Đang tải... (xem toàn văn)
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG I) Suy nghĩ về việc học Toán Hình học phẳng hiện nay. Có khi nào chúng ta tự hỏi làm thế nào để giải một bài toán Hình học phẳng (HHP) chưa? Hay làm sao để có thể giỏi môn HHP, làm sao một bạn nào đó có thể giải nhanh gọn và ấn tượng một bài toán HHP, còn mình thì không? Đúng là những vấn đề này rất thường được đặt ra nhưng muốn trả lời một cách thỏa đáng và đầy đủ thì quả là điều không đơn giản Cũng giống như các dạng toán khác, để giải một bài toán HHP nào đó, chúng ta cũng cần phải đi từ giả thiết, thông qua các suy luận để tìm ra con đường đến kết luận hoặc một yêu cầu nào đó đặt ra của đề bài. Nhưng đặc biệt hơn, ở môn HHP, ngoài những tư duy logic thông thường, chúng ta còn cần phải có tư duy hình tượng, chúng ta cần phải tìm được quan hệ giữa các yếu tố hình học thông qua cái nhìn trực quan. Với đặc trưng đó, một mặt làm cho chúng ta có thể thấy được vấn đề đang cần giải quyết một cách rõ ràng hơn nhưng mặt khác cũng đòi hòi ở chúng ta một khả năng tưởng tượng phong phú và sâu sắc nếu muốn học tốt dạng Toán này. Trên thực tế, trong những học sinh giỏi Toán, không có nhiều người giỏi HHP; khi tham gia các kì thi HSG, họ sẵn sàng bỏ đi một câu HHP nào đó để có thời gian dành cho những bài Toán khác. Nhưng hầu như trong tất cả các kì thi, ta đều thấy sự góp mặt của một hoặc hai bài Toán HHP nào đó với khoảng 1525% số điểm cả đề và như thế nó thực sự quan trọng Có một điều lạ là chúng ta học hình học với thời gian nhiều hơn bất cứ dạng Toán nào khác. Ngay từ lớp 6 chúng ta đã làm quen với các khái niệm điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, góc,… Đến lớp 7 chúng ta đã biết định lí là gì và học cách chứng minh chúng: chứng minh hai góc đối đỉnh thì bằng nhau, chứng minh tổng ba góc của tam giác là 1800 ,…Và chúng ta học và rèn luyện chúng suốt cho đến bây giờ, thời gian đó dài hơn việc học bất cứ một bài toán sử dụng đạo hàm, một bài giới hạn hay lượng giác nào đó. Thế nhưng, dường như Hình học luôn không là một lựa chọn hàng đầu khi bắt đầu cho lời giải của một đề thi HSG. Thậm chí đó còn là nỗi ám ảnh, lo sợ của nhiều bạn HSG Toán. Khi nhìn thấy một bài hình nào đó, họ cố đưa về Đại số càng nhanh càng tốt và sẵn sàng chấp nhận biến đổi, khai thác những biểu thức cồng kềnh thay vì bài toán đó có thể giải một cách nhẹ nhàng bằng hình học thuần túy. Ta cũng không phủ nhận rằng học và giỏi ở HHP không phải là chuyện dễ, có thế cần năng khiếu và rèn luyện lâu dài, phải làm nhiều dạng bài tập để tích lũy cho mình những kinh nghiệm và sự nhạy bén cần thiết để khi đối mặt với một bài HHP nào đó mà không bị ngỡ ngàng, lúng túng. Chẳng hạn như có nhiều học sinh THCS có thể giỏi HHP hơn học sinh THPT là cũng bởi lí do năng khiếu này. Thế nhưng, chẳng may không có năng khiếu thì sao, chẳng lẽ lại bỏ cuộc? Tất nhiên là vẫn còn cách giải quyết, chúng ta hãy tham khảo một số hướng giải quyết và gợi ý rèn luyện sau đây để khắc phục và mong rằng những điều này có thể giúp các bạn rút ra được cho bản thân một ý tưởng mới nào đó cho việc học HHP trong thời gian tới. Thế nhưng, đa số các bạn chưa giỏi HHP thường ghét phần này và tránh làm các bài toán về hình học; do đó, trước hết các bạn hãy làm quen và tiếp xúc nhiều với nó, và lâu dần các bạn có thể tìm thấy trong sự thú vị mà những bài toán HHP đem lại một sự tiến bộ nào đó cho mình
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG **************** I) Suy nghĩ việc học Toán Hình học phẳng Có tự hỏi làm để giải toán Hình học phẳng (HHP) chưa? Hay để giỏi môn HHP, bạn giải nhanh gọn ấn tượng toán HHP, không? Đúng vấn đề thường đặt muốn trả lời cách thỏa đáng đầy đủ điều không đơn giản! Cũng giống dạng toán khác, để giải toán HHP đó, cần phải từ giả thiết, thông qua suy luận để tìm đường đến kết luận yêu cầu đặt đề Nhưng đặc biệt hơn, môn HHP, tư logic thông thường, cần phải có tư hình tượng, cần phải tìm quan hệ yếu tố hình học thông qua nhìn trực quan Với đặc trưng đó, mặt làm cho thấy vấn đề cần giải cách rõ ràng mặt khác đòi hòi khả tưởng tượng phong phú sâu sắc muốn học tốt dạng Toán Trên thực tế, học sinh giỏi Toán, nhiều người giỏi HHP; tham gia kì thi HSG, họ sẵn sàng bỏ câu HHP để có thời gian dành cho Toán khác Nhưng tất kì thi, ta thấy góp mặt hai Toán HHP với khoảng 15-25% số điểm đề thực quan trọng! Có điều lạ học hình học với thời gian nhiều dạng Toán khác Ngay từ lớp làm quen với khái niệm điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, góc,… Đến lớp biết định lí học cách chứng minh chúng: chứng minh hai góc đối đỉnh nhau, chứng minh tổng ba góc tam giác 1800,…Và học rèn luyện chúng suốt bây giờ, thời gian dài việc học toán sử dụng đạo hàm, giới hạn hay lượng giác Thế nhưng, dường Hình học không lựa chọn hàng đầu bắt đầu cho lời giải đề thi HSG Thậm chí nỗi ám ảnh, lo sợ nhiều bạn HSG Toán Khi nhìn thấy hình đó, họ cố đưa Đại số nhanh tốt sẵn sàng chấp nhận biến đổi, khai thác biểu thức cồng kềnh thay toán giải cách nhẹ nhàng hình học túy Ta không phủ nhận học giỏi HHP chuyện dễ, cần khiếu rèn luyện lâu dài, phải làm nhiều dạng tập để tích lũy cho kinh nghiệm nhạy bén cần thiết để đối mặt với HHP mà không bị ngỡ ngàng, lúng túng Chẳng hạn có nhiều học sinh THCS giỏi HHP học sinh THPT lí khiếu Thế nhưng, chẳng may khiếu sao, lại bỏ cuộc? Tất nhiên cách giải quyết, tham khảo số hướng giải gợi ý rèn luyện sau để khắc phục mong điều giúp bạn rút cho thân ý tưởng cho việc học HHP thời gian tới Thế nhưng, đa số bạn chưa giỏi HHP thường ghét phần tránh làm toán hình học; đó, trước hết bạn làm quen tiếp xúc nhiều với nó, lâu dần bạn tìm thấy thú vị mà toán HHP đem lại tiến cho http://www.vinhduy.no1.vn * Chúng ta suy nghĩ vấn đề sau: Làm để rút ngắn đường từ giả thiết đến kết luận? Làm để tận dụng hết giả thiết đề cho? Làm đưa kiến thức hình học sẵn có (như phương pháp định lí đó) cho việc giải toán HHP? Làm cách để kẻ đường phụ giải toán? Làm để nâng cao trình độ HHP có lực định? Các nội dung trình bày làm rõ điều đó: MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN NHƯNG KẺ NHIỀU ĐƯỜNG PHỤ * Lời giải VD trình bày chủ yếu dựa hướng suy nghĩ chính, trọng phân tích bước lập luận không sâu vào xét trường hợp hình vẽ xảy nhằm hạn chế phức tạp Dù thực tế, giải toán HHP, nên ý điều này, nên xét hết trường hợp (vị trí điểm, tia; phân giác trong, ngoài; tam giác cân, không cân; đường tròn thực suy biến, ) để đảm bảo lời giải đầy đủ xác! http://www.vinhduy.no1.vn II) Một số cách rèn luyện tư hình học nâng cao kĩ giải toán HHP 1) Lựa chọn công cụ thích hợp để giải toán HHP Chúng ta thử ngẫm nghĩ lại, học sinh THPT nay, biết phương pháp giải toán HHP Có thể biết nhiều định lí, bổ đề chưa thể gọi phương pháp theo nghĩa tổng quát Ở đây, ta nói đến phương pháp định hướng, tư tưởng lời giải; giải cách chưa sâu vào việc giải Xin nêu số phương pháp sau: Phương pháp hình học túy (quan hệ song song, vuông góc; tam giác đồng dạng, nhau; tính chất tam giác, đường tròn; định lí hình học quen thuộc; phép biến hình,…) Phương pháp lượng giác (đưa yếu tố lượng giác góc biến đổi) Phương pháp vectơ (dùng vectơ chứng minh tính chất hình học dựng hệ vectơ đơn vị để giải toán) Phương pháp đại số (đưa yếu tố độ dài cạnh biến đổi) Phương pháp tọa độ (đưa giả thiết cho vào hệ trục tọa độ tìm tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, đường tròn liên quan) Trong đó, mức độ tư hình học thể giảm dần qua thứ tự phương pháp Nếu học sinh chưa giỏi HHP thường với toán có giả thiết “thuận lợi” sử dụng tọa độ, điều tất nhiên có ích cho kĩ tính toán, biến đổi đại số nói chung lợi cho việc rèn luyện tư hình học Và đa số toán hình khó sử dụng phương pháp này, cần đường tròn tâm đường tròn nội tiếp khiến cho việc dùng phương pháp tọa độ thật khó khăn Thế nói mà ta lại quên phương pháp Có vài bạn nội dung lại không thích sử dụng tọa độ cố tìm cách giải túy cho Công việc lúc đúng, kì thi HSG có thời gian “gấp rút” số lượng toán cần giải lại tương đối nhiều Chúng ta thử nói toán đơn giản sau: VD1: Cho đoạn thẳng AB cố định đường thẳng d cố định song song với AB Điểm C di động d Tìm quỹ tích trực tâm tam giác ABC * Phân tích: Một số bạn thấy toán có giả thiết thật đơn giản, có đoạn C thẳng cố định, điểm di động đường thẳng song song tìm trực tâm; thêm nữa, toán quen thuộc nên họ vẽ hình cố gắng kẻ đường phụ để giải Thế nhưng, chắn bạn khó mà tìm lời giải hình học túy cho toán H mà thực tế quỹ tích H đường parabol! Nếu không cẩn thận vẽ hình trước nhiều A O B lần để dự đoán quỹ tích, chắn không quỹ tích đường http://www.vinhduy.no1.vn thẳng, đường cong thông thường mà mò mẫn tìm không cách không đến kết muốn có Bài toán không khó không lựa chọn công cụ nhanh chóng thành công việc giải * Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét A (-1; 0), B (1; 0) đường thẳng d có phương trình: y a, a , C di động nên có tọa độ C (m; a), m Ta tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC Phương trình đường cao tam giác ứng với đỉnh C là: x = m; Phương trình đường cao ứng với đỉnh A là: (m 1)( x 1) ay (m 1) x ay m Tọa độ trực tâm tam giác ABC nghiệm hệ: x m (m 1) x ay m x2 Suy ra: y 1 m a x m y a x2 Vậy quỹ tích H parabol có phương trình: y a VD2: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định, A di động mặt phẳng Gọi G, H trọng tâm, trực tâm tam giác Biết đoạn GH cắt BC trung điểm GH, tìm quỹ tích A * Phân tích Ta thấy giả thiết toán không phức tạp điều kiện GH cắt BC trung điểm GH A thật khó vận dụng; ta hiểu đơn giản trung điểm GH thuộc BC không đem lại nhiều gợi ý cho lời giải toán Và đứng trước toán có giả thiết đơn giản G khó vận dụng thử nghĩ đến phương pháp tọa độ Khi đó, dù tính chất hình học chưa thể B C đầy đủ điều kiện hình học đảm bảo chặt chẽ Cũng tiến hành lựa chọn hệ trục tọa độ thích hợp H tương tự tính tọa độ điểm G, H viết phương trình đường thẳng cần thiết, đặt vào điều kiện toán, ta tìm quỹ tích điểm A đường hypebol Các bạn thử giải lại toán với việc giữ nguyên giả thiết ban đầu, thay trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O, công việc nói chung tiến hành tương tự dù ta có thêm khám phá Và được, giải lại hai toán vừa phương pháp hình học túy dựa định nghĩa đường conic, tìm tiêu điểm đường chuẩn chúng! Đây vấn đề không đơn giản * Ta so sánh hai phương pháp giải toán sau để rút tầm quan trọng việc lựa chọn phương pháp phù hợp giải toán HHP: http://www.vinhduy.no1.vn VD3: Cho tam giác ABC Phía tam giác ABC dựng điểm D, E, F cho tam giác BCD, CAE, ABF tam giác Chứng minh hai tam giác ABC DEF có trọng tâm Giải: *Cách Sử dụng phương pháp vectơ: (khá nhẹ nhàng không cần tốn nhiều thời gian để nghĩ cách giải này) Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Ta có: AD BE CF AM MD BN NE CP PF ( AM BN CP ) ( MD NE PF ) Dễ thấy: AM BN CP ( AB AC ) ( BA BC ) (CA CB ) 2 Và MD NE PF theo định lí nhím nên: AD BE CF Vậy hai tam giác ABC DEF có trọng tâm *Cách Sử dụng hình học phẳng túy: (dựng nhiều đường phụ, hướng suy nghĩ thiếu tự nhiên đòi hỏi có kinh nghiệm toán có giả thiết tương tự này) Gọi I trung điểm EF Q điểm đối xứng với D qua BC, đó: BCQ tam giác Ta thấy phép quay tâm B góc quay 600 biến C thành Q, biến A thành F nên: ABC FBQ , tương tự: ABC EQC FBQ EQC Suy ra: FQ = AC = AE, QE = AB = AF tứ giác AEQF hình bình A I hành Do đó: I trung điểm AQ, mà M Q trung điểm QD nên IM F đường trung bình tam giác QAD N P IM AD IM //AD G Gọi G giao điểm AM ID theo định lí Thalès: C B M GM GI IM GA GD AD Hơn G thuộc hai trung tuyến tam giác ABC DEF nên trọng tâm chung hai tam giác ABC DEF D Vậy hai tam giác ABC DEF có trọng tâm (đpcm) * Trong việc giải toán phương pháp tọa độ, ta cần ý đến việc chọn hệ trục tọa độ hợp lí: tọa độ điểm, phương trình đường thẳng cần viết đơn giản; có nhiều liên hệ với điểm cho giả thiết, tận dụng yếu tố đường song song, vuông góc, trung điểm hình cần dựng đơn giản,… Chẳng hạn có toán sau: E http://www.vinhduy.no1.vn VD4: Cho tam giác ABC có D trung điểm cạnh BC Gọi d đường thẳng qua D vuông góc với đường thẳng AD Trên đường thẳng d lấy điểm M Gọi E, F trung điểm đoạn thẳng MB, MC Đường thẳng qua E vuông góc với d cắt đường thẳng AB P, đường thẳng qua F vuông góc với d cắt đường thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M, vuông góc với đường thẳng PQ qua điểm cố định M di động đường thẳng d * Phân tích Ta thấy