CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN NỘI DUNG Cực trị tự Cực trị có điều kiện Giá trị lớn nhất, nhỏ tập compact CỰC TRỊ TỰ DO Hàm z = f(x, y) xác định miển mở D chứa P0(x0, y0) P0 điểm cực đại f tồn lân cận V P0 cho: f(x, y) ≤ f(x0, y0), ∀ (x, y) ∈ V Bỏ dấu “ = “ ta gọi P0 điểm cực đại chặt f Thay ≤ ≥ ta có định nghĩa điểm cực tiểu Lưu ý: dùng định nghĩa để xét cực trị xét dấu biểu thức sau với (x,y) gần (x0,y0) ∆f ( x0 , y ) = f ( x , y ) − f ( x0 , y ) hay ∆f ( x0 , y ) = f ( x0 + ∆x , y + ∆y ) − f ( x0 , y ) ∆x, ∆y gần (nhưng không đồng thời 0) Nếu ∆f giữ nguyên dấu lân cận (x0, y0) f đạt cực trị điểm này, ngược lại f không đạt cực trị Ví dụ 1/ P(0, 0) điểm cực tiểu chặt f(x, y) = x2+y2 ∆f(0,0) = f(x, y) – f(0, 0) = x2 + y2 > 0, ∀(x, y) ≠ (0, 0) hay f(x, y) > f(0, 0), ∀(x, y) ≠ (0, 0) 2/ P(0, 0) điểm cực tiểu không chặt f(x, y) = x2y2 ∆f(0,0) = f(x, y) – f(0, 0) = x 2y2 ≥ 0, ∀(x, y) hay f(x, y) ≥ f(0, 0), ∀(x, y) f(x, 0) = f(0, 0), ∀x ≠ f(0, y) = f(0, 0), ∀y ≠ Tức là: lân cận V (0, 0) luôn có đíểm (x, y) để dấu “ = “ xảy 3/ f(x, y) = x2 – y2 không đạt cực trị (0, ) f(x, ) > = f(0, 0),∀x≠0; f(0, y) < f(0,0), ∀y≠0 Trong lân cận (0,0) luôn có điểm P1, P2 mà f(P1) > f(0,0) f(P2) < f(0,0) Điều kiện cần cực trị: Nếu z = f(x,y) đạt cực trị P0(x0, y0) • Hoặc f’x(P0) = f’y(P0) = • Hoặc đạo hàm riêng P0 không tồn Định nghĩa: • f’x(P0) = f’y(P0) = : P0 điểm dừng •P0 điểm tới hạn ⇔ P0 điểm dừng đạo hàm f P0 không tồn Điều kiện đủ cực trị: Hàm z = f(x, y) có đạo hàm cấp liên tục lân cận điểm dừng P0(x0, y0) f 1.Nếu d2f(x0,y0) xác định dương f đạt cực tiểu chặt P0 2.Nếu d2f(x0,y0) xác định âm f đạt cực đại chặt P0 3.Nếu d2f(x0,y0) không xác định dấu f không đạt cực trị P0 Các bước để tìm cực trị hàm biến 1.Giải hệ pt: fx′ ( x , y ) = 0, fy′ ( x , y ) = ⇒ ( x0 , y ) ′′ ( x0 , y ), B = fxy ′′ ( x0 , y ),C = fyy ′′ ( x0 , y ) 2.Tính : A = fxx ∆ = AC – B2 ∆ >  f đạt cực tiểu chặt P A > 0  ∆ >  f đạt cực đại chặt P0 A < ∆ < f không đạt cực trị P0 ∆ = Xét P0 theo định nghĩa VÍ DỤ 1/ Tìm cực trị z = f(x, y) = x3 + y3 – 3xy fx′ = 3x − 3y = ( x , y ) = (0,0) ⇔  hay ( x , y ) = (1,1) fy′ = 3y − 3x = ′′ = x , fxy ′′ = −3, fyy ′′ = 6y fxx Tại (0,0): A = f”xx(0,0) = 0, B = f”xy(0,0) = -3, C = f”yy(0,0) = 