Đang tải... (xem toàn văn)
(Luận án tiến sĩ Toán học) DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ HỆ VI PHÂN ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU(Luận án tiến sĩ Toán học) DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ HỆ VI PHÂN ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU(Luận án tiến sĩ Toán học) DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ HỆ VI PHÂN ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU(Luận án tiến sĩ Toán học) DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ HỆ VI PHÂN ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU
B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI * LN DNG IU TIM CN CA MT S H VI PHN A TR TRONG KHễNG GIAN Vễ HN CHIU Chuyờn ngnh: Phng trỡnh vi phõn v tớch phõn Mó s: 62 46 01 03 TểM TT LUN N TIN S TON HC H Ni - 2016 Lun ỏn c hon thnh ti: Trng i hc S phm H Ni Ngi hng dn khoa hc: PGS TS Trn ỡnh K Phn bin 1: GS.TSKH inh Nho Ho, Vin Toỏn hc Phn bin 2: PGS.TS Hong Quc Ton, Trng i hc KHTN - HQG H Ni Phn bin 3: PGS.TS Nguyn Sinh By, Trng i hc Thng Mi Lun ỏn s c bo v trc Hi ng chm lun ỏn cp Trng hp ti Trng i hc S phm H Ni vo hi gi ngy thỏng nm Cú th tỡm hiu lun ỏn ti th vin: Th vin Quc Gia, H Ni hoc Th vin Trng i hc S phm H Ni M u Lch s v lớ chn ti Thut ng h vi phõn a tr c dựng ch cỏc bi toỏn vi bao hm thc vi phõn hoc cỏc phng trỡnh vi phõn (o hm riờng) m tớnh nht nghim ca nú b phỏ v Cỏc h vi phõn a tr khụng ch l mụ hỡnh tng quỏt ca phng trỡnh vi phõn, nú xut phỏt t nhiu bi toỏn quan trng, ú cú th k n bi toỏn iu khin phn hi a tr, bi toỏn chớnh quy húa phng trỡnh vi phõn vi phn phi tuyn khụng liờn tc, cỏc bt ng thc vi bin phõn Nghiờn cu dỏng iu nghim ca bao hm thc tin húa phm vi lun ỏn ny bao gm cỏc cõu hi v tớnh n nh (hoc n nh yu) ca nghim, s tn ti hỳt ca h ng lc sinh bi nghim v cỏc lp nghim c bit (nghim i tun hon, nghim phõn ró) Cỏc bao hm thc tin húa cỏc khụng gian hu hn chiu ó c nghiờn cu t khỏ sm Cỏc kt qu v tớnh gii c v cu trỳc nghim ó c trỡnh by mt cỏch h thng ti liu chuyờn kho ca Deimling (1992) Tip ú, cỏc bao hm thc tin húa khụng gian Banach v ng dng ca nú tr thnh ch nghiờn cu thi s hn mt thp k qua (xem cỏc cun chuyờn kho ca Tolstonogov (2000) v Kamenskii et al (2001)) Nghiờn cu dỏng iu tim cn ca nghim l mt nhng trung tõm ca lớ thuyt nh tớnh phng trỡnh vi tớch phõn i vi cỏc phng trỡnh vi phõn thng, lớ thuyt n nh Lyapunov l cụng c hu hiu Trong ú, nghiờn cu dỏng iu nghim ca cỏc phng trỡnh o hm riờng, ngi ta thng s dng lớ thuyt hỳt ton cc Cỏc kt qu cựng vi lc nghiờn cu dỏng iu tim cn nghim ca cỏc phng trỡnh ó c phỏt trin cho cỏc bao hm thc Do tớnh cht khụng nht nghim ca bi toỏn Cauchy ng vi bao hm thc tin húa, lớ thuyt n nh Lyapunov khụng kh dng vic nghiờn cu tớnh n nh ca nghim dng i vi cỏc bao hm thc tin húa khụng gian hu hn chiu, khỏi nim n nh yu ó c xut bi Filippov nm 1988 i vi cỏc bao hm thc tin húa khụng gian vụ hn chiu, cỏch tip cn thng c s dng nht l lớ thuyt hỳt Trong vi thp k tr li õy, lớ thuyt hỳt ton cc phỏt trin mnh v thu c nhiu kt qu cú tớnh h thng (cú th xem cỏc ti liu chuyờn kho ca Raugel (2002) v Babin (2006)) i vi cỏc h vi phõn a tr, lớ thuyt hỳt cng tng i hon thin vi nhiu lc nghiờn cu, ú, ỏng chỳ ý nht l lớ thuyt na dũng a tr ca Melnik v Valero a nm 1998 cựng vi lớ thuyt na dũng suy rng ca Ball (1997) Nhng ỏnh giỏ, so sỏnh v hai phng phỏp ny ó c Caraballo (2003) phõn tớch k Sau ú lớ thuyt hỳt lựi, hỳt u cho cỏc h ng lc a tr cng c xõy dng lm vic vi cỏc h vi phõn khụng ụ-tụ-nụm (xem Caraballo v Valero (1998, 2003), Melnik v Valero (2000)) c bit, cỏc nm 2014-2015, nhng ci tin ỏng k cho lớ thuyt hỳt ó c Kalita v cỏc cng s cụng b Nhng kt qu mi nht ny trung vo vic gim nh