/05/2013, 23:18

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan