Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Chủ đề 11 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN A PHƯƠNG PHÁP CHUNG Để giải toán tìm GTLN, GTNN hàm số nhiều biến phương pháp hàm số, thông thường ta thực theo bước sau :  Biến đổi số hạng chứa biểu thức đại lượng giống  Đưa vào biến t, cách đặt t đại lượng biến đổi  Xét hàm số f (t ) theo biến t Khi ta hình thành toán tương đương sau : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (t ) với t  D  Lúc ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (t ) với t  D  Chú ý : trường hợp xây dựng trực tiếp hàm số f (t ) với t  D , ta tìm  f (t ) với t  D thỏa P  f (t ) toán tìm giá trị nhỏ  f (t ) với t  D thỏa P  f (t ) toán tìm giá trị lớn B MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA I XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM SỐ f (t ) BẰNG CÁC BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ: Phương pháp chung:  Dự đoán khả dấu xảy giá trị đặc biệt điều kiện để đặt biến phụ t thích hợp  Có thể biến đổi hàm f(t) không cần sử dụng tính chất bất đẳng thức  Hàm f(t) tương đối khảo sát  Chú ý phần tìm điều kiện t (phải thật xác)  Thích hợp cho đề thi khối B D Thí dụ Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y =  Tìm GTNN biểu thức P   x   y2    y   x   Lời giải  Ta biến đổi P   xy   2 ( xy)  x, y  nên  x  y  xy   xy  x  y  1 Đặt t   xy 2 , điều kiện t  t  16 Khi biểu thức P  f t    t  t  Do    290 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG  f ' t   HĐBM -TỔ TOÁN t2 1  1 ; ta thấy f ' t   với t   0;  , suy hàm số f(t) nghịch biến nửa khoảng t  16   1  0;   16    289  Vậy giá trị nhỏ biểu thức P P  min1 f t   f      16  16 t( 0; ] 16 Thí dụ (Khối A 2006) Cho số thực x  0, y  thỏa ( x  y) xy  x  y  xy Tìm GTLN biểu thức A  1  3 x y Lời giải  Đặt x  y  S xy  P với P  , từ giả thiết ta có P   x, y tồn S  P  S  S2 S 3  S  3  4S S 1  1   S  3  S  S 3 S 3 S 3   x  y ( x  y )( x  y  xy) ( x  y ) xy  x  y   S 3 Ta biến đổi A  3         3 3 x y x y x y  S   xy  t3 Xét hàm số f (t )  với t  3  t  , ta có f / (t )    t t  BBT -∞ t -3 _ f /(t) +∞ _ f(t)  Suy A  f (t )  16  Vậy GTLN P  16 x  y   Thí dụ Cho số thực dương thay đổi x, y thỏa điều kiện x  y  Tìm GTNN biểu thức P  1  x y xy Lời giải 1 1 1      3 xy ( x  y )  3xy( x  y ) xy  3xy xy x y  P  x y Đặt  t  xy       291 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN 1  với  t   3t t 3 3 f / (t )    f / (t )   t  (1  3t ) t  Xét hàm số f (t )   BBT t 3- _ f /(t) 3  f(t)  42    + +∞  Suy P  f  4+2 1   1    Vậy GTLN P   x  1  ; y  1   2    2    Thí dụ (khối D 2009) Cho số thực không âm x , y thỏa điều kiện x  y  Tìm GTLN GTNN biểu thức S  (4 x  y )(4 y  3x)  25 xy Lời giải  Do x  y  nên S  (4 x  y)(4 y  3x)  25 xy  16 x y  12( x  y )  xy  25 xy  16 x y  12 ( x  y )  3xy( x  y )  34 xy    16 x y  xy  12 x y      Đặt  t  xy   f / (t )  32t   f / (t )   t  16  Xét hàm số f (t )  16t  2t  12 t với  t  _ f /(t) 1 16 12 f(t) + 25 191 16 25 x  y  2 2 2 2 2 191 GTNN S  x  ,y x  ,y   16 4 4  Vậy GTLN S  292 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Thí dụ Cho số thực thay đổi x, y thỏa điều kiện y  x  x  y  12 Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  xy  x  y  17 Lời giải  Ta có x  x  12  y   4  x   P  x( x  x  12)  x  2( x  x  12)  17  x  x  x   Xét hàm số f ( x)  x  3x  x  với   x  f / ( x)  x  x   f / ( x)   x  3; x  x -4 -3 f /(x) + - 20 + 20 f(x) -12 -13  Vậy GTLN P  20 x  3, y  6 x  3, y  GTNN P  12 x  1, y  10  Thí dụ Cho số thực x  y  thỏa x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  xy  y  x  3x  xy  Lời giải    x0   y0 0 x2 x  y   x  x(2  x)  (2  x)  x  x  x  P  x  x(2  x)  x  x 1 P/  2x2  ( x  x  1) x P/ P - +  Vậy GTNN P  x  1; y   