iu kin v tớnh liờn tc v a tiờu chun compact tim cn cho na nhúm/na quỏ trỡnh da trờn o khụng compact Tuy nhiờn nhng tiờu chun ny ỏp dng cho cỏc h vi phõn hm cũn gp phi nhiu khú khn v mt k thut khụng gian pha tng ng cú cu trỳc phc Trong lun ỏn ny, s dng lc ca Melnik v Valero, chỳng tụi nghiờn cu s tn ti hỳt ton cc cho na dũng a tr sinh bi lp bao hm thc na tuyn tớnh u (t) Au(t) + F (u(t), ut ), u(s) = (s), t 0, s [h, 0], (1) (2) õy u l hm nhn giỏ tr khụng gian Banach X, ut l hm tr, tc l ut (s) = u(t + s) vi s [h, 0], F l mt hm a tr xỏc nh trờn mt ca X ì C([h, 0]; X) i vi lp bi toỏn ny, chỳng ta xột A : D(A) X X l mt toỏn t tuyn tớnh tha iu kin Hille-Yosida m D(A) = X Trong lun ỏn, bờn cnh lp bao hm thc tin húa bc nht, chỳng tụi nghiờn cu mt lp bao hm thc tin húa bc phõn s (0, 1) vi mc tiờu tỡm cỏc iu kin chp nhn c cho tớnh n nh ca nghim dng Tuy nhiờn vi cỏc phng trỡnh/bao hm thc tin húa bc phõn s, cỏch tip cn ca lớ thuyt hỳt li khụng kh dng nghiờn cu dỏng iu tim cn nghim toỏn t nghim khụng cú tớnh cht kiu na nhúm Hn na, vi cỏc bao hm thc tin húa bc phõn s, cỏc khỏi nim n nh theo ngha Lyapunov cng khụng th ỏp dng c Do ú, chỳng tụi a khỏi nim n nh tim cn yu ca nghim tm thng nghiờn cu dỏng iu tim cn ca lp bao hm thc vi phõn bc phõn s cú xung, vi iu kin khụng cc b v tr hu hn dng D0 u(t) Au(t) + F (t, u(t), ut ), t > 0, t = tk , k , (3) u(tk ) = Ik (u(tk )), (4) u(s) + g(u)(s) = (s), s [h, 0], (5) ú D0 , (0, 1), l o hm bc phõn s theo ngha Caputo, A l mt toỏn t tuyn tớnh úng X sinh na nhúm liờn tc mnh W (ã), F : R+ ì X ì C([h, 0]; X) P(X) l mt ỏnh x a tr, u(tk ) = u(t+ k ) u(tk ), k N, Ik v g l cỏc hm liờn tc, ut l hm tr theo thi gian t, tc l ut (s) = u(t + s), s [h, 0] H (3)-(5) l tng quỏt húa ca bi toỏn Cauchy cú xung v iu kin khụng cc b mụ t bi (4) v (5) Mt s trng hp riờng ca bi toỏn ny ó c nghiờn cu rng rói, vớ d nh trng hp F l ỏnh x n tr hay trng hp g = Trong cỏc mụ hỡnh thc t, iu kin khụng cc b cho nhng mụ t tt hn so vi iu kin ban u c in, vớ d, iu kin u(s) + M ci u(i + s) = (s), s [h, 0], i=1 cho ta thờm cỏc o c ti cỏc thi im khỏc thi im ban u Mt khỏc, iu kin xung (4) c s dng mụ t cỏc h ng lc cú s thay i t ngt, thng gp vt lớ, sinh hc, k thut, cỏc lnh vc y t c bit, mt vi nm gn õy, mt s trng hp riờng ca bi toỏn (3)-(5) di dng bao hm thc c nghiờn cu rng rói Tuy nhiờn, s quan tõm ch yu dnh cho cỏc cõu hi v s tn ti, tớnh cht nghim v bi toỏn iu khin, cũn li mt nhng cõu hi quan trng nht ca lp bi toỏn dng (3)-(5), ú l tớnh n nh ca nghim, li gn nh cha c bit ti Trong nghiờn cu nh tớnh cỏc h vi tớch phõn, cựng vi lớ thuyt n nh, vic tỡm cỏc lp nghim c bit, vớ d nh nghim tun hon, i tun hon cng l hng nghiờn cu thu hỳt s quan tõm ca nhiu nh toỏn hc Nghim i tun hon ca cỏc h vi phõn c s dng nhiu quỏ trỡnh vt lớ (cú th xem cỏc cụng trỡnh ca Batchelor (1995), Bonilla (1995), Kulshreshtha (1993) Mt s kt qu v s tn ti nghim i tun hon cho cỏc lp phng trỡnh tin húa tuyn tớnh v na tuyn tớnh ó c thit lp, bt ngun t cỏc nghiờn cu ca Okochi (1988, 1990) Theo hng ny, ta cú k k ti cỏc kt qu tiờu biu ca Haraux (1989), Liu (2010), Wang (2010) Nm 2012, bng cỏch tip cn ca lớ thuyt na nhúm, Liu chng minh c s tn ti ca nghim tớch phõn i tun hon cho lp bi toỏn dng u (t) + Au(t) = f (t, u(t)), t R, u(t + T ) = u(t), t R, ú, A sinh mt C0 na nhúm cú tớnh cht hyperbolic T õy, mt lot cỏc kt qu tng t cho cỏc bi toỏn tru tng khụng gian Banach ó c chng minh theo cỏch tip cn ca lớ thuyt na nhúm in hỡnh cú th k ti cỏc kt qu ca Wang v Chen (2013), Oregan (2012), NGuộrộkata v V Valmorin (2012), Liu(2014, 2015) Tuy nhiờn, cỏc kt qu tng t cho cỏc bao hm thc tin húa thỡ cũn ớt c bit n ng thi, nghim cú tớnh cht i tun hon cng l mt kiu dỏng iu c bit