PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Gợi ý: Dùng đẳng thức) a) 25x2 - 10xy + y2 b) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 c) 81x2 – 64y2 d) (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 e) ( a + b − ) − ( ab + ) 2 f) ( a + b + c ) − a − b − c 3 ( Dùng đẳng thức số 3) ( Dùng đẳng thức số 7) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhóm hạng tử) 2 2 a) x + x + x + b) x z + x yz − x z − xyz c) x2y + xy2 – x – y d) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z e) x3 + y(1 – 3x2) + x(3y2 – 1) – y3 f) x3 + 3x2y + x + 3xy2 + y + y3 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp tách hạng tử) a) x2 - 6x + b) x2 – 8x + 12 2 c) a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b ) d) x3 – 7x – ( Tách c - a = c - b + b - a) ( Tách - 7x = -4x - 3x ) Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp thêm - bớt hạng tử ) a) x4 + b) a4 + 64 c) x5 + x + d) x5 + x - Bài 4*: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp đặt ẩn phụ) Bài giải mẫu : (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Đặt: x2 + x + = y , ta có x2 + x + = y + Ta có: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – + y – = (y – 3)(y + 3) + (y – 3) = (y – 3)(y + 4) Thay x2 + x + = y , ta : (x2 + x + – 3)( x2 + x + + 4) = (x2 + x – 2)( x2 + x + 5) = [(x – 1)(x + 1) + (x – 1)]( x2 + x + 5) = (x - 1)(x + 2)( x2 + x + 5) a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 2 c) (x + 8x + 7)( x + 8x + 15) + 15 d) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x + 2) – Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phối hợp nhiều phương pháp ) a) x2 + 4xy + 3y2 b) 2x2 - 5xy + 2y2 ( Tách -5xy = -4xx - xy) c) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) d) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhẩm nghiệm) Định lí ( Bedu) : Dư phép chia f(x) cho x - a số a Suy : Nếu f(x) có nghiệm x = a f(a) = Khi đó, f(x) có nhân tử x – a f(x) viết dạng f(x) = (x – a).q(x) Bài giải mẫu : Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 3x + thành nhân tử Với x = -1 ( Dùng MTBT để tìm nghiệm) Ta có : (-1)3 - 5.(-1)2 + 3.(-1) + = -1 - -3 + = Vậy x = -1 nghiệm đa thức nên đa thức chia hết cho x - (-1) = x + Từ sở trên, ta phân tích đa thức thành : x3 – 5x2 + 3x + = x3 + x2 – 6x2 - 6x + 9x + ( Để làm xuất hiên nhân tử x + 1) = ( x3 + x2) – ( 6x2 + 6x) + ( 9x + ) = x2( x + 1) - 6x( x + 1) + 9( x + 1) = (x + 1)( x2 - 6x + 9) = ( x + 1)( x - 3)2 a) x2 – 7x + 10 b) x2 – 3x – c) x − x − 12 d) x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) e) bc(b + c) + ac(c – a) – ab(a + b) f) x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhẩm nghiệm hoán vị vòng) Bài giải mẫu : Phân tích đa thức a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) thành nhân tử Xem đa thức với ẩn a Thay a = b Ta có : b(b2 – c2) – b(b2 – c2) + c(b2 – b2) = Vậy a = b nghiệm đa thức nên đa thức chia hết cho a - b Mặt khác: a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = a(b2 – c2) + b(c2 – a2) + c(a2 – b2) nên vai trò a, b c nhau, suy đa thức chia hết cho b - c; c -a + Bậc đa thức cho Suy : a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = k(a-b)(b-c)(c-a) Với