293 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Thí dụ Cho số thực thay đổi x, y thỏa điều kiện x  y  1, x  y  xy  x  y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  xy x  y 1 Lời giải  Từ giả thiết x2  y2  xy  x  y 1  xy  (x  y)2  (xy) 1  Đặt t  x  y , ta có ( x  y)  xy  3t  4t      t  Khi P  t  t 1 t 1 t  t 1 với   t  t 1 t  2 t  2t f / (t )   f / ( x)    (t  2)  t0  Xét hàm số f (t )  t -2 _ f /(t) f(t) + 1 3 -1 1 x  y   x  y  3 GTNN P  1 x  1, y  x  1, y  1   Vậy GTLN P  Thí dụ Cho số thực thay đổi x, y thỏa điều kiện x, y  , xy ( x  y )  x  y  x  y  x Tìm GTLN biểu thức P   y Lời giải  Từ giả thiết suy xy ( x  y )  ( x  y )  xy  ( x  y)   Đặt t  x  y suy xy   Ta có ( x  y )  xy    t2 t  t2 t  2t  4t    t  2   t t2 x y t  2t Khi P   xy t t 2 t  2t Xét hàm số f (t )  t  2   t với t t 2  3t  4t  2 f / (t )   f / ( x)   t  ; t2 (t  t  ) 294 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN t -2 -∞ +∞ _ _ f /(t) f(t) -2  Vậy GTLN P  x  y   Thí dụ Cho số thực thay đổi x , y thỏa điều kiện  y  x( x  y ) Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  x6  y  x y  xy Lời giải  Ta có  x  y  xy  xy  xy  1 2 2 2  ( x  y )  ( x  y )  x y   x  y  xy  ( x  y )  xy  xy    Ta có P  x6  y6 1  x3 y  xy 2 xy ( x  y )  xy x  y    Đặt t  xy  x  y   t  P  2t  t 1  2t  với   t  t 1  t  t  f / (t )  0 (t  1)  Xét hàm số f (t )  t -1 f /(t) _ 25 f(t) x  y  1 1 25 GTLN P  f ( )  x   y     Vậy GTNN P  f (1)  Thí dụ 10 (Khối B 2011)Cho a, b số thực dương thỏa 2(a  b )  ab  (a  b )(ab  2)  a b3   a b2     9   a  b a  b Tìm GTNN biểu thức P   295 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Lời giải a b b a 1 a 1 b a b b a b  Từ giả thiết ta có 2       (ab  2)  2     a   b   a b   2   a a   b a b   2t   2 t   4t  4t  15   t  b a  a3 b3   a2 b2  Ta có P  4    9    4(t  3t )  9(t  2)  4t  9t  12t  18 a  b a  b Xét hàm số f (t )  4t  9t  12t  18 với  t f / (t )  12t  18t  12  f / ( x)   t   ; t  2  Đặt t    t +∞ f /(t) + +∞ f(t) -23 5  2 23  Suy P  f      Vậy GTNN P   23 a  1, b  hay a  2, b   Thí dụ 11 Cho số thực thay đổi x , y thỏa điều kiện 2( x  y )  xy  4 Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  x  y xy  Lời giải   1  xy   xy  xy  ĐK:   t   Đặt t  xy Ta có: xy    x  y   xy  4 xy  xy    xy    x  y   x Suy : P    2  y2  Do đó: P '   2x2 y 2 xy  t  t  2  2t  1  7t  2t   2t  1 , P '   t  0, t  1( L)  1 1 P    P   P    15     296 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN 1 t - P/ + _ P 15  Vậy GTLN 15 GTNN  15 Thí dụ 12 Cho số thực a, b, c thỏa abc  2 a  b6 b6  c c6  a Tìm giá trị nhỏ biểu P  4 2  4 2  4 2 a b a b b c b c c a c a Lời giải  Ta có P  ( a  b )(a  b  a b ) (b  c )(b  c  b c ) (c  a )(c  a  c a )   a  b  a 2b b4  c4  b2c c  a  c2a  Nhận xét: Do abc  2 nên a , b , c số thực dương  Xét A = A  x  y  xy với x,y > x  y  xy  Chia tử mẫu cho y đặt t   Xét hàm số f (t )  x t2  t 1 ta A  với t > y t  t 1 t  t 1 2x  / với  t  f ( t )  t  t 1 ( x  x  1) t f /(t) _ f(t) +∞ + 3 1 3  Vậy GTNN P  a  b  c    Suy P  (a  b )  (b  c )  (c  b )  2 a  b  c  23 a b c    Thí dụ 13 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  1, y  3( x  y )  xy  1    y  x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x3  y   297 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Lời giải  Đặt x  y  a Khi xy  3a , a  3a 0 Phương trình (1) có nghiệm    a  3a   a   Suy x, y nghiệm phương trình t  at    Vì x, y  nên ( x  1)( y  1)  Hay xy  ( x  y )    (1) 3a  a    a  4  Vậy ta có  a   Mặt khác, từ giả thiết ta lại có 1   x y    1 1 16 Suy P  ( x  y )  3xy ( x  y)  3     a3  a2   xy a  x y 16 Xét hàm số f (a )  a  a   ,  a  4 a 8 Ta có f ' (a)  3a  a   3a(a  )   0, a [3; 4] a a a f ' (a) + 94 P  f (a ) 113 12 113 , đạt a   x  y  ; 12  x  1, y  94  max P  , đạt a     x  3, y   Dựa vào BBT ta suy P  Thí dụ 14 Cho số thực không âm x, y, z thoả mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức A  xy  yz  zx  x yz Lời giải  t2 3 Ta có  xy  yz  zx  x  y  z  nên  t    t  t   Khi A    Đặt t  x  y  z  t   2( xy  yz  zx)  xy  yz  zx  t2 3  t t2 Xét hàm số f (t )    ,  t  t 298 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN t3 5   t  t2 t  Ta có f ' (t )  t   Suy f (t ) đồng biến [ , 3] Do f (t )  f (3)   Dấu đẳng thức xảy t   x  y  z  14 Vậy GTLN A , đạt x  y  z    14 Thí dụ 15 Cho hai số thực x thỏa mãn  x  1,  y  x  y  xy Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức M  x  y  xy Lời giải  Đặt xy  t  x  y  4t Theo định lí Viet đảo x, y nghiệm phương trình    h( X )  X  4tX  t  Vì  x1 , x  nên phương trình h( X )  có nghiệm X , X thoả mãn '  4t  t   1.h(0)  t  1  X  X   1.h(1)   3t   t   s 0   2t   1 Khi M   x  y 2  xy  16t  9t , với  t   1 Ta có M ' (t )  32t    t    ;  Suy Bảng biến thiên 32   t - M'(t) 32 M 4 +   11 81 64 11 1 , đạt xy   x  1, y  x  , y  3 81 3   , đạt xy   x  y  y  x   64 32 4  Suy ra: Mmax   Mmin Thí dụ 16 Cho x, y hai số thực thỏa mãn x  y  xy  Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A  x  y  xy  x3 y Lời giải 299 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Thí dụ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt x  mx   x  (1) Lời giải  Do x  nghiệm phương trình (1) nên    3x  x  1  3 x  x   mx  m (2) x     x         x  mx   x  x   x   x      2 3x  x    Xét hàm số y  f  x   D    ;   x   Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  Phương trình (2) có hai nghiệm phân   biệt x    ;    đường thẳng y  m có hai điểm chung khác với đồ thị hàm số y  f  x      vẽ   ;     3x    Lập BBT hàm số trên D Ta có: f '  x   , x    ;   \ 0 x   3x  x  Giới hạn: lim f ( x)  lim   x x x Bảng biến thiên x  f ' x  + +   f  x   Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  m   MINH HỌA ĐỒ THỊ 320 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Thí dụ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 2x  x   x   x  m (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   0; 6  Xét hàm số y  f  x   x  x   x   x  0;  Phương trình 1 có nghiệm  0;   đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  x  vẽ  0;   Lập BBT hàm số y  f  x  D Ta có: f '  x     1  1      x 3   x 3     1 Đặt u  x    , v  x  3 2x 6  x 2x  1    x   x 3 6 x 1    , x   0;6  2x 6 x  1 Ta thấy u    v    nên f '     2x 6 x Mặt khác u  x  , v  x  dương  0;  , âm  2;6  nên ta có Bảng biến thiên x f’(x) f(x) + ̶ 63 2  24 12   Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình 1 có nghiệm  0;     m    MINH HỌA ĐỒ THỊ 321 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm   x  x    m   6 x2  x  2x   (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D  1; 4  Đặt ẩn phụ t   x  x  với x  1; 4 Tìm tập giá trị ẩn phụ t x  1;  1  2x    x   , x  1;  4 x 2x  2  x 2x  t '    x  2x   4  x   x   x  Ta có: t' Bảng biến thiên x t' t + ̶ 3 Từ bảng biến thiên ta suy tập giá trị t : D '   3;3  Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành: t  4t   m (2) Phương trình (1) có nghiệm x  1; 4  Phương trình (2) có nghiệm t   3;3  Xét hàm số y  f  t   t  4t  với t   3;3 Phương trình   có nghiệm t   3;3  đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ  3;3  Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   2t  ; f '  t    t  Bảng biến thiên t 3 f 't  f t  ̶ 74 +  Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x  1; 4   m   Chú ý: Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm tập giá trị ẩn phụ chuyển phương trình sang phương trình theo ẩn phụ với tập xác định tập giá trị ẩn phụ tìm Cụ thể  