ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG Mã số: 60440107 Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội- Năm 2014 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi thường xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trường đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN thầy, cô Khoa Toán – Cơ – Tin học quan tâm, giúp đỡ tạọ điều kiện thuận lợi suốt thời gian tác giả học tập nghiên cứu Khoa Tác giả xin cảm ơn nhà khoa học, thầy cô giáo seminar Cơ học vật rắn biến dạng có góp ý quý báu trình tác giả thực luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy, cô giáo, cán Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN tạo điều kiện thuận lợi trình nghiên cứu tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè thân thiết tác giả, người bên cạnh động viên giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả Đào Thị Bích Thảo MỤC LỤC TỔNG QUAN Chương - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm 1.2 Phép biến đổi tọa độ 1.2.1 Hệ tọa độ Đề 1.2.2 Hệ tọa độ cong 1.2.3 Phép biến đổi tọa độ 1.2.4 Tenxơ metric không gian Euclide 14 1.3 Thành phần vật lý tenxơ 20 1.3.1 Tenxơ hạng 20 1.3.2 Tenxơ hạng hai 21 1.3.3 Khai triển cụ thể 21 1.4 Đạo hàm hiệp biến 23 1.4.1 Đạo hàm véctơ sở 23 1.4.2 Kí hiệu Christoffel 25 1.4.3 Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng 31 1.4.4 Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai 32 Chương - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 33 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động 33 2.2 Ứng dụng tenxơ xác định thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị 42 2.3 Ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng 48 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi 48 2.3.2 Thành phần biến dạng vỏ mỏng 49 2.3.3 Phương trình cân 52 2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu 53 TỔNG QUAN Tenxơ khái niệm toán học phục vụ cho việc thiết lập giải vấn đề vật lý nhiều lĩnh vực học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tương đối rộng… Tenxơ lần nghiên cứu nhà toán học Tullio Levi-Civita Gregorio Ricci- Curbastro số nhà toán học khác Trong luận văn tenxơ sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ tập véctơ hình học Để giải toán lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ phương trình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng chuyển vị Việc thiết lập phương trình dựa hệ tọa độ cong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tương đối phức tạp Vì báo hay giáo trình học nói chung thường nêu trực tiếp phương trình cân bằng, hệ thức Côsi mà không nói rõ bước biến đổi để thu kết Luận văn trình bày rõ ràng khái niệm, phép tính bản, phép biến đổi tenxơ Trên sở vận dụng phép tính tenxơ để xác định phương trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, phương trình cân bằng- chuyển động hệ tọa độ cong Từ kết sau biến đổi, tác giả thu phương trình liên hệ biến dạng – chuyển vị hệ phương trình cân hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chương, phần kết luận tài liệu tham khảo Nội dung luận văn bao gồm: - Chương trình bày khái niệm, thành phần vật lý tenxơ, số phép tính tenxơ đạo hàm hiệp biến ten xơ hạng nhất, hạng hai Đồng thời tác giả trình bày cách biến đổi để thu hệ véctơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến phản biến, thành phần kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé hệ tọa độ cong, cụ thể hệ tọa độ trụ cầu, từ giúp ích cho việc xác định phương trình cân bằng- chuyển động, phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị chương - Chương vận dụng hệ thức sở phép tính tenxơ để xây dựng phương trình cân bằng- chuyển động xây dựng phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị Đồng thời trình bày ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng, cụ thể áp dụng khai triển cho vỏ trụ vỏ cầu Nội dung luận văn trình bày chi tiết đây: Chương - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa Tenxơ trường hợp riêng hệ thống phần tử, thành phần hệ số hàm số xác định hệ sở cho, với phép biến đổi tuyến tính hệ sở thành thay đổi theo quy luật xác định Hệ thống kí hiệu Các kí hiệu hệ thống đặc trưng hay nhiều số Ví dụ , , , Theo quy ước: số chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3 Ví dụ, kí hiệu nghĩa biểu thị phần tử , , , , , , , , , biểu thị phần tử , Hạng tenxơ Hạng tenxơ xác định số lượng số kí hiệu tenxơ Như thuộc vào số nên vào số ( , ) nên hệ thống hạng bao gồm hạng tử phụ phụ thuộc hệ thống hạng bao gồm = phần tử Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n số hệ thống hạng n gồm phần tử Quy ước số Chỉ số hệ thống tenxơ tuân theo quy ước: “ Trong biểu thức, số lặp lại lần , biểu thị tổng từ đến 3” Chỉ số số câm nên thay chữ khác Ví dụ: = = + + Hệ thống đối xứng Xét hệ thống hạng hai Nếu thay đổi chỗ số cho nhau, thành phần hệ thống không thay đổi dấu giá trị hệ thống gọi hệ thống đối xứng = Nếu thay đổi vị trí số cho nhau, thành phần hệ thống thay đổi dấu mà không thay đổi giá trị tuyệt đối hệ thống =− hệ thống phản đối xứng Ví dụ hệ thống Kronecker = , = , ≠ hệ thống đối xứng Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số Hệ thống đối xứng với hai số đấy, thành phần không thay đổi đổi chỗ hai số cho đối xứng theo số ( , ) Ví dụ: Nếu hệ thống = Hệ thống Levi-Civita hệ thống phản đối xứng hạng số , , hoán vị chẵn số 1, 2, , , hoán vị lẻ số 1, 2, 0, = 1, −1, = Cụ thể: = = = =1, = −1, Cách thành phần lại = Loại tenxơ Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) xác định vị trí số Hệ thống hạng hai gọi tenxơ hiệp biến hạng hai Hệ thống hạng hai gọi tenxơ phản biến hạng hai Hệ thống hạng hai gọi tenxơ hỗn hợp hạng hai 1.2 Phép biến đổi tọa độ 1.2.1 Hệ tọa độ Đề Xét hệ tọa độ Đềcác vuông góc , với véc tơ sở { ⃗ , ⃗ , ⃗ } , (Hình 1) ⃗ = ⃗( O , , ) véctơ bán kính điểm P hệ tọa độ Đềcác Hình Véc tơ ⃗ biểu diễn dạng ⃗= ⃗ + ⃗ + ⃗ ( = 1,2,3) ⃗ = (1.1) Xét điểm Q lân cận điểm P ⃗= ⃗= ( = ⃗ ⃗)= ( ⃗ = 0) ⃗ độ dài bình phương vô nhỏ = ⃗ ⃗ +⃗ ⃗= ⃗ ⃗ = ⃗.⃗ Do hệ tọa độ Đềcác hệ véctơ sở { ⃗ , ⃗ , ⃗ } véctơ đơn vị trực giao nên tích vô hướng ⃗ ⃗ =0 ≠ , ⃗ ⃗ = = nên ⃗ ⃗ = Suy ra: = ⃗.⃗ =( = ) +( = ) +( ) a Các phép tính tenxơ hạng ( vectơ ) Xét hệ thống ⃗ có thành phần hệ sở ⃗ Phép cộng ⃗+ ⃗= =( ⃗ + ⃗ =( + + )⃗ + ( + Nhân với số )⃗ )⃗ + ( + )⃗ ⃗= ( ⃗)= = ⃗ ⃗ + ⃗ + ⃗ Nhân vô hướng ⃗ ⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗.⃗ = = + + Nhân véctơ ⃗× ⃗= ⃗ ⃗ =( ⃗ )⃗ + ( − )⃗ + ( − − )⃗ Hay viết dạng: ⃗× ⃗= = =( ⃗ × ⃗ = ⃗ ×⃗ = ⃗ ⃗ − ⃗ − ⃗ − ⃗ + ⃗ + ⃗ − )⃗ + ( − )⃗ + ( − )⃗ Tích hỗn hợp ⃗× ⃗ ⃗= ⃗ ⃗ = = ⃗ ⃗ = = − − + + − = + + − − − Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ ⊗) ⃗⨂ ⃗ = ⃗ ⊗ = ⃗ = ⃗ ⨂⃗ + + ⃗ ⨂⃗ ⃗ ⨂⃗ + ⃗ ⨂⃗ + ⃗ ⨂⃗ + ⃗ ⨂⃗ + ⃗ ⨂⃗ + ⃗ ⨂⃗ + ⃗ ⨂⃗ ⃗ ⨂⃗ b Các phép tính tenxơ hạng hai Tenxơ hạng cao Đối với tenxơ hạng hai tenxơ hạng cao, phép tính thực tương tự tenxơ hạng Chú ý phép tính cộng, trừ áp dụng với tenxơ hạng loại Phép nhân thực với hai tenxơ có hạng Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : = ⃗⃗ = + = + ( ( ) ) ∗ ∗ ∗ Với = = = 1, ta thay ∗ ( + ( + ( + ) ) ∗ ∗ , ( + ) ∗ , ∗ + = 2, ) + ∙ (2.15) = 1, (vì hệ trực giao nên Γ = 0) vào (2.12) nhận = = = ∗ ∗ ∗ Với , nên Γ = Γ = , −Γ + −Γ + − = + − = + − = = 1 = = + , ∗) ( ( + −Γ − , ∂(A ) 2A − − ∗) − ∗ , ∂(A ) 2A ∗ − ∗ ∗ + ∗ − ∗ + ∗ + ∗ − ∗ − ∗ − ∗ ∗ ∗ + ∗ − + ∗ ta thay = 1; 2, ∗ , ∗ − , ∗ + = 3, = làm tương tự (2.16) = 1, 3; 2, vào (1.30), ý hệ trực giao ta có 44 = ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ + (2.17) (2.18) ∗ + Tổng hợp công thức (2.13)-(2.18) thu thành phần vật lý tenxơ biến dạng ∗ = = ∗ = ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + + ∗ = ∗ = = ∗ ∗ = ∗ ∗ = ∗ ∗ , , ∗ ∗ Xét hệ tọa độ trụ ( ∗ + + , ∗ ∗ + + , ∗ + (2.19) , ∗ + , ∗ + )=( , , ) , , , ∗ = , ∗ = , ∗ = , ∗ = , ∗ = , ∗ = , Theo bảng chương 1, ta có = 1, Ta thay giá trị = , ∗ ∗ , = , 1 = = 1, tương ứng vào biểu thức (2.19) + + + + 45 1 = = + , = ∗ + = = = = 1 = 1 1 + 1 + + − + − , 1 1 = 1 + = , + ∙ = , + + 1 Các tenxơ tenxơ biến dạng hệ tọa độ trụ, ta viết gọn lại sau = 1 = = ∗ + + + = = 1 = + = + 1 + = + − + = + , , (2.30) , , + Với cách tính hệ tọa trụ, ta hoàn toàn áp dụng hệ tọa độ cầu Xét hệ tọa độ cầu ( , , )=( , , 46 ) ∗ = , ∗ = , ∗ = , ∗ = , ∗ = , ∗ = , ∗ = , ∗ = , ∗ = Theo bảng chương 1, ta có = 1, = ∗ Ta thay giá trị = 1 , + = ( + 1 + + = = tương ứng vào biểu thức (2.19) = = ∗ , , ) + + = = = = = = 1 = 1 + ∙ = 1 + = 1 + − + , 1 − ) + ∙ ( + , + = , + , + + + + ∙ − , 1 − − − 47 Tổng hợp biểu thức ta thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ cầu = 1 = + = + = = = 1 + , − + + − = , , + + + , (2.31) − , 2.3 Ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi Vỏ mỏng vật thể giới hạn hai mặt cong, độ dày vỏ nhỏ so với kích thước khác Mặt chia đôi độ dày vỏ gọi mặt Tùy thuộc vào dạng mặt phân biệt vỏ cầu, vỏ nón,v v… Ở xét vỏ có độ dày không đổi Vectơ bán kính điểm ⃗ = + ( , hàm P ⃗ , ⃗ mặt ) Trong hai thông số tạo thành hệ tọa độ cong điểm mặt Ta có + ⃗ ⃗= ⃗+ ⃗ + ⃗ O Hình Khi phần tử đường xác định công thức = ⃗ ⃗ = +2 48 + (2.32) Với = ⃗ ⃗ ∙ , ⃗ = ∙ ⃗ , ⃗ = ∙ ⃗ (2.33) 2.3.2 Thành phần biến dạng vỏ mỏng Vỏ mỏng đàn hồi sử dụng giả thiết Đoạn thẳng vật chất giao với mặt trước biến dạng thẳng trực giao với mặt sau biến dạng ( giả thiết pháp tuyến thẳng Kirchhoff) Thành phần ứng suất theo pháp tuyến với mặt nhỏ so với thành phần ứng suất khác nên bỏ qua Chọn hệ trục tọa độ sau trục = = trực giao với mặt giữa, trục = , = hướng theo đường = = khúc ( đường có tiếp tuyến điểm trùng với phương chính) Hình mặt giữa( Hình 6) Ta sử dụng công thức (2.19) để xác định thành phần biến dạng vỏ mỏng Vỏ có độ dày nhỏ nên Trong , ∗ ≡ ≈ + , ∗ ≡ ≈ + , ∗ ≡ ≈ (2.34) = chuyển dịch điểm mặt giữa, tức với Theo giả thiết thứ “ đoạn thẳng vật chất trực giao với mặt trước biến dạng trực giao với mặt sau biến dạng” dẫn đến biến dạng trượt ∗ = ∗ = Thay giá trị = ∗ , ∗ , ∗ công thức (2.34) vào