ca nghim Do ú, lun ỏn ny, chỳng tụi nghiờn cu s tn ti ca nghim i tun hon cho lp bao hm thc vi phõn dng a din u (t) Au(t) + F (t, u(t)), u(t + T ) = u(t), t R, t R, (6) (7) ú, F (t, u(t)) = conv{f1 (t, u(t)), ã ã ã , fn (t, u(t))}; A l toỏn t Hille-Yosida cú xỏc nh D(A) khụng trự mt cho A sinh na nhúm hyperbolic D(A) Nh ta ó bit, cỏc bi toỏn iu khin phn hi, bin iu khin thng c ly mt cú dng a din Ngoi cỏc h vi phõn vi F cú dng a din cho phộp mụ t tớnh "khụng chc chn" ca ngoi lc, vỡ vy, bi toỏn (6)-(7) l mt bi toỏn cú ý ngha khoa hc v ng dng Mc ớch i tng Phm vi nghiờn cu ca lun ỏn Mc ớch ca lun ỏn l nghiờn cu tớnh gii c cng nh dỏng iu tim cn nghim ca mt s lp h vi phõn a tr khụng gian vụ hn chiu theo cỏch tip cn ca lớ thuyt n nh v lớ thuyt hỳt i tng nghiờn cu c th ca lun ỏn l hai lp bao hm thc vi phõn na tuyn tớnh cp mt v cp phõn s (0, 1) Phm vi nghiờn cu ca lun ỏn bao gm nhng ni dung sau: Ni dung 1: Nghiờn cu tớnh gii c v s tn ti hỳt ton cc cho lp bao hm thc vi phõn m phn tuyn tớnh sinh na nhúm tớch phõn Ni dung 2: Nghiờn cu s tn ti ca nghim i tun hon cho lp bao hm thc vi phõn dng a din m phn tuyn tớnh sinh na nhúm tớch phõn cú tớnh cht hyperbolic Ni dung 3: Nghiờn cu tớnh gii c trờn na trc v tớnh n nh yu cho lp bao hm thc bc phõn s cú xung, vi iu kin khụng cc b v tr hu hn Trong trng hp n tr, nghiờn cu tớnh nht ca nghim phõn ró Phng phỏp nghiờn cu nghiờn cu tớnh gii c ca cỏc lp bi toỏn phi tuyn, chỳng tụi s dng phng phỏp na nhúm, phng phỏp c lng theo o khụng compact v cỏc nh lớ im bt ng cho ỏnh x a tr nộn, kt hp vi cỏc cụng c ca gii tớch a tr, gii tớch bc phõn s nghiờn cu s tn ti hỳt ton cc cho na dũng a tr, chỳng tụi s dng lc ca Melnik v Valero nghiờn cu tớnh n nh ca bao hm thc vi phõn bc phõn s, chỳng tụi s dng cỏc nh lớ im bt ng cho ỏnh x nộn Cu trỳc v cỏc kt qu ca lun ỏn Ngoi phn M u, Kt lun, Danh mc cụng trỡnh ó cụng b v Ti liu tham kho, lun ỏn c chia lm bn chng: Chng 1: Kin thc chun b Trong chng ny, chỳng tụi nhc li cỏc kt qu v lớ thuyt na nhúm, lớ thuyt o khụng compact (MNC) v ỏnh x nộn, cỏc kin thc v gii tớch bc phõn s v hỳt ton cc cho na dũng a tr Chng 2: Dỏng iu tim cn nghim ca mt lp bao hm thc vi phõn hm na tuyn tớnh Trong chng ny, chỳng tụi chng minh tớnh gii c v s tn ti hỳt ton cc cho mt lp bao hm thc vi phõn vi tr hu hn m phn tuyn tớnh ca nú sinh mt na nhúm tớch phõn Chng 3: Nghim i tun hon ca bao hm thc vi phõn na tuyn tớnh Trong chng ny, chỳng tụi chng minh s tn ti nghim i tun hon cho lp bao hm thc vi phõn dng a din m phn tuyn tớnh sinh mt na nhúm tớch phõn cú tớnh cht hyperbolic Chng 4: Tớnh n nh yu ca h vi phõn bc phõn s na tuyn tớnh Trong chng ny, chỳng tụi chng minh tớnh gii c trờn na trc v tớnh n nh yu ca nghim khụng cho mt lp bao hm thc bc phõn s, cú xung, vi tr hu hn v iu kin khụng cc b Trong trng hp bi toỏn n tr, chỳng tụi chng minh c s tn ti v nht ca nghim phõn ró Chng Kin thc chun b Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by mt s kin thc chun b bao gm: Cỏc khụng gian hm; lớ thuyt na nhúm; lớ thuyt v o khụng compact; cỏc nh lý im bt ng cho ỏnh x a tr; lớ thuyt hỳt cho na dũng a tr v cỏc kin thc v gii tớch bc phõn s 1.1 Cỏc khụng gian hm Trong mc ny, chỳng tụi nhc li mt s khụng gian hm v mt s khụng gian hm ph thuc thi gian s dng lun ỏn 1.2 Lớ thuyt na nhúm Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc kin thc c bn v lớ thuyt na nhúm v mt s na nhúm thng gp c bit, chỳng tụi trỡnh by cỏc kin thc v lớ thuyt na nhúm tớch phõn 1.3 o khụng compact (MNC) v cỏc c lng o Trong mc ny, chỳng tụi nhc li cỏc nh ngha v cỏc tớnh cht c bn ca o khụng compact, ú c bit quan tõm ti o Hausdorff Sau ú, chỳng tụi trỡnh by cỏc mt s c lng o m s phi dựng ỏnh giỏ cỏc chng sau 1.4 nh