Khi đặt t  u  x  , x  D , ta tìm t  D ' phương trình f  x; m   (1) trở thành g  t; m   (2) Khi (1) có nghiệm x  D  (2) có nghiệm t  D ' 322 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN  Để tìm miền giá trị t ta nên lập BBT hàm số t  u  x  D (có thể sử dụng bất đẳng thức để đánh giá tính chất hàm số)  Nếu toán yêu cầu xác định số nghiệm ta phải tìm tương ứng x t Tức giá trị t  D ' phương trình u  x   t có nghiệm x  D ? (có thể xem toán nhỏ xét tương giao) Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm  x  x  3x  m  x   3 x  (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   2;3  Đặt t  x    x với x   2;3 Tìm tập giá trị ẩn phụ t x   2;3 3 x  x    x  2  x x   x t '    x  x    x   x    x  1 Ta có: t' Bảng biến thiên x t' t -2 + -1 ̶ 5 Từ bảng biến thiên ta suy tập giá trị t : D '   5;5 14 (2) m t Phương trình (1) có nghiệm x   2;3  Phương trình (2) có nghiệm t   5;5  14 Xét hàm số y  f  t   t  với t   5;5  t Phương trình   có nghiệm t   5;5   đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ  5;5 14 Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t     , t   5;5  t  Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành: t  14t  mt  t    Bảng biến thiên t f 't  + f t  11  5 323 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG  HĐBM -TỔ TOÁN Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x   2;3   11 m  5 Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm m    x2   x2    x4   x2   x2 (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   1;1  Đặt t   x   x x   1;1 Tìm tập giá trị ẩn phụ t x   1;1 Ta có: x t'  x2   1  x   x2  x2  1 x x  , t'0  x   Bảng biến thiên x t' t -1 ̶ 0 + 2 Từ bảng biến thiên ta suy tập giá trị t : D '  0;  t  t   m (2) t 2 Phương trình (1) có nghiệm x   1;1  Phương trình (2) có nghiệm t   0;   Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành: m  t    t  t   t  t  với t  0;  t2 Phương trình   có nghiệm t   0;   đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ 0;   Xét hàm số y  f  t    Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   t  4t t  2  , t  0;  Bảng biến thiên t f 't  f t  ̶ 1  Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x   1;1    m   324 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm   x  x 1  m x      x  x  1   x 1  (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   0;     x  x 1  m x   x  x  1   x 1   m x  x  x  1  x  x  x 1  x 1   x  x  1  1  m  x x 1  Khi đó: 1     x x 1 4  1 m x x 1 (2) x 1 x 1 , x  nên     t  Tập giá trị t là: D '   0;1 x x 1 Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành:  t   m  m    t  t t Phương trình (1) có nghiệm x  1;    Phương trình (2) có nghiệm t   0;1  Đặt t   (2)  t  với t   0;1 t2 Phương trình   có nghiệm t   0;   đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị  Xét hàm số y  f  t    hàm số y  f  t  vẽ  0;   Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t     0, t   0;1 t2 Bảng biến thiên t f 't  + f t  1   Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x  1;    m  1  Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm x   m x   4 x2  (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D  1;   325 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG  Khi đó: 1  HĐBM -TỔ TOÁN x 1 x 1 x 1 x2 1  m  24 3  m  24 x 1 x 1 x 1  x  1 x 1 x 1 , x  nên     t  Tập giá trị t là: D '   0;1 x 1 x 1 Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành: 3t  2t  m Phương trình (1) có nghiệm x  1;    Phương trình (2) có nghiệm t   0;1  Đặt t   (2)  Xét hàm số y  f  t   3t  2t với t   0;1 Phương trình   có nghiệm t   0;1  đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ t   0;1  Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   6t  , f '  t    t  