T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D ng Fb:ThayNguyenDaiDuong TI P C N B T Đ NG TH C THƠNG QUA CÁC BÀI TỐN TRONG Đ THI Đ I H C CAO Đ NG 2016 Trong c{c năm v a qua b|i to{n B t Đ ng Th c v| Gi{ Tr L n Nh t Gi{ Tr Nh Nh t l| c}u h i khó đ chinh ph c m đ thi Đ i H c Cao Đ ng v| Kì Thi THPT Qu c Gia nh c{c kì thi HSG Theo xu h ng c a c{c năm g n đ}y vi c ki m m c a c}u h i n|y th c s không ph i l| m t vi c qu{ khó kh n n u nh c{c em có ki n th c v b|i to{n n|y Đ i v i c{c em thi Y D c An Ninh Cơng An vi c chinh ph c c}u h i n|y l| u c n thi t Chính v y c{c em ph i b t đ u t b}y gi m t c{c nghiêm túc l| có l trình đ có đ y đ ki n th c nh m l|m t t b|i to{n n|y đ thi Vi c h n m có th quy t đ nh v n đ đ u v| r t c{c tr ng TOP M c tiêu c a c{c em c n đ t l| h c đ v| v n d ng t t không nên h c qu{ cao siêu nh ng nh qu{ th a thãi B não c a c{c em ph i ho t đ ng đ c}n b ng t t c c{c mơn đ đ t t ng th|nh tích cao nh t ch ko ph i đ t th|nh tích cao ch môn D i đ}y l| m t v|i l u c a th y b t đ u h c v B t Đ ng Th c S Bi t đ c v n d ng đ c b t đ ng th c b t đ ng th c AM-GM (Cauchy, Cosi) b t đ ng th c Cauchy-Schwarz (BunyakovskiCauchy-Schwarz) S ộ m rậ đ c m r i S d ng đánh giá t ng ng đ đ m b o m r i nh th S Bi t v n d ng đ c đánh giá th ng g p nh t b t đ ng th c ph quen thu c S ờèn luy n th ng xuyên đ quen tay t o s nh y bén x lí t c đ cao trình bày rậ ràng chi ti t D I ĐỨỤ TH Ụ T ộG CỦC EỘ L I GI I VÀ CỦCH T DUỤ C A CỦC BÀI TỚỦộ B T Đ ộG TH C TờỚộG CỦC Đ THI CHÍộH TH C C A B GIỦỚ D C VÀ ĐÀỚ T Ớ CHÚC CỦC EỘ TI C ộ VÀ Đ ộH H KÌ THI ộG ĐÚộG CHU ộ B CHỚ T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D Bài 1: Cho x, y , z s th c d ng Fb:ThayNguyenDaiDuong ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c x  y  z  P  x    y    z    zx   xy   yz  Đ n sinh Đ i H c kh i B-2007 PH N T CH D th y b|i to{n đ i x ng nên m r i l| x  y  z Ta có P  l| l x2  y  z x2  y  z2  T s l| l xyz ng xyz nên ta có th đ a v l xy  yz  zx Đ t nhiên ta ch n l  Ta có x  y  z 2  x  y  z P ét h|m s  f ' t   f t    ng trung gian l| x  y  z ho c ng x  y  z S d ng c{c b t đ ng th c x  y  z 2  x  y  z     x  y  z 9x  y  z x  y  z   x  y  z 3 BÀI GI I 2 ng x2  y  z2 v| m u s v|  x  y  z   27 xyz v| 27xyz   x  y  z   xyz t2  v i t  x y  z t  t t   f ' t    t  3 t2 BBT: t f t      f(t) 9 D a v|o b ng bi n thiên  f  t   f     P  2 x  y  z  Đ ng th c x y   x  y  z 1  x  y  z  K t lu n V y gi{ tr nh nh t c a P l| x  y  z  T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D Bài 2: Cho x, y , z s th c d x  y  z ng th a mãn xyz  Tìm giá tr nh nh t y2  z  x  c a bi u th c P y y  2z z  ng Fb:ThayNguyenDaiDuong  z z  2x x z2  x  y  x x  2y y Đ n sinh Đ i H c kh i A-2007 PH N T CH D đo{n m r i l| x  y  z  M u s ch a t ng c a c{c đ i l ng x x , y y , z z g n nh l| không bi n c n u có 2x x  x  x  1  x2  x s đ a m u v d ng ph c t p đ iđ h n Ta th y t s c{c ph}n th c có s đ c bi t l| ch a c ba bi n x, y, z d a v|o u ki n b|i to{n ta đ{nh gi{ nh sau x2  y  z   2x2 yz  2x x đ n đ}y ta th y t s tr th|nh đ i l ng gi ng m u BÀI GI I C Áp d ng AM-GM: x2  y  z   2x2 yz  2x x T ng t P y  z  x   y y , z2  x  y   2z z 2x x y y  2z z  2y y z z  2x x  2z z x x  2y y 2a 2b 2c   b  2c c  a a  2b Áp d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz: Đ t a  x x;b  y y;c  z z  P  a  b  c 2a2 2b 2c   2 a  b  c  b  c  a  c  a  2b   ab  bc  ca  a  b  c   ab  bc  ca    a  b  c    ab  bc  ca  M| 2a 2b 2c    b  c c  a a  2b Đ ng th c x y a  b  c  x  y  z  P C Đ t a  x x  y y ; b  y y  2z z ; c  z z  2x x x x  c  a  2b a  b  2c 4b  c  a ;y y  ;z z  9 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D ng Fb:ThayNguyenDaiDuong  4c  a  b a  b  2c 4b  c  a  P     9 b c a  b a c  a b c  P           6 b c a a c b   P    4.3    Đ ng th c x y a  b  c  x  y  z  K t lu n V y gi{ tr nh nh t c a P l| x  y  z  ng th a mãn x  x  y  z   3yz Ch ng minh Bài 3: Cho x, y , z s th c d r ng  x  y   x  z 3   x  y  y  z  z  x    y  z  Đ n sinh Đ i H c kh i A-2009 PH N T CH B t đ ng th c ch ch a x  y , y  z v| z  x nên ta h ng đ n vi c đ i bi n cho g n b|i to{n Đ t a  x  y; b  y  z , c  z  x , u ki n tr th|nh: b2  ac  a2  c , b t đ ng th c tr th|nh a3  c  3abc  5b3 Ta th y u ki n v| b|i to{n đ ng c p (thu n nh t nên ta chia qua đ 2 ac a c   bb b b 3 a c ac a3  c  3abc  5b3    5 bb b b a c Đ t u  ,v  Đi u ki n  u2  v2  uv  b|i to{n  u3  v3  3uv  b b Ta đ a v b|i to{n bi n đ i x ng đ n gi n V| ta có th hi u b|i to{n l| tìm gi{ tr l n nh t c a bi u th c P  u3  v3  3uv BÀI GI I a  x  y abc abc bca  ;y  ;z  Đ t b  y  z  x  2 c  z  x  gi m bi n: b2  ac  a2  c   2 a c ac  (1)  x  x  y  z   3yz  a  c  b  ac        bb b b 2 3 a c ac  (2) B t đ ng th c tr th|nh a  c  3abc  5b        bb b b 3 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D ng Fb:ThayNguyenDaiDuong a c Đ t u  , v   1  u2  v2  uv  v|    u3  v3  3uv  b b 2 Áp d ng AM-GM: 1   u  v   3uv    u  v    u  v    ét P  u3  v3  3uv   u  v  u2  uv  v  u  v    u  v   u  v   2  P  22       Đ ng th c x y u  v  goài ta c)ng c th ánh giá b ng A -G nh sau 2 Ta có b2  a2  c  ac   a  c    a  c   2b  a  c C    a3  c  3abc   a  c  a2  c  ac  3abc   a  c  b2  3abc  2b.b2  a  c b  2b  b  5b3 Đ ng th c y a  b  c  K t lu n V y b t đ ng th c đ ng th c x y x  y  z  a3  c  3abc  2b3  Bài 4: Cho a, b, c s th c không âm th a mãn a  b  c  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c   P  a2 b2  b2 c  c a2   ab  bc  ca   a2  b2  c Đ n sinh Đ i H c kh i B-2010 PH N T CH B|i to{n đ i x ng ba bi n không }m nên đ ng th c x y có nh t bi n b ng Ta c đ nh m t bi n c   a  b   b   a thay v|o P :     P  a2   a     a 1  a     a2  1  a   S i: TAB E CASIO F  X   3X 1  X   3X 1  X   X  1  X  2  START =  END =  STEP = 0.1 D a v|o b ng gi{ tr ta th y h|m s có c c đ i kho ng  0.4,0.6  v| đ t gi{ tr nh nh t l| X  v| X  Khi X   a   b  v| X   a   b  X F(X) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 2.1053 2.206 2.2854 2.335 2.3517 2.335 2.2854 2.206 2.053 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D ng Fb:ThayNguyenDaiDuong V y m r i c a b|i to{n l| a  1, b  c  v| c{c ho{n v Ta th y v i m r i :   a2 b2  b2 c  c a2   a2 b2  b2 c  c a2   ab  bc  ca  2 Chính v y ta s ép bi n v t  ab  bc  ca Ta không th đ{nh gi{ : a2  b2  c  ab  bc  ca nên ta s bi n đ i t đ ng ng : a  b  c   a  b  c    ab  bc  ca  2 2 a  b  c n :  ab  bc  ca  V| u ki n c a bi   BÀI GI I  S d ng b t đ ng th c : x2  y  z   x  y  z    1  t  0,   3   a2 b2  b2 c  c a2   ab  bc  ca  2 M| :  a  b  c   a2  b2  c   ab  bc  ca   a2  b2  c    ab  bc  ca   P   ab  bc  ca    ab  bc  ca     ab  bc  ca  a  b  c Ta có :  ab  bc  ca   3  1 Đ t t  ab  bc  ca  t  0,   P  f  t   t  3t   2t  3 S d CASIO v i: PH N T CH HÀM