đề giả thiết đưa xoay quanh P yếu tố trung điểm, đường A vuông góc, đoạn thẳng, có d' nhiều yếu tố nên việc liên kết chúng lại đảm bảo sử dụng tất giả thiết M K điều không dễ dàng Chúng ta có E F K' lời giải cách sử dụng phương B C D pháp hình học túy nhờ kiến H' thức trục đẳng phương sau H Q I phức tạp cần phải kẻ d nhiều đường phụ: *Giải Gọi H, K hình chiếu B, C lên đường thẳng d Do D trung điểm BC nên DH = DK, suy AD trung trực HK AH =AK Gọi ( ) đường tròn tâm A qua H K Gọi H’, K’ điểm đối xứng với H, K qua đường thẳng AB, AC H’, K’ thuộc ( ) Giả sử đường thẳng HH’, KK’ cắt I I điểm cố định (*) Ta có : PE // BH (cùng vuông góc với d) mà PE qua trung điểm MB nên qua trung điểm MH PE trung trực MH PH = PM Gọi (1 ) đường tròn tâm P qua H M, tính đối xứng nên H’ thuộc (1 ) Hoàn toàn tương tự, ta có: QF trung trực MK; gọi (2 ) đường tròn tâm Q qua K M K’thuộc (2 ) Ta lại có: + ( ) , (1 ) cắt tai H, H’ nên HH’ trục đẳng phương ( ) , (1 ) + ( ) , (2 ) cắt tai K, K’ nên KK’ trục đẳng phương ( ) , (2 ) Mặt khác : M thuộc (1 ) , (2 ) P, Q tâm (1 ) , (2 ) nên đường thẳng d’ qua M, vuông góc với PQ trục đẳng phương (1 ) , (2 ) Từ suy ra: HH’, KK’, d’ đồng quy tâm đẳng phương ba đường tròn ( ) , (1 ) , (2 ) (**) Từ (*) (**) suy d’ qua I điểm cố định Vậy đường thẳng qua M, vuông góc với đường thẳng PQ qua điểm cố định M di động đường thẳng d Ta có đpcm http://www.vinhduy.no1.vn * Ta sử dụng phương pháp tọa độ để giải nhẹ nhàng việc xác định tọa độ trung điểm viết phương trình đường vuông góc cho biểu thức đơn giản, đáp án thức đề thi HSGQG Thế nhưng, cách chọn trục tọa độ cho ta lời giải nhanh gọn Nếu chọn hệ trục tọa độ gốc D trục hoành trùng với BC theo suy nghĩ thông thường lời giải dài phức tạp so với chọn gốc tọa độ D trục hoành đường thẳng d Các bạn thử với cách thấy khác biệt đó! Qua VD trên, ta thấy việc lựa chọn công cụ thích hợp để giải toán hình học yếu tố quan trọng để đến kết cách đơn giản ngắn gọn hơn, nhiều cách giải vấn đề 2) Về việc tận dụng giả thiết đề Trong toán thông thường, giả thiết đưa ra, dù hay nhiều, dù gián tiếp hay trực tiếp, lời giải toán tận dụng Một toán có giả thiết nói chung việc sử dụng chúng đơn giản dễ dàng cho việc đưa hàng loạt giả thiết, yếu tố, quan hệ hình học vào lời giải Mỗi giả thiết đưa có mục đích tầm quan trọng định; nhiệm vụ xác định xem quan trọng để tận dụng liên kết tất vào lời giải toán mình! Trước hết, ta đặt câu hỏi : “giả thiết nói lên điều gì?”, chẳng hạn cho giả thiết: tam giác ABC có M, N, P trung điểm cạnh, điều gợi cho ta suy nghĩ rằng: - Các cạnh tam giác MNP song song nửa cạnh tam giác ABC tương ứng; - Tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng ½; - Diện tích tam giác MNP băng ¼ diện tích tam giác ABC; - Phép vị tự tâm G – trọng tâm tam giác ABC với tỉ số -1/2 biến tam giác ABC cho thành tam giác MNP; - Hai tam giác có trọng tâm; - Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đường tròn Euler nên qua chân đường cao trung điểm đoạn nối trực tâm đỉnh tam giác ABC; - Trực tâm tam giác MNP tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, * Có thật nhiều suy nghĩ từ giả thiết ta bỏ sót số chúng không giải toán chìa khóa vấn đề (tất nhiên dùng hết ý) Chúng ta có nhiều liên tưởng kiến thức hình học nhiều kinh nghiệm sâu sắc, điều đòi hỏi ta cần làm số lượng định toán HHP Tiếp theo ta lại hỏi: “vậy chưa có nhiều kinh nghiệm sao?”, tất nhiên có cách nhỏ giúp ta thấy trực quan giả thiết Chúng ta thử tìm cách dựng “giả thiết” thước compa, với giả thiết có phần phức tạp, điều nhiều lúc có ích Chúng ta thử tìm hiểu rõ điều qua toán sau: KBC KCA VD5: Cho tam giác ABC có K điểm nằm tam giác thỏa: KAB Gọi D, E, F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC, KCA, KAB Gọi M, N, P giao điểm BC, FD; CA, DE; AB, EF Chứng minh rằng: tam giác ABC, DEF, MNP đồng dạng với http://www.vinhduy.no1.vn * Phân tích: Ta thấy điểm K cho giả thiết quen thuộc (điểm Brocard) nói chung tính chất ta biết không phục vụ nhiều cho điều cần chứng minh Nếu ta vẽ hình đơn điệu bên việc giải định hướng cho toán không đơn giản Ta thử dùng phép dựng hình xác định điểm K giả thiết thước compa để xem thử có tính chất đặc biệt không Ta dễ dàng có phép dựng hình sau: - Dựng trung trực đoạn AB đường thẳng vuông A góc với BC B, gọi F giao điểm hai đường thẳng E P - Dựng đường tròn tâm F bán kính FA F - Tương tự, dựng điểm E giao điểm trung trực AC đường thẳng vuông góc với AC A N - Dựng đường tròn tâm E, bán kính EA K - Giao điểm hai đường tròn điểm K cần tìm C B M Từ việc tìm cách dựng cho điểm K, ta có thêm hình số đường phụ cần thiết, toán rõ ràng nhiều Với gợi ý có từ hình vẽ ta vừa dựng, giải toán theo cách sau: D - Chứng minh AK EF, BK DE A DFE 1800 - Chứng minh: AKB ABC 1800 - Chứng minh: AKB - Suy ra: ABC EFD(g.g) E P - Suy tứ giác BMPF nội tiếp MP EF FED - Chứng minh: MPN F N K - Chứng minh: MPN FED(g.g) Từ suy đpcm * Còn toán mà hình vẽ dựng thước compa sao, chẳng hạn định lí Mooley: “Cho tam giác ABC Các đường chia ba góc D tam giác cắt điểm M, N, P Chứng minh tam giác MNP đều.” Ta biết việc chia ba góc dựng thước compa nên cách tìm gợi ý từ việc dựng hình thực Và có lẽ mà đến sau 50 năm xuất hiện, toán tiếng có lời giải HHP túy đẹp hoàn chỉnh Nhưng câu chuyện toán tiếng giới; thực tế, cần thiết, dùng cách dựng hình cho việc tìm gợi ý cho toán tận dụng giả thiết đề B M C http://www.vinhduy.no1.vn 3) Về việc rút ngắn đường từ giả thiết đến kết luận Cũng tương tự phần trên, ta đặt câu hỏi: “kết luận từ đâu mà ra?”, “những điều có liên hệ đến giả thiết có?” Chúng ta tiến hành ngược lên từ điều cần chứng minh, tìm điều cần phải có để tìm có kết luận VD6: Cho tam giác ABC có đường cao BD CE cắt tai H M trung điểm BC, N giao điểm DE BC Chứng minh NH vuông góc với AM * Phân tích Từ giả thiết ta dễ dàng thấy rằng: tứ giác DEFM nội tiếp đường tròn Euler tam giác ABC A nên: NE.ND NF NM , mặt khác D, E I nằm đường tròn đường kính AH; F, M nằm đường tròn đường E kính HM nên: N nằm trục đẳng H phương đường tròn đường kính MH đường tròn đường kính AH K Đến ta chưa có kết N B F C M NH AM Ta thấy thiếu vài yếu tố hình, yếu tố cấn có để kết nối điều ta vừa phân tích từ giả thiết