k ∈ Z Cho a = 0; b = 1; c = Ta có : ×( 12 − 2 ) − ×( 02 − 2 ) + ×( 02 − 12 ) = k ( − 1) ( − ) ( − ) ⇔ = 2k ⇔ k = Vậy a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = (a-b)(b-c)(c-a) a) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 b) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 c) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) d) bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc BÀI TẬP VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Tìm x , biết : a) (2x – 1)2 – (x +3)2 = b) 5x(x – 3) + – x = 2 2 c) (5x + 3x – ) = (4x – 3x – ) d) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = Bài 2: Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho với n ∈ Z Bài 3: Cho a, b , c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : a3 + b3 + c3 = 3abc Bài 4: Chứng minh rẳng : a) 24 n M15 b) 55n+1 – 552 chia hết cho 54 Bài 5: Cho x + y = -3 x.y = -28 Tính giá trị biểu thức sau theo m,n a) x2 + y2 b) x3 + y3 c) x4 + y4 2 Bài 6: a) Cho a + b + c + = ( a + b + c ) Chứng minh : a = b = c = b) Cho ( a + b + c ) = ( ab + ac + bc ) Chứng minh : a = b = c ( nhân vế cho 2) Chuyển dạng bình phương tổng hiệu Bài 7: a) Cho a +b +c = a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị : a4 + b4 + c4 b) Cho số x,y,z thỏa mãn điều kiện : x + y + z = xy + yz + zx = Hãy tính giá trị Biếu thức : S = (x-1)2011 + (y - 1)2012 + (z +1)2013 Bài 8: Chứng minh rằng: a) a + b + c + d ≥ ab + ac + ad b) a + 4b + 4c ≥ 4ab − 4ac + 8bc Bài 9: Chứng minh rằng: Nếu x + y + z = x3 + y3 + z = 3xyz Bài 10: Chứng minh : a2 + 4b2 + 4c2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc ( Viết dạng bình phương tổng)  ĐÁP ÁN Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Gợi ý: Dùng đẳng thức) a) 25x2 - 10xy + y2 = ( 5x - y)2 b) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = ( 2x + 3y)2 c) 81x2 – 64y2 = (9x)2 - (8y)2 = ( 9x + 8y)(9x - 8y) 2 d) (xy + 4) – (2x + 2y) = ( xy + + x + y ) ( xy + − x − y ) e) ( a + b − ) − ( ab + ) = ( a + b − ) −  ( ab + )  =  a + b − − ( ab + )   a + b − + ( ab + )  = 2 2 2 = ( a + b ) − 32  ( a + b ) − 12  = ( a + b + 3) ( a + b − 3) ( a + b + 1) ( a + b − 1)    3 3 f) ( a + b + c ) − a − b − c = ( a + b + c ) − a  − b + c 2 2 = ( a + b + c − a ) ( a + b + c ) + ( a + b + c ) a + a  − ( b + c ) b − bc + c 2 2 2 = ( b + c ) a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac + a + ab + ac + a − b + bc − c ( ( = ( b + c ) ( 3a ( ) + 3ab + 3bc + 3ac = ( b + c ) 3a ( a + b ) + 3b ( a + b )  = 3( a + b) ( b + c) ( a + c) ) ) ) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhóm hạng tử) 2 a) x + x + x + = ( x + x ) + ( x + ) = x ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1) ( x + 3) 2 2 b) x z + x yz − x z − xyz = xz ( x + xy − xz − yz ) = xz ( x − xz ) + ( xy − yz )  = xz  x ( x − z ) + y ( x − z )  = = xz ( x − z ) ( x + y ) 2 c) x2y + xy2 – x – y = ( x y + xy ) − ( x + y ) = xy ( x + y ) − ( x + y ) = ( x + y ) ( xy − 1) d) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z = ( xy − 24 y ) − ( xyz − 15 z ) = y ( xy − 3) − z ( xy − 3) = ( xy − 3) ( y − z ) e) x3 + y(1 – 3x2) + x(3y2 – 1) – y3 = x − x y + 