S TABLE b F  X   X  3X   2X  START =  END = 0.35  STEP = 0.05 D a v|o b ng gi{ tr ta th y h|m s  1 đ n u tăng 0,  v| h|m s đ t gi{  3 tr nh nh t b ng X  F X X 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 2.0498 2.0988 2.1458 2.1891 2.2267 2.2549 2.2679 ab  bc  ca   t i t  Khi gi{ tr c n tìm c a a, b, c l|   a  1, b  c   a  b  c  v| c{c ho{n v th a mãn yêu c u b|i to{n Nên ta đ nh h ng ch ng minh T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D h|m s ng Fb:ThayNguyenDaiDuong  1 f  t   t  3t   2t đ ng bi n 0,   3  1 ét h|m : f  t   t  3t   2t v i t  ab  bc  ca  t  0,   3  1  f '  t   2t    v i m i t  0,   2t  3 H|m s đ ng bi n nên f  t   f     P  Đ ng th c x y a  1, b  c  v| c{c ho{n v K t lu n : V y gi{ tr nh nh t c a P l| a  1, b  c  Bài 5: Cho x, y , z s th c thu c 1,4  x  y , x  z Tìm giá tr nh nh t y x z   P c a bi u th c : 2x  3y y  z z  x Đ n sinh Đ i H c kh i A-2011 PH N T CH Bi u th c thu n nh t b c v| hai ph}n th c cu i t ng đ ng nên ta 1 s chia đ gi m bi n P  nh ng hai ph}n th c cu i   y z x 1 1 23 y z x kh{ l| quen thu c liên h đ n m t b t đ ng th c ph : 1   v i ab  (1)  a  b  ab Ta c n u ki n đ s d ng b t đ ng th c t u ki n  z x x  1 y z y th a mãn {p d ng (1) đ a b|i to{n v kh o s{t h|m s v i bi n t  x y đ}y tơi khơng trình b|y c{ch ch ng minh b t đ ng th c ph qu{ quen thu c c{c em t ch ng minh v|o b|i gi i BÀI GI I 1   v i ab  Áp d ng b t đ ng th c :  a  b  ab  z 1 y  x 1 z  x 1 y P y 23 x  x 1 y T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D Do x , y  1,4  , x  y   x 4 Đ t t y ng Fb:ThayNguyenDaiDuong x t2  P  f t    y 2t   t PH N T CH HÀM S TABLE b S d CASIO v i: F X  X  X 1 2X   START =  END =  STEP = 0.25 D a v|o b ng gi{ tr ta nh n th y h|m s đ n u gi m 1,2  v| gi{ tr nh nh t đ t t i X  Nh v y gi{ tr nh nh t c a f  t  l| f   X F(X) 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.2 1.1756 1.1539 1.1344 1.1165 1.1 1.0845 1.0698 1.056 1.0428 1.0303 x y    x  4, y  1, z  Khi t  gi{ tr c n tìm c a x, y , z l|  z  x  z x 1  y z y z Gi{ tr n|y th a mãn u ki n c a b|i to{n nh v y ta đ nh h minh h|m s f t   ét h|m f  t   t t 2t  2t  2   đ n u gi m t  1,2  t 1 v i t 1 t x  t  1,2  y 4 t  t  1  t   t      t  1,2   f ' t      2 2t   t  1   34 34 P H|m ngh ch bi n 1,2   f  t   f    33 33  x 2   y  x  4, y  1, z  Đ ng th c x y  z  x  z x 1 y z y z  K t lu n V y gi{ tr nh nh t c a P l| 34 x  4, y  1, z  33 10 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com ng ch ng T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D ng Fb:ThayNguyenDaiDuong Bài 6: Cho x, y , z s th c th a mãn x  y  z  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P3 x y 3 yz 3 z x  x2  y  z Đ n sinh Đ i H c kh i A-2012 PH N T CH Ta có x  y  z  nên s có nh t bi n }m nh ng b t đ ng th c v| u ki n đ i x ng nên m r i có nh t hai bi n b ng Do vai tr bi n nh nên ta gi s x  y  2x  z   z  2x thay v|o P đ c P3 3 S CASIO T tr V i 3x 3 3x  x2  x2   2 x   2.3 TAB E F  X   2.3 3X 3x 6 x 1 X F(X) 0.5 1.5 2.5 3.5  6X   START =  END =  STEP = 0.5 b ng gi{ tr ta th y h|m s đ n u tăng v| tăng r t nhanh h|m đ t gi{ nh nh t l| X  y m r i c a b|i to{n l| x  y  z  8.3923 49 272.59 1447 7561.9 39349 204531 1.106 B|i to{n có ch a h|m mũ đ i x ng nên ta tìm m t đ{nh gi{ đ đ a v đa th c đ m b o m r i t i x  y  z  Ta có đ{nh gi{ 3t  t  t   x y 3 yz 3 zx  xy  yz  zx Khi ta c