đến kết luận bài, yếu tố vừa phải đảm bảo có liên quan đến NH phương tích trên, vừa đảm bảo có liên hệ đến đoạn AM Và việc chọn điểm phụ dựng thêm trung điểm AH HM (I trung điểm AH, K trung điểm HM) điều tự nhiên đó: IK đường trung bình tam giác HAM, I K tâm đường tròn vừa nêu nên trục đẳng phương NH vuông góc với đường nối hai tâm VD7: Cho tam giác ABC có O nằm tam giác Các tia AO, BO, CO cắt cạnh đối diện M, N, P Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt MN, MP H, K Chứng minh rằng: OH = OK * Phân tích A Ta thấy giả thiết cho “thoáng” kết luận có thật thú vị Rõ ràng, O điểm nằm tam giác có tính N chất đặc biệt khai thác; đó, P ta vào phân tích tỉ số có từ O H K đường thẳng song song kẻ Nếu quen với toán tỉ số ta thấy có số công cụ hỗ trợ cho C tỉ số diện tích, tỉ số đồng B M D http://www.vinhduy.no1.vn dạng, định lí Thalès, định lí Menelaus, định lí Céva,…Trước tiên, đường thẳng song song đề gợi ý cho ta sử dụng định lí Thales để đưa đoạn thẳng OH, OK đoạn thẳng “dễ giải quyết” Ta có: OH ON ON OK OP OP OH BM , OK CM BM BN BN CM CP CP ON OP ON CP CM BM CM BN CP BN OP BM Nếu biến đổi tỉ số tiếp tục dần dần, ta bị ngộ nhận với kết luận có sẵn; thay vào đó, Do đó: muốn có OH = OK thì: ta đưa tỉ số đoạn thẳng tỉ số diện tích tam giác Hai tam giác có cạnh đáy tỉ số diện tích tỉ số chiều cao Hai tam giác có chiều cao tỉ số diện tích tỉ số cạnh đáy Ta dễ dàng thay tỉ số có liên quan sau: ON S AON SCON S AON SCON S AOC OP S AOB ON CP S AOC S ABC S AOC CM , BN S ABN SCBN S ABN SCBN S ABC CP S ABC BN OP S ABC S AOB S AOB BM Đến toán hoàn toàn rõ ràng VD8: Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD thỏa AD = BC Gọi H trực tâm tam giác, M N trung điểm BC AD Chứng minh HN = HM * Phân tích Ta thấy giả thiết toán có điều đáng ý là: đường cao AD tam giác ABC BC M, N lại trung điểm hai cạnh Ta suy nghĩ rằng: BC AD.BC 2 - Sử dụng lượng giác: BC BD CD AD.cot B AD.cot C AD (cot B cot C ) - Diện tích tam giác ABC là: S ABC cot B cot C cot A cot B.cot C - Tứ giác ANMC có hai cạnh đối AN CM A N E H B D M C đường thẳng qua hai cạnh vuông góc với nên có số tính chất đặc biệt - Do M, N trung điểm BC, AD nên ta vẽ đường tròn đường kính BC, AD M, N tâm của đường tròn Hơn nữa, AD = BC nên hai đường tròn M, N đối xứng qua dây chung -… Và nhiều điều suy luận từ giả thiết đó, tất nhiên dù dài hay ngắn điều đưa ta đến lời giải toán; mục đích ta tìm cách giải hợp lí đơn giản Ta thấy suy luận thứ sử dụng http://www.vinhduy.no1.vn có xuất đối xứng yếu tố giả thiết sử dụng cách triệt để Do đó, ta thử theo đường cách dựng thêm đường tròn Đến đây, giả thiết trực tâm H chưa dùng đến chưa có đường rõ ràng cho ta cách sử dụng Ta dừng việc phân tích giả thiết lại xem đến kết luận: “chứng minh HM = HN” Kết luận có từ nhiều hướng, chẳng hạn từ tỉ số cạnh, từ hai tam giác nhau, từ hai hệ thức lượng giác nhau, hay từ phép biến hình Tất nhiên, với đòi hỏi cần thiết để đến kết luận đó, ta hình thành nhiều ý tưởng cho lời giải chọn cách dựng đường tròn nên ta thử bám theo tính đối xứng đường tròn Muốn có HM = HN H phải nằm trung trực MN, mà M, N đối xứng qua dây chung nên H phải nằm dây chung đó! Đến đây, ta thấy gần liên kết kiện Ta tiến thêm chút nữa! Như vậy, muốn có dây chung phải gọi tên giao điểm hai đường tròn, thực tế hai giao điểm nằm rời rạc, khó mà chứng minh chúng H thẳng hàng Ta không chọn cách Thử nhìn dây chung phương diện khác, điểm chung hai đường tròn túy mà trục đẳng phương hai đường tròn, muốn H nằm H phải có phương tích đến hai đường tròn Nhưng phương tích dàng tính không? Với đường tròn đường kính AD đơn giản, HA.HD; với đường tròn đường kính BC chưa có, ta vẽ qua H dây cung đường tròn gắn với đầu mút B C, ta thử vẽ dây BE phương tích có HB.HE, cần chứng minh HA.HD = HB.HE xong! Hơn nữa, ta vẽ BE phải vuông góc với AC H trực tâm tam giác; mà E thuộc đường tròn đường kính BC nên BE vuông góc với EC Do đó, hóa A, E, C thẳng hàng hay E chân đường cao tam giác ABC, cộng với H trực tâm đẳng thức cần có là: HA.HD = HB.HE khó khăn Và mắc xích nối liền, toán giải Việc trình bày lời giải chuyện ghi chép mà thôi! Rõ ràng toán không khó nhiều cách giải khác cho mà thấy tọa độ cách tốt Thế nhưng, có đủ thời gian, phân tích toán từ từ để tìm lời giải hình học túy thật đẹp trên! * Có thể nói trước toán HHP khó, công việc phân tích toán cần thiết Đó cách mò mẫn, dò tìm cách giải toán, cách có đpcm từ yếu tố cho trước thông qua việc kết nối “mắc xích” liên hệ chúng Ta hiểu “mắc xích” “một bước xuống dòng”, “một dấu , ”, “một phép biến đổi”, đó; tất nhiên không dễ dàng mà ta có chúng Chúng ta phân tích nhiều điều từ giả thiết kết luận tốt, có việc dùng liên tưởng, phán đoán, kinh nghiệm cho việc viết tiếp “mắc xích” quan trọng vào nhằm hoàn chỉnh lời giải dễ dàng Đó tầm quan trọng việc rút ngắn đường từ giả thiết đến kết luận http://www.vinhduy.no1.vn 4) Dựng thêm yếu tố phụ toán hình học Ta thấy đa số ví dụ có đưa thêm yếu tố phụ vào, giao điểm, trung điểm, chân đường vuông góc, đường thẳng song song hay chí đường tròn Yếu tố phụ cầu nối giả thiết kết luận, liên kết yếu tố rời rạc có sẵn lại giúp tận dụng triệt để phát triển giả thiết cho thành nhiều kết quả, để cuối đến kết luận Nếu chúng, ta giải toán khó khăn giải Có thể nói học sinh biết cách kẻ đường phụ việc giải HHP học sinh phần Muốn kẻ đường phụ, đòi hỏi phải có quan sát, đánh giá vấn đề tốt; có kinh nghiệm sâu sắc khả phân tích, sáng tạo mức độ định Việc gọi tên cho điểm chưa có tên hình vẽ thực tế chuyện không đơn giản dù điểm có sẵn nói chi đến việc dựng thêm nhiều yếu tố phụ, trước Điều không khó hiểu làm toán Đại số - Giải tích, thường quen với lập luận logic có sẵn, thứ xuất phải có lí rõ ràng Còn HHP vậy, cứng nhắc cho đường phụ muốn kẻ cần phải có lập luận logic cho khó mà thực công việc thực tế, nhiều ta kẻ đường phụ mà lí xác đáng! Do phần ta suy nghĩ thêm việc kẻ đường phụ vai trò quan trọng kinh nghiệm qua trình rèn luyện lâu dài để giải toán HHP cách kẻ thêm đường phụ Ta xét toán sau: VD 9: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O, R) có M, N giao điểm cặp cạnh đối Chứng minh rằng: OM ON R * Phân tích giải toán này, chắn bạn mò mẫn biến đổi