x nộn v cỏc nh lớ im bt ng cho ỏnh x a tr Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by lớ thuyt v ỏnh x nộn v cỏc nh lớ im bt ng cho ỏnh x a tr m chỳng tụi s dựng cỏc chng sau C = {v : J D(A), v C(J, X), v(0) = (0)} Vi v C , ta kớ hiu v[] C([h, T ], X) nh sau v(t) nu t [0, T ] v[](t) = (t) nu t [h, 0] Xột cỏc gi thit: (A) Toỏn t A tha iu kin Hille-Yosida v C0 -na nhúm {S (t)}t0 liờn tc theo chun (F) Hm a tr F : D(A) ì Ch Pc (X) tha món: (1) F l na liờn tc trờn vi giỏ tr compact yu, li; (2) F (x, y) := sup{ : F (x, y)} ax + byCh + c, vi mi x D(A), y Ch , õy a, b, c > 0; (3) nu S (ã) khụng compact thỡ (F (B, C)) p(B) + q sup (C(t)), vi p, q R+ v mi B D(A), C Ch t[h,0] t PF (v) = {f L1 (J; X) : f (t) F (v(t), v[]t ), hu khp t J} Ta cú nh ngha nghim tớch phõn ca bi toỏn (2.1)-(2.2) nh ngha 2.1 Vi Ch cho trc, hm u : [h, T ] X c gi l mt nghim tớch phõn ca bi toỏn (2.1)-(2.2) trờn [h, T ] vi iu kin ban u nu tn ti f PF (u) cho S (t)(0) + lim t S (t s)(I A)1 f (s)ds, t 0, + u(t) = (t), t [h, 0] S dng nh lớ im bt ng cho ỏnh x a tr, ta chng minh c kt qu sau õy v s tn ti nghim tớch phõn nh lớ 2.2 Gi s (A) v (F) tha Khi ú, bi toỏn (2.1)(2.2) luụn cú nghim tớch phõn vi mi Ch cho trc 11 2.3 S tn ti hỳt ton cc Ta nh ngha na dũng a tr sinh bi (2.1)-(2.2) nh sau G : R+ ì Ch P(Ch ), G(t, ) = {ut : u[] l mt nghim tớch phõn ca (2.1) (2.2)} chng minh s tn ti hỳt ton cc, ta gi thit: (S) Tn ti , > 0, N cho S (t)L(X) et , S (t) N et , t > Vi gi thit trờn, ta chng minh c nh lớ nh lớ 2.3 Gi s (A), (F) v (S) tha Khi ú, na dũng a tr G cú mt hỳt ton cc compact vi iu kin min{ (a + b), 4N (p + q)} > 2.4 2.4.1 Vớ d ỏp dng Bao hm thc b chn Gi s l mt b chn, m Rn vi biờn trn v O l mt m Xột bi toỏn (I) sau: m u (t, x) x u(t, x) + u(t, x) = f (x, u(t, x)) + bi (x)vi (t), x , t > 0, t i=1 [ ] vi (t) k1,i (y)u(t h, y)dy, k2,i (y)u(t h, y)dy , i m, O O u(t, x) = 0, x , t 0, u(s, x) = (s, x), x , s [h, 0], ú > 0, f : ì R R l mt hm liờn tc tha |f (x, r)| a(x)|r| + b(x), x , r R, bi C(), kj,i L1 (O) 12 vi i {1, , m}, j = 1, 2, v Ch = C([h, 0]; C()) Xột X = C(), X0 = C0 () = {v C() : v = trờn }, vi chun sup v = supx |v(x)|, ta thy A = I sinh mt na nhúm co, compact v gii tớch {etA }t0 trờn X0 T nh lớ 2.3, na dũng sinh bi bi toỏn (I) cú mt hỳt ton cc compact C([h, 0]; C()) vi iu kin m a + bi max{ |k1,i (y)|dy; |k2,i (y)|dy} < O i=1 2.4.2 O Bao hm thc khụng b chn Xột bi toỏn (II) sau vi = Rn v O l b chn Rn m u (t, x) x u(t, x) + u(t, x) = f (x, u(t, x)) + bi (x)vi (t), x Rn , t > 0, t i=1 [ ] vi (t) k1,i (y)u(t h, y)dy, k2,i (y)u(t h, y)dy , i m, O O u(s, x) = (s, x), x Rn , s [h, 0] Vi bi toỏn ny, ta gi thit 1) bi L2 (Rn ), kj,i L2 (O), j = 1, 2; i m v C([h, 0]; L2 (Rn )); 2) f : Rn ì R R cho f (ã, z) l o c vi mi z R v tn ti L2 (Rn ) m |f (x, z1 ) f (x, z2 )| (x)|z1 z2 |, x Rn , z1 , z2 R Vi X = L2 (Rn ) thỡ A = I sinh na nhúm n nh m v -gim vi s m Nh vy, na dũng a tr sinh bi bi toỏn (II) cú hỳt ton cc compact C([h, 0]; L2 (Rn )) nu max{4, + m bi max{k1,i L2 (O) , k2,i L2 (O) } < i=1 13 Chng NGHIM I TUN HON CA BAO HM THC VI PHN NA TUYN TNH Trong chng ny, chỳng tụi nghiờn cu s tn ti nghim i tun hon cho mt lp bao hm thc vi phõn hm cú dng a din m phn tuyn tớnh ca nú sinh mt na nhúm tớch phõn cú tớnh cht hyperbolic Ni dung ca chng ny da trờn bi bỏo [4] Danh mc cỏc cụng trỡnh ó cụng b ca lun ỏn 3.1 t bi toỏn Vi (X, ã ) l mt khụng gian Banach, chng ny, chỳng tụi nghiờn cu s tn ti nghim i tun hon ca bi toỏn sau u (t) Au(t) + F (t, u(t)), t R, u(t + T ) = u(t), t R (3.1) (3.2) ú, F (t, u(t)) = conv{f1 (t, u(t)), ã ã ã , fn (t, u(t))}, vi conv l ký hiu bao li úng; A l toỏn t Hille-Yosida cú xỏc nh D(A) m D(A) = X v thnh phn A D(A) sinh mt