n tìm ki m m t đ{nh gi{ ho c bi n đ i cho:  x2  y  z  f x  y , y  z , z  x Ta bi n đ i t ng đ  ng k t h p u ki n 6x2  y  6z   x  y    y  z    z  x    x  y  z   2 2  6x2  y  6z  x  y  y  z  z  x  2  Ta suy P  x  y  y  z  z  x  x  y  y  z  z  x  2 3  N u ta đ t a  x  y , b  y  z c  z  x  P  a  b  c  a  b2  c  c{c đ{nh gi{ đ a v h|m s s b ng c d u Do d đo{n gi{ tr nh nh t c a P l| nên ta s đ{nh gi{ 11 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D  ng Fb:ThayNguyenDaiDuong 2 xy  yz  zx  xy  yz  zx Ta bình ph  0 ng v| s d ng b t đ ng th c: a  b  a  b BÀI GI I f t    t v i t  ét h|m s t  f '  t   3t ln   v i m i t  H|m đ ng bi n  f  t   f     3t  t  Áp d ng ta đ c x y 3 yz 3 zx  xy  yz  zx 3 x2  y  6z   x  y    y  z    z  x    x  y  z  M|  2 2  6x2  y  6z  x  y  y  z  z  x  2  3  zx  P xy  yz  zx  xy  yz  zx Ta có  xy  yz  zx   xy  yz   2 2 2 2 xy yz  yz zx  zx xy  xy  yz  zx Áp d ng b t đ ng th c : a  b  a  b   yz  x y  zx  yz  xy  yz  xyyz  xz  zx xy  yz  zx T ng t   xy yz  zx  xy ,  2  xy  yz  zx  xy  yz  zx 2   P   Đ ng th c x y x  y  z  K t lu n : V y gi{ tr nh nh t c a P l| x  y  z  Bài 7: Cho x, y , z s th c th a mãn x  y  z  x2  y  z  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  x5  y  z Đ n sinh Đ i H c kh i B-2012 PH N T CH B|i to{n đ i x ng v| bi n th c nên m r i có bi n b ng 12 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D K t lu n V y gi{ tr l n nh t c a P l| ng Fb:ThayNguyenDaiDuong ,y  z   x  36 6 ng th a mãn  a  c  b  c   4c Tìm giá tr Bài 8: Cho a, b, c s th c d nh nh t c a bi u th c P 32a3  b  3c   32b3  a  3c  a  b2 c  Đ n sinh Đ i H c kh i A-2013 PH N T CH B|i to{n v| u ki n đ i x ng theo hai bi n a, b nên m r i a  b thay v|o u ki n ta đ c m r i a  b  c Đi u ki n v| b|i to{n l| c{c bi u th c đ ng c p nên ta h ng đ n đ t n ph gi m bi n a b Đ t x  ,y  Đi u ki n   x  1 y  1   x  y  xy  c c 32 y 32 x P   x  y Đi m r i l| x  y  v| P   3  y  3  x  3 Ta th y  x2  y   x  y   x  y   nên ta có th đ a v h|m s v i bi n x2  y ho c x  y Do ph}n th c đ u có b c nên ta s ngh đ n c{c đ{nh gi{ sau:  Đ{nh gi{ S d ng b t đ ng th c a  b 3  a  b   Đ{nh gi{ Áp d ng AM-GM: 32 x 1 32 x3 32 x3 x2 x        ho c 3  y  3 2 y   y  3  y  3  y  3 T u ki n  x  y  nên ta s đ nh h đ{nh gi{ đ m b o h|m s thu đ ng ép bi n v x  y v| ph i c đ ng bi n BÀI GI I a b Đ t x  ,y  Đi u ki n tr th|nh c c 32 y 32 x P   x2  y 3  y  3  x  3  x  1 y  1   xy  x  y   15 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D Áp d ng AM-GM:  x  1 y  1  x  y  2  C Áp d ng b t đ ng th c a  b  32 x3  y  3  32 y  x  3 3  a  b   x y   P       y3 x3 x  y 2     x  y    x  y  2  x y       y3 x3 ng Fb:ThayNguyenDaiDuong a, b   2x  y  Đ NH H NG T DU Ta s đ{nh gi{ ti p t c đ đ a b|i to{n v x  y Do bi u th c có d ng ph}n th c nên ta ngh đ n b t đ ng th c Cauchy-Schwarz: x  y y y2 x x2     y  x  xy  3x xy  y xy  3x  y M u s có xy ta v n có th đ{nh gi{ ti p nh ng khoan đ{nh gi{ qu{ nhi u s d n đ n b|i to{n b ng P 8x  y  x  y  6  x  y c d u nên ta rút th xy    x  y   2x  y  Đ n đ}y ta s d ng CASIO đ đ m b o r ng b|i to{n v n c n đúng: S TAB E X F(X) CASIO i  0.414 8X  0.324 2.1  X  2X  F X   0.154 2.2  X  6 2.3 0.0988  START = 2.4 0.4439  END = 2.5 0.889  STEP 0.01 2.6 1.444 D a v|o b ng gi{ tr ta th y h|m s 2.7 2.1201 đ n u tăng h|m s đ t gi{ tr nh 2.8 2.9294 nh t t i X  2.9 3.8847 Chú Đ ch c ch