giá trị ta suy 49 ∗ , ∗ (2.19 ) ∗ = + ∗ = + = 0, (2.35) = 0, hay 1 ∗ = ∗ 1 = − + = 0, (2.36) − + = Hệ số nhân biến đổi mặt song song cách mặt khoảng có dạng = 1; = 1− ; (2.37) = , Trong đó: 1− ; hệ số nhân biến đổi tọa độ biểu thức phần tử đường mặt , bán kính khúc Sử dụng công thức (2.37) thay vào công thức (2.36) cho = ta xác định =− − , (2.38) =− − Thay giá trị (2.38) vào (2.34) ta nhận thành phần chuyển dịch theo , hướng = − + , (2.39) = Do ý ≪ , ∗ = − nên bỏ qua số hạng nhỏ ∗ = ∗ + , = 50 , thay (2.39) (2.37) vào (2.19 ) với ∗ = − + = = + 1 = + 1 − + + , + + − 1 + + − − 1 − + + = + − − ∗ + − + = − − ∗ + + + + , − + + − + + + Có thể viết dạng đơn giản ∗ = − , ∗ = − , = − ∗ 51 (2.40) Với = = = 1 + − , + − , + = = + , , + + + + , + (2.41) , biểu thị biến dạng mặt giữa, , , 1 chuyển dịch mặt giữa, , , + + , Trong + = , biến thiên độ cong mặt giữa, hệ số nhân biến đổi tọa độ biểu thức phần tử đường mặt giữa, , bán kính khúc 2.3.3 Phương trình cân Để khảo sát thành phần cân bằng, ta khảo sát thành phần lực tác dụng vào phần tử vỏ lấy trục , hướng theo tiếp tuyến với đường cong tọa độ = Tổng lực theo trục ( ) + ( ) − ) + ( Tổng lực theo trục + − + = (2.42) + − + =0 (2.43) = Tổng lực theo trục ( , ) − = 52 ( ) + ( ) + + + = (2.44) Mômen trục ( − ) ( − ) + + + = (2.45) Mômen trục − ( ) − ( ) − + + = (2.46) Momen trục − − + = (2.46 ) 2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu a Vỏ trụ Đối với vỏ trụ tròn ta chọn hệ tọa độ sau ( Hình 7) Chọn đường tọa độ trùng với đường sinh trụ tròn, đường trùng với đường tròn mặt phẳng thẳng góc với trục Bán kính trụ tròn , phần tử đường có dạng ( ) =( ) + ( ) , x ds a Hình suy = 1, = , = ∞, = = = (2.47) Các thành phần biến dạng vỏ trụ xác định theo công thức (2.40) 53 Thay đại lượng (2.47) vào công thức (2.41) ta thu kết sau = , = − = , + = , (2.48) , = + = , Vậy ta có thành phần biến dạng vỏ trụ ∗ = ∗ = ∗ = − , − + − + − , (2.49) Phương trình cân vỏ trụ tròn xác định theo công thức (2.42)(2.46) Thay đại lượng (2.47) vào công thức (2.42)-(2.46) ý , = , = , = + + + + + , = + − + = 0, + = 0, + = 0, + = 0, − = 54 (2.50) = b Vỏ cầu Chọn hệ trục tọa độ sau (Hình 8) Trục r tiếp truyến với đường cong ds tọa độ Trục tiếp tuyến đường cong R tọa độ Bán kính vỏ cầu , phần tử đường có dạng Hình = + , suy = , = = , = = = , (2.51) Các thành phần biến dạng vỏ cầu xác định theo công thức (2.40) Ta thay đại lượng (2.51) vào (2.41) thu = = = = = = 1 1 + − − , + + − + + , , (2.52) + , , + +2 +2 Vậy thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ cầu 55 + ∗ = + − ∗ = = − − + − + + + , , (2.52) − − + + +2 +2 + Các phương trình cân vỏ cầu mỏng xác định theo công thức (2.42)= (2.46) với ý , = , = , − + = , = , = = + + + + + + + Mômen trục − + + − − + − + + + = 0, + − + = 0, = 0, = 0, + đại lượng nhỏ bậc cao nên bỏ qua 56 = (2.53) , Kết luận Luận văn trình bày khái niệm, phép tính bản, phép biến đổi tenxơ Trên sở vận dụng phép tính tenxơ để xác định phương trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, phương trình cân bằng- chuyển động hệ tọa độ cong Từ kết sau biến đổi thu phương trình tính biến dạng – chuyển vị hệ phương trình cân hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Luận văn đạt số kết sau: i Trình bày phép biến đổi để thu - Các véctơ sở hiệp biến, phản biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Các thành phần tenxơ mêtric phản biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Các hệ số Lamé hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu - Dẫn biểu thức liên hệ thành phần Christoffel đạo hàm véctơ sở - Xác định thành phần kí hiệu Christoffel hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Dẫn biểu thức đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai ii Trình bày phương trình chuyển động hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu, iii Tính thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu iv Vận dụng phép tính sở tenxơ vào toán vỏ trụ tròn, vỏ cầu Những hướng nghiên cứu tiếp theo: i Giải gần phương pháp số số toán đặt tải đơn giản vỏ trụ, vỏ cầu theo phương pháp thiết lập ii Giải gần phương pháp số số toán đàn hồi cho chữ nhật tròn theo phương trình thiết lập 57 Tài liệu tham khảo [1] Đào Huy Bích(2000), Lý thuyết đàn hồi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích(2003), Cơ học môi trường liên tục, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] A W Joshi (1995), Matrices and Tensors in Physics, 3rd ed Wiley [4] D.A Danielson(2003), Vectors and Tensor In Engineering And Physics: Second Edition, Westview Press [5] Bernard Schutz (1980), Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridgr University Press [6] Gantmacher FR (1959), The Theory of Matric, Chelsea Publishing Company, New York [7] Halmos PR (1958) Finite- Dimensional Vecctor Space, Van Nostrand, New York [8] I.N Broustein, K.A Semendyayev, G Musiol,H Muehlig (2004), Handbook of Mathematics, Spinger, Berlin Heidelberg New York [9] J.H Heinbocked (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing [10] Mikhail Itskow, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers, Spinger Dordrecht Heidelberg London New York [11] Ralph Abraham, J E Marsden, T Ratiu (1988), Tensor Analysis, and Applications, 2nd ed, Springer-Verlag, New York [12] R.Bishop, S.Goldberg (1980), Tensor Analysis on Manifolds, New York: Dover [13] R.Aris (1989), Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics, New York: Dover [14] Sokolnikoff IS (1964), Tensor Analysis, Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua, John Wiley & Sons, New York 58 [...]... + (1.15) Đối với tenxơ hạng hai Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng: = Trong đó ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở ⃗ ; ⃗ ; ⃗ tenxơ hạng 2 sẽ được biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các.. .Phép cộng ⃗ ⃗ + ⃗⃗ = + ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ − ⃗⃗ = − ⃗ ⃗ Phép trừ Phép nhân vô hướng ⃗ ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗.⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗.⃗ = ⃗⃗ = ⃗ ⃗ Tích tenxơ ⃗ ⃗ ⊗ ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ ⊗⃗ ⃗ = ⃗ ⃗⃗ ⃗ Phép nhân( tích tenxơ) của các ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao hơn với chú ý sau các phép cộng và nhân tenxơ, chỉ số dưới vẫn là chỉ số dưới, chỉ số trên vẫn là chỉ số trên 1.2.2 Hệ tọa độ cong Hệ tọa độ cong , , với hệ véc tơ cơ sở... phép nâng chỉ số) ( phép hạ chỉ số) 1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide a Tenxơ mêtric hiệp biến 14 Xét trong hệ tọa độ Đềcác Gọi là độ dài bình phương của véctơ vô