na nhúm hyperbolic 3.2 S tn ti ca nghim i tun hon Ký hiu PT A (R; X) = {u BC(R; X) : u(t + T ) = u(t)}, ta cú PT A (R, X) cựng vi chun sup l mt khụng gian Banach Ta gi thit: (A) Toỏn t A tha iu kin Hille-Yosida Hn na, {S (t)}t0 l na nhúm hyperbolic (F) Cỏc hm fi : R ì D(A) X, i = 1, ã ã ã , n tha món: 14 (1) fi (ã, x) o c mnh, vi mi x D(A) v fi (t, ã) liờn tc vi hu khp t R; (2) fi (t, x) m(t)(x+1), x D(A), vi m L1loc (R; R+ ); (3) nu {S (t)} khụng compact, thỡ (fi (t, B)) k(t)(B), vi mi b chn B D(A), ú k L1loc (R; R+ ), (4) fi (t + T, x) = fi (t, x) vi mi x D(A) nh ngha 3.1 Mt nghim tớch phõn ca bi toỏn (3.1)-(3.2) l mt hm u PT A (R, X) tha t S (t s)R f (s)ds, u(t) = S (t s)u(s) + lim + s ú R = (I A)1 , vi mi t > s v s R, f PFT A (u) S dng inh lớ im bt ng cho ỏnh x a tr, ta chng minh c s tn ti nghim ca bi toỏn (3.1)-(3.2) nh lớ 3.2 Gi s rng (A) v (F) tha Khi ú, bi toỏn (3.1)-(3.2) cú ớt nht mt nghim tớch phõn vi iu kin T 2N m(s)ds < (3.3) eT 3.3 p dng 3.3.1 Vớ d Vi l mt m b chn Rn vi biờn trn, xột bi toỏn u (t, x) x u(t, x) + u(t, x) = f (t, x, u(t, x)), x , t R, t (3.4) f (t, x) [f1 (t, x, u(t, x))); f2 (t, x, u(t, x))], u(t + T ) = u(t), u(t, x) = 0, x , t R, t R, x , 15 x , t R, (3.5) (3.6) (3.7) vi x l toỏn t Laplace vi bin x, > Tng t Vớ d 1, mc 2.5, ta xột X0 = C0 () = {v C() : v = trờn }, X = C(), vi chun v = supx |v(x)| Xột fi : R ì C0 () C(), vi i = 1, 2, xỏc nh bi fi (t, v)(x) = fi (t, x, v(x)), ú, cỏc hm fi : R ì ì R R tha món: (H1) fi (ã, x, z) l o c vi mi x , z R; fi (t, ã, z) liờn tc vi mi t, z R, v fi (t, x, ã) liờn tc vi mi t R v x ; (H2) |fi (t, x, z)| m(t)(|z| + 1), vi mi t, z R, x , ú m L1loc (R; R+ ); (H3) fi (t + T, x, z) = fi (t, x, z), vi mi t, z R, x Vi cỏc gi thit ny, bi toỏn (3.4)-(3.7) chớnh l mt mụ hỡnh ca bi toỏn ban u, v nú cú nghim vi iu kin T m(s)ds < 1 eT 3.3.2 Vớ d Ta xột bi toỏn t u(t, x) = M k (akl (x)l )u(t, x) + a0 (x)u(t, x) + f (t, x, u(t, x)), k,l=1 x , t R, f (t, x) [f1 (t, x, u(t, x))); f2 (t, x, u(t, x))], (3.8) x , t R, (3.9) u(t + T ) = u(t), M x , t R, nk (x)akl (x)l u(t, x) = 0, t R, x k,l=1 16 (3.10) (3.11) õy, RM l mt b chn vi biờn thuc lp C v n(x) l vộc t n v hng ngoi Ta gi thit: akl C (), k, l = 1, ã ã ã , M ; a0 LM () C() n akl (x)vk vl |v|2 , ú > 0, x , v Rn k,l=1 M Vi X = Lp (), < p < , xột A(x, D) := k,l=1 k (akl (x)l ) + a0 (x), vi xỏc nh { D(A) := f W 2,p () : vi p>1 A(ã, D)f C(), M } nk (ã)akl (ã)l f = trờn k,l=1 T kt qu ca Schnaubelt (2001), ta cú A sinh mt na nhúm hyperbolic T (ã) trờn X vi cỏc h s M, Vi i = 1, 2, xột fi : R ì Lp () Lp (), m fi (t, v)(x) = fi (t, x, v(x)), ú fi : R ì ì R R tha (H4) fi (ã, ã, z) o c vi mi z R v fi (t, x, ã) liờn tc vi hu khp t R v x ; (H5) |fi (t, x, z)| m(t)(|z| + 1), vi mi t, z R, x , ú m L1loc (R; R+ ); (H6) |fi (t, x, z) fi (t, x, z )| k(t)|z z |, vi k L1loc (R; R+ ), (H7) fi (t + T, x, z) = fi (t, x, z), vi mi t, z R, x Khi ú, ta cú kt qu sau õy: nh lớ 3.3 Bi toỏn (3.8)-(3.11) cú nghim T i tun hon vi iu kin T 2M m(s)ds < 1 eT 17 Chng TNH N NH YU CA H VI PHN BC PHN S NA TUYN TNH Trong chng ny, chỳng tụi a khỏi nim n nh tim cn yu ca nghim tm thng ca bi toỏn bao hm thc tin húa bc phõn s, t ú chng minh tớnh n nh yu ca bi toỏn bao hm thc bc phõn s cú xung, vi iu kin khụng cc b v tr hu hn Ni dung ca chng ny da trờn cỏc bi bỏo [1] v [3] Danh mc cỏc cụng trỡnh ó cụng b ca lun ỏn 4.1 t bi toỏn Vi (X, ã ) l mt khụng gian Banach, xột bi toỏn C D0 u(t) Au(t) + F (t, u(t), ut ), t > 0, t = tk , k , (4.1) u(tk ) = Ik (u(tk )), (4.2) u(s) + g(u)(s) = (s), s [h, 0], (4.3) ú D0 , (0, 1), l o hm Caputo bc , A l mt toỏn t tuyn tớnh úng X sinh na nhúm liờn tc mnh W (ã), F l mt hm a tr, u(tk ) = u(t+ k ) u(tk ), k