n ta có th ti p t c s d ng TABLE cho kho ng r ng h n Áp d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz: 16 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D ng Fb:ThayNguyenDaiDuong x  y  x  y y y2 x x2     y  x  xy  3x xy  3y 2xy  3x  3y x  y  P 8x  y  x  y  6  8t f t   ét h|m s x  y 2  2x  y   t  2t  v i t  x  y  t  t  6 24t  t  12  t 1  f ' t    t  2t  t  6 PH N T CH HÀM S TAB E S CASIO i F X  X 24X  X  12   X  6  START =  END =  STEP = 0.2 X 1 F X  X  2X  b ng ta th y gi{ thông qua gi{ tr Ta có: V| 24t  t  12  t  6 t 1 t  2t    2.2 2.4 2.6 2.8 F(X) 2.1213 1.7777 1.5921 1.4746 1.3931 1.3333 X  START =  END =  STEP =0.2 D a v|o 2.2 2.4 2.6 2.8 F(X) 2.625 3.8847 5.5272 7.61 10.193 13.333 24t  t  12  t    t 1  nên ta s đ{nh 2 t  2t   t  t   t    t  2  2t   t  2t   t  42t  154  t  2 17 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D  f ' t   24t  t  12  t  6  t 1 t  2t  ng Fb:ThayNguyenDaiDuong  t  H|m s đ ng bi n  2,    f  t   f      P   C 32 x 1 x Áp d ng AM-GM:   6  y  3 2 y  32 y  x  3  y 1  6 x3 2  x y   P      x  y  2x  y    y3 x3 Áp d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz: x  y  x  y y y2 x x2     y  x  xy  3x xy  3y 2xy  3x  3y x  y  P 6x  y xy6 S CASIO  x  y   2 x  y   PH N T CH HÀM S TAB E i F X  6X  X  2X  X6  START =  END =  STEP 0.01 D a v|o b ng gi{ tr ta th y h|m s đ n u tăng h|m s đ t gi{ tr nh nh t t i X  Đ ch c ch n ta ti p t c s d ng TABLE cho kho ng r ng h n ét h|m s  f ' t   f t   t  6 X 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 6t  t  2t  v i t  x  y  t  t6 6t  t  12  2  t 1 t  2t  18 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com F(X)  0.414  0.348  0.258  0.148  0.021 0.1204 0.2749 0.441 0.6178 0.8043 T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D 6t  t  12  Ta có: V| t  6 t 1 t  2t   f ' t      7t  84t  180  t  2  t  42t  154  t  2 6t  t  12  t  6 ng Fb:ThayNguyenDaiDuong t 1  t  2t   t  H|m s đ ng bi n  2,    f  t   f      P   x  y   Đ ng th c x y   x  y 1 a  b  c  x  y K t lu n V y gi{ tr nh nh t c a P l|  a  b  c Bài 9: Cho a, b, c s th c d ng Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  a2  b2  c   a  b   a  2c  b  2c  Đ n sinh Đ i H c kh i B-2013 PH N T CH P đ i x ng theo a, b nên d đo{n m r i a  b Ta không đ{nh gi{ : a  b  c 2 Nên ta s đ{nh gi{  a  b  a  b  c  ch a ch c a  b  c  a  2c  b  2c  v a  b2  c :  a  b  a  2c  b  2c    a  b  a  b2 4c  a  b2  2ab  4ac  4bc 2 2 2 Ta ép v a  b  c nên c n cm a  b  2ab  4ac  4bc  f a2  b2  c 2   C}n b ng h s AM-GM ta đ c a  b  c v|: a2  b2  2ab  4ac  4bc  a  b2  c 2 BÀI GI I Áp d ng AM-GM: 2  a  b  a  2c  b  2c    a  b  a  b2 4c  a  b  2ab2  4ac  4bc M| 2ab  a2  b2 , 4ac  a2  c v| 4bc  b2  c       19 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D  a2  b2  2ab  4ac  4bc  a  b2  c 2 P  2 a2  b2  c  a  b  c   ng Fb:ThayNguyenDaiDuong   Đ t t  a  b2  c   t   P  f  t    t t 4   Đ NH H NG T DU Do b|i to{n khơng có u ki n nên đ bi u th c có gi{ tr l n nh t h|m s ph i có c c đ i v| đ t gi{ tr l n nh t t i m c c đ i S TAB E X F(X) CASIO i 2.5  0.4 0.4333 F X   X X2  3.5 0.5974 0.625  START = 4.5 0.6119  END = 0.5857  STEP = 0.5 5.5 0.5558 D a b ng gi{ tr ta th y h|m s đ t 0.526 c c đ i kho ng  3.5,4.5  v| đ t 6.5 0.4977 gi{ tr l n nh t t i 0.4714 Ta x{c nh n xem X  có ph i l| c c tr hay khơng Nh p v|o m{y tính   d 4  CASIO ta