3xy − y − x + y = ( x − y ) − ( x − y ) 2 = ( x − y ) ( x + xy + y − 1) 2 f) x3 + 3x2y + x + 3xy2 + y + y3 = ( x + y ) + ( x + y ) = ( x + y ) ( x − xy + y + 1) Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp tách hạng tử) a) x2 - 6x + = x − x − x + = x ( x − ) − ( x − ) = ( x − ) ( x − ) b) x2 – 8x + 12 = ( x − ) ( x − ) 2 2 2 c) a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b ) = a ( b − c ) + b ( c − b + b − a ) + c ( a − b ) = a2 ( b − c ) + b2 ( c − b ) + b2 ( b − a ) + c2 ( a − b ) = a2 ( b − c ) − b ( b − c ) − b ( a − b ) + c2 ( a − b ) = ( a − b) ( a + b) ( b − c) − ( a − b ) ( b + c) ( b − c) = ( a − b) ( b − c) ( a − c) d) x3 – 7x – = x − x − 3x − = x ( x − ) ( x + ) − ( x + ) = ( x + ) ( x − x − 3) = = ( x + 1) ( x + ) ( x − 3) Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp thêm - bớt hạng tử ) a) x4 + = x + x + − x ( Thêm bớt hạng tử ±4x ) 2 = ( x2 + 2) − ( x ) = ( x2 − x + 2) ( x2 + x + ) 2 2 b) a4 + 64 = a + 16a + 64 − 16a = ( a + 16a + 64 ) − 16a = ( a + ) − ( 4a ) = ( a + 4a + ) ( a − 4a + ) 2 2 2 c) x5 + x + x − x + x + x + = x ( x − 1) ( x + x + 1) + ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 1) d) x5 + x - = x5 + x2 - x2 + x - = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1) Bài 4*: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp đặt ẩn phụ) a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 ( *) Đặt t = x2 + x Ta có : (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 = t2 - 2t - 15 = ( t + 3)( t - 5) 2 ( *) = ( x + x + 3) ( x + x − ) b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 c) (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 d) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x + 2) – Giải 3: Cách : Từ a + b + c = ⇒ a + b = - c ⇒ (a + b)3 = (- c)3 ⇒ a3 + b3 + 3ab(a + b) = - c3 ⇒ a3 + b3 + 3ab(- c) = - c3 ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc Cách :a + b + c = ⇒ a + b = - c ⇒ - ab(a + b) = abc ⇒ - a2b – ab2 = abc Tương tự : - b2c – bc2 = abc ; - c2a – ca2 = abc Do : 3abc = - a2b – ab2 – b2c – bc2 – c2a – ca2 ⇒ 3abc = - a2(b + c) – b2(a + c) – c2(a + b) ⇒ 3abc = - a2(-a) – b2(-b) – c2(-c) ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc Cách :a + b + c = ⇒ a + b = - c ⇒ - c2(a + b) = c3 ⇒ -a2c – bc2 = c3 Tương tự : -ab2 – cb2 = b3 ; -ba2 – ca2 = a3 Do : -ab2 – cb2 – ab2 – cb2 – ba2 – ca2 = a3 + b3 + c3 ⇒ - ac( c + a) – bc(c + b) – ab(b + a) = a3 + b3 + c3 ⇒ -ac(-b) – bc(-a) – ab(-c) = a3 + b3 + c3 ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc Bài 8: Chứng minh rằng: a) a + b + c + d ≥ ab + ac + ad Giải b) a + 4b + 4c ≥ 4ab − 4ac + 8bc a) Ta cã: a + b + c + d − ab − ac − ad 2  a2 a2 2 a 2 a 2 =  − ab + b ÷+  − ac + c ÷+  − ad + d ÷+       2 a2 a  a  a  =  − b +  − c +  − d  + ≥0 2  2  2  ⇒ a + b + c + d ≥ ab + ac + ad (®pcm) b) Ta cã: a + 4b + 4c − 4ab + 4ac − 8bc = (a − 4ab + 4b ) + 4c + (4ac − 8bc) = (a − 2b) + 2.(a − 2b).2c + (2c) = (a − 2b + 2c ) ≥ (®pcm) Bài 9: Chứng minh rằng: Nếu x + y + z = x3 + y3 + z = 3xyz Từ x + y + z = ⇒ x + y = - z nên x3 + y3 + z = x3 + y3 - ( x+ y) = x3 + y3 - x3 - y3 - 3xy(x + y) = - 3xy(-z ) = 3xyz ⇒ a + 4b + 4c ≥ 4ab − 4ac + 8bc