cùng nhỏ là ⃗ = ⃗ ⃗= ⃗ = ⃗ ⃗ =( ) +( , ⃗ ) +( ) ) , ⃗= ⃗ = ⃗ ⃗ Trong đó ( 1.25) = Xét trong tọa độ cong ( = ⃗ ⃗ = ( 1.26) = ⃗ ⃗ là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi = = = ∙ ∙ ( 1.27) Đồng... phần vật lý của tenxơ hạng nhất Kí hiệu: = 1 20 = , = ∗ gọi là hệ số Lamé Thành phần vật lý của véctơ ⃗ có dạng : ∗ = = = ( không tổng theo i ) 1.3.2 Tenxơ hạng hai Một tenxơ hạng 2 bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng: = ⃗ ⃗ = ⃗∗ ⃗ ⃗ = ⃗∗ ⃗∗ = = ⃗∗ ⃗∗ ⃗∗ = 1 1 ⃗ ∗⃗ ∗ Suy ra: ∗ ∗ = 1 1 = ( không tổng theo , ) là thành phần vật lý của tenxơ hạng hai Tương tự như trên ta có thể xác định được thành phần vật. .. hiệp biến 1.4.1 Đạo hàm véctơ cơ sở Sử dụng công thức (1.3) thu được đạo hàm hiệp biến của véctơ cơ sở ⃗ = ⃗ , = ⃗, Ta biểu thị ⃗ , qua các véctơ cơ sở như sau : ⃗, =Γ ⃗ =Γ Vậy : Γ =Γ Các đại lượng Γ , Γ ⃗ =Γ ⃗ (1.39) (1.40) là hệ số liên quan hay Christoffel loại 1 và loại 2 Để xác định các thành phần của Christoffel ta dựa trên công thức biến đổi hệ véctơ cơ sở với hệ véctơ cơ sở ( ⃗ , ⃗ , ⃗ ) Xét trong. .. của tenxơ mêtric hiệp biến như sau = + + , = + + , = + + , = ∙ + ∙ + ∙ = ∙ + ∙ + ∙ 15 (1.29) , , = ∙ + ∙ + ∙ b Xác định tenxơ mêtric phản biến Hệ véctơ cơ sở phản biến ⃗ liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức ⃗ ⃗ = - tenxơ Kronecker Với hệ cơ sở ⃗ , ⃗ , ⃗ đã biết ta xác định được = ⃗ (⃗ × ⃗ ) = hay Đặt: ⃗ = ⃗ × ⃗ ; ⃗ = ⃗ × ⃗ ; ⃗ = ⃗ × ⃗ (1.30) Hoặc ⃗ = ⃗ × ⃗ ; ⃗ = ⃗ × ⃗ ; ⃗ = ⃗ × ⃗ Trong. .. ta có các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong tọa độ cong = 1, 1 = = = = , = = = 1 , = 0 1.3 Thành phần vật lý của tenxơ 1.3.1 Tenxơ hạng nhất Xét véctơ ⃗ ( tenxơ hạng nhất ) ⃗= Gọi các véc tơ ⃗∗ , ⃗= ⃗ ⃗∗ = ⃗∗ ⃗∗ = ; Ta gọi ∗ ⃗∗ , ⃗ ⃗ trùng nhau về hướng, khác nhau về độ Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao, ⃗ , lớn nên các véc tơ ⃗ ⃗∗ là các véctơ phản biến và hiệp biến đơn vị ⃗∗ = Suy ra:... biệp biến của ten xơ hạng nhất a Vậy: ∂⃗ =∇ a ⃗ =∇ ∂ ⃗ (1.67) 1.4.4 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai Xét đạo hàm hiệp biến của các thành phần phản biến của tenxơ hạng hai = ⃗ ⃗ (1.68) Lấy vi phân hai vế biểu thức (1.68) = ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ + ở số hạng thứ 2: ; ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ , ta thế ⃗ ⃗, (1.69) ⃗ ở biểu thứ (1.60) và thay = ; = thì số hạng thứ 2 trở thành: ⃗ ⃗ = ⃗Γ ⃗ = Γ ⃗ ⃗ , ở số hạng thứ 3, sử dụng. .. ⃗ theo biến ⃗ ⃗, = Ta thay ⃗ = = ⃗ (1.44) ∙ ⃗ (1.45) ∙ ⃗ từ (1.42) vào (1.44) ⃗, = ∙ 1.4.2 Kí hiệu Christoffel Kí hiệu Christoffel đã được xuất hiện ở biểu thức (1.39) Và trong mục này sẽ đi vào xác định các thành phần của kí hiệu đó thông qua tenxơ mêtríc và đạo hàm véctơ cơ sở ⃗, =Γ Theo biểu thức (1.39): ⃗ Ta đồng nhất (1.45) và (1.39) rút ra được: Γ a Xác định biểu thức Γ Ta có: = = ∙ qua tenxơ. .. Phép biến đổi tọa độ Bán kính ⃗ của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác ( , ⃗ , ⃗ , ⃗ ) biểu diễn dưới dạng: ⃗= ⃗= ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ Với các véc tơ cơ sở ⃗ là không đổi , Trong tọa độ cong , bất kỳ, các biến liên hệ với tọa đồ Đề các miền đang xét bằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân được, đơn trị ( = , , ) = và ( , , ) Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không ≠ 0; ̅= = ≠ 0