đ c   nên h|m s đ t c c đ i t i dx  X X   x    X  Đi m r i c a b|i to{n l| a  b  c  ét h|m f  t    v i t  a  b2  c   t t2       f ' t    t   9t t2      f ' t    t  BBT: t f t  f(t)    20 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D D a v|o b ng bi n thiên  f  t   f    ng Fb:ThayNguyenDaiDuong 5 P 8  a  b  c Đ ng th c x y  abc2 2   a b c 4 4 C Sau nh h ng c toán i m r i nh ta c th gi i b ng cách ép v bi n a  b  c Ta c a b c 2  a  b  c  2 4  a2  b2  c   a  b  4c  a  b  c  Và  a  b   a  2c  b  2c    a  b   27 27 P   f t    a  b  c  2  a  b  c 2 t  2t abc2 2 a  b  c  K t lu n V y gi{ tr l n nh t c a P l| Bài 10: Cho x, y , z s th c không âm th a mãn x2  y  z2  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P x2 x  yz  x    yz yz  x y  z 1 Đ n sinh Đ i H c kh i A-2014 PH N T CH B|i to{n có u ki n l| m t bi u th c đ i x ng P không đ i x ng nh ng đ i x ng theo bi n y , z u ki n c{c bi n không }m nên ta không th đo{n m r i l| y  z Ta s xét c{c tr ng h p sau TH 1: C đ nh x   y  z2   y   z2 thay v|o P đ P S  z2  z  z  z2  z2  z  TAB E i  X  X2  X2  X   START =  END = 1.5  STEP = 0.2 F X   X2  X   X 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 c F(X) 0.4746 0.4744 0.4698 0.4628 0.4543 0.4444 0.4304 0.3837 21 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D ng Fb:ThayNguyenDaiDuong D a v|o b ng gi{ tr ta th y h|m s 1.5 ERROR đ n u gi m 0,  Nên h|m s đ t gi{ tr l n nh t X  suy   gi{ tr l n nh t tr ng h p n|y  0.4746 x  0, y  , z  TH 2: C đ nh z   x2  y   y   x2 b|i to{n đ i x ng theo bi n y , z nên ta không c n xét TH y  ) x2 P x2  x  S x   x2  TAB E i : ng F X   x2  X2 X  X 1 2  X2   X  F(X) 746 0.4596 0.4835 0.5171 0.5443 0.5555 0.5383 0.4153 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 X  2X 1  START =  END = 1.5  STEP = 0.2 D a b ng gi{ tr ta th y h|m s đ t c c đ i kho ng  0.8,1.2  v| h|m s đ t gi{ tr l n nh t t i X  Ta ki m tra xem X  có ph i l| c c đ i hay khơng Nh p v|o m{y tính CASIO ta  X2 1 d  X2   đ c    nên X  l| c c đ i dx  X  X  X   X   x    Gi{ tr l n nh t tr ng h p n|y l| x  1, y  1, z  K t h p hai tr ng h p ta th y m r i c a b|i to{n l| x  1, y  1, z  ho c x  1, y  0, z  Đ NH H NG T DU yz x Ta có nh n đ nh : v| d ng ph}n s có m u đ ng x y z1 x  yz  x  nh t v s l ng nh h s nên ta ngh đ n vi c đ{nh gi{ cho hai m u đ ng nh t T u ki n ta đ{nh gi{ đ c: x2   y  z    yz  1  yz   2x  y  z    yz  xy  xz  x2 x  yz  x   x2 x  x  xy  xz  x x y  z1 V| x  y  z   x   y  z    yz  1  yz  2 2  x  y  z  22 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com 2 T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D ng Fb:ThayNguyenDaiDuong Đ n đ}y ta đ a b|i to{n v bi n x  y  z T u ki n b|i to{n ta đ{nh gi{ đ c  x  y  z  nên ta s đ nh h  ng ch ng minh h|m s đ t c c đ i t i t  x  y  z  0,   BÀI GI I Áp d ng AM-GM: x2  y  z2   1  yz   x2   y  z   x  y  z    yz  x  y  z  V| 1  yz   x   y  z  2  x  y  z  2  x  y  z   yz   x  y  z  x  y  z  x  y  z yz P   36 36 x y  z 1 x  x  x y  z x  y  z  x2   L i có x2  y  z2   x  y  z    x  y  z     x  y  z  ét h|m s  f ' t   2  t t2 v i t  x  y  z  t  0,    t  36 t 18  t  2t  t   , f 't    t  2 18 18  t  1 f t    t  1 BBT: t f t  f(t)  D a v|o b ng bi n thiên  f  t   f    5 P 9 Đ ng th c x y x  y  1, z  ho c x  z  1, y  K t lu n V y gi{ tr l n nh t c a P l| x  y  1, z  Bài 11: Cho a, b, c s th c không âm