N; inf k (tk+1 tk ) > õy, ut l hm tr theo thi gian t Ký hiu () l nghim ca bi toỏn (4.1)-(4.3) ng vi iu kin ban u cho (0) Nghim khụng ca bi toỏn (4.1)-(4.3) c gi l n nh tim cn yu nu nú l 1) n nh: vi mi > 0, tn ti > cho nu h < thỡ ut h < vi mi u (), õy ã h ký hiu chun sup C([h, 0]; X); 2) hỳt yu: vi mi B, tn ti u () tha ut h t + 18 4.2 Khụng gian hm v o Xột E = P C(J; X) l khụng gian cỏc hm xỏc nh v liờn tc tng khỳc trờn J R v nhn giỏ tr X Trong trng hp J = [h, +), ta xột u(t) = 0}, t+ (t) P C ([h, +); X) = {u P C([h, +); X) : lim ú : R+ [1, +) l mt hm liờn tc v khụng gim Ta cú P C ([h, +); X) cựng vi chun u = sup u(t) + sup t0 t[h,0] u(t) , (t) l mt khụng gian Banach Tuy nhiờn, P C , chỳng ta khụng xỏc nh v tớnh toỏn c o Hausdorff, ú, ta phi xõy dng mt o chớnh quy trờn P C nh sau: (D) = sup P C (T (D)) + lim sup sup T >0 T + uD tT u(t) , (t) (4.4) ú, D P C v T (u) l hn ch ca u trờn [h, T ] 4.3 S tn ti nghim trờn na trc Trong mc ny, ta xột (t) = et vi > v gi thit: ( A) C0 -na nhúm {W (t)}t0 sinh bi A l liờn tc theo chun v W (t)x MA x, t 0, x X ( F) Hm phi tuyn F : R+ ì X ì C([h, 0]; X) X tha món: 1) F (ã, v, w) l na liờn tc trờn vi mi t R+ ; 2) ỏnh x t F (t, u(t), ut ) cú hm chn o c mnh vi mi u P C ; 3) m Lploc (R+ ) cho: (t, v, w) R+ ìXìC([h, 0]; X): F (t, v, w) = sup{ : F (t, v, w)} m(t)(v+wh ), 19 4) nu W (ã) khụng compact, tn ti k Lploc (R+ ) cho [ ] (F (t, V, W )) k(t) (V ) + sup (W (t)) , t[h,0] vi hu khp t R+ , v mi V B(X), W B(C([h, 0]; X)) ( G) Hm g : P C C([h, 0]; X) liờn tc v tha 1) g(u)h g (u ) vi mi u P C , ú g l mt hm xỏc nh trờn R+ ; 2) cho h (g(D)) ã (D) vi mi D B(P C ), h l o Hausdorff C([h, 0]; X) ( I) Hm Ik : X X, k , liờn tc v tha món: 1) tn ti dóy khụng õm {lk }k : lk < v k Ik (x) lk x, vi mi x X, k ; 2) tn ti dóy khụng õm {àk }k cho vi B B(X) (Ik (B)) àk (B) Vi u P C , t PFp (u) = {f Lploc (R+ ; X) : f (t) F (t, u(t), ut ) hu khp t R+ } nh ngha 4.1 Hm u : [h, +) X c gi l mt nghim tớch phõn ca bi toỏn (4.1)-(4.3) nu u(t) + g(u)(t) = (t) vi t [h, 0], v tn ti f PFp (u) cho vi t > 0, u(t) = S (t)[(0) g(u)(0)] + S (t tk )Ik (u(tk )) 00 t0 t t (t s)1 P (t s) k(s)ds < 1, àk + sup k = sup t>0 P (t s) m(s)ds < , (t s) (t s)1 P (t s) m(s)ds < , (t s) Khi ú, bi toỏn (4.1)-(4.3) luụn cú nghim tớch phõn P C 4.4 Tớnh n nh yu Ta thay (A), (F) and (G) bi cỏc gi thit mnh hn: ( A*) Na nhúm W (ã) l liờn tc theo chun v > cho W (t)x MA et x, t 0, x X ( F*) Hm phi tuyn F tha ( F) vi m L1 (R+ )Lploc (R+ ) ( G*) Hm khụng cc b g tha ( G) vi g (r) = ã r, r 0, l mt hng s dng nh lớ 4.3 Gi s (A*), (F*), (G*) v (I) tha Khi ú, nghim khụng ca bi toỏn l n nh tim cn yu nu t = MA + MA àk + sup (t s)1 P (t s) k(s)ds < 1, t0 k = (1 + MA ) + MA k (t s)1 P (t s)m(s)ds < lk + sup t>0 t 21 4.5 p dng Xột h vi phõn li: d ui (t) = (Au(t))i + fi (t), t > 0, t = tk , k N, (4.5) dt fi (t) [f1i (t, ui (t), ui (t (t))), f2i (t, ui (t), ui (t (t)))], (4.6) ui (tk ) = Iik (ui (tk )), ui (s) + N (4.7) cj ui (j + s) = i (s), s [h, 0], j > 0, (4.8) j=1 d ú u = (ui ) : [h, +) , l o hm Caputo bc dt 2 (0, 1), A : vi (Av)i = vi+1 (2 + )vi + vi1 , v , : R+ [0, h] l mt hm liờn tc, l mt s dng õy l khụng gian cỏc dóy (vi )iZ tha iZ vi2 < Ta xột cỏc gi thit: (N1) Cỏc hm f1i , f2i : R+ ì R2 R, i Z, liờn tc v tha max{|f1i (t, y, z)|2 , |f2i (t, y, z)|2 } m2 (t)(|y|2 + |z|2 ), vi mi (t, , z) R+ ìR2 , ú m C(R+ ; R+ ), m(t) Cm 1+t+1 vi Cm > (N2) Cỏc hm Iik : R R, i Z, k N, l cỏc hm liờn tc v |Iik (y)| lk |y|, vi {lk }kN l mt dóy khụng õm tha kN lk < Vi cỏc iu kin (N1), (N2) tha món, ta thu c tớnh n nh tim cn yu ca nghim khụng ca h (4.5)-(4.8) 22 4.6 Trng hp bi toỏn n tr Xột mt trng hp c bit ca bi toỏn (4.1)-(4.3), F l hm n tr, ký hiu l f Khi