tích vô hướng hai vectơ vế trái để đến kết cuối bị ngộ nhận lúc phức tạp thêm Do đó, việc dựng thêm yếu tố phụ điều tất yếu Chúng ta đừng lầm tưởng hình thức đơn giản toán này! Việc dựng đường phụ khó với số bạn quen với toán sau N chuyện trở nên đơn giản nhiều: A P “Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có M, N giao điểm AD, BC AB, CD Chứng B minh rằng: MA.MB NA.ND MN ” Ta giải toán xem bổ đề áp dụng vào toán cho: O Gọi P giao điểm đường tròn ngoại tiếp M tam giác BCM với MN Ta thấy: C D BPMC rõ ràng tứ giác nội tiếp nên: BCD NAB BPM Tứ giác ANBP nội tiếp Theo tính chất phương tích, ta có: MA.MB MP.MN , NA.ND NP.NM Từ suy ra: MA.MB NA.ND MN ( MP NP ) MN http://www.vinhduy.no1.vn Ta quay trở lại toán cho, biến đổi biểu thức cần chứng minh chút cho vấn đề rõ ràng hơn: OM ON R OM ON MN R (giả sử M giao điểm AB CD, N giao điểm AD BC) Áp dụng bổ đề trên, thay MA.MB NA.ND MN vào biểu thức trên: OM ON (MA.MB NA.ND ) R Nhưng điều theo tính chất phương tích: MA.MB OM R , NA.ND ON R Từ đó, ta giải thành công toán Thử nghĩ hỗ trợ bổ đề việc kẻ đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM chứng minh chuyện không đơn giản Và phải công nhận kinh nghiệm giải toán HHP thể không ít! Ta tiếp tục phân tích VD khác: VD10: Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B cố định (A khác B) Một điểm C di động mặt phẳng cho góc ACB không đổi (00 1800 ) Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Đường thẳng AI, BI cắt đường thẳng EF M, N Chứng minh rằng: Đoạn MN có độ dài không đổi Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN qua điểm cố định * Phân tích Nếu ta đọc kĩ giả thiết C thấy điểm M N xác định xuất nhiều toán quen thuộc trước mà yêu cầu đề dừng lại việc chứng minh tam giác MBC, NBC vuông Nếu biết điều này, ta chứng minh lại kết sử dụng vào việc giải M E toán cho bổ đề (trong không xét N vị trí có M, N) Ta thấy: F 1800 C IAB IBA I MEB CEF , MIB 180 C MIB Tứ giác ( ABC ACB) MEB 2 A D P B IEB 900 hay tam giác AMB EMBI nội tiếp IMB vuông M Tương tự, ta có tam giác NAB vuông N Áp dụng điều vào toán: ta tứ giác ANMB nội tiếp đường tròn đường kính AB AB IA IN AB.sin(900 CAB CBA ) AIB NIM MN AB AB.sin NAI MN NI IA C AB.sin AB.sin , không đổi 2 IDN IDM 2(900 CAB CBA ) C Hơn nữa, ta thấy: MDN Gọi P trung điểm AB P tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANMB: MPA NPA 2(MBA NBA ) 2(900 MAB NBA ) 2(900 CAB CBA ) C MPN http://www.vinhduy.no1.vn MDN Tứ giác MNDP nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN Do đó: MPN qua P cố định Đây đpcm Bài toán nhiều cách giải khác có lẽ cách đơn giản, ngắn gọn * Một số toán giải nhiều cách dựng đường phụ có nhiều công cụ hỗ trợ bổ đề, định lí quen thuộc việc dựng hình đơn giản lời giải nhẹ nhàng hơn, xét việc chứng minh định lí Pascal sau đây: VD 11: Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) có M, N, P giao điểm AB, DE; BC, EF; CD, FA Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng * Phân tích Việc chứng minh A định lí quen thuộc cách gọi thêm G giao điểm ME với AQ sử dụng định lí Menelaus thuận O đảo cho tam giác Cách F B chứng minh tương đối ngắn gọn không kẻ nhiều đường phụ Nhưng ta không C biết trước định lí Menelaus E sử dụng cách chứng minh D khác mời bạn theo dõi lời giải sau với việc kẻ thêm đường tròn phụ: M Gọi I giao điểm đường N I P tròn ngoại tiếp tam giác BDM FDQ Ta chứng minh bốn điểm M, N, P, I thẳng hàng cách chứng minh ba điểm thẳng hàng (Việc nghĩ hai đường tròn phụ xuất phát từ toán quen thuộc là: “Cho ba đường tròn (1), (2), (3) qua D (1) cắt (2) A, (2) cắt (3) B, (3) cắt (1) C (A, B, C khác D) Với M nằm (1), gọi P, Q giao điểm MA với (2), MC với (3) Chứng minh PQ qua B.”) DIP DBA DFA 1800 , suy Thật vậy, từ tứ giác nội tiếp: BDIM, FDIP, ta có: DIM ra: M, I, P thẳng hàng Tiếp theo ta chứng minh M, N, I thẳng hàng Ta có: BDM 1800 BDE 1800 BAE BDE Tứ giác BDIM nội tiếp BIM 2 BID FID BMD FPD ( AFE BCD ) ( ) Mặt khác: BIF ABC DEF 2 DE ) ( BAF CDE ) BNF BNIF nội tiếp ( AF AB ) ( DC 2 BFN BDE BIM M, N, I thẳng hàng Tương tự: N, I, P thẳng hàng Do đó: BIN Vậy ta có M, N, P thẳng hàng (đpcm) * Qua đó, ta thấy việc dựng đường phụ công việc đòi hỏi phải có trình rèn luyện tích lũy kinh nghiệm lâu dài Có thể nói kẻ thành công đường phụ để giải toán lúc có bước tiến dài việc học tập HHP http://www.vinhduy.no1.vn Về việc học tập rèn luyện HHP mức độ cao Có đặt câu hỏi: “Tại người ta lại nghĩ toán hay nhỉ?” Thông thường, giải toán với lời giải thật hay đẹp gác lại mà không dành thời gian tìm hiểu thêm điều lí thú đằng sau hay chí đưa toán từ toán cũ Việc tìm tòi giúp chủ động toán phát triển kĩ HHP tốt Khi tìm tòi sáng tác toán lúc đường mà người đề tìm hiểu xem họ làm để có toán Thông thường toán HHP đặt dạng che giấu vấn đề công việc lần mò theo giả thiết có sẵn để giải Việc che giấu hay mà số điểm đường hình bị xóa mà yêu cầu toán lại không bị ảnh hưởng, người giải phải khôi phục lại điểm thông qua cách kẻ yếu tố phụ; việc biến đổi yếu tố bài, thêm đường để che giấu chất vấn đề Và việc tự nghĩ toán HHP phát triển từ toán cũ việc làm có ích cho mà ta trở thành thí sinh kì thi đó, đối mặt với toán HHP khó, không rơi vào hoàn cảnh bị động lúng túng Ta thử xem toán sau đây: VD12: Cho tam giác ABC nhọn có A góc lớn nhất, nội tiếp đường tròn (O) ngoại tiếp đường tròn (I), H trực tâm Trung tuyến đỉnh I tam giác IOH cắt (I) P MPN Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh: BAC * Phân tích Ta thấy giả thiết toán không phức tạp yếu tố rời rạc việc dựng hình phức tạp khiến ta khó tìm lời giải Thực ra, toán phát triển từ định lí “đường tròn Euler tiếp xúc với N đường tròn nội tiếp” Các vấn đề bị che lấp là: M - Trung điểm đoạn OH tâm đường I O tròn Euler H - Giao điểm P tiếp điểm đường tròn Euler với đường tròn nội tiếp nên tất nhiên P C thuộc đường tròn Euler B - Đường tròn Euler qua trung điểm cạnh MQN nên gọi Q trung điểm BC MNPQ nội tiếp MPN A MQN Từ ta có lời giải toán - Do M, N, Q trung điểm cạnh nên BAC * Nếu chưa quen lần mò theo đường người cho đề để tìm lời giải toán thật không đơn giản chút nào, có khiếu HHP hay không Chẳng hạn bạn người cho đề, bạn có sẵn toán chứng minh điểm M, N, P