th a mãn i u ki n  a  b c  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P a b c   bc a  c  a  b Đ n sinh Đ i H c kh i B-2014 23 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D ng Fb:ThayNguyenDaiDuong B|i to{n đ i x ng theo PH N T CH bi n a , b m|  a  b  c  nên m r i không th l| a  b  ho c c  đ c nên m r i m t hai bi n a ho c b a c a    c 2a c to{n l| a  c , b  ho c a  0, b  c T quen thu c ta ngh đ n c{c b t đ ng th b ng Khi P  a c   suy m r i c a b|i c 2a u ki n v| P ch a hai th c c a b ab  2 bc ac a  b  2c  Đ{nh gi{ a b c   2 bc ac ab c n u ki n c  a, b, c nên không ph h p Đ{nh gi{  Đ{nh gi{ Đ{nh gi{ đ i x ng v| x y a  b, c  v| c{c ho{n v nên ph h p Nh ng v n đ l| mu n s d ng đ{nh gi{ ta ph i ch ng minh n u d ng h|m s ph i s d ng đ{nh gi{ v| ph i ch ng minh đ{nh gi{ b ng Cauchy-Schwarz r t d|i v| khó Ta s s d ng c{ch ch ng minh đ{nh gi{ b ng AM-GM r t hay nh sau : a  a  b  c   2a b  c  a 2a  bc abc Khi đ{nh gi{ b ng AM-GM đ ng th c ch x y b  nên đ đ m b o đ ng th c x y a ho c b b ng ta nh}n thêm cho t : b  a  b  c   2b a  c  P  a  b abc  b 2b  ac abc c c đ a b|i to{n v h|m s theo bi n t  0 a  b  a  b BÀI GI I Áp d ng AM-GM: a  b  c  a  b  c   a  a  b  c   2a b  c  Đ{nh gi{ t P ng t :  a  b abc  a T a 2a  bc abc b 2b  ac abc c   a  b 1 c ab  c  a  b 24 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com ng T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D ng Fb:ThayNguyenDaiDuong c t  t   P  f t    ab 1 t PH N T CH HÀM S S TAB E CASIO i 2X X F X   X 1  START =  END =  STEP 0.5 D a v|o b ng gi{ tr ta th y h|m s có c c ti u v| đ t gi{ tr nh nh t t i X 1 V y f  t   f 1 th a mãn yêu c u nên ta Đ t t X đ nh h ng ch ng minh h|m s đ t gi{ tr nh nh t t i t  t c ét h|m s f  t    v i t t 0 1 t ab  f ' t     f ' t    t    t 2 F(X) 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 1.5833 1.5 1.55 1.6666 1.8214 2.1944 2.4 2.6136 2.8333 BBT : t f t     f(t) 3 D a v|o b ng bi n thiên  f  t   f 1   P  2 Đ ng th c x y a  0, b  c ho c a  c , b  C{ch : S d ng đ{nh gi{ a b c   2 bc ac ab  c 1 3  1      a  b  2 K t lu n V y gi{ tr nh nh t c a P l| a  c , b  ho c a  0, b  c c c P2   a  b  a  b Bài 12: Cho a, b, c th c thu c o n 1,3  th a mãn i u ki n a  b  c  25 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D ng Fb:ThayNguyenDaiDuong Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c a2 b2  b2 c  c a2  12abc  72 P  abc ab  bc  ca Đ th c kì thi THPT Qu c Gia PH N T CH Đi u ki n c a c{c bi n n m kho ng ch n nên kh m r i x y có nh t m t bi n n m biên Do u ki n v| b|i to{n đ i x ng bi n nên vai tr a, b, c nh c đ nh c   a  b   b   a thay v|o P đ c : a2   a     a   a2  12a   a   72 P a   a   a   a Do a, b, c  1,3 m| c   a, b  2,3 S CASIO TAB E X F(X) i 14.545 2 2.1 14.537 X   X   10X  50X  97 5X  X F X   2.2 14.531  5X  X 2.3 14.527  START = 2.4 14.525  END = 2.5 14.525  STEP = 0.1 2.6 14.525 D a v|o b ng gi{ tr ta th y h|m s đ i 14.527 x ng v| đ t c c ti u t i X  2.5 đ t gi{ tr l n 2.8 14.531 160 nh t l| t i X  v| X  14.537 11 14.545 V i gi{ tr m r i c a b|i to{n l| a  3, b  2, c  v| c{c ho{n v Có gi{ tr n m biên nên ta không c n xét tr ng h p n|o n a Do m r i t i biên nên ta s d ng đ{nh gi{ mi n gi{ tr :  a  1 b  1 c  1   abc   ab  bc  ca (1)  a  3 b  3 c  3   abc  27   ab  bc  ca  (2) Đ n đ}y ta th y đ nh h ng ép v t  ab  bc  ca ta c n đ{nh gi{ bi u th