Bảng biến thiên t f 't  + f t  ̶ 1  Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x  1;    1  m   Thí dụ 10 Tìm m để phương trình sau nghiệm x  1;3  log 32 x  log32 x   2m   (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D  1;3     Đặt t  log x  với x  1;3  Tìm tập giá trị ẩn phụ t x  1;3      x  1;3    x      log32 x     log 32 x     t   t  1; 2 Tập giá trị ẩn phụ t x  1;3  D '  1; 2    Với ẩn phụ bất phương trình (1) trở thành: t  t   2m (2) Phương trình (1) có nghiệm x  1;3   phương trình (2) có nghiệm t  1; 2    Xét hàm số y  f  t   t  t  với t  1; 2 Phương trình (2) có nghiệm t  1; 2  đường thẳng y  2m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ 1;  Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   2t   , t  1;  326 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Bảng biến thiên t f 't  + f t   Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x  1;3    m   Thí dụ 11 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm (1) 4 x  x5  m Lời giải  Tập xác định bất phương trình : D   5; 4  Xét hàm số y  f  x    x  x   5;  Bất phương trình (1) có nghiệm x   5;   có điểm thuộc đường thẳng y  m nằm phía đồ thị hàm số y  f  x  vẽ  5;   Lập BBT hàm số trên D Ta có: f '  x   1 4 x  x5    x x    x  x   f ' x    x  x   x   x -5  + t' t 2 ̶ 3  Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) có nghiệm x   5;   m   Thí dụ 12 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx  x   m  (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   3;   Khi đó: 1  m  x  1 x 1 (2) 327 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN x  1 3;   x 1 Bất phương trình (2) có nghiệm x  3;    có điểm thuộc đường thẳng y  m nằm phía đồ  Xét hàm số y  f  x   thị hàm số y  f  x  vẽ 3;    Lập BBT hàm số D Ta có: f '  x   5 x x3 x   x  1 f ' x   x    x  x  x  1 0 x 1 Giới hạn lim f ( x)  lim x  x  Bảng biến thiên x f ' x +  ̶ f  x  Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) có nghiệm 3;    m   Thí dụ 13 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x   2;  4   x   x   x  x  m  18 (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   2; 4  Đặt t   x  x  với x   2;  Tìm tập giá trị ẩn phụ t x   2;  Ta có: x 1 t'  x2  2x  , t'   x 1 Bảng biến thiên x t' t -2 + ̶ 0 Từ bảng biến thiên ta suy tập giá trị t : D '   0;3  Với ẩn phụ bất phương trình (1) trở thành: m  t  4t  10 (2) 328 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Bất phương trình (1) nghiệm với x   2;   Bất phương trình (2) nghiệm với t   0;3  Xét hàm số y  f  t   t  4t  10 với t   0;3 Bất phương trình (2) nghiệm với t   0;3  đường thẳng y  m nằm hoàn toàn phía phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ  0;3  Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   2t  , f '  t    t  Bảng biến thiên t f 't  f t  10 ̶ +  Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) nghiệm với x   2;   m  10  Thí dụ 14 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x   (1) m.4 x   m  1 x   m   Lời giải  Tập xác định phương trình : D    Đặt t  2x với x   Tập giá trị ẩn phụ t x   D '   0;    Với ẩn phụ bất phương trình (1) trở thành: 4t  (2) t  4t  Bất phương trình (1) nghiệm với x   2;   Bất phương trình (2) nghiệm với mt   m  1 t  m   m  t   0;   4t  với t   0;   t  4t  Bất phương trình (2) nghiệm với t   0;    đường thẳng y  m nằm hoàn toàn phía  Xét hàm số y  f  t   phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ  0;    Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   4t  2t   t  4t   , t   0;   , Giới hạn: lim f  t   t  329 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Bảng biến thiên t f 't  f t   ̶  Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) nghiệm với x    m   Thí dụ 15 