nằm đường thẳng d, bạn muốn toán khó bạn dễ dàng nghĩ A điểm nằm đường thẳng d trực tâm tam giác AMN, ANP, APM thẳng hàng (cùng nằm đường thẳng qua A vuông góc với d) thế, bạn tích lũy thêm kinh nghiệm cho việc chứng minh điểm thẳng hàng Thử hỏi người tìm lời giải toán việc nhìn cách chứng minh dàng không? http://www.vinhduy.no1.vn VD13: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có A góc lớn Trung trực AB, AC cắt cạnh BC D, E Đường thẳng AD, AE cắt (O) M, N Gọi K giao điểm BM CN; d đường thẳng đối xứng với phân giác góc DAE qua phân giác góc DOE BAC Đường thẳng OK cắt d I Chứng minh rằng: BIC * Phân tích Chắc nghe đến toán sau: “Cho tứ giác ABCD thỏa mãn: Chứng minh đường DAB ABC BCD A thẳng Euler tam giác ABC qua D” Bài toán toán khó quen thuộc với với nhiều cách O giải Tưởng chừng toán VD liên hệ thực VD C E B phát triển toán vừa nêu với việc che lấp D bổ sung thêm hàng loạt vấn đề Nếu chưa biết K M đến toán vừa nêu VD toán khó Chúng ta thử chứng minh xem tứ giác ABKC hình vẽ có tính chất ba góc N không, rõ ràng điều Khi đưa kết vào đường thẳng Euler tam giác ABC qua K hay ngược lại OK qua trực tâm tam giác ABC Đường thẳng d đề thực chất đường cao tam giác ABC I trực tâm Đây yếu tố bị che lấp đi, không tiến hành bước để khai thác giả thiết khó thấy DOE điều Đến rõ ràng: BI // OE, CI // OD nên BIC I Vấn đề giải quyết! Ta phân tích thêm VD để thấy rõ vai trò kinh nghiệm tích lũy thân việc giải toán HHP VD14: Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt A B Gọi CC’ tiếp tuyến chung hai đường tròn, C (O ), C ' (O ') Gọi D, D’ hình chiếu C, C’ đườg thẳng OO’ Giả sử AD cắt (O) E, AD’ cắt (O’) E’ Chứng minh: E, B, E’ thẳng hàng C K C' A O O' D I D' E' B F F' E http://www.vinhduy.no1.vn * Phân tích Đây toán hình học kì thi HSG quốc gia lời giải nói chung mang nhiều tính chất phép vị tự Đáp án Bộ GD – ĐT đưa lời ngắn gọn đẹp Dù vậy, bạn nhiều lần giải toán hai đường tròn cắt với tiếp tuyến nhiều kinh nghiệm dạng dùng kinh nghiệm bổ đề để giải toán cách ấn tượng Hãy suy nghĩ cách giải sau: Gọi F, F’ giao điểm khác A đường thẳng AO với (O), AO’ với (O’) ABF' 900 Do AF, AF’ đường kính đường tròn (O), (O’) tương ứng nên: ABF F, B, F’ thẳng hàng Gọi R, R’ bán kính hai đường tròn (O), (O’) (*) Ta chứng minh rằng: O 'AD ' OAD Thật vậy: Gọi I giao điểm CC’ với OO’ K giao điểm IA với (O) Dễ dàng IO ' R ' O 'A IA IC ' ID ' thấy I tâm vị tự hai đường tròn Do đó: IO R OK IK IC ID ' IKD Suy ra: AD’ // KD hay IAD ' IKC ICA IAC ' ICA IA IC ' IA IC.IC ' Ta có: AC’ // KC IAC IC IA IA IO Tứ giác CC’D’O nội tiếp nên: IC.IC ' ID '.IO IA ID '.IO IAD ' IOA ID ' IA ' IKD nên: IKD ' IOA , mà IAD IOA Tứ giác ADOK nội tiếp Do đó: IAD OKD Hơn nữa: OK // O’A, DK // D’A nên: O Ta có được: OAD 'AD ' OKD , (*) chứng minh Suy ra: O 'AD ' OAD Áp dụng vào toán, theo tính chất góc nội tiếp: FBE, O F OAD ' AD ' F ' BE ' FBE ' BE ' Mà F, B, F’ thẳng hàng nên theo tính chất góc đối đỉnh, ta có E, B, E’ thẳng hàng Ta có đpcm * Bên cạnh đó, ta cần phải nhắc đến số công cụ gọi “cao cấp” để giải toán HHP như: góc định hướng, độ dài đại số, tích có hướng diện tích đại số, phương tích trục đẳng phương, hàng điểm điều hòa, cực đối cực, phép nghịch đảo đồng dạng, định lí Carno, Michael, Cũng tương tự điều gọi kinh nghiệm hay bổ đề trên, công cụ giúp ta giải nhanh gọn dễ dàng nhiều toán khó mà sử dụng công cụ thông thường lời giải dài dòng phức tạp; có nhiều ta không đủ khả nhìn lời giải kiểu Thế nhưng, muốn áp dụng định lí vào việc giải toán điều không đơn giản mà số lượng định lí có sẵn tương đối lớn khó khăn đặc trưng định lí chưa thể mặt toán, phải lần mò theo giả thiết để đặt yêu cầu cần có nhằm đến kết luận định lí xuất hỗ trợ cho ta VD15: Cho tam giác ABC Dựng phía tam giác ABC tam giác gọi M, N, P tâm chúng Chứng minh rằng: tam giác MNP * Ta thấy nội dung định lí Napoléon với cách chứng minh quen thuộc dựng thêm đường tròn ngoại tiếp tam giác có gọi tên giao điểm chúng Sau đây, ta xem cách chứng minh khác đưa nhận xét so sánh: Cách (sử dụng phương pháp thông thường): http://www.vinhduy.no1.vn MPB Dựng điểm Q khác phía M so với NP cho: QPA Q PQ = MQ Ta có: MBP ABC 60, AQ BM CM APQ BPM (c.g.c ) PAQ Do đó: 3600 ( PAQ PAN ) NAQ A 600 ) 3600 ( ABC 600 CAB ACB 600 MCN N Suy ra: AQN CMN (c.g.c ) NQ NM Mà PQ = PM P APQ BPM nên PN trung trực MQ, tức M, Q MPN , QNP MNP Mà đối xứng qua PN hay: QPN APB 1200 QPM APM QPA APM MPB C B 1200 Từ đó, ta được: Tương tự: QNM M MNP 120 600 hay tam giác MNP MPN Cách (sử dụng phép quay vectơ) B' A Gọi A’, B’, C’ đỉnh tam giác tương ứng dựng đoạn BC, CA, AB Vì điểm M, N trọng tâm BCA ', CAB ' nên: MN BA A ' C CB ' Tương tự: MP BC ' A ' B CA Xét phép quay vectơ góc quay /3, ta có: Q ( MN ) Q ( BA A ' C CB ') 3 N C' P C B M 1 Q ( BA ) Q ( A ' C ) Q ( CB ') 3 3 BC ' A ' B CA MP A' Suy tam giác MNP * Ta thấy phép quay vectơ sử dụng toán giúp hạn chế nhiều lập luận hình học phức tạp cho ta lời giải nhẹ nhàng, vấn đề phải biết vào đặc trưng toán để vận dụng cho phù hợp xác Nói chung ba công cụ sau: vectơ (tương ứng với đoạn thẳng), góc định hướng (tương ứng với góc), diện tích đại số tích (tương ứng với diện tích) ba công cụ mạnh, phát triển từ yếu tố hình học Chúng ta nên tìm hiểu thêm chúng để có thêm trợ giúp tốt đứng trước toán HHP mà phương pháp hình học túy khác dường không tác dụng http://www.vinhduy.no1.vn Tiếp tục nói việc nghiên cứu toán HHP mới, thấy điều rằng: muốn tự nghĩ HHP hoàn toàn độc lập với có chuyện không đơn giản; ta sử dụng tương tự yếu tố đường điểm tạo toán độc đáo * Chẳng hạn toán trên, bạn tự hỏi không dựng tam giác phía tam giác mà dựng phía ngược lại kết sao, định lí có hay không Vẫn nhiều VD phát như: - Tam giác có đường trung tuyến, đường cao tam giác cân; phân giác sao? - Giao điểm đường chia ba phía góc tam giác tam giác tam giác (định lí Moocley); chia ba phía sao? - Ta có toán quen thuộc là: “Cho tam giác ABC nội tiếp (O), có trọng tâm G Giả sử tia GA, GB, GC cắt (O) A’, B’, C’ Chứng minh rằng: GA GB GC GA ' GB ' GC ' ”; thay G trực tâm hay tâm đường tròn nội tiếp sao? không đổi đường tròn, trọng - Quỹ tích trực tâm H tam giác ABC có BC cố định BAC tâm G đường tròn; tâm đường tròn nội