c đ u đ a v ab  bc  ca n a l| xong Do m r i l| a  1, b  2, c  nên không th đ{nh gi{ a2 b2  b2 c  c a2   ab  bc  ca  , nh ng ta có  ab  bc  ca  a2 b2  b2 c  c a2  2abc  a  b  c   a2 b2  b2c  c a2  12abc 26 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D Ta đ{nh gi{ u ki n c a bi n : ng Fb:ThayNguyenDaiDuong a  b  c ab  bc  ca   12 nh ng m r i không x y ba bi n b ng nên u ki n l| ch a đ t v|  ab  bc  ca   abc   ab  bc  ca   27  ab  bc  ca  11 Do a, b, c  1,3 nên ta có  a  1 b  1 c  1   abc   ab  bc  ca  a  3 b  3 c  3   abc  27   ab  bc  ca  L y (1) (2)  (1)  ab  bc  ca  11 a  b  c M| : ab  bc  ca   12  ab  bc  ca  a2b2  b2c2  c2 a2  2abc  a  b  c   a2b2  b2c2  c2a2  12abc ab  bc  ca   72  72 P   ab  bc  ca  5   ab  bc  ca    ab  bc  ca ab  bc  ca 2 2 Ta có Đ t t  ab  bc  ca  t  11,12   P  f  t   S CASIO i t 72   t PH N T CH HÀM S TAB E X X 72 F X    X  START = 11  END = 12  STEP 0.1 D a v|o b ng gi{ tr ta th y h|m s đ n u gi m 11,12  h|m s đ t gi{ tr l n nh t t i X  11 th a mãn yêu c u nên ta đ nh h ng ch ng minh h|m s ngh ch bi n 11,12  11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12 F(X) 14.545 14.536 14.528 14.521 14.515 14.51 14.506 14.503 14.501 14.5 14.5 72  v i t  ab  bc  ca  t  11,12  f t   t  t 72  f '  t     t  11,12  H|m s ngh ch bi n 11,12  t 160 160  f  t   f 11  P 11 11 ét h|m 27 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D ng Fb:ThayNguyenDaiDuong Đ ng th c x y a  1, b  2, c  v| c{c ho{n v 160 a  1, b  2, c  K t lu n V y gi{ tr l n nh t c a P l| 11 Bài 12: Xét s th c x , y th a mãn x  y   a.Tìm giá tr l n nh t c a x  y    x   y  (*)  3x y 4   x  y  1 27  x y  x2  y  m b Tìm m úng v i m i x,y th a mãn Đ th c kì thi THPT Qu c Gia BÀI GI I x   a.Đi u ki n   x  y  1   y  3 Áp d ng AM-GM: x   y    x  y 1 xy9  xy7 x24 y34 x y9   2 x   x    Gi{ tr l n nh t c a x  y l|     y   y  b x  y       x   y    x  y  1  x  y  1 x  y   x  y   x  y     x  y  1 x  y      x  y   ét P  3x y 4   x  y  1 27 x y  x2  y   9476 x  TH: x  y  1   P 243   y  3 TH: x  y  Ta có x2   y   4x  y   x  y    10  x2  y   P  3x y 4   x  y  1 27  x y  15 Đ t t  x  y    t   P  f  t   3t 4  t  1 27 t  15 ét h|m f  t   3t 4   t  1 27 t  15  f '  t   3t 4 ln  27 t   t  1 27 t ln   f ''  t   3t 4 ln2  t.ln 2  ln 2  2ln 27 t  t   3,7   f '  t  đ ng bi n  3,7  Ta có f   f     ! a   3,7  th a mãn f  a   28 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T DUỤ TI C ộ B T Đ ộG TH C Gv ộguy n Đ i D ng Fb:ThayNguyenDaiDuong Do f "  a    t  a l| c c ti u BBT: t f t f(t) -148 a + 20 f  a D a v|o BBT  f  t   f    148 148 P 3 x  y    x2 y3 0 Đ ng th c x y   x  2, y  x  y   148 x  2, y  : Đ 3x y 4   x  y  1 27  x y  x2  y  m x , y th a K t h p TH  GTLN c a P l| K lu  m  max P  m   148 TH Ụ TH ộG ợUỤÊộ ĐĂộG BÀI V CỦC CỨU 10 CỦC EỘ C2 TH THEỚ DÕI CỦC BÀI TỚỦộ ỚợỤ VÀ ớH ộG TờÌộH H ớH ộG TờÌộH Tờ C TI T I FACEBỚỚK C A TH Ụ Facebook: https://www.facebook.com/ThayNguyenDaiDuong Đ khuy n khích tinh th n h c t p c a em th y c ph n th ng sau ớh n th ng dành cho h c sinh online có l i gi i xác nhanh nh t cu n sách ớh ng ớháp Hàm S T Duy Gi i Toán B t Đ ng Th c Giá Tr L n ộh t Giá Tr ộh ộh t tác gi ộguy n Đ i D ng Đồn Trí Dễng Ho c cu n sách Chinh ớh c ớh ng Trình H ớh ng Trình B t ớh ng Trình tác gi ộguy n Ti n Chinh ộguy n ớhú Khánh 29 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com