0, ∆= AC – B2 = - < ⇒ f không đạt cực trị (0,0) ′′ = x , fxy ′′ = −3, fyy ′′ = y fxx Tại (1,1): A = f”xx(1,1) = 6, B = f”xy(1,1) = -3, C = f”yy(1,1) = 6, ∆= AC – B2 = 36 – > A>0 ⇒ f đạt cực tiểu (1,1), f(1,1) = -1 2/ Tìm cực trị z = f(x, y) = x4 + y4 – x2 – 2xy – y2 ( x , y ) = (1,1)  fx′ = x − x − y =  ⇔ ( x , y ) = ( −1, −1)   ′ f = y − x − y =  y ( x , y ) = (0,0) 2 ′′ ′′ ′′ fxx = 12 x − 2, fxy = −2, fyy = 12 y − Tại (1,1): A = f”xx(1,1) = 10, B = f”xy(1,1) = -2, C = f”yy(1,1) = 10, ∆= AC – B2 = 100 – > A>0 ⇒ f đạt cực tiểu (1,1), f(1,1) = -2 f(x, y) = x4 + y4 – x2 – 2xy – y2 ′′ = 12 x − 2, fxy ′′ = −2, fyy ′′ = 12 y − fxx Tại (1,1): A = f”xx(-1,-1) = 10, B = f”xy(-1,-1) = -2, C = f”yy(-1,-1) = 10, ∆= AC – B2 = 100 – > A>0 ⇒ f đạt cực tiểu (-1,-1), f(-1,-1) = -2 2 ′′ = 12 x − 2, fxy ′′ = −2, fyy ′′ = 12 y − fxx Tại (0,0): A = f”xx(0,0) = -2, B = f”xy(0,0) = -2, C = f”yy(0,0) = -2, ∆ = AC – B2 = ⇒ kết luận Xét ∆f(0,0) = f(x,y) – f(0,0) = x4 + y4 – x2 – 2xy – y2 = x4 + y4 – (x + y)2 ∆f(0,0) = x4 + y4 – (x + y)2 Nếu x = – y : ∆f(0,0) = 2x4 > Nếu x = y: ∆f(0,0) = 2x4 – 4x2 = 2x2(x2 – 2) < với x gần Vậy lân cận tùy (0,0) luôn có điểm P1, P2 mà f(P1) > f(0,0) f(P2) < f(0,0) Kết luận: f không đạt cực trị (0, 0) x=y P2 P1 V x=-y 3/ Cho f(x, y) = 2x4 + y4 – x2 – 2y2 Điểm sau cực trị f a/ P1(0,0) c/ P3(1/2, -1) b/ P2(-1, 1) d/ P4(0,1) Vì f có đhr R2 nên f đạt cực trị điểm dừng Vậy phải kiểm tra xem điểm điểm dừng xét ∆ điểm (Loại câu hỏi xét xem điểm thỏa hệ {f’x = 0, f’y = 0} không cần giải hệ khó) f(x, y) = 2x4 + y4 – x2 – 2y2 Xét hệ:  ′ fx = x − x =  ′ f = y − 4y =  y P1(0,0), P2(-1, 1), P3(1/2, -1), P4(0,1) Chỉ có P1, P3 P4 thỏa hệ nên P2 không điểm dừng, P2 không điểm cực trị 2 ′′ ′′ ′′ fxx = 24 x − 2, fxy = 0, fyy = 12 y − Tại P1(0,0): A = -2, B = 0, C = - ⇒ ∆ = > 0, A < 0: f đạt cực đại chặt Tại P3(1/2,-1): A = 4, B = 0, C = ⇒ ∆ = 32 > 0, A > 0: f đạt cực tiểu chặt Tại P4(0, 1): A = -2, B = 0, C = ⇒ ∆ = -16 < 0: f không đạt cực trị 4/ Tìm cực trị f(x, y, z) = −x2 + y2 + z2 – 4xz + 4x + 6y – 2z fx′ = −2 x − 4z + =  ⇔ ( x , y , z) = (0, −3,1) fy′ = y + =  ′ fz = 2z − x − = 2 2 d z (0, −3,1) = −2dx + 2dy + 2dz − 8dxdz Đây dạng toàn phương không định dấu nên f không đạt cực trị (0, -3, 1)( hay f cực trị)