tiếp gì? - Nếu biết trung điểm cạnh dựng đỉnh tam giác, biết chân đường cao dựng đỉnh tam giác; biết chân đường phân giác có dựng không dựng nào? Chẳng hạn từ vấn đề cuối vừa nêu trên, có toán sau: “Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có phân giác AD, BE, CF đồng qui I Gọi x, y, z tiếp tuyến (O) song song với đoạn thẳng EF, FD, DE Giả sử x cắt y P, y cắt z M, z cắt x N Gọi H, K, L chân đường phân giác kẻ từ góc M, N, P tam giác MNP Chứng minh rằng: a/ Các đoạn thẳng MD, NE, PF đồng qui Gọi điểm R b/ Các đoạn thẳng HD, KE, LF đồng qui Gọi điểm S c/ Ba điểm R, S, O thẳng hàng Gọi đường thẳng qua điểm d d/ Đường thẳng d qua tâm đường tròn nội tiếp bốn tam giác ABC, DEF, MNP HKL.” Còn nhiều điều gần gũi, quen thuộc mà chưa tìm hiểu nhiều chúng để phát thêm thú vị rèn luyện cho kĩ giải toán HHP Tại không thử bắt đầu với HHP đơn giản để tìm đến điều thú vị? * Tóm lại: Muốn học tốt môn HHP, cần phải có trình rèn luyện đầy đủ với cách học tập phù hợp Chúng ta nên rèn luyện tư hình học từ nhiều dạng toán nên tập trung vào công cụ chính; đừng sâu vào phương pháp, công cụ hỗ trợ đặc biệt Ta học thật nhiều định lí, bổ đề cần nhớ hết chúng lựa chọn công cụ cho phù hợp để giải Chúng ta nên biết toán HHP kì thi thường không giải dựa bổ đề, định lí khó để đánh giá kĩ nhớ, thuộc mà dùng công cụ thông thường, quen thuộc để đánh giá khả tư duy, lập luận học sinh Hãy trang bị cho thứ cần thiết để đối đầu với toán HHP khó khăn phía trước; tất nhiên, hành trang tốt hành trang đầy đủ gọn gàng, sử dụng nhiều tình hành trang cồng kềnh, phức tạp để cần dùng thứ tìm kiếm đâu Chúc bạn rèn luyện tốt thành công môn HHP thật thú vị hấp dẫn này! http://www.vinhduy.no1.vn III) Các toán rèn luyện Sau xin mời bạn tham khảo thử 16 toán kì thi chọn đội tuyển quốc gia Việt Nam dự thi IMO thử vận dụng hướng vừa để tìm cách giải chúng Đây toán hay khó! (Các toán xếp từ dễ đến khó) Bài 1: Hai đường tròn (C1) (C2) cắt hai điểm P Q Tiếp tuyến chung hai đường tròn gần P Q tiếp xúc với (C1) A tiếp xúc với (C2) B Các tiếp tuyến (C1), (C2) kẻ từ P cắt đường tròn E F, (E, F khác P) Gọi H, K điểm nằm đường thẳng AF, BE cho AH = AP BK = BP Chứng minh năm điểm A, H, Q, K, B thuộc đường tròn (Đề TST 2000) Bài 2: Trên cạnh tam giác ABC lấy điểm M1, N1, P1 cho đoạn MM1, NN1, PP1 chia đôi chu vi tam giác, M, N, P trung điểm đoạn BC, CA, AB Chứng minh rằng: Các đường thẳng MM1, NN1, PP1 đồng quy điểm Gọi điểm K KA KB KC Trong tỉ số , , có tỉ số không nhỏ BC CA AB (Đề TST 2003) Bài 3: Cho tam giác ABC có H trực tâm Đường phân giác góc BHC cắt cạnh AB, AC D E Đường phân giác góc BAC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE điểm K Chứng minh đường thẳng HK qua trung điểm đoạn BC (Đề TST 2006) Bài 4: Trong mặt phẳng cho góc xOy Gọi M, N hai điểm nằm tia Ox, Oy Gọi d đường phân giác góc góc xOy I giao điểm trung trực MN với đường thẳng d Gọi P, Q hai điểm phân biệt nằm đường thẳng d cho IM = IN = IP = IQ, giả sử K giao điểm MQ NP Chứng minh K nằm đường thẳng cố định Gọi d1 đường thẳng vuông góc với IM M d2 đường thẳng vuông góc với IN N Giả sử đường thẳng d1, d2 cắt đường thẳng d E, F Chứng minh đường thẳng EN, FM OK đồng quy (Đề TST 2006) Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi A1, B1, C1 A2, B2, C2 chân đường cao tam giác ABC hạ từ đỉnh A, B, C điểm đối xứng với A1, B1, C1 qua trung điểm cạnh BC, CA, AB Gọi A3, B3, C3 giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB2C2, BC2A2, CA2B2 với đường tròn (O) Chứng minh rằng: A1A3, B1B3, C1C3 đồng quy (Đề TST 2009) Bài 6: Trong mặt phẳng cho hai đường tròn cắt hai điểm A, B Gọi PT hai tiếp tuyến chung hai đường tròn P, T tiếp điểm Tiếp tuyến P T đường tròn ngoại tiếp tam giác APT cắt S Gọi H điểm đối xứng với B qua đường thẳng PT Chứng minh điểm A, S, H thẳng hàng (Đề TST 2001) http://www.vinhduy.no1.vn Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Một đường tròn tiếp xúc với cạnh AB, AC tiếp xúc với đường tròn điểm M1, N1, P1 Các điểm M2, N2, P2 M3, N3, P3 xác định cách tương tự Chứng minh đoạn thẳng M1N1, M2N2, M3N3 cắt trung điểm đường (Đề TST 1999) Bài 8: Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Gọi A’, B’, C’ ảnh điểm A, B, C qua phép đối xứng tâm M Chứng minh tồn điểm điểm P mặt phẳng cách hai đầu mút đoạn thẳng AB’, BC’, CA’ Gọi D trung điểm đoạn AB Chứng minh M thay đổi tam giác ABC không trùng với D đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP, N giao điểm DM AP, qua điểm cố định (Đề TST 1995) Bài 9: Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O1), (O2) cắt A B Các tiếp tuyến A, B đường tròn (O1) cắt K Xét điểm M không trùng với A, B nằm đường tròn (O1) Gọi P giao điểm thứ hai đường thẳng MA với đường tròn (O2) Gọi C giao điểm thứ hai đường thẳng MK với đường tròn (O1) Gọi Q giao điểm thứ hai đường thẳng CA với đường tròn (O2) Chứng minh rằng: Trung điểm đoạn thẳng PQ nằm đường thẳng MC Đường thẳng PQ qua điểm cố định M di động (O1) (Đề TST 2004) Bài 10: Cho tam giác ABC có O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi H, K, L chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC Gọi A0, B0, C0 trung điểm đường cao AH, BK, CL Đường tròn nội tiếp tâm I tam giác ABC tiếp xúc với đoạn BC, CA, AB D, E, F Chứng minh A0D, B0E, C0F qua điểm điểm nằm đường thẳng OI (Đề TST 2003) Bài 11: Cho tam giác ABC tam giác nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Một đường thẳng d thay đổi cho d vuông góc với OA cắt tia AB, AC Gọi M, N giao điểm đường thẳng d đoạn AB, AC Giả sử đường thẳng BN CN cắt K; giả sử đường thẳng AK cắt đường thẳng BC Gọi P giao đường thẳng AK đường thẳng BC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định d thay đổi Gọi H trực tâm tam giác AMN Đặt BC = a l khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng HK Chứng minh đường thẳng HK qua trực tâm tam giác ABC Từ suy ra: l R a Đẳng thức xảy nào? (Đề TST 2006) Bài 14: Cho đường tròn (O) đường kính AB M điểm nằm (O), M không nằm đoạn thẳng AB Gọi N giao điểm phân giác góc M tam giác AMB với đường tròn (O) Đường phân giác góc AMB cắt đường thẳng NA, NB P, Q Đường thẳng MA cắt đường tròn đường kính NQ R, đường thẳng MB cắt đường tròn