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  x   y   x  xy  m   x  x  y   2m (1) Lời giải        x2  x 2x  y   m  Ta có : 1    x  x   x  y    2m u  x  x Đặt  Điều kiện u u   v  x  y uv  m u   2m  1 u  m   u  v   2m v   2m  u  Hệ phương trình trở thành:  Hệ phương trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm thỏa mãn u    Với u   , ta có:    m  2u  1  u  u  m   2 u  u 2u  u  u   với u    ;   2u      Phương trình   có nghiệm u    ;    đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ     thị hàm số f  u  vẽ   ;     Lập BBT hàm số D Ta có: 1  2u  2u  ; f ' u    u  f ' u    2  2u  1  Xét hàm số f  u    330 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Bảng biến thiên u  1  f ' u  + + f u  ̶ 2    Dựa vào BBT ta suy ra: Hệ phương trình (1) có nghiệm  m  2  BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập rèn luyện Tìm m để phương trình sau có nghiệm 1) x  3x   m ĐS: m  2) x2   x  m 3) x  13 x  m  x   4) x x  x  12  m ĐS:  m   ĐS: m   5 x  4 x  ĐS:    m  12  Bài tập rèn luyện Tìm m để phương trình sau có nghiệm 1) x   m   x    m  1 x3  x ĐS: m  2) x   m x   x  ĐS: 1  m  3)  4)   x  x 1  m x   16 x  x  1   x 1    x   x   x2  x  m 5)  x   x  6) m    x   x   m  x   x   x   x2  ĐS: m  12 37 m3 9 ĐS: m3 ĐS:  ĐS: m  Bài tập rèn luyện 1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm  x   m x 1  m  ĐS: m  331 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN 2) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x   4;6   x    x   x  x  m ĐS: m  3) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm m x2   x   m ĐS: m  4) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x   0;1   m   x2  2x    x   x   ĐS: m  5) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x   x   m  1 3x  m   ĐS: m   Hết - 332 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN ỨNG DỤNG GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRONG PT VÀ BPT Giả sử f  x  hàm số liên tục miền D đạt GTLN, GTNN miền Ký hiệu:  M  Max f  x  xD  m  f x  xD Khi ta có kết luận sau: 1) Phương trình f  x   a có nghiệm x  D  m  a  M Ví dụ 1: Tìm a để phương trình sau có nghiệm Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 2x  4x  a x  m   x2   x  3 x  1  x   3;0  4x  x  2m    2x    m  1  x  2x   m   2) Bất phương trình f  x   a có nghiệm x  D  a  M Bất phương trình f  x   a có nghiệm x  D  a  m Ví dụ : Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm x    x  a 3) Bất phương trình f  x   a nghiệm với x  D  a  m Bất phương trình f  x   a nghiệm với x  D  a  M Ví dụ : Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x  2; 2 x  m   x2  B Bài tập Bài 1: Cho phương trình  x   x    x   x   m (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 2: Cho phương trình   x   x     x   x   3m   (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 3: Cho phương trình  x  1  2x  x  3m   (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 4: Cho phương trình x   x  x  x  5m   (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm 333 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG  HĐBM -TỔ TOÁN  Bài 5: Cho phương trình m  x   x    x   x   x (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 6: Cho phương trình  sin x  cos4 x   cos 4x  2s in2x  m  (1)  Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x   0;   2 Bài 7: Cho bất phương trình  x    x   x  2x  m (1) Tìm m để bất phương trình (1) nghiệm nghiệm với 4  x  Hết 334 [...]