ú, bi toỏn tr thnh C D0 u(t) = Au(t) + f (t, u(t), us ), t = tk , tk (0, +), k , (4.9) u(tk ) = Ik (u(tk )), (4.10) u(s) + g(u)(s) = (s), s [h, 0] (4.11) i vi bi toỏn n tr ny, ta gi thit: (Aa) Na nhúm W (ã) l liờn tc theo chun v > cho W (t)x MA et x, t 0, x X (Fa) f (ã, v, w) o c vi mi v X, f (t, ã, ã) liờn tc hu khp t R+ , f (t, 0, 0) = 0, v k Lp (R+ ), p > tha ||f (t, v1 , w1 )f (t, v2 , w2 )|| k(t)(||v1 v2 ||||w1 w2 ||h ), t R+ , vi mi v1 , v2 X, w1 , w2 C([h, 0]; X) (Ga) g l mt hm liờn tc tha g(0) = v > ||g(w1 ) g(w2 )||h ||w1 w2 || , w1 , w2 PC ( Ia ) Ik , k , liờn tc, Ik (0) = v tn ti dóy {àk }k m ||Ik (x) Ik (y)|| àk ||x y||, vi mi x, y X p dng nguyờn lớ ỏnh x co Banach, ta thu c nh lớ sau: nh lớ 4.4 Gi s (A), (Fa), (Ga), (Ia) v (R) tha Khi ú, bi toỏn (4.9)-(4.11) cú nht nghim u(t) = o(1) nu t ( ) + àk MA + sup (t s)1 P (t s)k(s)ds < k t0 23 KT LUN V KIN NGH Cỏc kt qu t c Trong lun ỏn ny chỳng tụi ó nghiờn cu dỏng iu tim cn ca mt s h vi phõn a tr khụng gian vụ hn chiu Lun ỏn ó t c cỏc kt qu sau: 1) i vi lp bao hm thc vi phõn cú tr hu hn m phn tuyn tớnh sinh na nhúm tớch phõn: Chng minh tớnh gii c ton cc v s tn ti hỳt ton cc ca na dũng a tr sinh bi bi toỏn 2) i vi lp bao hm thc vi phõn dng a din, phn tuyn tớnh sinh na nhúm tớch phõn cú tớnh cht hyperbolic: Chng minh c s tn ti nghim i tun hon 3) i vi lp bao hm thc vi phõn bc phõn s, cú xung, vi iu kin khụng cc b v tr hu hn: Chng minh c tớnh gii c trờn na trc v tớnh n nh tim cn yu Trong trng hp phn phi tuyn n tr, chng minh c s tn ti v nht nghim phõn ró Kin ngh mt s nghiờn cu tip theo Bờn cnh cỏc kt qu ó t c lun ỏn, mt s m liờn quan cn c tip tc nghiờn cu: 1) Nghiờn cu dỏng iu tim cn ca mt s lp bao hm thc vi tr bin thiờn hoc tr vụ hn cựng vi cỏc liờn quan nh tớnh chớnh qui ca nghim, tớnh trn ca hỳt, tớnh n nh thi gian hu hn ca nghim 2) Nghiờn cu s tn ti ca cỏc lp nghim c bit nh nghim tun hon, i tun hon, nghim ti u ca mt s lp bao hm thc khụng cú cu trỳc a din 24 DANH MC CC CễNG TRèNH CễNG B CA LUN N 1) T.D Ke, D Lan, Decay integral solutions for a class of Impulsive Fractional differential equations in Banach spaces, Fractional Calculus and Applied Analysis, Volume 17, Number (2014) 96-121 2) T.D Ke, D Lan, Global attractor for a class of functional differential inclusions with HilleYosida operators, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, Volume 103 (2014) 7286 3) T.D Ke, D Lan, Generalized Cauchy problem governed by fractional differential inclusions on the half line, submitted 4) T.D Ke, D Lan, Existence of Anti-periodic solutions for a class of polytope differential inclusions with Hille-Yosida operators, submitted Cỏc kt qu ca lun ỏn ó c bỏo cỏo ti 1) i hi Toỏn hc ton quc, Nha Trang, 2013; 2) Xờmina ca B mụn Gii tớch, Khoa Toỏn - Tin, Trng i hc S phm H Ni; 3) Xờmina Ti u v iu khin, Vin Toỏn hc 4) Xờmina Lớ luyt nh tớnh phng trỡnh vi phõn, B mụn Toỏn c bn, Vin Toỏn ng dng v Tin hc, i hc Bỏch Khoa H Ni 5) Xờmina ca phũng Phng trỡnh vi phõn, Vin Toỏn hc, Vin hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam [...]... Trong luận án này chúng tôi đã nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của một số hệ vi phân đa trị trong không gian vô hạn chiều Luận án đã đạt được các kết quả sau: 1) Đối với lớp bao hàm thức vi phân có trễ hữu hạn mà phần tuyến tính sinh ra nửa nhóm tích phân: Chứng minh tính giải được toàn cục và sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa dòng đa trị sinh bởi bài toán 2) Đối với lớp bao hàm thức vi phân dạng đa. .. Bài toán (3.8)-(3.11) có nghiệm T −đối tuần hoàn với điều kiện ∫ T 2M m(s)ds ˜ < 1 1 − e−λT 0 17 Chương 4 TÍNH ỔN ĐỊNH YẾU CỦA HỆ VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ NỬA TUYẾN TÍNH Trong chương này, chúng tôi đưa ra khái niệm ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường của bài toán bao hàm thức tiến hóa bậc phân số, từ đó chứng minh tính ổn định yếu của bài toán bao hàm thức bậc phân số có xung, với điều kiện không. .. kết quả của luận án đã được báo cáo tại 1) Đại hội Toán học toàn quốc, Nha Trang, 2013; 2) Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; 3) Xêmina Tối ưu và điều khiển, Vi n Toán học 4) Xêmina Lí luyết định tính phương trình vi phân, Bộ môn Toán cơ bản, Vi n Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội 5) Xêmina của phòng Phương trình vi phân, Vi n Toán học, Vi n hàn... theo Bên cạnh các kết quả đã đạt được trong luận án, một số vấn đề mở liên quan cần được tiếp tục nghiên cứu: 1) Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của một số lớp bao hàm thức với trễ biến thiên hoặc trễ vô hạn cùng với các vần đề liên quan như tính chính qui của nghiệm, tính trơn của tập hút, tính ổn định trong thời gian hữu hạn của nghiệm 2) Nghiên cứu sự tồn tại của các lớp nghiệm đặc biệt như nghiệm... dòng đa trị Trong mục này, chúng tôi nhắc lại lí thuyết nửa dòng đa trị của Melnik và Valero (1998) cùng với lược đồ chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị 1.6 Giải tích bậc phân số Trong mục này, chúng tôi trình bày lại các khái niệm về tích phân, đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo Sau đó, chúng tôi đưa ra công thức nghiệm tích phân cho bài toán phương trình vi phân bậc phân. .. phân số 9 Chương 2 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BAO HÀM THỨC VI PHÂN HÀM NỬA TUYẾN TÍNH Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu hệ động lực sinh bởi một lớp bao hàm thức vi phân mà thành phần tuyến tính sinh ra một nửa nhóm tích phân Ở đây, chúng tôi sử dụng các kĩ thuật ước lượng cho độ đo không compact để chứng minh tính giải được toàn cục và sự tồn tại tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị. .. đa trị sinh bởi hệ Kết quả này của chúng tôi là sự tổng quát hóa một số kết quả gần đây về hướng nghiên cứu này Nội dung của chương này dựa trên bài báo [2] trong Danh mục các công trình đã công bố của luận án 2.1 Đặt bài toán Với (X, ∥ · ∥) là một không gian Banach, xét bài toán u′ (t) ∈ Au(t) + F (u(t), ut ), u(s) = φ(s), t ≥ 0, s ∈ [−h, 0], (2.1) (2.2) ở đây u là hàm nhận giá trị trong X, ut là hàm... ∈ R+ ×R2 , trong đó m ∈ C(R+ ; R+ ), m(t) ≤ Cm 1+tα+1 với Cm > 0 (N2) Các hàm Iik : R → R, i ∈ Z, k ∈ N, là các hàm liên tục và |Iik (y)| ≤ lk |y|, với {lk }k∈N là một dãy không âm thỏa mãn ∑ k∈N lk < ∞ Với các điều kiện (N1), (N2) thỏa mãn, ta thu được tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm không của hệ (4.5)-(4.8) 22 4.6 Trường hợp bài toán đơn trị Xét một trường hợp đặc biệt của bài toán (4.1)-(4.3),... trễ hữu hạn Nội dung của chương này dựa trên các bài báo [1] và [3] trong Danh mục các công trình đã công bố của luận án 4.1 Đặt bài toán Với (X, ∥ · ∥) là một không gian Banach, xét bài toán C D0α u(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut ), t > 0, t ̸= tk , k ∈ Λ, (4.1) ∆u(tk ) = Ik (u(tk )), (4.2) u(s) + g(u)(s) = φ(s), s ∈ [−h, 0], (4.3) trong đó D0α , α ∈ (0, 1), là đạo hàm Caputo bậc α, A là một toán tử tuyến... bài báo [4] trong Danh mục các công trình đã công bố của luận án 3.1 Đặt bài toán Với (X, ∥ · ∥) là một không gian Banach, trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn của bài toán sau u′ (t) ∈ Au(t) + F (t, u(t)), t ∈ R, u(t + T ) = −u(t), t ∈ R (3.1) (3.2) trong đó, F (t, u(t)) = conv{f1 (t, u(t)), · · · , fn (t, u(t))}, với conv là ký hiệu bao lồi đóng; A là toán tử Hille-Yosida