đường kính NP S R, S khác M http://www.vinhduy.no1.vn Chứng minh rằng: đường trung tuyến ứng với đỉnh N tam giác NRS qua điểm cố định M di động phía đường tròn (Đề TST 2009) Bài 12: Cho tam giác ABC có (I) (O) đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác Gọi D, E, F tiếp điểm đường tròn (I) cạnh BC, CA, AB Gọi A , B , C đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn (I) (O) điểm D, K (với đường tròn A ); E, M (với đường tròn B ) F, N (với đường tròn C ) Chứng minh rằng: Các đường thẳng DK, EM, FN đồng quy P Trực tâm tam giác DEF nằm đoạn OP (Đề TST 2005) Bài 13: Cho tam giác nhọn ABC với đường tròn tâm I nội tiếp Gọi (Ka) đường tròn qua A, AKa vuông góc với BC (Ka) tiếp xúc với (I) A1 Các điểm B1, C1 xác định tương tự 1/ Chứng minh: AA1, BB1, CC1 đồng qui P 2/ Gọi (Ja), (Jb), (Jc) tương ứng đường tròn đối xứng với đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tam giác ABC qua trung điểm BC, AC, AB Chứng minh P tâm đẳng phương đường tròn (Ja), (Jb), (Jc) (Đề TST 2007) Bài 15: Cho tam giác ABC có: AB c, BC a, CA b Lấy sáu điểm A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 phân biệt không trùng với A, B, C điểm A1 , A2 thuộc đường thẳng BC, B1 , B2 thuộc đường thẳng CA, điểm C1 , C2 thuộc đường thẳng AB Gọi , , số thực xác định : A1 A2 BC , B1 B2 CA, C1C2 AB a b c Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác AB1C1 , AB2C2 , BC1 A1 , BC2 A2 , CA1 B1 , CA2 B2 gọi d A , d B , dC trục đẳng phương cặp đường tròn qua A, B, C Chứng minh rằng: d A , d B , dC đồng quy a b c (Đề TST 1995) Bài 16: Cho k số thực Cho tam giác ABC nhọn, không cân có O tâm đường tròn ngoại tiếp AD, BE, CF đường phân giác tam giác Trên đường thẳng AD, BE, CF AL BM CN lấy điểm L, M, N cho k Gọi (O1), (O2), (O3) AD BE CF đường tròn qua L, tiếp xúc với OA A ; qua M tiếp xúc với OB B qua N tiếp xúc với OC C 1 Chứng minh với k , ba đường tròn (O1), (O2), (O3) có hai điểm chung 2 Tìm tất giá trị k cho ba đường tròn (O1), (O2), (O3) có hai điểm chung (Đề TST 2008) http://www.vinhduy.no1.vn [...]... được bài toán như vậy Thông thường các bài toán HHP đặt ra dưới dạng che giấu các vấn đề và công việc của chúng ta là lần mò theo các giả thiết có sẵn để giải Việc che giấu càng hay khi mà một số điểm và đường trong hình bị xóa đi mà yêu cầu của bài toán lại không bị ảnh hưởng, người giải các bài như vậy phải khôi phục lại các điểm đó thông qua cách kẻ các yếu tố phụ; cũng có thể là việc biến đổi các. .. những sự thú vị cũng như rèn luyện cho mình kĩ năng giải toán HHP Tại sao chúng ta không thử bắt đầu ngay với 1 bài HHP đơn giản nào đó để đi tìm đến những điều thú vị? * Tóm lại: Muốn học tốt ở môn HHP, chúng ta cần phải có một quá trình rèn luyện đầy đủ cùng với một cách học tập phù hợp Chúng ta nên rèn luyện tư duy hình học của mình từ nhiều dạng toán và nên tập trung vào các công cụ chính; đừng... khó khăn gì nữa Và các mắc xích trên đã được nối liền, bài toán đã được giải quyết Việc trình bày lời giải chỉ còn là chuyện ghi chép mà thôi! Rõ ràng bài toán này không quá khó và vẫn còn nhiều cách giải khác cho nó nữa mà chúng ta có thể thấy ngay rằng tọa độ cũng là một cách tốt Thế nhưng, nếu có đủ thời gian, chúng ta hãy phân tích bài toán từ từ để tìm được một lời giải hình học thuần túy thật... một bài toán hình học của kì thi HSG quốc gia và các lời giải của nó nói chung đều mang nhiều tính chất của phép vị tự Đáp án của Bộ GD – ĐT đưa ra cũng là một lời ngắn gọn và đẹp Dù vậy, nếu các bạn đã nhiều lần giải các bài toán về hai đường tròn cắt nhau cùng với tiếp tuyến của nó thì sẽ nhiều kinh nghiệm về dạng này và sẽ có thể dùng kinh nghiệm đó như những bổ đề để giải bài toán này một cách... nhỉ?” Thông thường, chúng ta giải được một bài toán với lời giải thật hay và đẹp rồi gác nó lại mà không dành thời gian tìm hiểu thêm những điều lí thú đằng sau nó hay thậm chí là đưa ra được một bài toán mới từ bài toán cũ đó Việc tìm tòi như thế sẽ giúp chúng ta chủ động hơn ở các bài toán và phát triển kĩ năng HHP tốt hơn Khi chúng ta tìm tòi sáng tác ra các bài toán mới chính là lúc chúng ta đi trên... dẫn này! http://www.vinhduy.no1.vn III) Các bài toán rèn luyện Sau đây xin mời các bạn hãy tham khảo thử 16 bài toán trong kì thi chọn đội tuyển quốc gia của Việt Nam dự thi IMO dưới đây và hãy thử vận dụng các hướng vừa rồi để tìm cách giải quyết chúng Đây đều là các bài toán rất hay và cũng rất khó! (Các bài toán được sắp xếp từ dễ đến khó) Bài 1: Hai đường tròn (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm... Ta học thật nhiều định lí, bổ đề nhưng khi cần chúng ta không thể nào nhớ hết chúng và không biết lựa chọn công cụ nào cho phù hợp để giải quyết Chúng ta cũng nên biết rằng các bài toán HHP trong các kì thi thường không giải dựa trên một bổ đề, định lí khó nào đó để đánh giá kĩ năng nhớ, thuộc bài mà chỉ dùng các công cụ thông thường, quen thuộc để có thể đánh giá được khả năng tư duy, lập luận của học. .. các yếu tố hình học cơ bản Chúng ta nên tìm hiểu thêm về chúng để có thêm được những sự trợ giúp rất tốt khi đứng trước một bài toán HHP nào đó mà các phương pháp hình học thuần túy khác dường như đã không còn tác dụng nữa http://www.vinhduy.no1.vn Tiếp tục nói về việc nghiên cứu ra các bài toán HHP mới, chúng ta thấy một điều rằng: muốn tự nghĩ ra một bài HHP hoàn toàn độc lập với các bài đã có... trình rèn luyện và tích lũy kinh nghiệm lâu dài Có thể nói khi chúng ta đã kẻ thành công được đường phụ để giải một bài toán nào đó chính là lúc chúng ta có một bước tiến dài trong việc học tập HHP http://www.vinhduy.no1.vn 5 Về việc học tập và rèn luyện HHP ở mức độ cao Có khi nào chúng ta đặt câu hỏi: “Tại sao người ta lại có thể nghĩ ra được một bài toán hay như vậy nhỉ?” Thông thường, chúng ta giải. .. bài toán từ từ để tìm được một lời giải hình học thuần túy thật đẹp như trên! * Có thể nói trước những bài toán HHP khó, các công việc phân tích bài toán như ở trên là rất cần thiết Đó là cách chúng ta mò mẫn, dò tìm cách giải bài toán, cách có được đpcm từ những yếu tố cho trước thông qua việc kết nối các “mắc xích” liên hệ giữa chúng Ta hiểu “mắc xích” ở đây có thể là “một bước xuống dòng”, “một dấu