... ta có: 1 Nghi m của phương trình (1) là hoành độ đi m chung của G f và Gg 2 Nghi m của bất phương trình (2) là khoảng các giá trị của x m trong đó G f n m ở phía trên Gg 3 Nghi m của bất phương trình (3) là khoảng các giá trị của x m trong đó G f n m ở phía dưới Gg Nhận xét 1 1 Phương trình (1) có nghi m  G f và Gg có đi m chung 2 Phương trình (1) vô nghi m  G f và Gg không có đi m chung 3 Phương... nghi m  G f và Gg có k đi m chung 4 Phương trình (1) có k nghi m phân biệt  G f và Gg có k đi m chung khác nhau Nhận xét 2 1 Bất phương trình (2) có nghi m  có đi m thuộc G f n m ở phía trên Gg 2 Bất phương trình (2) vô nghi m  không có đi m nào thuộc G f n m ở phía trên Gg 3 Bất phương trình (2) luôn đúng với m i x  D  toàn bộ G f n m ở phía trên Gg Nhận xét 3 1 Bất phương trình (3) có nghi m ... hạn: lim f ( x)  lim x x  x2 x2  2x  2 4  3x x 2  2x  2  x2  2x  2 4 3  1 và lim f ( x)  lim x x x2 x2  2 x  2 1 Bảng biến thiên x 4 3  f ' x + 0  ̶ 10 f  x 1 1  Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (2) có hai nghi m phân biệt x    1  m  10  MINH HỌA ĐỒ THỊ 319 Tài liệu ôn thi m n Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Thí dụ 3 T m m để phương trình sau có hai nghi m phân... D ' 322 Tài liệu ôn thi m n Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN  Để t m miền giá trị của t ta nên lập BBT của h m số t  u  x  trên D (có thể sử dụng bất đẳng thức để đánh giá hoặc tính chất của h m số)  Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghi m thì ta phải t m sự tương ứng giữa x và t Tức là m i giá trị t  D ' thì phương trình u  x   t có bao nhiêu nghi m x  D ? (có thể xem là m t bài toán nhỏ về xét... 0 vô nghi m Do f '  x   0 vô nghi m  f '  x  không đổi dấu trên  , m f '  0   1  0  f '  x   0, x    f  x  đồng biến trên  2x Giới hạn: lim f  x   lim  1 và lim f  x   1 x x x  x2  x  1  x2  x  1 Bảng biến thiên x f ' x - + + f  x 1 -1  Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghi m  1  m  1  MINH HỌA ĐỒ THỊ 318 Tài liệu ôn thi m n Toán THPTQG... Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghi m x  1; 4  0  m  1  Chú ý: Khi đặt ẩn phụ ta phải t m tập giá trị của ẩn phụ và chuyển phương trình sang phương trình theo ẩn phụ với tập xác định là tập giá trị của ẩn phụ t m được Cụ thể  Khi đặt t  u  x  , x  D , ta t m được t  D ' và phương trình f  x; m   0 (1) trở thành g  t; m   0 (2) Khi đó (1) có nghi m x  D  (2) có nghi m. .. THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Thí dụ 2 T m m để phương trình sau có hai nghi m phân biệt m x2  2x  2  x  2 (1) Lời giải  Tập xác định của phương trình : D   1  m  Khi đó:  Xét h m số y  f  x   x2 (2) 2 x  2x  2 x2 2 trên  x  2x  2 Phương trình (2) có hai nghi m phân biệt x    đường thẳng y  m có hai đi m chung khác nhau với đồ thị h m số y  f  x  vẽ trên   Lập BBT của h m số trên... 4 12  2 3  Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình 1 có nghi m trên  0; 6   2 6  2 4 6  m  3 2  6  MINH HỌA ĐỒ THỊ 321 Tài liệu ôn thi m n Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Thí dụ 5 T m m để phương trình sau có nghi m  4  x  2 x  2   m  4  6 x2 4  x  2x  2  (1) Lời giải  Tập xác định của phương trình : D  1; 4  Đặt ẩn phụ t  4  x  2 x  2 với x  1; 4 T m tập giá trị của... zx)  2 ( xy  yz  zx) 2  2 xyz( x  y  z ) Xét h m số theo biến z và z  minx, y, z  0  z   1 3 Bài 8: Cho các số dương x, y, z T m GTNN của biểu thức P 2( x  y  z ) 3  9 xyz ( x  y  z )( xy  yz  zx ) Hướng dẫn : Do tử và m u cùng bậc nên giả sử x  y  z  1 và z  minx, y, z  0  z  1 3 316 Tài liệu ôn thi m n Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ - BẢNG BIẾN THIÊN... 320 Tài liệu ôn thi m n Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Thí dụ 4 T m m để phương trình sau có đúng hai nghi m phân biệt 4 2x  2 x  2 4 6  x  2 6  x  m (1) Lời giải  Tập xác định của phương trình : D   0; 6  Xét h m số y  f  x   4 2 x  2 x  2 4 6  x  2 6  x trên  0; 6  Phương trình 1 có nghi m trên  0; 6   đường thẳng y  m có đi m chung với phần đồ thị h m số y  f  x  vẽ trên